Bac Première : Amérique du Nord 2026 (spécialité)

Q1.Calculer \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} \times 4.

\begin{aligned}\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\times4 &= \dfrac{1}{2}+\dfrac{12}{2} \\ &= \dfrac{13}{2}\end{aligned} Réponse B.

Q2.La partie visible d'un iceberg (150 km^{3}) représente 10 % du volume total. Quel est ce volume total ?

\begin{aligned}0{,}10\times V = 150 &\iff V = \dfrac{150}{0{,}10} \\ &\iff V = 1\,500\end{aligned} km^{3}. Réponse B.

Q3.Le prix d'un article est multiplié par 0,845. Que représente cette évolution ?

0{,}845 = 1-0{,}155 : le coefficient multiplicateur correspond à une évolution de taux -15{,}5\%, donc une baisse de 15,5 %. Réponse D.

Q4.Donner le tableau de signes de A(x) = (x + 5)(x + 8).

A(x) est un produit de deux facteurs de degré 1, de racines -8 et -5, à coefficient dominant positif : A(x) est positif sauf entre les racines, où il est négatif. Réponse C.

Q5.Un singe choisit une lettre au hasard. Calculer P_M(V) (voyelle sachant lettre du mot SINGE).

Le mot SINGE comporte 5 lettres dont 2 voyelles (I, E). Par équiprobabilité : P_M(V) = \dfrac{2}{5}. Réponse B.

Q6.La droite représentant f passe par (0 ; 30) et (3 ; 0). Donner l'expression de f.

Ordonnée à l'origine 30, coefficient directeur \dfrac{0-30}{3-0}=-10 : {f(x)=-10x+30}. Réponse C.

Q7.Développer et réduire (x + 2)^{2} - (1 - x)^{2}.

\begin{aligned}(x+2)^{2}-(1-x)^{2} &= (x^{2}+4x+4)-(1-2x+x^{2}) \\ &= 6x+3\end{aligned} Réponse B.

Q8.Résoudre 2(x - 4) - (2x + 1) = 0.

\begin{aligned}2(x-4)-(2x+1) &= 2x-8-2x-1 \\ &= -9\end{aligned} L'équation -9=0 est fausse quel que soit x : aucune solution. Réponse C.

Q9.Calculer E = (2 \times 3^{2})/(27 \times 2^{3}).

\begin{aligned}E &= \dfrac{2\times3^{2}}{3^{3}\times2^{3}} \\ &= \dfrac{2^{0}\times3^{0}}{2^{2}\times3^{1}} \\ &= \dfrac{1}{4\times3} \\ &= \dfrac{1}{12}\end{aligned} Réponse B.

A.1Recopier et compléter l'arbre pondéré (urne à 1 boule rouge, 9 vertes, tirage avec remise).

P(R_1)=\dfrac{1}{10}, P(\overline{R_1})=\dfrac{9}{10} ; P_{R_1}(R_2)=\dfrac{1}{10}, P_{R_1}(\overline{R_2})=\dfrac{9}{10} ; P_{\overline{R_1}}(R_2)=\dfrac{1}{10}, {P_{\overline{R_1}}(\overline{R_2})=\dfrac{9}{10}} (tirage avec remise : les probabilités sont les mêmes au 2^{\text{e}} tirage).

A.2.aDonner les valeurs prises par la variable aléatoire X.

Le joueur paie 1 € puis reçoit 3 € (deux rouges), 1 € (deux vertes) ou 0 € (sinon) : le gain algébrique prend donc les valeurs X=2 (3-1), X=0 (1-1) et X=-1 (0-1).

A.2.bMontrer que P(X = -1) = \dfrac{18}{100}.

\{X=-1\} correspond à une boule rouge et une boule verte (dans un ordre ou l'autre) : \begin{aligned}\{X &= -1\} \\ &= (R_1\cap\overline{R_2})\cup(\overline{R_1}\cap R_2)\end{aligned} réunion d'évènements disjoints.
P(X=-1) = P(R_1\cap\overline{R_2})+P(\overline{R_1}\cap R_2) = \dfrac{1}{10}\times\dfrac{9}{10}+\dfrac{9}{10}\times\dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{100}+\dfrac{9}{100} = \dfrac{18}{100}.

A.2.cRecopier et compléter le tableau de la loi de probabilité de X.

\begin{aligned}P(X=2) &= P(R_1\cap R_2) \\ &= \dfrac{1}{10}\times\dfrac{1}{10} \\ &= \dfrac{1}{100}\end{aligned} et \begin{aligned}P(X=0) &= P(\overline{R_1}\cap\overline{R_2}) \\ &= \dfrac{9}{10}\times\dfrac{9}{10} \\ &= \dfrac{81}{100}\end{aligned}
x_k : -1 ; 0 ; 2 : P(X=x_k) : \dfrac{18}{100} ; \dfrac{81}{100} ; \dfrac{1}{100} (vérification : \frac{18}{100}+\frac{81}{100}+\frac{1}{100}=1).

A.2.dCalculer l'espérance de X et interpréter le résultat.

E(X) = (-1)\times\dfrac{18}{100}+0\times\dfrac{81}{100}+2\times\dfrac{1}{100} = \dfrac{-18+0+2}{100} = \dfrac{-16}{100} = -0,16.
Sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne 0,16 € (16 centimes) par partie : le jeu est défavorable au joueur.

B.1Démontrer que E(Y) = (4n^{2} - 20n)/100 (urne à n boules rouges, 10 - n vertes).

Comme en partie A, Y prend les valeurs -1, 0, 2 : \begin{aligned}P(Y=2) &= \left(\dfrac{n}{10}\right)^{2} \\ &= \dfrac{n^{2}}{100}\end{aligned}
\begin{aligned}P(Y=-1) &= 2\times\dfrac{n}{10}\times\dfrac{10-n}{10} \\ &= \dfrac{2n(10-n)}{100}\end{aligned} (on ne calcule pas P(Y=0), sans effet sur l'espérance).
E(Y) = 2\times\dfrac{n^{2}}{100} - 1\times\dfrac{2n(10-n)}{100} = \dfrac{2n^{2}-20n+2n^{2}}{100} = \dfrac{4n^{2}-20n}{100}.

B.2Pour combien de boules rouges le jeu est-il équitable ?

Le jeu est équitable lorsque E(Y)=0 : \begin{aligned}\dfrac{4n^{2}-20n}{100} = 0 &\iff 4n(n-5) = 0 \\ &\iff n = 0 \end{aligned} ou n=5.
n=0 correspond à une urne sans boule rouge (plus vraiment un jeu de hasard) : la situation pertinente est donc n=5 boules rouges (et 5 vertes), pour laquelle le jeu est équitable.

A.1Donner la puissance électrique des panneaux à 11 h 00 (lecture graphique).

Avec la précision permise par le graphique, on lit une puissance d'environ 5,75 kW à 11 h.

A.2Résoudre graphiquement f(x) \geq 5 et interpréter.

Graphiquement, f(x)\geq5 pour {x\in[10{,}5\,;\,15{,}5]} environ : la puissance des panneaux dépasse 5 kW entre environ 10 h 30 et 15 h 30, soit pendant environ 5 heures dans la journée.

B.1Déterminer la nature de la suite (c_{n}) et préciser sa raison.

Chaque année, le tarif est multiplié par 1{,}06 (hausse de 6 %) : (c_n) est géométrique de raison q=1{,}06, de premier terme c_0=0{,}15.

B.2Exprimer c_{n} en fonction de n.

(c_n) étant géométrique : \begin{aligned}c_n &= c_0\times q^{n} \\ &= 0{,}15\times1{,}06^{n}\end{aligned}.

B.3Donner le calcul permettant d'obtenir le coût en 2030.

2030 correspond à 2020+10, soit n=10 : le coût pour 1 kWh en 2030 est c_{10} = 0{,}15\times1{,}06^{10} (calcul non demandé).

B.4.aQue représentent les variables c et S du programme Python ?

c représente le coût (en euros) d'un kWh pour l'année considérée. S représente l'économie totale cumulée (en euros) depuis 2020 : à chaque tour de boucle, on ajoute l'économie de l'année (2000 kWh non achetés, au prix c), puis on met à jour l'année et le prix.

B.4.bLe programme affiche 16. Interpréter ce résultat.

Il faut 16 années pour que l'économie cumulée dépasse 7 000 €, le coût de l'installation : selon ce modèle, l'investissement de Camille est rentabilisé en 2020+16=2036.

1.Montrer que, pour tout x, f'(x) = (-2x + 6)e^{-0,5x}.

f(x)=(4x-4)e^{-0{,}5x}+5 est de la forme uv+5 avec u(x)=4x-4, v(x)=e^{-0{,}5x}, donc u'(x)=4, v'(x)=-0{,}5e^{-0{,}5x}.
f'(x) = u'(x)v(x)+u(x)v'(x) = 4e^{-0{,}5x} + (4x-4)\times(-0{,}5)e^{-0{,}5x} = \left[4-0{,}5(4x-4)\right]e^{-0{,}5x} = \left[4-2x+2\right]e^{-0{,}5x} = (-2x+6)e^{-0{,}5x}.

2.Étudier le signe de f'(x) puis en déduire les variations de f.

e^{-0{,}5x}>0 pour tout x, donc f'(x) est du signe de -2x+6, qui s'annule en x=3 et est positif pour x<3.
f est croissante sur ]-\infty;3] et décroissante sur [3;+\infty[, avec un maximum f(3)=8e^{-1{,}5}+5.

3.La courbe admet-elle des points à tangente horizontale ?

La tangente est horizontale lorsque f'(x)=0, soit uniquement en x=3.
\begin{aligned}f(3) &= (4\times3-4)e^{-0{,}5\times3}+5 \\ &= 8e^{-1{,}5}+5\end{aligned}
Oui, \mathcal{C}_f admet un unique point à tangente horizontale, de coordonnées \left(3\,;\,8e^{-1{,}5}+5\right).