Bac Première : Antilles et Guyane 2026 (spécialité)

Q1.Donner une forme factorisée de 9x^{2} - \dfrac{1}{9}.

\begin{aligned}9x^{2}-\dfrac{1}{9} &= (3x)^{2}-\left(\dfrac13\right)^{2} \\ &= \left(3x-\dfrac13\right)\left(3x+\dfrac13\right)\end{aligned} (différence de carrés). Réponse B.

Q2.Calculer E = (x - y)/(zt) pour x=3, y=-2, z=-3, t=-4.

\begin{aligned}E &= \dfrac{3-(-2)}{(-3)\times(-4)} \\ &= \dfrac{5}{12}\end{aligned} Réponse C.

Q3.À l'aide du graphique, déterminer le signe de A = f(-4)/f(-1).

Par lecture graphique (interpolation entre les points tracés) : f(-4)=1{,}5>0 et f(-1)=-2<0, donc A=\dfrac{1{,}5}{-2}<0. Réponse B.

Q4.Résoudre l'inéquation -2x + 2 \geq 0.

\begin{aligned}-2x+2 \geq 0 &\iff -2x \geq -2 \\ &\iff x \leq 1 \end{aligned} (l'inégalité change de sens en divisant par -2). S=]-\infty;1]. Réponse A.

Q5.D'après le tableau de signes donné, donner une expression possible de f(x).

f s'annule en -3 et 2, est positive à l'extérieur et négative entre les racines : coefficient dominant positif, soit {f(x)=(x-2)(x+3)}. Réponse C.

Q6.Le prix d'un article baisse de 50 % puis augmente de 40 %. Quelle est l'évolution équivalente ?

Coefficient multiplicateur global : \begin{aligned}0{,}5\times1{,}4 &= 0{,}7 \\ &= 1-0{,}30\end{aligned} soit une baisse de 30 %. Réponse D.

Q7.40 % des adhérents sont des hommes et il y a 30 femmes. Quel est le nombre total d'adhérents ?

60 % des adhérents sont des femmes, soit 30 : \dfrac{30}{0{,}6}=50 adhérents au total. Réponse D.

Q8.Une seule égalité est vraie pour a \neq 0. Laquelle ?

\begin{aligned}\dfrac{a\times a^{5}}{a^{2}} &= \dfrac{a^{6}}{a^{2}} \\ &= a^{4}\end{aligned} Réponse D.

1.aCalculer la valeur de la voiture en janvier 2026.

La valeur baisse de 10 % chaque année : u_1 = u_0\times(1-0{,}10) = 10\,000\times0{,}9 = 9 000 €.

1.bJustifier que u_{n+1} = 0,9 u_{n}.

Une baisse de 10 % correspond à une multiplication par 1-0{,}10=0{,}9 : pour tout entier naturel n, u_{n+1}=0{,}9\,u_n.

2.En déduire la nature de la suite (u_{n}) et préciser sa raison.

La relation u_{n+1}=0{,}9\,u_n montre que (u_n) est géométrique de raison 0,9, de premier terme u_0=10\,000.

3.aExprimer u_{n} en fonction de n.

(u_n) étant géométrique : \begin{aligned}u_n &= u_0\times0{,}9^{n} \\ &= 10\,000\times0{,}9^{n}\end{aligned}.

3.bEn déduire la valeur de la voiture en janvier 2030.

Janvier 2030 correspond à n=5 : {u_5 = 10\,000\times0{,}9^{5} = 10\,000\times0{,}59049 =} 5 904,9 €.

4.Recopier et compléter le programme Python renvoyant le plus petit n tel que u_{n} < A.

5.aInterpréter le résultat de l'appel seuil(5000).

seuil(5000) = 7 signifie qu'il faut attendre 7 années, soit janvier 2032, pour que la valeur de la voiture passe pour la première fois strictement en dessous de 5 000 € (elle a alors perdu plus de la moitié de sa valeur initiale).

5.bDéterminer l'année à partir de laquelle la voiture aura perdu plus des trois quarts de sa valeur initiale.

Perdre plus des trois quarts de la valeur initiale (10 000 €) signifie que la valeur restante est strictement inférieure à un quart de 10 000 €, soit 2 500 €.
Or seuil(2500) = 14 : c'est donc au bout de 14 années, soit en janvier 2039 (2025+14), que la voiture aura perdu plus des trois quarts de sa valeur initiale.

1.Reproduire et compléter l'arbre pondéré.

P(A)=0{,}6, P(\overline{A})=0{,}4 ; P_A(J)=0{,}4, P_A(\overline{J})=0{,}6 ; P_{\overline{A}}(J)=0{,}2, P_{\overline{A}}(\overline{J})=0{,}8.

2.Calculer P(A\cap J) et interpréter.

P(A\cap J) = P(A)\times P_A(J) = 0{,}6\times0{,}4 = 0,24.
Dans le contexte, 24 % des spectateurs sont à la fois abonnés et jeunes.

3.Démontrer que P(J) = 0,32.

Les évènements A et \overline{A} formant une partition de l'univers, d'après la formule des probabilités totales :
P(J) = P(A)\times P_A(J) + P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(J) = 0{,}6\times0{,}4+0{,}4\times0{,}2 = 0{,}24+0{,}08 = 0,32.

4.« Si on interroge un spectateur jeune au hasard, il y a plus d'une chance sur deux qu'il soit abonné. » Cette affirmation est-elle exacte ?

Il s'agit de calculer \begin{aligned}P_J(A) &= \dfrac{P(A\cap J)}{P(J)} \\ &= \dfrac{0{,}24}{0{,}32} \\ &= 0{,}75\end{aligned}
Comme 0{,}75>0{,}5, l'affirmation est exacte : il y a bien plus d'une chance sur deux qu'un spectateur jeune soit abonné.

5.aDéterminer la loi de probabilité de X.

Un spectateur non abonné (probabilité P(\overline{A})=0{,}4) paie 5 €. Un spectateur abonné et non jeune (probabilité \begin{aligned}P(A\cap\overline{J}) &= 0{,}6\times0{,}6 \\ &= 0{,}36\end{aligned}) paie 2 €. Un spectateur abonné et jeune (probabilité P(A\cap J)=0{,}24) ne paie rien.
x_k : 0 ; 2 ; 5 : P(X=x_k) : 0,24 ; 0,36 ; 0,4 (vérification : 0{,}24+0{,}36+0{,}4=1).

5.bCalculer l'espérance de X et interpréter.

E(X) = 0\times0{,}24+2\times0{,}36+5\times0{,}4 = 0{,}72+2 = 2,72 €.
En moyenne, chaque spectateur paie sa place 2,72 €.

1.Les droites (AB) et (AC) sont-elles perpendiculaires ? (A(2;0), B(3;2), C(0;4))

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-2 \\ 4 \\ \end{pmatrix}.
\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= 1\times(-2)+2\times4 \\ &= -2+8 \\ &= 6 \\ &\neq 0\end{aligned}
Le produit scalaire n'est pas nul : les droites (AB) et (AC) ne sont pas perpendiculaires. L'affirmation est FAUSSE.

2.af(x) = (3x - 1)eˣ. La fonction f est-elle croissante sur \mathbb{R} ?

f'(x) = 3e^{x}+(3x-1)e^{x} = (3x+2)e^{x}.
Comme e^{x}>0 pour tout x, f'(x) est du signe de 3x+2, qui s'annule en x=-\dfrac23 : f' est négative avant, positive après.
f est décroissante sur \left]-\infty;-\frac23\right] puis croissante sur \left[-\frac23;+\infty\right[ : elle n'est donc pas croissante sur tout \mathbb{R}. L'affirmation est FAUSSE.

2.bLa tangente à C au point d'abscisse 0 a-t-elle pour équation y = 2x - 1 ?

\begin{aligned}f(0) &= (0-1)\times e^{0} \\ &= -1\end{aligned} et f'(0) = (0+2)\times e^{0} = 2.
L'équation de la tangente en x=0 est y=f'(0)(x-0)+f(0) = 2x-1.
Cela correspond exactement à l'équation donnée. L'affirmation est VRAIE.