Bac Première : Métropole 2026 (spécialité)

Q1.Développer (3x - 2)^{2}.

\begin{aligned}(3x-2)^{2} &= (3x)^{2}-2\times3x\times2+2^{2} \\ &= 9x^{2}-12x+4\end{aligned} Réponse C.

Q2.D'après le graphique, donner l'équation réduite de la droite (\Delta) passant par (0;2) et (2;0).

Ordonnée à l'origine 2, coefficient directeur \dfrac{0-2}{2-0}=-1 : y=-x+2. Réponse C.

Q3.75 % des élèves étudient le grec, les 9 autres le latin. Quel est l'effectif de la classe ?

25 % (soit \frac14) des élèves étudient le latin, donc l'effectif total est 9\times4=36. Réponse D.

Q4.Un prix augmente de 15 %. Par quel coefficient a-t-il été multiplié ?

Augmenter de 15 % revient à multiplier par \dfrac{100+15}{100}=1{,}15. Réponse B.

Q5.Donner la valeur la plus proche de \dfrac{150000}{3200}.

3\,200\approx3\,000, donc \begin{aligned}\dfrac{150\,000}{3\,200} &\approx \dfrac{150}{3} \\ &= 50\end{aligned} Réponse B.

Q6.Une vidéo de 1 min 40 s contient 2 400 images. Combien d'images par seconde ?

1 min 40 s = 100 s, donc \dfrac{2\,400}{100}=24 images/seconde. Réponse B.

Q7.Un seul point appartient à la courbe de f(x) = 0,5(x - 3)^{2} + 10. Lequel ?

Cette expression est la forme canonique d'une fonction du second degré, dont le sommet est le point (3;10), soit le point C. Réponse C.

Q8.Calculer A = (10^{201} \times 10^{-4})/(10^{2})^{100}.

(10^{2})^{100}=10^{200}, donc \begin{aligned}A &= 10^{201-4-200} \\ &= 10^{-3} \\ &= 0{,}001\end{aligned} Réponse C.

1.Recopier et compléter l'arbre pondéré.

P(T)=0{,}6, P(\overline{T})=0{,}4 ; P_T(A)=0{,}25, P_T(\overline{A})=0{,}75.

2.Donner, par simple lecture de l'énoncé, la probabilité de l'évènement A.

20 % des clients ont pris l'assurance : P(A)=0{,}2.

3.Montrer que la probabilité que le client ait loué une bicyclette traditionnelle et pris une assurance est 0,15.

P(T\cap A) = P(T)\times P_T(A) = 0{,}6\times0{,}25 = 0,15.

4.En déduire que P(\overline{T}\cap A) = 0,05.

D'après la formule des probabilités totales, P(A)=P(T\cap A)+P(\overline{T}\cap A), donc P(\overline{T}\cap A) = 0{,}2-0{,}15 = 0,05.

5.Déterminer la probabilité que le client ait pris une assurance sachant qu'il a loué une bicyclette électrique.

P_{\overline{T}}(A) = \dfrac{P(\overline{T}\cap A)}{P(\overline{T})} = \dfrac{0{,}05}{0{,}4} = \dfrac{1}{8}.

Affirmation 1 : quelle que soit la valeur de u, x^{2} + x - u^{2} = 0 possède deux solutions réelles distinctes. Vrai ou faux ?

Le discriminant de cette équation du second degré est \begin{aligned}\Delta &= 1^{2}-4\times1\times(-u^{2}) \\ &= 1+4u^{2}\end{aligned}
Comme 4u^{2}\geq0 pour tout réel u, {\Delta\geq1>0} : le discriminant est toujours strictement positif, l'équation admet donc toujours deux solutions réelles distinctes. L'affirmation 1 est VRAIE.

Affirmation 2 : la suite (u_{n}) définie par u_{n} = 2^{-}ⁿ est géométrique de raison \dfrac{1}{2}. Vrai ou faux ?

\begin{aligned}u_n &= 2^{-n} \\ &= \dfrac{1}{2^{n}} \\ &= \left(\dfrac12\right)^{n}\end{aligned} (u_n) est bien géométrique de raison \dfrac12, de premier terme u_0=1.
L'affirmation 2 est VRAIE.

Affirmation 3 : le point A(3;3) appartient à la tangente à Cf en x=0, pour f(x) = eˣ - 1. Vrai ou faux ?

f'(x)=e^{x}, donc f'(0)=1 et f(0)=0. L'équation de la tangente en x=0 est y=f'(0)(x-0)+f(0) = x.
Le point A(3;3) vérifie y=x (puisque 3=3) : il appartient bien à la tangente. L'affirmation 3 est VRAIE.

1.Donner les coordonnées du vecteur KP et sa norme. (P(4;0), K(1;0))

\overrightarrow{KP}\begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ \end{pmatrix}, de norme 3.

2.Exprimer en fonction de x les coordonnées du vecteur KM et sa norme. (M(x;3))

\overrightarrow{KM}\begin{pmatrix}x-1 \\ 3 \\ \end{pmatrix}, de norme \sqrt{(x-1)^{2}+9}.

3.Montrer que le produit scalaire KP \cdot KM est égal à 3x - 3.

\overrightarrow{KP}\cdot\overrightarrow{KM} = 3(x-1)+0\times3 = 3x-3.

4.Montrer que, si l'angle PKM vaut π/3, alors x est solution de (E) : \surd((x-1)^{2} + 9) = 2x - 2.

\begin{aligned}\overrightarrow{KP}\cdot\overrightarrow{KM} &= KP\times KM\times\cos(\widehat{PKM}) \\ &= 3\times\sqrt{(x-1)^{2}+9}\times\cos\left(\dfrac\pi3\right) \\ &= \dfrac32\sqrt{(x-1)^{2}+9}\end{aligned} (car \cos(\pi/3)=\frac12).
Or ce produit scalaire vaut aussi 3x-3 (question 3) : \begin{aligned}\dfrac32\sqrt{(x-1)^{2}+9} = 3x-3 &\iff \sqrt{(x-1)^{2}+9} = 2x-2 \end{aligned}
x est donc bien solution de l'équation (E) lorsque l'angle \widehat{PKM} vaut \dfrac\pi3.

5.Vérifier que 1 + \sqrt{3} est solution de (E).

En élevant au carré (valide car {2x-2\geq0} pour une solution) : \begin{aligned}(x-1)^{2}+9 = (2x-2)^{2} &\iff 3x^{2}-6x-6 = 0 \end{aligned}
Discriminant : \begin{aligned}\Delta &= 36+72 \\ &= 108 \\ &= (6\sqrt3)^{2}\end{aligned} Les solutions sont \dfrac{6\pm6\sqrt3}{6} = 1\pm\sqrt3.
1+\sqrt3 est donc bien solution de l'équation (E).