Bac Première : Sujet zéro n°1 (spécialité)

Q1.Calculer l'inverse du double de 5.

Le double de 5 est 10, son inverse est \dfrac{1}{10}. Réponse B.

Q2.Calculer F = a + b/(cd) pour a=\dfrac{1}{2}, b=3, c=4, d=-\dfrac{1}{4}.

\begin{aligned}cd &= 4\times\left(-\dfrac14\right) \\ &= -1\end{aligned} donc \begin{aligned}\dfrac{b}{cd} &= \dfrac{3}{-1} \\ &= -3\end{aligned} \begin{aligned}F &= \dfrac12+(-3) \\ &= \dfrac12-\dfrac62 \\ &= -\dfrac52\end{aligned} Réponse A.

Q3.Le prix d'un article est multiplié par 0,975. Quelle évolution cela représente-t-il ?

\begin{aligned}0{,}975 &= 1-0{,}025 \\ &= 1-\dfrac{2{,}5}{100}\end{aligned} C'est une baisse de 2,5 %. Réponse A.

Q4.Un prix P augmente de 10 % puis baisse de 10 %, donnant P_{1}. Que peut-on affirmer ?

Le coefficient global est {1{,}1\times0{,}9 = 0{,}99 < 1}, donc P_1 < P (avec P\neq0). Réponse C.

Q5.D'après le tableau des probabilités d'un dé à 4 faces (0,5 ; \dfrac{1}{6} ; 0,2 ; x), déterminer x.

La somme des probabilités vaut 1 : \begin{aligned}0{,}5+\dfrac16+0{,}2+x = 1 &\iff \dfrac{26}{30}+x = 1 \\ &\iff x = \dfrac{4}{30} \\ &\iff x = \dfrac{2}{15}\end{aligned} Réponse A.

Q6.Pour x, y, u réels non nuls tels que 1/x + 1/y = 1/u, exprimer u.

\begin{aligned}\dfrac1x+\dfrac1y = \dfrac1u &\iff \dfrac{x+y}{xy} = \dfrac1u \\ &\iff u = \dfrac{xy}{x+y} \end{aligned} Réponse A.

Q7.Résoudre x^{2} \geq 10 sur \mathbb{R}.

\begin{aligned}x^{2} \geq 10 &\iff x \leq -\sqrt{10} \end{aligned} ou x\geq\sqrt{10} (la courbe y=x^2 est au-dessus de la droite y=10 à l'extérieur de cet intervalle). Réponse B.

Q8.D'après le graphique, donner une équation de la droite D passant par (0;2) et (3;0).

\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}-1=0 est vérifiée par les deux points : pour (0;2), 0+1-1=0 ; pour (3;0), 1+0-1=0. Réponse D.

Q9.Parmi f_{1}(x)=x^{2}-(1-x)^{2}, f_{2}(x)=\dfrac{x}{2}-(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}), f_{3}(x)=\dfrac{5-\frac{2x}{3}}{0{,}7}, lesquelles sont affines ?

\begin{aligned}f_1(x) &= x^2-(1-2x+x^2) \\ &= 2x-1\end{aligned} : affine.
f_2(x) est déjà de la forme ax+b avec a=\frac12 : affine.
f_3(x) = -\dfrac{2}{3\times0{,}7}x+\dfrac{5}{0{,}7} est de la forme ax+b : affine.
Les trois fonctions sont affines. Réponse B.

Q10.D'après le graphique, quelle fonction correspond à la parabole P ?

Le point de la courbe d'abscisse 0 a une ordonnée strictement positive : seule x\mapsto-x^{2}+10 vérifie cela parmi les propositions. Réponse C.

Q11.D'après le graphique, l'inéquation x \times f(x) > 0 est vérifiée par quels points ?

x_A<0 et f(x_A)<0, donc {x_A\times f(x_A)>0} : solution.
x_B<0 et f(x_B)>0, donc produit négatif : pas solution.
x_R>0 et f(x_R)>0, donc produit positif : solution.
x_S>0 et f(x_S)<0, donc produit négatif : pas solution.
x_A et x_R sont solutions. Réponse B.

Q12.Une série a les notes 10, 8, 16 de coefficients 1, 2, x. Pour quelle valeur de x a-t-on une moyenne de 15 ?

Il y a (x+3) notes au total ; pour une moyenne de 15, la somme des notes doit valoir 15(x+3) = 15x+45.
Or la somme réelle des notes est {10\times1+8\times2+16\times x = 16x+26}.
\begin{aligned}16x+26 = 15x+45 &\iff x = 19 \end{aligned} Réponse D.

1.aDéterminer les coordonnées des vecteurs OI et OC. (O(0;0), I(4;3), C(0;4))

\overrightarrow{OI}\begin{pmatrix}4 \\ 3 \\ \end{pmatrix} et \overrightarrow{OC}\begin{pmatrix}0 \\ 4 \\ \end{pmatrix}.

1.bEn déduire le produit scalaire OI \cdot OC.

\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{OC} = 4\times0+3\times4 = 12.

2.aExprimer le produit scalaire OI \cdot OC en fonction des longueurs OH et OI.

H étant le projeté orthogonal de C sur (OI) : \overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{OI}.
Les vecteurs \overrightarrow{OH} et \overrightarrow{OI} étant colinéaires de même sens : \overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{OI} = OH\times OI.
\overrightarrow{OI}\cdot\overrightarrow{OC} = OH\times OI.

2.bCalculer la longueur OI.

OI = \sqrt{4^{2}+3^{2}} = \sqrt{25} = 5.

2.cEn déduire que OH = 2,4.

OI\times OC = OH\times OI \iff 12 = OH\times5 \iff OH = \dfrac{12}{5} = 2,4.

3.aDéterminer une équation cartésienne de la droite (CH).

H étant le projeté orthogonal de C sur (OI), \overrightarrow{OI} est normal à (CH) : une équation de (CH) est de la forme {4x+3y+c=0}.
Comme C(0;4)\in(CH) : \begin{aligned}4\times0+3\times4+c = 0 &\iff c = -12 \end{aligned}
Une équation de (CH) est {4x+3y-12=0}.

3.bJustifier qu'une équation du cercle E (centre D(2;2), rayon 0,5) est x^{2} + y^{2} - 4x - 4y + 7,75 = 0.

(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=0{,}5^{2} \iff x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4-0{,}25=0 \iff x^{2}+y^{2}-4x-4y+7{,}75=0.

3.cLe point M(1,5 ; 2) appartient-il à l'intersection du cercle E et de la droite (CH) ?

Pour E : \begin{aligned}1{,}5^{2}+2^{2}-4\times1{,}5-4\times2+7{,}75 &= 2{,}25+4-6-8+7{,}75 \\ &= 0\end{aligned} M appartient à E.
Pour (CH) : \begin{aligned}4\times1{,}5+3\times2-12 &= 6+6-12 \\ &= 0\end{aligned} M appartient à (CH).
M appartient donc bien à l'intersection du cercle E et de la droite (CH).

1.aÉtudier le signe de g(x) = x^{2} - 5x + 4 sur \mathbb{R}.

Discriminant : \begin{aligned}\Delta &= (-5)^{2}-4\times4 \\ &= 9 \\ &= 3^{2}\end{aligned} Racines : x'=\dfrac{5-3}{2}=1 et x''=\dfrac{5+3}{2}=4, donc g(x)=(x-1)(x-4).
g est positive sur ]-\infty;1]\cup[4;+\infty[ et négative sur [1;4] (coefficient dominant positif : signe positif à l'extérieur des racines).

1.bJustifier que a_{n} = 2n - 4, où a_{n} est le coefficient directeur de (A_{n}A_{n+1}) et A_{n} le point de P d'abscisse n.

\begin{aligned}y_{A_n} &= g(n) \\ &= n^{2}-5n+4\end{aligned} et \begin{aligned}y_{A_{n+1}} &= g(n+1) \\ &= n^{2}-3n\end{aligned} (après développement).
a_n = \dfrac{y_{A_{n+1}}-y_{A_n}}{(n+1)-n} = (n^{2}-3n)-(n^{2}-5n+4) = 2n-4.

1.cQuelle est la nature de la suite (a_{n}) ?

\begin{aligned}a_{n+1}-a_n &= (2n-2)-(2n-4) \\ &= 2\end{aligned} (a_n) est arithmétique de raison 2.

2.aVérifier que f(x) = g(x)/x, pour f(x) = x - 5 + 4/x sur [0,5 ; 8].

f(x) = \dfrac{x^{2}}{x}-\dfrac{5x}{x}+\dfrac{4}{x} = \dfrac{x^{2}-5x+4}{x} = \dfrac{g(x)}{x}.

2.bÀ l'aide du signe de g, déterminer la position de la courbe C par rapport à l'axe des abscisses.

Sur [0{,}5;8], x>0, donc f(x) est du même signe que g(x).
Sur [0{,}5;1[, C est au-dessus de l'axe (g>0) ; sur ]1;4[, C est en dessous (g<0) ; sur ]4;8], C est de nouveau au-dessus (g>0).

2.cMontrer que f'(x) = (x - 2)(x + 2)/x^{2} sur [0,5 ; 8].

f'(x) = 1-\dfrac{4}{x^{2}} = \dfrac{x^{2}-4}{x^{2}} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x^{2}}.

2.dEn déduire le tableau de variations de f sur [0,5 ; 8].

x^{2}>0 et x+2>0 toujours ; x-2 s'annule en 2, donc f'(x) est du signe de x-2 : négatif avant 2, positif après.
\begin{aligned}f(0{,}5) &= 0{,}5-5+8 \\ &= 3{,}5\end{aligned} \begin{aligned}f(2) &= 2-5+2 \\ &= -1\end{aligned} \begin{aligned}f(8) &= 8-5+0{,}5 \\ &= 3{,}5\end{aligned}
f est décroissante sur [0{,}5;2] (de 3,5 à -1) puis croissante sur [2;8] (de -1 à 3,5).

2.eRéaliser un schéma de l'allure de la courbe C faisant apparaître les résultats des questions 2.b et 2.d.

La courbe part de (0{,}5;3{,}5), décroît, coupe l'axe des abscisses en x=1, atteint son minimum (2;-1), remonte, recoupe l'axe en x=4, puis continue de croître jusqu'à (8;3{,}5), restant au-dessus de l'axe sur [4;8].