Bac Première : Sujet zéro n°2 (spécialité)

Q1.D'après l'arbre de probabilités ({P(A)=0,4}, P_A(B)=0,3, P(\text{non }A)=0,6, P_{\text{non }A}(B)=0,1), calculer P(B).

D'après la formule des probabilités totales : \begin{aligned}P(B) &= P(A)\times P_A(B) + P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B) \\ &= 0{,}4\times0{,}3+0{,}6\times0{,}1 \\ &= 0{,}12+0{,}06 \\ &= 0{,}18\end{aligned} Réponse A.

Q2.Une tablette coûte 200 €. Son prix diminue de 30 %. Quel est le nouveau prix ?

Diminuer de 30 % revient à multiplier par 1-\dfrac{30}{100}=0{,}7 : 200\times0{,}7= 140 €. Réponse A.

Q3.Une réduction de 50 % suivie d'une augmentation de 50 % équivaut à quoi ?

Cela revient à multiplier par \begin{aligned}0{,}5\times1{,}5 &= 0{,}75 \\ &= 1-\dfrac{25}{100}\end{aligned} soit une réduction de 25 %. Réponse B.

Q4.Dans un lycée, le quart des élèves sont internes, et parmi eux la moitié sont des filles. Quelle proportion de filles internes cela représente-t-il ?

\begin{aligned}\dfrac12\times\dfrac14 &= \dfrac18 \\ &= \dfrac{12{,}5}{100}\end{aligned} Réponse B.

Q5.On considère N = 10^{7} / 5^{2}. Que vaut N ?

\begin{aligned}N &= \dfrac{10^{7}}{5^{2}} \\ &= \dfrac{10^{2}\times10^{5}}{5^{2}} \\ &= \left(\dfrac{10}{5}\right)^{2}\times10^{5} \\ &= 2^{2}\times10^{5} \\ &= 4\times10^{5}\end{aligned} Réponse D.

Q6.Un appareil a besoin de 7,5\times10^{6} J pour démarrer. À combien de kWh cela correspond-il, sachant que 1 kWh = 3,6\times10^{6} J ?

1 kWh correspond à 3{,}6\times10^{6} J, donc 2 kWh correspondent à 7{,}2\times10^{6} J : {7{,}5\times10^{6}} J correspond donc à un peu plus de 2 kWh. Réponse B.

Q7.On note d la droite passant par A(0 ; -1) et B(2 ; 5). Quel est son coefficient directeur ?

\begin{aligned}\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} &= \dfrac{5-(-1)}{2-0} \\ &= \dfrac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned} Réponse C.

Q8.D'après le graphique (droite D de coefficient directeur négatif, passant par l'origine), quelle équation convient ?

A. 2x-y=0 équivaut à y=2x : coefficient directeur positif, à éliminer.
B. 2x+y+1=0 équivaut à y=-2x-1 : ne passe pas par l'origine, à éliminer.
D. y=2x-1 : ne passe pas par l'origine, à éliminer.
C. \begin{aligned}y &= x^{2}-(x+1)^{2}+1 \\ &= x^{2}-x^{2}-2x-1+1 \\ &= -2x\end{aligned} Coefficient directeur négatif et passe par l'origine, convient.
Réponse C.

Q9.On note S l'ensemble des solutions de x^{2} = 10 sur \mathbb{R}. Que vaut S ?

L'équation admet deux solutions, -\sqrt{10} et \sqrt{10}. Réponse C.

Q10.La fonction f définie par f(x) = (3x - 15)(x + 2) admet quel tableau de signes ?

3x-15 s'annule et change de signe en x=5 ; x+2 s'annule et change de signe en x=-2.
Sur ]-\infty~;~-2[ : les deux facteurs sont négatifs, f(x)>0. Sur ]-2~;~5[ : 3x-15 négatif et x+2 positif, f(x)<0. Sur ]5~;~+\infty[ : les deux facteurs sont positifs, f(x)>0.
Réponse A.

Q11.Développer (2x + 0,5)^{2}.

\begin{aligned}(2x+0{,}5)^{2} &= (2x)^{2}+2\times2x\times0{,}5+0{,}5^{2} \\ &= 4x^{2}+2x+0{,}25\end{aligned} Réponse C.

Q12.Un point mobile a une accélération centripète a = v^{2}/R. Quelle expression donne v ?

a=\dfrac{v^{2}}{R} équivaut à aR=v^{2}, donc v=\sqrt{aR} (la vitesse est positive). Réponse B.

1.En 2020, une ville compte 10 000 habitants ; on modélise l'évolution par {u_0=10\,000}, u_{n+1}=1,08u_n-300, où u_n est la population en 2020+n. Que représente u_1 et quelle est sa valeur ?

u_1 représente le nombre d'habitants en 2020+1=2021. u_1 = 1{,}08\times u_0-300 = 1{,}08\times10\,000-300 = 10\,800-300 = 10 500 habitants.

2.aOn pose v_n=u_n-3\,750 pour tout entier naturel n. Déterminer v_0.

v_0 = u_0-3\,750 = 10\,000-3\,750 = 6 250.

2.bDémontrer que, pour tout entier naturel n, v_{n+1}=1,08v_n.

Pour tout n, u_n=v_n+3\,750, donc :
\begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1}-3\,750 \\ &= 1{,}08u_n-300-3\,750 \\ &= 1{,}08(v_n+3\,750)-4\,050 \\ &= 1{,}08v_n+4\,050-4\,050 \\ &= 1{,}08v_n\end{aligned}

2.cEn déduire la nature de la suite (v_n).

L'égalité v_{n+1}=1{,}08\,v_n montre que la suite (v_n) est géométrique de raison 1,08, de premier terme v_0=6\,250.

2.dExprimer v_n en fonction de n.

v_n = v_0\times1{,}08^{n} = 6\,250\times1{,}08^{n}.

2.eEn déduire que, pour tout entier naturel n, u_n = 6\,250\times1,08^n+3\,750.

Comme u_n=v_n+3\,750 et {v_n=6\,250\times1{,}08^{n}}, on obtient bien {u_n = 6\,250\times1{,}08^{n}+3\,750}.

3.La formule saisie en cellule B2 est =6250*1,08^{A2}+3750. La municipalité veut ouvrir une école dès que la population atteint 19 000 habitants ; la construction dure deux ans. À partir de quelle année faut-il commencer les travaux ?

D'après le tableau (obtenu par recopie de la formule), la population dépasse 19 000 habitants pour n=12, c'est-à-dire en 2020+12=2032.
La construction nécessitant deux ans, il faut donc commencer les travaux en 2030.

PartieA ; 1.a On considère P(x) = 2x^{2} + x - 10 sur [-5 ; 3]. Déterminer les racines de P.

P est un polynôme du second degré : \begin{aligned}\Delta &= b^{2}-4ac \\ &= 1^{2}-4\times2\times(-10) \\ &= 1+80 \\ &= 81 \\ &= 9^{2}\end{aligned}
Les racines sont x' = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1-9}{4} = -\dfrac{5}{2} et x'' = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1+9}{4} = 2.

PartieA ; 1.b En déduire l'axe de symétrie de la parabole d'équation y = P(x).

L'axe de symétrie passe par \begin{aligned}\dfrac{x'+x''}{2} &= \dfrac{-\frac52+2}{2} \\ &= \dfrac{-\frac12}{2} \\ &= -\dfrac14\end{aligned} C'est la droite d'équation x=-\dfrac14.

PartieA ; 2. Établir le tableau de signes de P sur [-5 ; 3].

P a pour racines x'=-\dfrac52 et x''=2, donc P(x) = 2\left(x+\dfrac52\right)(x-2), produit d'un coefficient positif par deux facteurs.
P(x) est du signe de a=2>0 à l'extérieur des racines et du signe opposé entre elles :
P(x) > 0 sur \left[-5~;~-\dfrac52\right[, {P(x)=0} en x=-\dfrac52, P(x)<0 sur \left]-\dfrac52~;~2\right[, {P(x)=0} en x=2, P(x)>0 sur ]2~;~3].

PartieB ; 1. On admet que f est dérivable sur [-5 ; 3] et que la tangente à sa courbe au point d'abscisse 2 est horizontale. Donner f'(2).

La tangente en x=2 étant horizontale, son coefficient directeur est nul, or ce coefficient directeur est égal à f'(2) : f'(2)=0.

PartieB ; 2. Résoudre, avec la précision permise par le graphique, l'inéquation f'(x) < 0.

f'(x)<0 correspond aux valeurs de x où f est strictement décroissante, soit, d'après le graphique, l'intervalle {]-2{,}5~;~2[}.

PartieB ; 3. On sait que f(x) = (4x^{2} - 14x + 8)e^{0,5x} sur [-5 ; 3]. Montrer que f'(x) = P(x)e^{0,5x}.

f est le produit de la fonction polynôme 4x^{2}-14x+8 (dérivée 8x-14) et de la fonction e^{0{,}5x} (dérivée 0{,}5e^{0{,}5x}). D'après la formule de dérivation d'un produit :
f'(x) = (8x-14)e^{0{,}5x} + (4x^{2}-14x+8)\times0{,}5\,e^{0{,}5x} = \left(8x-14+2x^{2}-7x+4\right)e^{0{,}5x} = \left(2x^{2}+x-10\right)e^{0{,}5x}.
Or 2x^{2}+x-10 = P(x), donc f'(x) = P(x)e^{0{,}5x}.

PartieB ; 4. En utilisant les résultats de la partie A, dresser le tableau de variation de f sur [-5 ; 3].

e^{0{,}5x}>0 pour tout réel x, donc f'(x)=P(x)e^{0{,}5x} a le même signe que P(x) (étudié en partie A).
f est donc croissante sur \left[-5~;~-\dfrac52\right], décroissante sur \left[-\dfrac52~;~2\right], puis croissante sur [2~;~3].