Bac Première : Sujet zéro n°2 (spécifique)

Q1.On considère A = \dfrac{1}{2} - (\dfrac{1}{2})\times(\dfrac{4}{3}). Calculer A.

\begin{aligned}A &= \dfrac12-\dfrac12\times\dfrac43 \\ &= \dfrac12-\dfrac23 \\ &= \dfrac{1\times3-2\times2}{2\times3} \\ &= \dfrac{-1}{6}\end{aligned} Réponse b.

Q2.Quatre croissants coûtent 6 €. Combien coûtent dix croissants ?

2 croissants coûtent 3 €, donc {2\times5=10} croissants coûtent 3\times5= 15 €. Réponse d.

Q3.Un prix a doublé. De quel pourcentage a-t-il augmenté ?

Multiplier un prix par 2, c'est le multiplier par 1+1=1+\dfrac{100}{100}, soit une augmentation de 100 %. Réponse b.

Q4.Après une augmentation de 10 %, un article coûte 110 €. Laquelle des quatre propositions est vraie ?

Augmenter de 10 % revient à multiplier par 1+0{,}10=1{,}1. Le prix initial était donc \dfrac{110}{1{,}1}=100 €, soit une augmentation de 10 €. Réponse c.

Q5.La masse d'un litre d'huile est 900 g. Quelle est la masse de 750 mL de cette huile ?

La masse de 250 mL est \dfrac{900}{4}=225 g, donc la masse de 3\times250=750 mL est 3\times225=675 g, soit 0,675 kg. Réponse b.

Q6.On considère A(1 ; 100) et B(4 ; 106). Quel est le coefficient directeur m de la droite (AB) ?

\begin{aligned}m &= \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\ &= \dfrac{106-100}{4-1} \\ &= \dfrac63 \\ &= 2\end{aligned} Réponse a.

Q7.La droite D a pour coefficient directeur -0,1 et passe par A(0 ; 4). Quelle est l'ordonnée du point B de D d'abscisse 1 ?

\dfrac{y_B-4}{1-0} = -0{,}1, donc y_B = 4-0{,}1 = 3,9. Réponse b.

Q8.Développer (x - 3)(x + 2).

\begin{aligned}(x-3)(x+2) &= x^{2}+2x-3x-6 \\ &= x^{2}-x-6\end{aligned} Réponse c.

Q9.Le volume d'un cône est V = (\dfrac{1}{3})πr^{2}h. Isoler h.

V=\dfrac13\pi r^{2}h équivaut à 3V=\pi r^{2}h, donc h=\dfrac{3V}{\pi r^{2}}. Réponse d.

Q10.On considère f définie sur \mathbb{R} par f(x) = -2x^{2} + 3x + 1. Calculer f(-1).

\begin{aligned}f(-1) &= -2\times(-1)^{2}+3\times(-1)+1 \\ &= -2-3+1 \\ &= -4\end{aligned} Réponse d.

Q11.On considère f définie sur \mathbb{R} par f(x) = 2x^{2} - 5x + 3. Donner un antécédent de 0 par f.

\begin{aligned}f(1) &= 2-5+3 \\ &= 0\end{aligned} Un antécédent de 0 par f est 1. Réponse a.

Q12.Comparer les séries A (9 ; 10 ; 10 ; 11) et B (7 ; 10 ; 10 ; 13). Laquelle des quatre propositions est vraie ?

Moyennes : \begin{aligned}m_A &= \dfrac{9+10+10+11}{4} \\ &= 10\end{aligned} et \begin{aligned}m_B &= \dfrac{7+10+10+13}{4} \\ &= 10\end{aligned} Les moyennes sont égales.
Écarts-types : \begin{aligned}\sigma_A^{2} &= \dfrac{(-1)^{2}+0+0+1^{2}}{4} \\ &= \dfrac12\end{aligned} et \begin{aligned}\sigma_B^{2} &= \dfrac{(-3)^{2}+0+0+3^{2}}{4} \\ &= 4{,}5\end{aligned} L'écart-type de B est strictement supérieur à celui de A.
Réponse d.

PartieA ; 1. Une population de champignons compte 100, 125, 150, 175 individus toutes les dix minutes. On note u_n le nombre de champignons après n périodes de 10 min. Justifier que u_0, u_1, u_2, u_3 sont en progression arithmétique.

\begin{aligned}u_1-u_0 &= u_2-u_1 \\ &= u_3-u_2 \\ &= 25\end{aligned} Cette différence constante montre que u_0, u_1, u_2, u_3 sont en progression arithmétique de raison 25.

PartieA ; 2. En supposant que la population continue d'évoluer au même rythme, montrer qu'elle aura quadruplé deux heures après le début de l'expérience.

2 heures représentent 12\times10 minutes, soit 12 périodes : u_0 augmente donc de 12\times25=300 champignons.
Il y aura donc \begin{aligned}100+300 &= 400 \\ &= 4\times100 \\ &= 4\times u_0\end{aligned} champignons : la population aura bien quadruplé en 2 heures.

PartieB ; 1. En réalité, la population quadruple en 80 minutes (100, 200, 400, 800 tous les 40 min). On note v_n le nombre de champignons après n périodes de 40 min. Montrer que v_0, v_1, v_2, v_3 sont en progression géométrique.

v_1=2\times v_0, v_2=2\times v_1, v_3=2\times v_2 : ce facteur constant montre que v_0, v_1, v_2, v_3 sont en progression géométrique de raison 2.

PartieB ; 2. En supposant que (v_n) est géométrique de raison 2, indiquer sans justifier lequel des 4 graphiques représente la suite (v_n).

Seul le graphique 1 (croissance de plus en plus rapide, caractéristique d'une suite géométrique de raison supérieure à 1) est susceptible de représenter la suite (v_n).

PartieB ; 3. Quel sera le nombre de champignons quatre heures après le début de l'expérience ?

4 heures représentent 240 min, soit {6\times40} min : il y aura {v_6 = 100\times2^{6} = 100\times64 =} 6 400 champignons.

PartieB ; 4. Cinq heures après le début de l'expérience, on dénombre environ 18 000 champignons. Est-ce cohérent avec le modèle choisi ?

Après 4 h 40 min (une période de plus), la population double : 2\times6\,400 = 12\,800.
Après 5 h 20 min (une période de plus), elle double encore : 2\times12\,800 = 25\,600.
Comme 12\,800 < 18\,000 < 25\,600, cette valeur de 18 000 champignons à 5 heures est cohérente avec le modèle du doublement toutes les quarante minutes.

PartieA ; 1. Un lycée compte 2 000 élèves : 712 filles et 728 garçons ont choisi anglais, 288 filles et 272 garçons une autre LV1. Un élève affirme qu'il y a autant de filles que de garçons. A-t-il raison ?

En complétant le tableau : il y a {712+288=1\,000} filles et 728+272=1\,000 garçons. Il y a bien autant de filles que de garçons.

PartieA ; 2. On choisit un élève au hasard. F : « l'élève est une fille », A : « l'élève a choisi anglais ». Déterminer P(A\cap F).

712 filles ont choisi l'anglais parmi les 2 000 élèves : P(A\cap F) = \dfrac{712}{2\,000}.

PartieA ; 3. Déterminer la probabilité de A sachant que F est réalisé.

\begin{aligned}P_F(A) &= \dfrac{P(A\cap F)}{P(F)} \\ &= \dfrac{\frac{712}{2\,000}}{\frac{1\,000}{2\,000}} \\ &= \dfrac{712}{1\,000}\end{aligned}

PartieA ; 4. Les évènements A et F sont-ils indépendants ? Justifier.

\begin{aligned}P(A)\times P(F) &= \dfrac{712}{2\,000}\times\dfrac12 \\ &= \dfrac{712}{4\,000} \\ &= \dfrac{356}{2\,000}\end{aligned}
Or \begin{aligned}\dfrac{356}{2\,000} &\neq \dfrac{712}{2\,000} \\ &= P(A\cap F)\end{aligned} Les évènements A et F ne sont pas indépendants.

PartieA ; 5. Sachant que l'élève choisi est un garçon, la probabilité qu'il ait choisi anglais est-elle plus de trois fois plus grande que celle de ne pas l'avoir choisi ?

Parmi les garçons, 728 ont choisi anglais et 272 ne l'ont pas choisi.
Or \begin{aligned}3\times272 &= 816 \\ &\neq 728\end{aligned} (ce produit se termine par un 6, pas par un 8) : l'affirmation est fausse.

1.Une pièce truquée donne pile avec une probabilité de \dfrac{1}{4}. Déterminer la probabilité d'obtenir face.

\begin{aligned}P(\text{Face}) &= 1-P(\text{Pile}) \\ &= 1-\dfrac14 \\ &= \dfrac34\end{aligned}

2.bOn lance trois fois cette pièce, les lancers étant indépendants. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une fois pile ?

Les trois façons d'obtenir exactement un pile sont PFF, FPF, FFP, chacune de probabilité \dfrac14\times\dfrac34\times\dfrac34 = \dfrac{9}{64}.
\begin{aligned}P(\text{exactement un pile}) &= 3\times\dfrac{9}{64} \\ &= \dfrac{27}{64}\end{aligned}

2.cQuelle est la probabilité de ne jamais obtenir pile ?

\begin{aligned}P(FFF) &= \dfrac34\times\dfrac34\times\dfrac34 \\ &= \dfrac{27}{64}\end{aligned}