Bac Première : Sujet zéro n°3 (spécifique)

Q1.Donner un ordre de grandeur de 101 \times 99.

101\approx100 et 99\approx100, donc {101\times99\approx100\times100=} 10 000. Réponse c.

Q2.Un prix augmente de 20 % puis diminue de 20 %. Que peut-on affirmer sur le prix final ?

Augmenter de 20 % revient à multiplier par 1{,}2 ; diminuer de 20 % revient à multiplier par 0{,}8.
Au total, le prix est multiplié par {1{,}2\times0{,}8=0{,}96<1} : le prix final est strictement inférieur au prix de départ. Réponse c.

Q3.Par quel nombre faut-il multiplier une quantité positive pour qu'elle diminue de 2,3 % ?

Diminuer de 2,3 % revient à multiplier par \begin{aligned}1-\dfrac{2{,}3}{100} &= \dfrac{97{,}7}{100} \\ &= 0{,}977\end{aligned} Réponse b.

Q4.Dans un lycée, 50 élèves étudient le grec, ce qui représente 4 % des élèves inscrits. Quel est l'effectif total du lycée ?

Si n est l'effectif du lycée : 50=\dfrac{4}{100}\times n, donc n=\dfrac{50\times100}{4}= 1 250. Réponse d.

Q5.Le volume d'un glacier diminue de 3 % chaque année. Si V(n) est le volume l'année n, quelle relation vérifie-t-il ?

Diminuer de 3 % revient à multiplier par 1-\dfrac{3}{100}=0{,}97, donc {V(n+1)=0{,}97\times V(n)}. Réponse c.

Q6.D'après le graphique d'une droite D passant par (0 ; 2) et (1 ; -1), quel est son coefficient directeur ?

Le coefficient directeur est \dfrac{-1-2}{1-0}=-3. Réponse a.

Q7.Dix stylos coûtent 13 €. Quel est le prix de trois stylos ?

Par proportionnalité : \dfrac{3\times13}{10}= 3,90 €. Réponse c.

Q8.Une athlète parcourt 1 km en 5 minutes. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?

Une heure contient \dfrac{60}{5}=12 périodes de 5 minutes, donc l'athlète parcourt {12\times1=} 12 km/h. Réponse c.

Q9.Sur 60 personnes réparties en groupe A (30), groupe B (12) et groupe C (le reste), quel diagramme circulaire décrit la situation ?

Le groupe A représente la moitié de l'effectif total, ce qui élimine les diagrammes a et c (où le premier secteur n'est pas un demi-cercle).
Le groupe B compte 12 personnes et le groupe C les 18 restantes, deux effectifs différents, ce qui élimine le diagramme d (secteurs égaux).
Réponse b.

Q10.Comparer les séries A (9 ; 10 ; 10 ; 11) et B (7 ; 10 ; 10 ; 13). Laquelle des quatre propositions est vraie ?

Les deux séries ont la même moyenne (10), mais les valeurs de la série B sont plus éloignées de 10 : son écart-type est strictement supérieur à celui de la série A. Réponse d.

Q11.Le volume d'un cylindre de hauteur h et de rayon r est V = πr^{2}h. Isoler h.

V=\pi r^{2}h équivaut à h=\dfrac{V}{\pi r^{2}}. Réponse c.

Q12.D'après le graphique d'une fonction f sur [-4 ; 4], quel est l'ensemble S des solutions de f(x) = 0 ?

Les solutions de f(x)=0 sont les abscisses des points où la courbe coupe l'axe des abscisses, soit -3, -1, 1 et 2. Réponse c.

PartieA ; 1. Un plat sort du four à 180 ^{\circ}C dans une pièce à 25 ^{\circ}C. Sa température baisse de façon proportionnelle au temps ; après 3 min elle est de 105 ^{\circ}C. De combien de degrés le plat a-t-il baissé en 3 minutes ? En 1 minute ?

En 3 minutes, la température a baissé de 180-105=75 ^{\circ}C. La baisse étant proportionnelle à la durée, elle est de \dfrac{75}{3}= 25 ^{\circ}C par minute.

PartieA ; 2. Vérifier que la température du plat, 5 minutes après la sortie du four, est égale à 55 ^{\circ}C.

En 5 minutes, la baisse est de {5\times25=125} ^{\circ}C, donc la température est {180-125=} 55 ^{\circ}C, ce qui vérifie l'énoncé.

PartieA ; 3. Selon ce modèle, quelle serait la température du plat 8 minutes après la sortie du four ? Ce modèle semble-t-il pertinent ?

En 8 minutes, la baisse serait de {8\times25=200} ^{\circ}C, ce qui est impossible puisque la température de départ n'était que de 180 ^{\circ}C.
Ce premier modèle (linéaire) n'est donc pas pertinent.

PartieB ; 1. On note U_n l'écart entre la température du plat et celle de la pièce (25 ^{\circ}C), n minutes après la sortie du four. Justifier que U_0 = 155.

À la sortie du four (n=0), le plat est à 180 ^{\circ}C et la pièce à 25 ^{\circ}C : {U_0 = 180-25 =} 155.

PartieB ; 2.a On suppose que U_n diminue de 20 % chaque minute. Justifier que, pour tout entier naturel n, U_{n+1} = 0,8U_n.

Diminuer de 20 % revient à multiplier par 1-\dfrac{20}{100}=0{,}8, donc U_{n+1}=0{,}8\,U_n pour tout entier naturel n.

PartieB ; 2.b En déduire la nature de la suite (U_n) et donner sa raison.

L'égalité U_{n+1}=0{,}8\,U_n montre que la suite (U_n) est géométrique de raison 0,8, de premier terme U_0=155.

PartieB ; 2.c Exprimer U_n en fonction de n, pour tout entier naturel n.

U_n = U_0\times0{,}8^{n} = 155\times0{,}8^{n}.

PartieB ; 2.d D'après la table des valeurs de U_n (80 à n=3 jusqu'à 5,5 à n=15), au bout de combien de minutes Victor pourra-t-il servir le plat (température \leq 40 ^{\circ}C) ?

Le plat peut être servi lorsque sa température est \leqslant40 ^{\circ}C, soit un écart U_n\leqslant15 ^{\circ}C au-dessus de la température de la pièce.
D'après le tableau, U_{10}\approx16{,}8>15 et U_{11}\approx13{,}4<15 : c'est la première valeur de n vérifiant U_n<15.
Victor pourra servir le plat au bout de 11 minutes.

1.aDans un village, 90 % des participants choisissent la randonnée (dont 5 % sont licenciés) et 10 % le cross (dont 40 % sont licenciés). Par simple lecture, donner la probabilité qu'un participant soit licencié sachant qu'il a choisi la randonnée.

Par lecture directe de l'énoncé : P_R(L) = \dfrac{5}{100}.

1.bDonner la probabilité qu'un participant soit licencié sachant qu'il a choisi le cross.

Par lecture directe de l'énoncé : P_{\overline{R}}(L) = \dfrac{40}{100}.

2.Déterminer la probabilité que le participant interrogé ait choisi le cross et soit licencié dans un club.

\begin{aligned}P(\overline{R}\cap L) &= P(\overline{R})\times P_{\overline{R}}(L) \\ &= \dfrac{10}{100}\times\dfrac{40}{100} \\ &= \dfrac{400}{10\,000}\end{aligned}

3.Vérifier que la probabilité que le participant interrogé soit licencié dans un club est égale à \dfrac{850}{10000}, soit 8,5 %.

D'après la formule des probabilités totales : P(L) = P(R\cap L) + P(\overline{R}\cap L).
\begin{aligned}P(R\cap L) &= \dfrac{90}{100}\times\dfrac{5}{100} \\ &= \dfrac{450}{10\,000}\end{aligned} donc \begin{aligned}P(L) &= \dfrac{450}{10\,000}+\dfrac{400}{10\,000} \\ &= \dfrac{850}{10\,000} \\ &= 8{,}5\,\%\end{aligned}

4.Le journaliste interroge un participant licencié dans un club. Déterminer la probabilité que ce participant ait choisi le cross. L'intuition du journaliste (probabilité largement supérieure à 50 %) est-elle correcte ?

\begin{aligned}P_L(\overline{R}) &= \dfrac{P(\overline{R}\cap L)}{P(L)} \\ &= \dfrac{\frac{400}{10\,000}}{\frac{850}{10\,000}} \\ &= \dfrac{400}{850} \\ &\approx 0{,}47\end{aligned}
Comme \dfrac{400}{850}<0{,}5, l'intuition du journaliste n'est pas correcte.

1.Un employé reçoit deux appels indépendants ; la probabilité qu'un appel dure plus de cinq minutes est 0,3. Affirmation 1 : la probabilité que les deux appels durent plus de cinq minutes est 0,09. Vraie ou fausse ?

Les deux appels étant indépendants, cette probabilité est 0{,}3\times0{,}3=0{,}09 : l'affirmation est vraie.

2.Affirmation 2 : la probabilité qu'un appel exactement sur les deux dure plus de cinq minutes est 0,21. Vraie ou fausse ?

« Un appel exactement sur les deux » correspond aux deux issues incompatibles (long, court) et (court, long), chacune de probabilité {0{,}3\times0{,}7=0{,}21}.
La probabilité totale est donc {0{,}21+0{,}21=0{,}42}, et non 0{,}21 : l'affirmation est fausse.

3.La concentration de bactéries dans une piscine est modélisée par f(t) = 1,1^{t} (en milliers par mL) sur [0 ; +\infty[. Affirmation 3 : f est croissante sur [0 ; +\infty[. Vraie ou fausse ?

f est une fonction exponentielle de type t\mapsto a^{t} avec a=1{,}1>1 : elle est donc strictement croissante. L'affirmation est vraie.

4.Le seuil maximal autorisé est 1 500 bactéries/mL. Affirmation 4 : la concentration deux heures après le prélèvement est inférieure au seuil autorisé. Vraie ou fausse ?

\begin{aligned}f(2) &= 1{,}1^{2} \\ &= 1{,}21\end{aligned} soit une concentration de {1{,}21\times1\,000=1\,210} bactéries par mL, inférieure au seuil de 1 500 : l'affirmation est vraie.