Bac Première : Sujet zéro n°1 (voie technologique)

Q1.Jean consacre 25 % de son dimanche à ses devoirs, dont 80 % à un exposé. Quel pourcentage de la journée représente l'exposé ?

Le temps de devoirs représente \dfrac14 de la journée, et l'exposé en occupe 80 %, soit \dfrac14\times80\,\%. Réponse B.

Q2.Un prix diminue de 50 %. Pour retrouver le prix initial, quelle augmentation faut-il appliquer ?

Diminuer de 50 % revient à multiplier par 1-0{,}5=0{,}5. Pour revenir au prix initial il faut multiplier par 2, soit augmenter de 100 %. Réponse B.

Q3.Le prix d'une tablette passe de 250 € à 200 €. Par quel nombre ce prix a-t-il été multiplié ?

\dfrac{200}{250} = 0{,}8. Réponse C.

Q4.Quelle est la seule égalité vraie ?

\begin{aligned}\dfrac{10^{-5}}{10^{8}} &= 10^{-5-8} \\ &= 10^{-13}\end{aligned} Réponse C.

Q5.L'épaisseur d'une feuille est 70\times10^{-3} mm. Quelle est l'épaisseur d'une pile de 2 000 feuilles ?

\begin{aligned}2\,000\times70\times10^{-3} &= 140\,000\times10^{-3} \\ &= 140\end{aligned} mm, soit 14 cm. Réponse C.

Q6.Parmi Terre (5 973 \times 10^{21} kg), Mercure (33,02 \times 10^{22} kg), Vénus (48 685 \times 10^{20} kg), Mars (6,4185 \times 10^{23} kg), quelle est la masse la plus importante ?

En écriture scientifique : Terre {\approx5{,}973\times10^{24}}, Mercure \approx3{,}302\times10^{23}, Vénus {\approx4{,}8685\times10^{24}}, Mars \approx6{,}4185\times10^{23}.
La masse la plus grande est celle de la Terre. Réponse A.

Q7.On additionne un nombre réel x, son triple et son carré. Quel est le résultat ?

x+3x+x^{2} = 4x+x^{2}. Réponse D.

Q8.D'après le graphique, quel est l'ensemble des solutions de f(x) \leq g(x) ?

La courbe \mathcal{C} (de f) est en dessous de \mathcal{C}' (de g) sur [-2~;~-1] et sur [1~;~2]. Réponse C.

Q9.D'après le graphique de f sur [-3 ; 2], laquelle de ces propositions sur l'équation f(x) = 0 est exacte ?

La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points, tous deux d'abscisse négative. Réponse C.

Q10.D'après le tableau de signes de f (positive avant 2, nulle en 2, négative après), quelle expression convient ?

f s'annule en x=2, ce qui élimine B et D. De plus f(0)>0, ce qui élimine C : il reste f(x)=-3x+6. Réponse A.

Q11.On considère C = (1 + t)^{2}. Comment isoler t ?

C=(1+t)^{2} avec C>0, donc \sqrt{C} existe et 1+t=\sqrt{C} (la solution positive), d'où t=\sqrt{C}-1. Réponse B.

Q12.D'après le diagramme en barres, quelle année a connu la production hydraulique la plus importante ?

C'est l'année 2016. Réponse D.

A.1Montrer qu'en 2026, il y aura 900 singes sur l'île (baisse de 10 % par an, 1 000 singes en 2025).

Une baisse de 10 % revient à multiplier par 1-0{,}1=0{,}9 : 1\,000\times0{,}9= 900 singes.

A.2.aOn note u_n le nombre de singes l'année 2025 + n, avec u_0=1\,000. Que représente u_2 et quelle est sa valeur ?

u_2 représente le nombre de singes en 2027. Comme u_1=900 (question précédente) et que chaque année multiplie l'effectif par 0,9 : {u_2 = 900\times0{,}9 =} 810 singes.

A.2.bDéterminer la nature de la suite (u_n) et préciser sa raison.

Chaque année, l'effectif est multiplié par 0,9 : u_{n+1}=0{,}9\,u_n. La suite (u_n) est donc géométrique de raison 0,9, de premier terme u_0=1\,000.

A.2.cDonner les variations de la suite (u_n).

La raison 0{,}9 vérifie {0<0{,}9<1} et {u_0>0}, donc la suite (u_n) est décroissante.

A.3Selon ce modèle, la population de singes est-elle menacée d'extinction ? Justifier.

La suite (u_n) est géométrique décroissante de raison comprise entre 0 et 1 : elle tend vers 0. La population diminue donc indéfiniment (de moins en moins vite) et est menacée d'extinction.

B.1Avec le second modèle ({v_{n+1}=0,9v_n+150}, v_0=1\,000), quelle sera la population de singes en 2026 ? Détailler le calcul.

L'année 2026 correspond à v_1 : v_1 = 0{,}9\times v_0+150 = 0{,}9\times1\,000+150 = 900+150 = 1 050 singes.

B.2Quelle formule, à étirer vers le bas, faut-il saisir en cellule B3 pour obtenir les termes de la suite (v_n) ?

La cellule B2 contient v_0 et B3 doit contenir v_1=0{,}9\,v_0+150 : il faut saisir en B3 la formule =0,9*B2+150.

B.3Indiquer en quelle année la population de singes dépassera pour la première fois 1 400 individus.

D'après le tableau fourni, {v_{15}\approx1\,397<1\,400} et v_{16}\approx1\,407>1\,400.
La population dépasse donc 1 400 individus pour la première fois en 2025+16= 2041.

1.aLa courbe C passe par (0 ; 8), (2 ; 0) et (4 ; -8) ; la tangente T en x = 2 coupe l'axe des ordonnées en y = 12. Déterminer f(2) et f'(2).

La courbe \mathcal{C} passe par le point (2~;~0), donc f(2)= 0.
La tangente T passe par (0~;~12) et par (2~;~f(2))=(2~;~0) : son coefficient directeur, égal à f'(2), est \dfrac{0-12}{2-0} = -6.

1.bDonner une équation de la tangente T.

T a pour ordonnée à l'origine 12 et pour coefficient directeur -6, donc T : {y=-6x+12}.

1.cCompléter le tableau de variation de f sur [-2 ; 6] à l'aide du graphique.

D'après la lecture graphique et l'allure de \mathcal{C} (points (0~;~8), (2~;~0), (4~;~-8), tangente de coefficient -6 en x=2) :
f est croissante sur [-2~;~0], de {f(-2)=-8} à {f(0)=8} ;
f est décroissante sur [0~;~4], de {f(0)=8} à f(4)=-8 ;
f est croissante sur [4~;~6], de f(4)=-8 à f(6)=8.

2.aOn admet que f(x) = 0,5x^{3} - 3x^{2} + 8 sur [-2 ; 6]. Montrer que f'(x) = 1,5x(x - 4).

f est un polynôme, dérivable sur \mathbb{R}, et f'(x) = 0{,}5\times3x^{2} - 3\times2x = 1{,}5x^{2}-6x = 1{,}5x(x-4).

2.bÉtudier le signe de f'(x) et retrouver le tableau de variation de f sur [-2 ; 6].

1{,}5x est négatif sur [-2~;~0[ et positif sur ]0~;~6] ; (x-4) est négatif sur [-2~;~4[ et positif sur ]4~;~6].
Par la règle des signes d'un produit : f'(x)>0 sur [-2~;~0[, f'(x)<0 sur ]0~;~4[, f'(x)>0 sur ]4~;~6] (et f'(x)=0 en x=0 et x=4).
On retrouve donc : f croissante sur [-2~;~0], décroissante sur [0~;~4], croissante sur [4~;~6] : ce qui confirme le tableau de la question 1.c.

3.On admet que f(x) \leq -6x + 12 sur [0 ; 2]. Qu'en déduire pour la courbe C et la tangente T sur cet intervalle ?

Comme -6x+12 est l'expression de la tangente T, l'inégalité f(x)\leqslant-6x+12 signifie que la courbe \mathcal{C} est en dessous de la tangente T sur l'intervalle [0~;~2].

1.aUn test de dépistage donne, sur 200 coureurs : 15 non dopés positifs, 5 dopés positifs, 178 non dopés négatifs, 2 dopés négatifs. On choisit un coureur au hasard parmi les 200. Affirmation 1 : la probabilité que le coureur ne soit pas dopé ou soit testé positif est égale à \dfrac{213}{200}. Vrai ou faux ?

Une probabilité ne peut jamais dépasser 1, or \dfrac{213}{200}>1 : l'affirmation est fausse.

1.bOn choisit un coureur au hasard parmi ceux ayant eu un test positif. Affirmation 2 : il y a 75 % de chances que le coureur ne soit pas dopé. Vrai ou faux ?

Parmi les 20 coureurs testés positifs, 15 ne sont pas dopés : \begin{aligned}\dfrac{15}{20} &= \dfrac{75}{100} \\ &= 75\,\%\end{aligned} L'affirmation est vraie.

1.cOn choisit un coureur au hasard parmi les 200 coureurs testés. Affirmation 3 : la probabilité que le coureur soit concerné par une erreur de test est égale à 8,5 %. Vrai ou faux ?

Une erreur de test correspond soit à un non-dopé positif (15), soit à un dopé négatif (2), soit 15+2=17 coureurs sur 200.
\begin{aligned}\dfrac{17}{200} &= \dfrac{8{,}5}{100} \\ &= 8{,}5\,\%\end{aligned} L'affirmation est vraie.

2.Une joueuse réussit chaque service avec une probabilité 0,9, indépendamment d'un service à l'autre, et fait deux services. Affirmation 4 : la probabilité qu'exactement un service soit réussi sur les deux est égale à 0,09. Vrai ou faux ?

Réussir les deux services : {0{,}9\times0{,}9=0{,}81}. Rater les deux services : {0{,}1\times0{,}1=0{,}01}.
La probabilité de réussir exactement un service est donc \begin{aligned}1-(0{,}81+0{,}01) &= 1-0{,}82 \\ &= 0{,}18\end{aligned}
0{,}18 \neq 0{,}09 : l'affirmation est fausse.