Bac Première : Sujet zéro n°2 (voie technologique)

Q1.Un article coûte 400 €. Le prix augmente de 20 %. Quel est le nouveau prix ?

Augmenter de 20 % revient à multiplier par 1+\dfrac{20}{100} = 1{,}2 : 400\times1{,}2 = 480 €. Réponse b.

Q2.Un sac coûte 130 €. Le prix baisse de 10 %. Quelle expression donne le nouveau prix ?

Baisser de 10 % revient à multiplier par 1-\dfrac{10}{100}=0{,}9, soit 130\times0{,}9. Réponse d.

Q3.Le prix P d'un article connaît deux augmentations successives de 20 %. Quel est le prix final ?

Chaque augmentation multiplie par 1,2 : le prix final est P\times1{,}2\times1{,}2 = P\times1{,}2^{2}. Réponse d.

Q4.Lors d'une élection, \dfrac{1}{4} des électeurs a voté A, 20 % B, \dfrac{1}{3} C, et le reste D. Quel candidat a recueilli le moins de votes ?

A : \dfrac14 = \dfrac{25}{100}. B : \dfrac{20}{100}. C : \dfrac13 \approx \dfrac{33{,}3}{100}.
D : environ {1-\dfrac{25}{100}-\dfrac{20}{100}-\dfrac{33{,}3}{100} = \dfrac{21{,}7}{100}}.
Le plus faible pourcentage est celui du candidat B (20 %).

Q5.On considère A = 2 / (1 - \dfrac{2}{3}). Calculer A.

\begin{aligned}A &= \dfrac{2}{1-\frac23} \\ &= \dfrac{2}{\frac13} \\ &= 2\times3 \\ &= 6\end{aligned} Réponse c.

Q6.On considère A = \dfrac{1}{100} + \dfrac{1}{1000}. Calculer A.

\begin{aligned}A &= \dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{1\,000} \\ &= 0{,}01+0{,}001 \\ &= 0{,}011\end{aligned} Réponse d.

Q7.À quoi correspond une durée de 75 minutes, en heures ?

75 min = 60+15 min =1 h +\dfrac{15}{60} h =1 h +0{,}25 h, soit 1,25 heure. Réponse b.

Q8.À combien est environ égal 10^{30} + 10^{-30} ?

10^{-30} est totalement négligeable devant 10^{30}, donc la somme est environ égale à 10^{30}. Réponse c.

Q9.Quelle est la seule droite pouvant correspondre à l'équation y = -2x + 5 (coefficient directeur négatif, ordonnée à l'origine positive) ?

Le coefficient directeur négatif élimine les droites croissantes, et l'ordonnée à l'origine positive élimine celle qui coupe l'axe des ordonnées en dessous de 0 : il reste la droite D_{3}.

Q10.Résoudre l'équation 3x = 0.

3x=0 avec 3\neq0 impose x=0. Réponse d.

Q11.Résoudre l'équation 144/x = 9.

\dfrac{144}{x}=9 équivaut à 144=9x, donc {x=\dfrac{144}{9}}. Réponse c.

Q12.Un élève a les notes 10, 13, 12 (coefficient 1 chacune) et x (coefficient 2). Quelle valeur de x donne une moyenne de 15 ?

La moyenne est {\dfrac{10+13+12+2x}{1+1+1+2} = \dfrac{35+2x}{5}}.
\begin{aligned}\dfrac{35+2x}{5} = 15 &\iff 35+2x = 75 \\ &\iff 2x = 40 \\ &\iff x = 20 \end{aligned} Réponse a.

1.Une suite arithmétique (u_n) a pour raison r=\dfrac{1}{2} et u_{50}=1\,000. Affirmation 1 : {u_{60}=1\,005}. Vraie ou fausse ?

On passe de u_{50} à u_{60} en ajoutant 10 fois la raison, soit 10\times\dfrac12=5 : \begin{aligned}u_{60} &= 1\,000+5 \\ &= 1\,005\end{aligned} L'affirmation est vraie.

2.Une suite géométrique (u_n) a pour raison q positive, avec u_{100}=5 et u_{102}=20. Affirmation 2 : u_{99}=2,5. Vraie ou fausse ?

u_{102}=u_{100}\times q^{2}, donc 20=5\times q^{2}, soit q^{2}=4 et q=2 (raison positive).
u_{100}=u_{99}\times q, donc 5=u_{99}\times2, d'où u_{99}=2{,}5. L'affirmation est vraie.

3.Affirmation 3 : il est possible de trouver au moins un réel x tel que x + x = x^{2}. Vraie ou fausse ?

\begin{aligned}x+x = x^{2} &\iff 2x = x^{2} \\ &\iff 2x-x^{2} = 0 \\ &\iff x(2-x) = 0 \end{aligned}
Cette équation a deux solutions, x=0 et x=2 : l'affirmation est vraie.

4.On lance deux pièces équilibrées ; on gagne si les deux tombent du même côté. Affirmation 4 : on a une chance sur quatre de gagner. Vraie ou fausse ?

Avec P = pile et F = face, les quatre issues équiprobables sont PP, PF, FP, FF, chacune de probabilité \dfrac12\times\dfrac12=\dfrac14.
Gagner correspond à PP ou FF : \begin{aligned}P(\text{gagner}) &= \dfrac14+\dfrac14 \\ &= \dfrac12\end{aligned}
\dfrac12 \neq \dfrac14 : l'affirmation est fausse.

1.On considère f(x) = -x^{2} + 6x - 5. Calculer f(0) et f(3).

f(0) = -5 ; \begin{aligned}f(3) &= -3^{2}+6\times3-5 \\ &= -9+18-5 \\ &= 4\end{aligned}

2.Montrer que, pour tout réel x, (x - 1)(5 - x) = -x^{2} + 6x - 5.

\begin{aligned}(x-1)(5-x) &= 5x-x^{2}-5+x \\ &= -x^{2}+6x-5\end{aligned}

3.En déduire les antécédents de 0 par f.

D'après la factorisation précédente, \begin{aligned}f(1) &= 0\times4 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}f(5) &= 4\times0 \\ &= 0\end{aligned} 0 a deux antécédents, 1 et 5.

4.Montrer que, pour tout réel x, 4 - (x - 3)^{2} = -x^{2} + 6x - 5.

\begin{aligned}4-(x-3)^{2} &= 4-(x^{2}-6x+9) \\ &= 4-x^{2}+6x-9 \\ &= -x^{2}+6x-5\end{aligned}

5.Est-il possible de trouver un réel x tel que f(x) > 4 ? Justifier.

Pour tout réel x, (x-3)^{2}\geqslant0, donc -(x-3)^{2}\leqslant0, et en ajoutant 4 : {4-(x-3)^{2}\leqslant4}, soit f(x)\leqslant4.
La plus grande valeur possible de f est donc 4 : il n'existe pas de réel x tel que f(x) > 4.

6.Réaliser un schéma donnant l'allure de la courbe de f, en faisant apparaître les résultats des questions 1, 3 et 5.

La courbe est une parabole tournée vers le bas, passant par (0~;~-5), coupant l'axe des abscisses en {x=1} et x=5, et admettant un maximum de 4 atteint en x=3 (sommet de la parabole).

1.Un club d'escalade a 100 adhérents ; 45 sont venus lundi et jeudi, x sont venus lundi mais pas jeudi (total lundi : 75), 20 sont venus jeudi mais pas lundi, 5 ne sont venus ni lundi ni jeudi (total jeudi : 65). Que représente x et quelle est sa valeur ?

x représente les adhérents présents le lundi mais absents le jeudi. Avec la ligne du lundi : 45+x=75, donc {x=75-45=} 30.

2.aOn choisit un adhérent au hasard. Quelle est la probabilité qu'il ne soit venu ni le lundi ni le jeudi ?

5 adhérents ne sont venus ni lundi ni jeudi sur 100 : \begin{aligned}P &= \dfrac{5}{100} \\ &= 0{,}05\end{aligned}

2.bQuelle est la probabilité qu'il ne soit venu qu'un seul jour ?

30 adhérents sont venus seulement le lundi et 20 seulement le jeudi, soit {30+20=50} adhérents venus un seul jour : \begin{aligned}P &= \dfrac{50}{100} \\ &= 0{,}5\end{aligned}

2.cSachant que l'adhérent choisi est venu le lundi, quelle est la probabilité qu'il soit aussi venu le jeudi ?

Sur les 75 adhérents venus le lundi, 45 sont aussi venus le jeudi : \begin{aligned}P &= \dfrac{45}{75} \\ &= \dfrac{60}{100} \\ &= 0{,}6\end{aligned}

3.aChaque adhérent verse une cotisation annuelle de 100 €. En 2026, le club compte 100 adhérents. Quel est le montant total des cotisations en 2026 ?

100\times100 = 10 000 €.

3.bDe 2026 à 2041, la cotisation reste à 100 € mais le nombre d'adhérents augmente de 5 chaque année (100, 105, 110, ...). Quel est le montant total des cotisations versées entre 2026 et 2041 ?

De 2026 à 2041 inclus, il y a 16 années, avec a=100 adhérents la première année et une augmentation r=5 par an, soit n=15 augmentations.
D'après la formule donnée, le nombre total d'adhérents cumulé sur ces 16 années est \begin{aligned}\dfrac{2\times100+15\times5}{2}\times(15+1) &= \dfrac{275}{2}\times16 \\ &= 2\,200\end{aligned}
Chaque adhérent versant 100 €, le montant total versé au club est {2\,200\times100 =} 220 000 €.