Bac Terminale Spé Maths : Amérique du Nord 2021

PartieA : Un laboratoire met au point un test anti-dopage. Si un athlète est dopé, le test est positif avec une probabilité de 0,98 ; s'il n'est pas dopé, le test est négatif avec une probabilité de 0,995. On note D l'évènement « l'athlète contrôlé est dopé » et T l'évènement « le test est positif », avec {P(D)=0{,}08}. 1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

Sur la première branche : {P(D)=0{,}08} et \begin{aligned}P(\overline{D}) &= 1-0{,}08 \\ &= 0{,}92\end{aligned}
Depuis D : P_D(T)=0{,}98 et \begin{aligned}P_D(\overline{T}) &= 1-0{,}98 \\ &= 0{,}02\end{aligned}
Depuis \overline{D} : le test est négatif avec probabilité 0{,}995 pour un athlète non dopé, donc P_{\overline{D}}(\overline{T})=0{,}995 et \begin{aligned}P_{\overline{D}}(T) &= 1-0{,}995 \\ &= 0{,}005\end{aligned}

PartieA ; 2. Démontrer que P(T) = 0,083.

Les évènements D et \overline{D} forment une partition de l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales : P(T) = P(D\cap T) + P\left(\overline{D}\cap T\right).
\begin{aligned}P(D\cap T) &= P(D)\times P_D(T) \\ &= 0{,}08\times0{,}98 \\ &= 0{,}0784\end{aligned} et \begin{aligned}P\left(\overline{D}\cap T\right) &= P\left(\overline{D}\right)\times P_{\overline{D}}(T) \\ &= 0{,}92\times0{,}005 \\ &= 0{,}0046\end{aligned}
Donc \begin{aligned}P(T) &= 0{,}0784+0{,}0046 \\ &= 0{,}083\end{aligned}

PartieA ; 3.a Sachant que le test d'un athlète est positif, quelle est la probabilité qu'il soit dopé (arrondie au millième) ?

P_T(D) = \dfrac{P(D\cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}0784}{0{,}083} \approx 0,945 (au millième).

PartieA ; 3.b Le laboratoire commercialise le test si la probabilité qu'un athlète testé positif soit réellement dopé est supérieure ou égale à 0,95. Ce test sera-t-il commercialisé ?

D'après la question précédente, {0{,}945 < 0{,}95}, donc le test ne sera pas commercialisé.

PartieB : Dans une compétition, la probabilité qu'un athlète contrôlé présente un test positif est 0,103. 1.a On contrôle 5 athlètes au hasard ; X compte le nombre de tests positifs parmi eux. Donner la loi de X et ses paramètres.

Chaque contrôle est une épreuve à deux issues (positif/négatif) de probabilité p=0{,}103, répétée n=5 fois de façon indépendante : X suit donc la loi binomiale de paramètres n=5 et p=0{,}103.

PartieB ; 1.b Calculer l'espérance E(X) et interpréter le résultat.

\begin{aligned}E(X) &= np \\ &= 5\times0{,}103 \\ &= 0{,}515\end{aligned}
Cela signifie que, sur un grand nombre de séries de 5 contrôles, on obtient en moyenne environ 0,515 test positif par série, soit à peu près 1 athlète positif sur 10 contrôlés.

PartieB ; 1.c Quelle est la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés présente un test positif (arrondie au millième) ?

L'évènement contraire de « au moins un test positif » est « aucun test positif », c'est-à-dire \{X=0\}.
\begin{aligned}P(X=0) &= (1-0{,}103)^5 \\ &= 0{,}897^5 \\ &\approx 0{,}581\end{aligned}
Donc P(X\geqslant1) = 1-0{,}581 \approx 0,419 (au millième).

PartieB ; 2. Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité d'avoir au moins un test positif soit supérieure ou égale à 0,75 ?

Pour n athlètes contrôlés, en notant X_n le nombre de tests positifs, {P(X_n=0) = 0{,}897^{n}}, donc {P(X_n\geqslant1) = 1-0{,}897^{n}}.
On cherche le plus petit entier n tel que \begin{aligned}1-0{,}897^{n} \geqslant 0{,}75 &\iff 0{,}897^{n} \leqslant 0{,}25 \end{aligned}
À la calculatrice : {0{,}897^{12}\approx0{,}271>0{,}25} mais \begin{aligned}0{,}897^{13} &\approx 0{,}243 \\ &\leqslant 0{,}25\end{aligned}
Donc, la réponse est qu'il faut contrôler au minimum 13 athlètes.

Onétudie une population animale d'une île, modélisée par la suite (u_n) définie par {u_0=0{,}6} et u_{n+1}=0{,}75\,u_n(1-0{,}15\,u_n), où u_n désigne (en milliers) le nombre d'individus au début de l'année 2020+n. L'espèce est menacée d'extinction si la population devient inférieure ou égale à 20 individus. 1. Estimer le nombre d'individus au début de 2021 puis de 2022.

2021 correspond à n=1 : \begin{aligned}u_1 &= 0{,}75\times0{,}6\times(1-0{,}15\times0{,}6) \\ &= 0{,}45\times0{,}91 \\ &= 0{,}4095\end{aligned} soit environ 410 individus.
2022 correspond à n=2 : \begin{aligned}u_2 &= 0{,}75\times0{,}4095\times(1-0{,}15\times0{,}4095) \\ &\approx 0{,}307125\times0{,}938575 \\ &\approx 0{,}2883\end{aligned} soit environ 288 individus.

2.On pose f(x) = 0{,}75x(1-0{,}15x) sur l'intervalle [0~;~1]. Montrer que f est croissante sur [0~;~1] et dresser son tableau de variations.

f est une fonction polynôme, donc dérivable sur \mathbb{R} et en particulier sur [0~;~1], et sur cet intervalle : f'(x) = 0{,}75(1-0{,}15x) - 0{,}75x\times0{,}15 = 0{,}75 - 0{,}225x.
Or 0\leqslant x\leqslant1 \Rightarrow 0\leqslant0{,}225x\leqslant0{,}225 \Rightarrow 0{,}525\leqslant f'(x)\leqslant0{,}75.
Donc f'(x)>0 sur [0~;~1] : f est strictement croissante sur cet intervalle, de f(0)=0 à \begin{aligned}f(1) &= 0{,}75\times0{,}85 \\ &= 0{,}6375\end{aligned}

3.Résoudre dans [0~;~1] l'équation f(x) = x.

Sur [0~;~1] : \begin{aligned}f(x) = x &\iff 0{,}75x(1-0{,}15x)-x = 0 \\ &\iff x\big[0{,}75(1-0{,}15x)-1\big] = 0 \\ &\iff x(-0{,}25-0{,}1125x) = 0 \end{aligned}
Donc x=0 ou -0{,}25-0{,}1125x=0, soit x=-\dfrac{0{,}25}{0{,}1125}, valeur négative donc exclue de [0~;~1].
Donc, la réponse est que l'unique solution dans [0~;~1] est x=0.

4.aOn admet que u_{n+1}=f(u_n) pour tout entier naturel n. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant1}.

Initialisation : on a vu que {0\leqslant0{,}4095\leqslant0{,}6\leqslant1}, c'est-à-dire {0\leqslant u_1\leqslant u_0\leqslant1} : la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons que, pour un entier naturel n, on ait {0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant1}. La fonction f étant strictement croissante sur [0~;~1], on en déduit {f(0)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(u_n)\leqslant f(1)}.
Or f(0)=0 et \begin{aligned}f(1) &= 0{,}6375 \\ &\leqslant 1\end{aligned} donc {0\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}\leqslant1} : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant1}.

4.bEn déduire que la suite (u_n) est convergente.

D'après la question précédente, la suite (u_n) est décroissante et minorée par 0 : elle est donc convergente.

4.cDéterminer la limite \ell de la suite (u_n).

La suite (u_n) converge vers un réel \ell\geqslant0, et par continuité de f, \ell vérifie l'équation f(x)=x, dont l'unique solution dans [0~;~1] est 0 (question 3).
Donc, la réponse est \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell= 0.

5.aJustifier que, selon ce modèle, l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction.

La suite (u_n) étant décroissante et de limite 0, le nombre d'individus finit par descendre en dessous de tout seuil, en particulier en dessous de 20 individus (u_n=0{,}02 en milliers) : l'espèce sera donc menacée d'extinction.

5.bLe biologiste programme en Python la fonction ci-dessous. \texttt{def menace():} \texttt{\quad u = 0.6} \texttt{\quad n = 0} \texttt{\quad while u > 0.02:} \texttt{\quad\quad u = 0.75*u*(1-0.15*u)} \texttt{\quad\quad n = n+1} \texttt{\quad return n} Donner la valeur renvoyée par l'appel de menace() et interpréter ce résultat.

La boucle calcule successivement les termes de la suite (u_n) tant que le terme courant reste strictement supérieur à 0{,}02, en comptant le nombre d'itérations dans n.
En calculant les termes successifs, on obtient u_{10}\approx0{,}0249>0{,}02 (la boucle continue) puis \begin{aligned}u_{11} &\approx 0{,}0186 \\ &\leqslant 0{,}02\end{aligned} (la boucle s'arrête) : l'appel renvoie donc n=11.
Donc, la réponse est que l'espèce sera menacée d'extinction au début de l'année 2020+11= 2031.

Onconsidère un cube ABCDEFGH. I est le milieu de [EF], J le milieu de [BC] et K le milieu de [AE]. On munit l'espace du repère orthonormé \left(A~;~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AE}\right), dans lequel A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1), H(0 ; 1 ; 1), I(0,5 ; 0 ; 1), J(1 ; 0,5 ; 0) et K(0 ; 0 ; 0,5). 1. Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ?

\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix}0,5 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} et \overrightarrow{KH}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0,5\end{pmatrix}.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont proportionnelles selon aucun facteur commun), donc, la réponse est que les droites (AI) et (KH) ne sont pas parallèles.

2.Montrer que les vecteurs \overrightarrow{IJ}, \overrightarrow{AE} et \overrightarrow{AC} sont coplanaires.

\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}0,5 \\ 0,5 \\ -1\end{pmatrix}, \overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}.
On constate que 2\overrightarrow{IJ}+2\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC}.
Le vecteur \overrightarrow{AC} est donc une combinaison linéaire des vecteurs \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{AE} : ces trois vecteurs sont donc coplanaires.

3.On considère le plan \mathcal{P} d'équation {x+3y-2z+2=0} et les droites d_1 et d_2 de représentations paramétriques {d_1 : x=3+t,\ y=8-2t,\ z=-2+3t} et {d_2 : x=4+t,\ y=1+t,\ z=8+2t} (t\in\mathbb{R}). Les droites d_1 et d_2 sont-elles parallèles ?

d_1 a pour vecteur directeur \overrightarrow{u_1}\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix} et d_2 a pour vecteur directeur \overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc, la réponse est que les droites d_1 et d_2 ne sont pas parallèles.

4.Montrer que la droite d_2 est parallèle au plan \mathcal{P}.

Le plan \mathcal{P} admet pour vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ -2\end{pmatrix}, et d_2 a pour vecteur directeur \overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}.
\begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u_2} &= 1\times1+3\times1+(-2)\times2 \\ &= 1+3-4 \\ &= 0\end{aligned}
Le vecteur directeur de d_2 est donc orthogonal au vecteur normal de \mathcal{P} : la droite d_2 est parallèle au plan \mathcal{P}.

5.Montrer que le point L(4 ; 0 ; 3) est le projeté orthogonal du point M(5 ; 3 ; 1) sur le plan \mathcal{P}.

\overrightarrow{ML}\begin{pmatrix}4-5 \\ 0-3 \\ 3-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ -3 \\ 2\end{pmatrix}, qui est l'opposé du vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ -2\end{pmatrix} de \mathcal{P} : \overrightarrow{ML} est donc lui aussi normal au plan \mathcal{P}, ce qui montre que la droite (ML) est perpendiculaire à \mathcal{P}.
D'autre part, les coordonnées de L vérifient l'équation de \mathcal{P} : \begin{aligned}4+3\times0-2\times3+2 &= 4-6+2 \\ &= 0\end{aligned} donc L appartient à \mathcal{P}.
Le point L appartient au plan \mathcal{P} et la droite (ML) lui est perpendiculaire : donc, la réponse est que L est bien le projeté orthogonal de M sur le plan \mathcal{P}.

Exercice au choix : Fonction exponentielle et convexité. Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant. Affirmation 1 : pour tous réels a et b, \left(\text{e}^{a+b}\right)^2 = \text{e}^{2a}+\text{e}^{2b}.

Pour tous réels a et b : \left(\text{e}^{a+b}\right)^2 = \text{e}^{2(a+b)} = \text{e}^{2a+2b} = \text{e}^{2a}\times\text{e}^{2b}.
Or un produit \text{e}^{2a}\times\text{e}^{2b} n'est pas égal, en général, à la somme \text{e}^{2a}+\text{e}^{2b}, par exemple avec \begin{aligned}a &= b \\ &= 0\end{aligned} : \begin{aligned}1\times1 &= 1 \\ &\neq 1+1 \\ &= 2\end{aligned}
Donc, la réponse est que l'affirmation 1 est fausse.

Affirmation 2 : dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = -2+(3-x)\text{e}^x a pour équation réduite y=2x+1.

f est dérivable sur \mathbb{R} comme produit et somme de fonctions dérivables, et f'(x) = -\text{e}^x+(3-x)\text{e}^x = (2-x)\text{e}^x.
f(0) = -2+3\text{e}^0 = -2+3 = 1 et f'(0) = 2\text{e}^0 = 2.
Une équation de la tangente au point d'abscisse 0 est y = f'(0)(x-0)+f(0) = 2x+1.
Donc, la réponse est que l'affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3 : \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\text{e}^{2x}-\text{e}^{x}+\dfrac{3}{x}\right) = 0.

Pour tout réel x>0 : \text{e}^{2x}-\text{e}^{x}+\dfrac{3}{x} = \text{e}^{x}\left(\text{e}^{x}-1+\dfrac{3}{x\,\text{e}^{x}}\right).
Par croissances comparées, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\,\text{e}^{x} = +\infty, donc \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3}{x\,\text{e}^{x}} = 0.
Par somme, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\text{e}^{x}-1+\dfrac{3}{x\,\text{e}^{x}}\right) = +\infty, et par produit de limites infinies, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{e}^{x}\left(\text{e}^{x}-1+\dfrac{3}{x\,\text{e}^{x}}\right) = +\infty.
Donc, la réponse est que l'affirmation 3 est fausse.

Affirmation 4 : l'équation 1-x+\text{e}^{-x} = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [0~;~2].

Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x) = 1-x+\text{e}^{-x}. g est dérivable sur \mathbb{R} comme somme de fonctions dérivables, et g'(x) = -1-\text{e}^{-x}.
Pour tout réel x, \text{e}^{-x}>0, donc g'(x) = -\left(1+\text{e}^{-x}\right) < -1 < 0 : g est strictement décroissante sur \mathbb{R}, donc en particulier sur [0~;~2].
g(0) = 1-0+\text{e}^{0} = 2 > 0 et {g(2) = 1-2+\text{e}^{-2} \approx -0{,}86 < 0}.
g est continue (car dérivable) et strictement monotone sur [0~;~2], avec g(0)>0>g(2) : d'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire de la stricte monotonie), l'équation {g(x)=0} admet une unique solution dans [0~;~2].
Donc, la réponse est que l'affirmation 4 est vraie.

Affirmation 5 : la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x) = x^2-5x+\text{e}^x est convexe.

g est deux fois dérivable sur \mathbb{R} comme somme de fonctions usuelles dérivables : g'(x) = 2x-5+\text{e}^x et g''(x) = 2+\text{e}^x.
Pour tout réel x, \text{e}^x>0, donc g''(x) = 2+\text{e}^x > 0.
La dérivée seconde de g est positive sur \mathbb{R}, donc, la réponse est que g est convexe sur \mathbb{R}, et l'affirmation 5 est vraie.

Exercice au choix : Fonction logarithme népérien et convexité. Dans le plan muni d'un repère, la courbe \mathcal{C}_f représente une fonction f, deux fois dérivable sur ]0~;~+\infty[, admettant une tangente horizontale T au point A(1 ; 4). 1. Préciser les valeurs f(1) et f'(1).

Le point A(1 ; 4) appartient à \mathcal{C}_f, donc f(1)=4. La tangente en A est horizontale, donc son coefficient directeur est nul, c'est-à-dire f'(1)=0.

Onadmet que f est définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x) = \dfrac{a+b\ln x}{x}, où a et b sont deux réels. 2. Démontrer que, pour tout réel x>0, f'(x) = \dfrac{b-a-b\ln x}{x^2}.

f est le quotient de la fonction {x\longmapsto a+b\ln x}, dérivable sur ]0~;~+\infty[ de dérivée x\longmapsto\dfrac{b}{x}, par la fonction x\longmapsto x, dérivable et ne s'annulant pas sur cet intervalle : f est donc dérivable sur ]0~;~+\infty[.
f'(x) = \dfrac{\frac{b}{x}\times x - 1\times(a+b\ln x)}{x^2} = \dfrac{b-a-b\ln x}{x^2}.

3.En déduire les valeurs des réels a et b.

D'après la question 1 : \begin{aligned}f(1) &= \dfrac{a+b\ln 1}{1} \\ &= a \\ &= 4\end{aligned} donc a=4.
Toujours d'après la question 1 : f'(1) = \dfrac{b-a-b\ln 1}{1^2} = b-a = 0, donc \begin{aligned}b &= a \\ &= 4\end{aligned}
Donc, la réponse est a= 4 et b= 4.

Dansla suite, f est définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x) = \dfrac{4+4\ln x}{x}. 4. Déterminer les limites de f en 0 et en +\infty.

En 0 : \displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln x = -\infty, donc {\displaystyle\lim_{x\to0^+}(4+4\ln x) = -\infty}, et comme x\to0^+, par quotient \displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x) = -\infty.
En +\infty : on écrit f(x) = \dfrac{4}{x}+4\dfrac{\ln x}{x}. Or \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4}{x}=0 et, par croissances comparées, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0.
Par somme de limites, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = 0.

5.Déterminer le tableau de variations de f sur ]0~;~+\infty[.

D'après la question 2 avec \begin{aligned}a &= b \\ &= 4\end{aligned} f'(x) = \dfrac{4-4-4\ln x}{x^2} = \dfrac{-4\ln x}{x^2}, qui est du signe de -\ln x (le carré x^2 étant strictement positif).
Sur ]0~;~1[, \ln x<0 donc f'(x)>0 ; sur ]1~;~+\infty[, \ln x>0 donc f'(x)<0 ; et f'(1)=0.
f est donc strictement croissante sur ]0~;~1], de -\infty à f(1)=4, puis strictement décroissante sur [1~;~+\infty[, de 4 à 0, avec un maximum égal à 4 atteint en x=1.

6.Démontrer que, pour tout réel x>0, f''(x) = \dfrac{-4+8\ln x}{x^3}.

f' est le quotient de x\longmapsto-4\ln x, dérivable sur ]0~;~+\infty[ de dérivée {x\longmapsto-\dfrac{4}{x}}, par x\longmapsto x^2, dérivable et ne s'annulant pas sur cet intervalle : f' est donc dérivable sur ]0~;~+\infty[.
f''(x) = \dfrac{-\frac{4}{x}\times x^2 - 2x\times(-4\ln x)}{x^4} = \dfrac{-4x+8x\ln x}{x^4} = \dfrac{-4+8\ln x}{x^3}.

7.Montrer que la courbe \mathcal{C}_f admet un unique point d'inflexion B, dont on précisera les coordonnées.

La courbe admet un point d'inflexion là où f'' s'annule en changeant de signe. Comme x^3>0 pour x>0, f''(x) est du signe de -4+8\ln x.
f''(x) = 0 \iff -4+8\ln x = 0 \iff \ln x = \dfrac{1}{2} \iff x = \text{e}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\text{e}}.
Pour x<\sqrt{\text{e}}, \ln x<\frac{1}{2} donc f''(x)<0 ; pour x>\sqrt{\text{e}}, f''(x)>0 : f'' change bien de signe en x=\sqrt{\text{e}}, donc la courbe admet bien un unique point d'inflexion en cette abscisse.
L'ordonnée de ce point est \begin{aligned}f\left(\sqrt{\text{e}}\right) &= \dfrac{4+4\times\frac{1}{2}}{\sqrt{\text{e}}} \\ &= \dfrac{6}{\sqrt{\text{e}}} \\ &\approx 3{,}639\end{aligned}
Donc, la réponse est que le point d'inflexion B a pour coordonnées \left(\sqrt{\text{e}}~;~\dfrac{6}{\sqrt{\text{e}}}\right), soit environ B(1,649 ; 3,639).