Bac Terminale Spé Maths : Asie 2021, Sujet 1

1.Une influenceuse compte u_0=1\,000 abonnés en 2020. Chaque année, elle perd 10\,\% de ses abonnés puis en gagne 250 nouveaux. On note u_n le nombre d'abonnés en l'année (2020+n). Calculer u_1.

Perdre 10\,\% revient à multiplier par 0{,}9. Donc u_1 = 1\,000\times0{,}9 + 250 = 900+250 = 1 150 abonnés.

2.Justifier que, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = 0{,}9u_n + 250.

Multiplier par 0{,}9 traduit la perte de 10\,\% des abonnés d'une année sur l'autre.
On ajoute ensuite chaque année 250 nouveaux abonnés, donc pour tout entier naturel n : u_{n+1} = 0{,}9u_n + 250.

3.Une fonction Python suite(n) initialise u = 1000, puis répète n fois u = 0.9*u + 250, avant de renvoyer u. Interpréter, dans le contexte de l'exercice, la valeur renvoyée par l'appel suite(10).

La fonction calcule u_{10}, c'est-à-dire le nombre d'abonnés estimé en l'année 2030 ; la calculatrice donne u_{10}\approx 1 977 abonnés.

4.aMontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, u_n \leqslant 2\,500.

Initialisation : \begin{aligned}u_0 &= 1\,000 \\ &\leqslant 2\,500\end{aligned} la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : on suppose que pour un entier n donné, u_n \leqslant 2\,500. Comme 0{,}9>0, la multiplication conserve l'ordre : \begin{aligned}0{,}9u_n &\leqslant 0{,}9\times2\,500 \\ &= 2\,250\end{aligned} puis en ajoutant 250 aux deux membres, 0{,}9u_n+250 \leqslant 2\,500, soit u_{n+1} \leqslant 2\,500 : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, u_n \leqslant 2\,500.

4.bDémontrer que la suite (u_n) est croissante.

Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= 0{,}9u_n+250-u_n \\ &= -0{,}1u_n+250\end{aligned}
Or, d'après la question précédente, u_n \leqslant 2\,500, donc 0{,}1u_n \leqslant 250, soit -0{,}1u_n+250 \geqslant 0.
On a donc u_{n+1}-u_n \geqslant 0 pour tout entier naturel n : la suite (u_n) est croissante.

4.cDéduire des deux questions précédentes que la suite (u_n) est convergente.

La suite (u_n) est croissante et majorée par 2\,500 : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite inférieure ou égale à 2\,500.

5.aOn pose v_n = u_n - 2\,500 pour tout entier naturel n. Montrer que (v_n) est géométrique de raison 0{,}9 et de premier terme {v_0=-1\,500}.

Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1}-2\,500 \\ &= 0{,}9u_n+250-2\,500 \\ &= 0{,}9u_n-2\,250 \\ &= 0{,}9(u_n-2\,500) \\ &= 0{,}9v_n\end{aligned}
La relation v_{n+1}=0{,}9v_n, vraie pour tout entier naturel n, montre que (v_n) est géométrique de raison 0{,}9.
Son premier terme vaut v_0 = u_0 - 2\,500 = 1\,000-2\,500 = -1\,500.

5.bExprimer v_n en fonction de n, puis montrer que u_n = 2\,500 - 1\,500\times0{,}9^{n}.

Comme (v_n) est géométrique de raison 0{,}9 et de premier terme {v_0=-1\,500}, pour tout entier naturel n : {v_n = -1\,500\times0{,}9^{n}}.
Or v_n = u_n - 2\,500, donc \begin{aligned}u_n &= v_n + 2\,500 \\ &= 2\,500 - 1\,500\times0{,}9^{n}\end{aligned}

5.cDéterminer la limite de la suite (u_n) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Comme {0<0{,}9<1}, on a \displaystyle\lim_{n\to+\infty}0{,}9^{n} = 0, donc par produit puis somme de limites, \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n = 2\,500.
Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que le nombre d'abonnés de l'influenceuse se stabilise autour de 2 500 au fil des années.

6.Écrire un programme qui détermine en quelle année le nombre d'abonnés dépassera 2 200, puis donner cette année.

PartieI ; 1. On considère un cube ABCDEFGH d'arête 8 cm et de centre \Omega. On munit l'espace du repère orthonormé \left(\text{A}~;~\overrightarrow{AB}/8~;~\overrightarrow{AD}/8~;~\overrightarrow{AE}/8\right). Les points P, Q, R vérifient \overrightarrow{AP}=\dfrac34\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AQ}=\dfrac34\overrightarrow{AE} et {\overrightarrow{FR}=\dfrac14\overrightarrow{FG}}, et on admet que R a pour coordonnées (8~;~2~;~8). Donner les coordonnées de P et Q.

Comme \overrightarrow{AP}=\dfrac34\overrightarrow{AB} avec \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}8 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} dans ce repère, on obtient P(6~;~0~;~0). De même, \overrightarrow{AQ}=\dfrac34\overrightarrow{AE} avec \overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 8\end{pmatrix} donne Q(0~;~0~;~6).

PartieI ; 2. Montrer que le vecteur \overrightarrow{n}(1~;~-5~;~1) est normal au plan (PQR).

On calcule \overrightarrow{PQ}\begin{pmatrix}-6 \\ 0 \\ 6\end{pmatrix} et \overrightarrow{PR}\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 8\end{pmatrix}, deux vecteurs non colinéaires du plan (PQR).
\begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{PQ} &= 1\times(-6)+(-5)\times0+1\times6 \\ &= 0\end{aligned} Les vecteurs sont orthogonaux.
\begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{PR} &= 1\times2+(-5)\times2+1\times8 \\ &= 2-10+8 \\ &= 0\end{aligned} Les vecteurs sont orthogonaux.
\overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (PQR) : il est donc normal au plan (PQR).

PartieI ; 3. Justifier qu'une équation cartésienne du plan (PQR) est {x-5y+z-6=0}.

\overrightarrow{n}(1~;~-5~;~1) étant normal au plan (PQR), ce plan a une équation de la forme x-5y+z+d=0, avec d\in\mathbb{R}.
Le point P(6~;~0~;~0) appartient au plan : \begin{aligned}6-0+0+d = 0 &\iff d = -6 \end{aligned}
Donc, la réponse est que le plan (PQR) a pour équation cartésienne {x-5y+z-6=0}.

PartieII ; 1. On note L le projeté orthogonal de \Omega sur le plan (PQR). Justifier que \Omega a pour coordonnées (4~;~4~;~4).

Les plans (ABCD) et (EFGH) sont parallèles, donc les droites (AC) et (EG) sont parallèles ; les droites (AE) et (CG), toutes deux perpendiculaires au plan (ABCD), sont également parallèles.
Le quadrilatère ACGE a donc ses côtés opposés parallèles : c'est un parallélogramme, dont les diagonales [AG] et [CE] ont le même milieu \Omega.
Comme G a pour coordonnées (8~;~8~;~8) dans ce repère, \Omega est le milieu de [AG] : {\Omega\left(\dfrac{0+8}{2}~;~\dfrac{0+8}{2}~;~\dfrac{0+8}{2}\right) = (4~;~4~;~4)}.

PartieII ; 2. Donner une représentation paramétrique de la droite d perpendiculaire au plan (PQR) et passant par \Omega.

La droite d admet \overrightarrow{n}(1~;~-5~;~1) comme vecteur directeur et passe par \Omega(4~;~4~;~4), donc : x=4+t, y=4-5t, z=4+t, avec t\in\mathbb{R}.

PartieII ; 3. Montrer que L a pour coordonnées \left(\dfrac{14}{3}~;~\dfrac23~;~\dfrac{14}{3}\right).

Comme (AL) est perpendiculaire au plan (PQR) et passe par \Omega, il s'agit de la droite d ; L est donc le point d'intersection de d et de (PQR).
En substituant les coordonnées de d dans l'équation du plan : \begin{aligned}(4+t)-5(4-5t)+(4+t)-6 = 0 &\iff 27t-18 = 0 \\ &\iff t = \dfrac23 \end{aligned}
En reportant t=\dfrac23 dans les équations de d, on trouve L\left(\dfrac{14}{3}~;~\dfrac23~;~\dfrac{14}{3}\right).

PartieII ; 4. Calculer la distance du point \Omega au plan (PQR).

L étant le projeté orthogonal de \Omega sur (PQR), la distance cherchée est \OmegaL.
\Omega\text{L}^2 = \left(\dfrac{14}{3}-4\right)^2+\left(\dfrac23-4\right)^2+\left(\dfrac{14}{3}-4\right)^2 = \left(\dfrac23\right)^2+\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2+\left(\dfrac23\right)^2 = \dfrac{4+100+4}{9} = \dfrac{108}{9} = 12.
Donc, la réponse est {\Omega\text{L} = \sqrt{12} = 2\sqrt3} cm.

1.aUn sac contient les huit lettres A, B, C, D, E, F, G, H (2 voyelles et 6 consonnes). On tire simultanément et au hasard deux lettres du sac. Déterminer le nombre de tirages possibles.

Il s'agit de choisir 2 lettres parmi 8, sans ordre : il y a \dbinom{8}{2} = \dfrac{8\times7}{2} = 28 tirages possibles.

1.bOn gagne si le tirage comporte une voyelle et une consonne. Déterminer la probabilité de gagner.

Un tirage gagnant s'obtient en choisissant 1 voyelle parmi 2 et 1 consonne parmi 6 : il y en a 2\times6=12.
Par équiprobabilité, la probabilité de gagner vaut \dfrac{12}{28} = \dfrac{3}{7}.

2.aPour jouer, le joueur paie k euros (k entier naturel non nul) ; s'il gagne, il remporte 10 euros, sinon rien. On note G le gain algébrique du joueur, et on admet que la probabilité de gagner vaut \dfrac37. Déterminer la loi de probabilité de G.

Si le joueur gagne (probabilité \dfrac37), son gain algébrique est 10-k ; sinon (probabilité \dfrac47), son gain est -k. On a donc P(G=10-k)=\dfrac37 et {P(G=-k)=\dfrac47}.

2.bQuelle doit être la valeur maximale de la mise k pour que le jeu reste favorable au joueur ?

L'espérance de G vaut \begin{aligned}E(G) &= (-k)\times\dfrac47+(10-k)\times\dfrac37 \\ &= \dfrac{-4k+30-3k}{7} \\ &= \dfrac{30-7k}{7}\end{aligned}
Le jeu est favorable au joueur si E(G)>0 \iff 30-7k>0 \iff k<\dfrac{30}{7}\approx4{,}3.
Comme k est un entier naturel non nul, donc la réponse est que la mise maximale pour que le jeu reste favorable au joueur est 4 euros.

3.aDix joueurs font chacun une partie, les lettres étant remises dans le sac après chaque partie. On note X le nombre de joueurs gagnants. Justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres.

Les dix parties sont identiques et indépendantes (remise des lettres après chaque partie), chacune avec une probabilité de succès \dfrac37 : X suit donc la loi binomiale de paramètres n=10 et p=\dfrac37.

3.bCalculer, arrondie à 10^{-3} près, la probabilité qu'il y ait exactement quatre joueurs gagnants.

P(X=4) = \dbinom{10}{4}\left(\dfrac37\right)^4\left(\dfrac47\right)^{6} \approx 0,247.

3.cCalculer P(X\geqslant5), arrondie à 10^{-3} près, et interpréter le résultat.

La calculatrice donne {P(X\leqslant4)\approx0{,}560}, donc {P(X\geqslant5) = 1-P(X\leqslant4) \approx} 0,440.
Donc, la réponse est qu'il y a environ 44 chances sur 100 que, sur dix joueurs, au moins cinq gagnent leur partie.

3.dDéterminer le plus petit entier naturel n tel que P(X\leqslant n)\geqslant0{,}9.

La calculatrice donne {P(X\leqslant5)\approx0{,}782 < 0{,}9} et \begin{aligned}P(X\leqslant6) &\approx 0{,}921 \\ &\geqslant 0{,}9\end{aligned}
Donc, la réponse est que le plus petit entier n cherché est n=6.

PartieI ; 1. f est une fonction définie et dérivable sur \mathbb{R}, dont on donne ci-dessous la courbe représentative de la dérivée f' (elle passe par le point de coordonnées (0~;~0{,}4)). Avec la précision permise par le graphique, déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f en 0.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f en 0 est égal à f'(0) ; par lecture graphique, f'(0) = 0{,}4.

PartieI ; 2.a Donner les variations de la fonction dérivée f', lues sur le graphique.

Par lecture graphique, f' est croissante sur [-2~;~1].
Elle est décroissante sur ]-\infty~;~-2] et sur [1~;~+\infty[.

PartieI ; 2.b En déduire un intervalle sur lequel f est convexe.

f est convexe sur les intervalles où f' est croissante, c'est-à-dire où f''\geqslant0.
Donc, la réponse est que f est convexe sur l'intervalle [-2~;~1].

PartieII ; 1. La fonction f est désormais définie sur \mathbb{R} par f(x) = \ln\left(x^2+x+\dfrac52\right). Calculer les limites de f en +\infty et en -\infty.

En +\infty : \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(x^2+x+\dfrac52\right) = +\infty, donc par composition avec la fonction \ln, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty.
En -\infty : on factorise {x^2+x+\dfrac52 = x^2\left(1+\dfrac1x+\dfrac{5}{2x^2}\right)}, donc {f(x) = \ln(x^2) + \ln\left(1+\dfrac1x+\dfrac{5}{2x^2}\right)}.
Comme \begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac1x &= \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{5}{2x^2} \\ &= 0\end{aligned} le second terme tend vers \ln(1)=0, et \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\ln(x^2) = +\infty : donc {\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x) = +\infty}.

PartieII ; 2. Déterminer une expression de f'(x) pour tout {x\in\mathbb{R}}.

On écrit f = \ln(u) avec {u(x) = x^2+x+\dfrac52}, dérivable sur \mathbb{R}.
Le trinôme u a pour discriminant {\Delta = 1-4\times1\times\dfrac52 = 1-10=-9<0} : u(x)>0 pour tout réel x, donc f=\ln(u) est dérivable sur \mathbb{R}, avec f' = \dfrac{u'}{u}.
Donc, la réponse est que, pour tout {x\in\mathbb{R}}, f'(x) = \dfrac{2x+1}{x^2+x+\dfrac52}.

PartieII ; 3. En déduire le tableau de variations de f, en y plaçant les limites.

Comme x^2+x+\dfrac52>0 pour tout réel x, le signe de f'(x) est celui de 2x+1 : f'(x)>0 \iff x>-\dfrac12.
f est donc décroissante sur \left]-\infty~;~-\dfrac12\right] et croissante sur \left[-\dfrac12~;~+\infty\right[.
Le minimum de f vaut \begin{aligned}f\left(-\dfrac12\right) &= \ln\left(\dfrac14-\dfrac12+\dfrac52\right) \\ &= \ln\dfrac94\end{aligned} avec les limites +\infty en -\infty et en +\infty aux deux extrémités du tableau.

PartieII ; 4.a Justifier que l'équation {f(x)=2} admet une unique solution \alpha dans \left[-\dfrac12~;~+\infty\right[.

Sur \left[-\dfrac12~;~+\infty\right[, f est continue (car dérivable) et strictement croissante, de \begin{aligned}f\left(-\dfrac12\right) &= \ln\dfrac94 \\ &\approx 0{,}81\end{aligned} jusqu'à +\infty.
Comme 2\in\left[\ln\dfrac94~;~+\infty\right[, d'après le théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l'équation {f(x)=2} admet une unique solution \alpha dans \left[-\dfrac12~;~+\infty\right[.

PartieII ; 4.b Donner une valeur approchée de \alpha à 10^{-1} près.

La calculatrice donne f(1)\approx1{,}50 et f(2)\approx2{,}14, donc \alpha\in\,]1~;~2[.
Puis f(1{,}7)\approx1{,}96 et f(1{,}8)\approx2{,}02, donc \alpha\in\,]1{,}7~;~1{,}8[.
Donc, la réponse est que \alpha\approx 1,8 à 10^{-1} près.

PartieII ; 5. On admet que, pour tout {x\in\mathbb{R}}, f''(x) = \dfrac{-2x^2-2x+4}{\left(x^2+x+\dfrac52\right)^2}. Déterminer le nombre de points d'inflexion de la courbe représentative de f.

Le dénominateur de f''(x) est strictement positif sur \mathbb{R}, donc le signe de f''(x) est celui du numérateur \begin{aligned}-2x^2-2x+4 &= -2(x^2+x-2) \\ &= -2(x+2)(x-1)\end{aligned}
Ce trinôme s'annule en changeant de signe en x=-2 et en x=1 (positif entre les deux racines, négatif à l'extérieur).
Donc, la réponse est que la courbe représentative de f admet exactement deux points d'inflexion, aux abscisses -2 et 1.

PartieI ; 1.a Déterminer une solution particulière constante de l'équation différentielle y'=-0{,}4y+0{,}4, où y est une fonction de la variable t, définie et dérivable sur [0~;~+\infty[.

Une fonction constante y=K (avec K\in\mathbb{R}) vérifie y'=0, donc elle est solution si \begin{aligned}0 = -0{,}4K+0{,}4 &\iff K = 1 \end{aligned}

PartieI ; 1.b En déduire l'ensemble des solutions de cette équation différentielle.

Les solutions de l'équation homogène associée y'=-0{,}4y sont les fonctions t\mapsto Ce^{-0{,}4t}, avec C\in\mathbb{R}.
Donc, la réponse est que les solutions de y'=-0{,}4y+0{,}4 sont les fonctions t\mapsto 1+Ce^{-0{,}4t}, avec C\in\mathbb{R}.

PartieI ; 1.c Déterminer la fonction g, solution de cette équation différentielle, vérifiant g(0)=10.

g(t)=1+Ce^{-0{,}4t} vérifie \begin{aligned}g(0) = 10 &\iff 1+C = 10 \\ &\iff C = 9 \end{aligned} Donc, la réponse est g(t) = 1+9e^{-0{,}4t}.

PartieII ; 1. On pose \begin{aligned}p(t) &= \dfrac{1}{g(t)} \\ &= \dfrac{1}{1+9e^{-0{,}4t}}\end{aligned} définie et dérivable sur [0~;~+\infty[. Déterminer la limite de p en +\infty.

Comme \displaystyle\lim_{t\to+\infty}e^{-0{,}4t} = 0, on a \displaystyle\lim_{t\to+\infty}g(t)=1, donc \displaystyle\lim_{t\to+\infty}p(t) = 1.

PartieII ; 2. Montrer que p'(t) = \dfrac{3{,}6e^{-0{,}4t}}{\left(1+9e^{-0{,}4t}\right)^2} pour tout t\in[0~;~+\infty[.

g est dérivable sur \mathbb{R} comme somme de fonctions dérivables, avec g'(t) = 9\times(-0{,}4)e^{-0{,}4t} = -3{,}6e^{-0{,}4t}.
Comme p=\dfrac1g, p' = -\dfrac{g'}{g^2}, donc p'(t) = -\dfrac{-3{,}6e^{-0{,}4t}}{\left(1+9e^{-0{,}4t}\right)^2} = \dfrac{3{,}6e^{-0{,}4t}}{\left(1+9e^{-0{,}4t}\right)^2}.

PartieII ; 3.a Montrer que l'équation {p(t)=\dfrac12} admet une unique solution \alpha sur [0~;~+\infty[.

Pour tout t\in[0~;~+\infty[, e^{-0{,}4t}>0 et \left(1+9e^{-0{,}4t}\right)^2>0, donc p'(t)>0 : p est strictement croissante sur [0~;~+\infty[.
\begin{aligned}p(0) &= \dfrac{1}{1+9} \\ &= 0{,}1\end{aligned} et \displaystyle\lim_{t\to+\infty}p(t)=1 (question II-1).
Comme \dfrac12\in[0{,}1~;~1], d'après le théorème de la bijection, l'équation {p(t)=\dfrac12} admet une unique solution \alpha dans [0~;~+\infty[.

PartieII ; 3.b Donner une valeur approchée de \alpha à 10^{-1} près à l'aide de la calculatrice.

La calculatrice donne p(5)\approx0{,}45 et p(6)\approx0{,}55, donc \alpha\in\,]5~;~6[.
Puis p(5{,}4)\approx0{,}491 et p(5{,}5)\approx0{,}501, donc \alpha\in\,]5{,}4~;~5{,}5[.
Donc, la réponse est que \alpha\approx 5,5 à 10^{-1} près.

PartieIII ; 1. Vérifier que p est solution de l'équation différentielle y'=0{,}4y(1-y) avec la condition initiale y(0)=\dfrac{1}{10}.

On a déjà établi p'(t) = \dfrac{3{,}6e^{-0{,}4t}}{\left(1+9e^{-0{,}4t}\right)^2} (question II-2).
Par ailleurs, \begin{aligned}0{,}4p(t)\big(1-p(t)\big) &= 0{,}4\times\dfrac{1}{1+9e^{-0{,}4t}}\times\dfrac{9e^{-0{,}4t}}{1+9e^{-0{,}4t}} \\ &= \dfrac{3{,}6e^{-0{,}4t}}{\left(1+9e^{-0{,}4t}\right)^2}\end{aligned}
Les deux expressions coïncident, donc p est bien solution de l'équation différentielle. De plus, p(0) = \dfrac{1}{10} (question II-3.a) : la condition initiale est vérifiée.

PartieIII ; 2. Dans un pays en développement, 10 % des écoles avaient accès à internet en 2020. Une politique d'équipement volontariste est mise en place, et p(t) modélise la proportion d'écoles connectées t années après 2020. Interpréter la limite de la question II-1, la valeur approchée de \alpha de la question II-3.b, ainsi que p(0).

\displaystyle\lim_{t\to+\infty}p(t)=1 signifie qu'à long terme, la totalité des écoles finira par avoir accès à internet.
\alpha\approx5{,}5 signifie qu'environ cinq ans et demi après 2020, la moitié des écoles aura accès à internet.
p(0)=0{,}1 traduit le fait qu'en 2020, 10 % des écoles avaient accès à internet.