Bac Terminale Spé Maths : Centres étrangers 2021, Sujet 1

1.On considère f(x) = xe^{-2x} définie sur \mathbb{R}. Parmi quatre expressions proposées, laquelle correspond à f''(x), la dérivée seconde de f ? a) (1-2x)e^{-2x}, b) {4(x-1)e^{-2x}}, c) 4e^{-2x}, d) (x+2)e^{-2x}.

f est dérivable sur \mathbb{R} comme produit de fonctions dérivables : f'(x) = e^{-2x}+x\times(-2)e^{-2x} = (1-2x)e^{-2x}.
f' est elle-même dérivable, donc f''(x) = -2e^{-2x}+(1-2x)\times(-2)e^{-2x} = (-2-2+4x)e^{-2x} = 4(x-1)e^{-2x}.
Réponse b) {4(x-1)e^{-2x}}.

2.Un élève de première générale choisit trois spécialités parmi les douze proposées. Combien de combinaisons possibles y a-t-il ? a) 1 728, b) 1 320, c) 220, d) 33.

Choisir 3 spécialités parmi 12, sans tenir compte de l'ordre, correspond au nombre de combinaisons \dbinom{12}{3}.
\begin{aligned}\dbinom{12}{3} &= \dfrac{12\times11\times10}{3\times2\times1} \\ &= \dfrac{1\,320}{6} \\ &= 220\end{aligned}
Réponse c) 220.

3.On donne ci-dessous la représentation graphique de f', fonction dérivée d'une fonction f définie sur [0~;~7] : la courbe est négative sur [0~;~2], positive sur [2~;~5] et négative sur [5~;~7]. Quel est le tableau de variations de f sur [0~;~7] parmi les quatre proposés ?

f' est négative (ou nulle) sur [0~;~2], donc f est décroissante sur [0~;~2].
f' est positive (ou nulle) sur [2~;~5], donc f est croissante sur [2~;~5].
f' est négative (ou nulle) sur [5~;~7], donc f est décroissante sur [5~;~7].
Réponse b) le tableau « décroissante puis croissante puis décroissante », avec les ruptures en x=2 et x=5.

4.Une entreprise fabrique des cartes à puce, chacune pouvant présenter deux défauts A et B. Une étude montre que 2,8 % des puces ont le défaut A, 2,2 % ont le défaut B et 95,4 % n'ont aucun des deux défauts. Quelle est la probabilité qu'une puce prélevée au hasard ait les deux défauts ? a) 0,05, b) 0,004, c) 0,046, d) on ne peut pas le savoir.

Notons A l'évènement « la puce a le défaut A » et B l'évènement « la puce a le défaut B ». On a P(A)=0{,}028 et P(B)=0{,}022.
Comme 95,4 % des puces n'ont aucun défaut, la proportion de puces ayant au moins un défaut est \begin{aligned}P(A\cup B) &= 1-0{,}954 \\ &= 0{,}046\end{aligned}
Or {P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)}, donc \begin{aligned}P(A\cap B) &= P(A)+P(B)-P(A\cup B) \\ &= 0{,}028+0{,}022-0{,}046 \\ &= 0{,}004\end{aligned}
Réponse b) 0,004.

5.Une fonction f, dérivable sur \mathbb{R}, admet le tableau de variations suivant : f est croissante de -\infty à 0 sur {]-\infty~;~-1]}, puis décroissante de 0 vers -\infty sur [-1~;~+\infty[. D'après ce tableau : a) f' est positive sur \mathbb{R}, b) f' est positive sur {]-\infty~;~-1]}, c) f' est négative sur \mathbb{R}, d) f' est positive sur [-1~;~+\infty[.

La fonction f est croissante sur {]-\infty~;~-1]}, donc sa dérivée f' y est positive (ou nulle).
Réponse b) f' est positive sur {]-\infty~;~-1]}.

PartieA ; 1. D'après une étude, 17 % de la population française utilise régulièrement les transports en commun ; parmi ces usagers réguliers, 32 % ont entre 18 et 24 ans. On interroge une personne au hasard et on note R l'évènement « la personne utilise régulièrement les transports en commun » et J l'évènement « la personne a entre 18 et 24 ans ». Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

L'arbre pondéré comporte deux niveaux : à la racine, P(R)=0{,}17 et \begin{aligned}P(\overline{R}) &= 1-0{,}17 \\ &= 0{,}83\end{aligned}
Depuis R : P_R(J)=0{,}32 et \begin{aligned}P_R(\overline{J}) &= 1-0{,}32 \\ &= 0{,}68\end{aligned}
Depuis \overline{R}, les probabilités conditionnelles de J et \overline{J} ne sont pas encore connues à ce stade.

PartieA ; 2. Calculer la probabilité P(R\cap J).

En suivant la branche « R puis J » de l'arbre : \begin{aligned}P(R\cap J) &= P(R)\times P_R(J) \\ &= 0{,}17\times0{,}32 \\ &= 0{,}0544\end{aligned}

PartieA ; 3. Sachant que les 18-24 ans représentent 11 % de la population française, montrer que la probabilité que la personne interrogée ait entre 18 et 24 ans sans utiliser régulièrement les transports en commun vaut environ 0,056.

On a P(J)=0{,}11. La probabilité cherchée est P(\overline{R}\cap J).
\{R,\overline{R}\} formant une partition de l'univers, la formule des probabilités totales donne {P(J) = P(R\cap J)+P(\overline{R}\cap J)}.
Donc \begin{aligned}P(\overline{R}\cap J) &= P(J)-P(R\cap J) \\ &= 0{,}11-0{,}0544 \\ &= 0{,}0556\end{aligned} soit environ 0,056 à 10^{-3} près.

PartieA ; 4. En déduire la proportion de jeunes de 18 à 24 ans parmi les personnes n'utilisant pas régulièrement les transports en commun.

On cherche P_{\overline{R}}(J) = \dfrac{P(\overline{R}\cap J)}{P(\overline{R})}, avec \begin{aligned}P(\overline{R}) &= 1-0{,}17 \\ &= 0{,}83\end{aligned}
\begin{aligned}P_{\overline{R}}(J) &= \dfrac{0{,}0556}{0{,}83} \\ &\approx 0{,}067\end{aligned}
La proportion de jeunes de 18 à 24 ans parmi les usagers non réguliers des transports en commun est donc d'environ 6,7 %.

PartieB ; 1. Un recenseur interroge au hasard 50 personnes en un jour, ce tirage étant assimilé à un tirage avec remise vu la taille de la population française. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les 50 interrogées. Déterminer, en justifiant, la loi suivie par X.

Chaque personne interrogée constitue une épreuve à deux issues : « utilise régulièrement les transports en commun », de probabilité p=0{,}17, ou le contraire, de probabilité 1-p=0{,}83.
On répète cette épreuve n=50 fois de façon identique et indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise).
Donc X suit la loi binomiale de paramètres n=50 et p=0{,}17.

PartieB ; 2. Calculer P(X=5) et interpréter le résultat obtenu.

\begin{aligned}P(X=5) &= \dbinom{50}{5}\times0{,}17^{5}\times0{,}83^{45} \\ &\approx 0{,}069\end{aligned}
Il y a donc environ 6,9 % de chances que, parmi les 50 personnes interrogées, exactement 5 utilisent régulièrement les transports en commun.

PartieB ; 3. Le recenseur affirme qu'il y a plus de 95 % de chances que, parmi les 50 personnes interrogées, moins de 13 utilisent régulièrement les transports en commun. Cette affirmation est-elle vraie ?

L'affirmation du recenseur revient à dire que P(X<13) \geqslant 0{,}95.
Or \begin{aligned}P(X<13) &= P(X\leqslant12) \\ &\approx 0{,}929\end{aligned}
Comme 0{,}929<0{,}95, l'affirmation du recenseur est fausse.

PartieB ; 4. Quel est le nombre moyen de personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les 50 personnes interrogées ?

L'espérance d'une loi binomiale de paramètres n et p vaut np, donc E(X) = 50\times0{,}17 = 8,5.

PartieA ; 1. En mai 2020, une entreprise de 5 000 collaborateurs propose le télétravail ; 200 d'entre eux le choisissent dès le départ. Chaque mois, 85 % des télétravailleurs du mois précédent poursuivent le télétravail, et 450 nouveaux collaborateurs supplémentaires s'y ajoutent. On modélise le nombre de télétravailleurs le n-ième mois après mai 2020 par la suite (a_n), avec {a_0=200}. Calculer a_1.

a_1 = 0{,}85\times a_0+450 = 0{,}85\times200+450 = 170+450 = 620.

PartieA ; 2. Justifier que, pour tout entier naturel n, a_{n+1} = 0{,}85\,a_n+450.

Conserver 85 % des télétravailleurs du mois précédent revient à multiplier leur effectif par 0,85 ; en ajoutant les 450 nouveaux collaborateurs chaque mois, on obtient bien, pour tout entier naturel n : a_{n+1} = 0{,}85\,a_n+450.

PartieA ; 3.a On pose, pour tout entier naturel n, v_n = a_n-3\,000. Démontrer que (v_n) est une suite géométrique de raison 0,85.

Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}v_{n+1} &= a_{n+1}-3\,000 \\ &= 0{,}85\,a_n+450-3\,000 \\ &= 0{,}85\,(v_n+3\,000)-2\,550\end{aligned}
En développant : \begin{aligned}v_{n+1} &= 0{,}85\,v_n+2\,550-2\,550 \\ &= 0{,}85\,v_n\end{aligned}
(v_n) est donc une suite géométrique de raison q=0{,}85, de premier terme \begin{aligned}v_0 &= a_0-3\,000 \\ &= 200-3\,000 \\ &= -2\,800\end{aligned}

PartieA ; 3.b Exprimer v_n en fonction de n pour tout entier naturel n.

Pour une suite géométrique de raison q et de premier terme v_0, on a {v_n=v_0\times q^{n}} pour tout n, donc v_n = -2\,800\times0{,}85^{n}.

PartieA ; 3.c En déduire que, pour tout entier naturel n, a_n = -2\,800\times0{,}85^{n}+3\,000.

Comme v_n=a_n-3\,000, on a {a_n=v_n+3\,000}, donc, pour tout entier naturel n : a_n = -2\,800\times0{,}85^{n}+3\,000.

PartieA ; 4. Déterminer le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs dépassera strictement 2 500.

On cherche le plus petit entier naturel n tel que a_n>2\,500, c'est-à-dire {-2\,800\times0{,}85^{n}+3\,000>2\,500}.
En isolant le terme exponentiel : 500>2\,800\times0{,}85^{n} \iff 0{,}85^{n}<\dfrac{500}{2\,800} \iff 0{,}85^{n}<\dfrac{5}{28}.
En passant au logarithme népérien (croissant, et \ln(0{,}85)<0, donc le sens de l'inégalité change) : n\times\ln(0{,}85)<\ln\left(\dfrac{5}{28}\right) \iff n>\dfrac{\ln\left(\frac{5}{28}\right)}{\ln(0{,}85)}.
Or \dfrac{\ln\left(\frac{5}{28}\right)}{\ln(0{,}85)} \approx 10{,}6, donc le plus petit entier naturel convenable est n=11.
Le nombre de télétravailleurs dépassera donc strictement 2 500 au bout de 11 mois.

PartieB ; 1. Pour évaluer la satisfaction des collaborateurs, on modélise leur nombre (en milliers) par la suite (u_n) définie par u_0=1 et, pour tout entier naturel n, {u_{n+1} = \dfrac{5u_n+4}{u_n+2}}. On considère la fonction f définie sur [0~;~+\infty[ par f(x)=\dfrac{5x+4}{x+2}. Démontrer que f est strictement croissante sur [0~;~+\infty[.

f est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas sur [0~;~+\infty[, donc f est dérivable sur cet intervalle.
Pour tout x de [0~;~+\infty[, en dérivant un quotient : f'(x) = \dfrac{5(x+2)-(5x+4)\times1}{(x+2)^{2}} = \dfrac{5x+10-5x-4}{(x+2)^{2}} = \dfrac{6}{(x+2)^{2}}.
Pour tout x\geqslant0, (x+2)^{2}>0, donc f'(x)>0 : la fonction f est strictement croissante sur [0~;~+\infty[.

PartieB ; 2.a Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant4}.

Soit \mathcal{P}_n la propriété {0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant4}.
Initialisation : u_0=1 et \begin{aligned}u_1 &= \dfrac{5\times1+4}{1+2} \\ &= \dfrac{9}{3} \\ &= 3\end{aligned} donc {0\leqslant1\leqslant3\leqslant4} : \mathcal{P}_0 est vraie.
Hérédité : supposons \mathcal{P}_n vraie pour un entier n\geqslant0, c'est-à-dire {0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant4}.
La fonction f étant strictement croissante sur [0~;~+\infty[, donc en particulier sur [0~;~4], on peut lui appliquer les inégalités : {f(0)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(4)}.
Or \begin{aligned}f(0) &= \dfrac{4}{2} \\ &= 2 \\ &\geqslant 0\end{aligned} f(u_n)=u_{n+1}, f(u_{n+1})=u_{n+2} et \begin{aligned}f(4) &= \dfrac{24}{6} \\ &= 4\end{aligned} d'où {0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant4} : \mathcal{P}_{n+1} est vraie.
Conclusion : \mathcal{P}_0 est vraie et \mathcal{P}_n est héréditaire pour tout n\geqslant0, donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant4}.

PartieB ; 2.b Justifier que la suite (u_n) est convergente.

D'après la question précédente, pour tout entier naturel n, u_n\leqslant u_{n+1}, donc la suite (u_n) est croissante.
De plus, pour tout entier naturel n, {u_n\leqslant4}, donc la suite (u_n) est majorée par 4.
Toute suite croissante et majorée étant convergente, la suite (u_n) est convergente.

PartieB ; 3. On admet que, pour tout entier naturel n, {0\leqslant4-u_n\leqslant3\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}}. En déduire la limite de la suite (u_n) et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.

La suite de terme général 3\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} est géométrique de raison q=\dfrac{1}{2} ; comme {-1<\dfrac{1}{2}<1}, elle converge vers 0.
D'après l'encadrement admis et le théorème des gendarmes, {\lim\limits_{n\to+\infty}(4-u_n)=0}, donc \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=4.
Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que le nombre de collaborateurs satisfaits par le télétravail tend vers 4 000, sur les 5 000 collaborateurs que compte l'entreprise.

1.Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points A(2~;~-1~;~0), B(3~;~-1~;~2), C(0~;~4~;~1) et S(0~;~1~;~4). Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-2 \\ 5 \\ 1\end{pmatrix}.
\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= 1\times(-2)+0\times5+2\times1 \\ &= -2+0+2 \\ &= 0\end{aligned} donc \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux.
Le triangle ABC est donc rectangle en A.

2.aMontrer que le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} est orthogonal au plan (ABC).

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles), donc ils forment une base du plan (ABC).
\begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB} &= 2\times1+1\times0+(-1)\times2 \\ &= 2-2 \\ &= 0\end{aligned} donc \overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AB}.
\begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC} &= 2\times(-2)+1\times5+(-1)\times1 \\ &= -4+5-1 \\ &= 0\end{aligned} donc \overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), donc \overrightarrow{n} est orthogonal au plan (ABC).

2.bEn déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

\overrightarrow{n} étant normal au plan (ABC), une équation cartésienne de ce plan est de la forme 2x+y-z+d=0, avec d\in\mathbb{R}.
Le point A(2~;~-1~;~0) appartient au plan (ABC), donc {2\times2+(-1)-0+d=0}, soit 3+d=0, d'où d=-3.
Le plan (ABC) a donc pour équation cartésienne 2x+y-z-3=0.

2.cMontrer que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.

On calcule \begin{aligned}2x_S+y_S-z_S-3 &= 2\times0+1-4-3 \\ &= -6\end{aligned}
Comme -6\neq0, le point S n'appartient pas au plan (ABC), donc les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.

3.aSoit (d) la droite orthogonale au plan (ABC) passant par S ; elle coupe le plan (ABC) en un point H. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d).

La droite (d) est orthogonale au plan (ABC), donc elle admet \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} comme vecteur directeur ; de plus elle passe par S(0~;~1~;~4).
Une représentation paramétrique de (d) est donc : \begin{cases}x=2t\\y=1+t\\z=4-t\end{cases}, avec t\in\mathbb{R}.

3.bMontrer que les coordonnées du point H sont (2~;~2~;~3).

Le point H, intersection de (d) et du plan (ABC), a des coordonnées vérifiant à la fois la représentation paramétrique de (d) et l'équation du plan (ABC).
En substituant x=2t, y=1+t et {z=4-t} dans 2x+y-z-3=0 : {2(2t)+(1+t)-(4-t)-3=0}, soit {4t+1+t-4+t-3=0}, c'est-à-dire 6t-6=0, d'où t=1.
Pour t=1 : x=2, \begin{aligned}y &= 1+1 \\ &= 2\end{aligned} et \begin{aligned}z &= 4-1 \\ &= 3\end{aligned} Les coordonnées de H sont donc bien (2~;~2~;~3).

4.On rappelle que le volume V d'un tétraèdre vaut V = \dfrac{\text{aire de la base}\times\text{hauteur}}{3}. Calculer le volume du tétraèdre SABC.

On choisit comme base le triangle ABC, rectangle en A, d'aire \mathcal{A}=\dfrac{AB\times AC}{2}.
\begin{aligned}AB^{2} &= 1^{2}+0^{2}+2^{2} \\ &= 5\end{aligned} donc AB=\sqrt5, et \begin{aligned}AC^{2} &= (-2)^{2}+5^{2}+1^{2} \\ &= 30\end{aligned} donc AC=\sqrt{30}.
\begin{aligned}\mathcal{A} &= \dfrac{\sqrt5\times\sqrt{30}}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{150}}{2} \\ &= \dfrac{5\sqrt6}{2}\end{aligned}
La hauteur du tétraèdre issue de S est SH, avec \begin{aligned}SH^{2} &= (2-0)^{2}+(2-1)^{2}+(3-4)^{2} \\ &= 4+1+1 \\ &= 6\end{aligned} donc SH=\sqrt6.
V = \dfrac{\mathcal{A}\times SH}{3} = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{5\sqrt6}{2}\times\sqrt6 = \dfrac{5\times6}{6} = 5 (en unités de volume).

5.aCalculer la longueur SA.

\overrightarrow{SA}\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ -4\end{pmatrix}, donc \begin{aligned}SA^{2} &= 2^{2}+(-2)^{2}+(-4)^{2} \\ &= 4+4+16 \\ &= 24\end{aligned}
\begin{aligned}SA &= \sqrt{24} \\ &= \sqrt{4\times6} \\ &= 2\sqrt6\end{aligned}

5.bSachant que SB=\sqrt{17}, en déduire une mesure de l'angle \widehat{ASB} arrondie au dixième de degré.

\overrightarrow{SB}\begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ -2\end{pmatrix}, donc \begin{aligned}\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SB} &= 2\times3+(-2)\times(-2)+(-4)\times(-2) \\ &= 6+4+8 \\ &= 18\end{aligned}
Or \overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SB} = SA\times SB\times\cos\left(\widehat{ASB}\right), donc 18 = 2\sqrt6\times\sqrt{17}\times\cos\left(\widehat{ASB}\right).
On en déduit \begin{aligned}\cos\left(\widehat{ASB}\right) &= \dfrac{18}{2\sqrt6\times\sqrt{17}} \\ &= \dfrac{9}{\sqrt{102}}\end{aligned} d'où \widehat{ASB}\approx26{,}98^{\circ}, soit 27,0^{\circ} au dixième de degré près.

PartieA ; 1. Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x) = 2e^{-\frac{1}{3}x}+\dfrac{2}{3}x-2. On admet que g est dérivable sur \mathbb{R}. Montrer que, pour tout réel x, g'(x) = -\dfrac{2}{3}e^{-\frac{1}{3}x}+\dfrac{2}{3}.

En dérivant terme à terme : g'(x) = 2\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)e^{-\frac{1}{3}x}+\dfrac{2}{3} = -\dfrac{2}{3}e^{-\frac{1}{3}x}+\dfrac{2}{3}, comme attendu.

PartieA ; 2. En déduire le sens de variations de la fonction g sur \mathbb{R}.

On peut factoriser : g'(x) = \dfrac{2}{3}\left(1-e^{-\frac{1}{3}x}\right).
g'(x)>0 \iff 1-e^{-\frac{1}{3}x}>0 \iff e^{-\frac{1}{3}x}<1 \iff -\dfrac{1}{3}x<\ln(1)=0 \iff x>0 (par stricte croissance de la fonction exponentielle et changement de signe en divisant par -\frac13).
Donc g'(x)<0 sur ]-\infty~;~0[, g'(0)=0 et g'(x)>0 sur ]0~;~+\infty[ : g est strictement décroissante sur ]-\infty~;~0] puis strictement croissante sur [0~;~+\infty[, avec un minimum en x=0.

PartieA ; 3. Déterminer le signe de g(x) pour tout réel x.

\begin{aligned}g(0) &= 2e^{0}+0-2 \\ &= 2-2 \\ &= 0\end{aligned}
D'après les variations de g (décroissante puis croissante, avec un minimum nul atteint en 0), g(x)\geqslant0 pour tout réel x, l'égalité n'ayant lieu qu'en x=0.

PartieB ; 1. On considère l'équation différentielle (E) : 3y'+y=0. Résoudre (E).

(E) \iff y'+\dfrac{1}{3}y=0, équation différentielle de la forme y'+ay=0 avec a=\dfrac13.
D'après le cours, les solutions de (E) sur \mathbb{R} sont les fonctions h définies par h(x) = Ce^{-\frac{1}{3}x}, où C\in\mathbb{R}.

PartieB ; 2. Déterminer la solution particulière de (E) dont la courbe représentative passe par le point M(0 ; 2).

On cherche C tel que h(0)=2 : \begin{aligned}Ce^{0} = 2 &\iff C = 2 \end{aligned}
La solution particulière cherchée est donc la fonction h définie sur \mathbb{R} par h(x) = 2e^{-\frac{1}{3}x}.

PartieB ; 3.a Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=2e^{-\frac{1}{3}x}, de courbe représentative \mathcal{C}_f. Montrer que la tangente (\Delta_0) à \mathcal{C}_f au point M(0 ; 2) a pour équation y=-\dfrac{2}{3}x+2.

La tangente à \mathcal{C}_f au point d'abscisse 0 a pour équation y=f'(0)(x-0)+f(0).
\begin{aligned}f(0) &= 2e^{0} \\ &= 2\end{aligned} et f'(x) = 2\times\left(-\dfrac13\right)e^{-\frac{1}{3}x} = -\dfrac{2}{3}e^{-\frac{1}{3}x}, donc f'(0)=-\dfrac23.
(\Delta_0) a donc pour équation y = -\dfrac{2}{3}x+2, comme attendu.

PartieB ; 3.b Étudier, sur \mathbb{R}, la position de la courbe \mathcal{C}_f par rapport à la tangente (\Delta_0).

Pour comparer \mathcal{C}_f et (\Delta_0), on étudie le signe de f(x)-\left(-\dfrac23x+2\right) sur \mathbb{R}.
\begin{aligned}f(x)-\left(-\dfrac23x+2\right) &= 2e^{-\frac{1}{3}x}+\dfrac23x-2 \\ &= g(x)\end{aligned} la fonction étudiée en partie A.
Or g(x)\geqslant0 pour tout réel x, donc la courbe \mathcal{C}_f est toujours au-dessus de la tangente (\Delta_0), avec un point de contact en x=0.

PartieC ; 1. Soit A le point de \mathcal{C}_f d'abscisse a, a réel quelconque. Montrer que la tangente (\Delta_a) à \mathcal{C}_f au point A coupe l'axe des abscisses en un point P d'abscisse a+3.

La tangente (\Delta_a) a pour équation y=f'(a)(x-a)+f(a), soit {y = -\dfrac23e^{-\frac13a}(x-a)+2e^{-\frac13a}}.
L'abscisse du point P où (\Delta_a) coupe l'axe des abscisses vérifie {-\dfrac23e^{-\frac13a}(x-a)+2e^{-\frac13a}=0}.
Comme e^{-\frac13a}\neq0, on peut simplifier par ce facteur : \begin{aligned}-\dfrac23(x-a)+2 = 0 &\iff x-a = 3 \\ &\iff x = a+3 \end{aligned}
La tangente (\Delta_a) coupe donc bien l'axe des abscisses au point P d'abscisse a+3.

PartieC ; 2. Expliquer comment construire la tangente (\Delta_{-2}) à \mathcal{C}_f au point B d'abscisse -2.

D'après la question précédente, la tangente au point d'abscisse -2 coupe l'axe des abscisses au point P d'abscisse -2+3=1, soit P(1~;~0).
Pour construire (\Delta_{-2}), il suffit donc de tracer la droite passant par le point B (d'abscisse -2 sur la courbe) et par le point P de coordonnées (1~;~0) sur l'axe des abscisses.