Bac Terminale Spé Maths : Métropole 2021, Sujet 1

1.QCM. On considère la fonction f définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x) = \dfrac{e^{2x}}{x}, dont la dérivée seconde est f''(x) = \dfrac{2e^{2x}(2x^2-2x+1)}{x^3}. Parmi quatre expressions proposées, laquelle est celle de f'(x) ?

f est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas sur cet intervalle. En dérivant un quotient : f'(x) = \dfrac{2e^{2x}\times x - e^{2x}\times 1}{x^2} = \dfrac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}. Donc, la réponse est c.

2.Toujours à propos de f, laquelle de ces quatre affirmations sur les variations de f est exacte ?

Sur ]0~;~+\infty[, x^2>0 et e^{2x}>0, donc f'(x) est du signe de 2x-1.
\begin{aligned}2x-1 = 0 &\iff x = \dfrac{1}{2} \end{aligned} 2x-1<0 pour x<\dfrac{1}{2} et 2x-1>0 pour x>\dfrac{1}{2}.
Donc f est décroissante sur \left]0~;~\dfrac{1}{2}\right[ et croissante sur \left]\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[ : f admet donc un minimum en \dfrac{1}{2}. Donc, la réponse est c.

3.Quelle est la limite de f en +\infty, parmi les quatre propositions ?

On écrit f(x) = 2\times\dfrac{e^{2x}}{2x}. En posant X=2x, quand x\to+\infty, {X\to+\infty} également.
Par croissances comparées, \displaystyle\lim_{X\to+\infty}\dfrac{e^X}{X} = +\infty, donc \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty. Donc, la réponse est a.

4.Laquelle de ces quatre affirmations sur la convexité de f est exacte ?

Sur ]0~;~+\infty[, x^3>0 et 2e^{2x}>0, donc f''(x) est du signe du trinôme {2x^2-2x+1}.
Ce trinôme a pour discriminant {\Delta = (-2)^2-4\times2\times1 = 4-8 = -4 < 0} : il est donc toujours strictement positif (du signe de son coefficient dominant, positif).
Ainsi f''(x) > 0 pour tout x de ]0~;~+\infty[ : f est convexe sur ]0~;~+\infty[. Donc, la réponse est b.

PartieI ; 1. Une chaîne de production fabrique des pièces mécaniques, dont 5 % sont défectueuses. Un test appliqué à une pièce détecte le défaut avec une probabilité de 0,98 sachant la pièce défectueuse, et donne un résultat négatif avec une probabilité de 0,97 sachant la pièce non défectueuse. On note D l'évènement « la pièce est défectueuse » et T l'évènement « le test est positif ». Construire l'arbre pondéré associé à cette expérience.

L'arbre part de deux branches D (probabilité 0{,}05) et \overline{D} (probabilité 0{,}95). Depuis D partent T (probabilité 0{,}98) et \overline{T} (probabilité 0{,}02). Depuis \overline{D} partent T (probabilité 0{,}03, car 1-0{,}97) et \overline{T} (probabilité 0{,}97).

2.aCalculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse et présente un test positif.

En suivant la branche D puis T de l'arbre : \begin{aligned}P(D\cap T) &= P(D)\times P_D(T) \\ &= 0{,}05\times0{,}98 \\ &= 0{,}049\end{aligned}

2.bDémontrer que P(T) = 0,0775.

On calcule d'abord \begin{aligned}P(\overline{D}\cap T) &= P(\overline{D})\times P_{\overline{D}}(T) \\ &= 0{,}95\times0{,}03 \\ &= 0{,}0285\end{aligned}
D'après la formule des probabilités totales, appliquée à la partition \{D~;~\overline{D}\} :
\begin{aligned}P(T) &= P(D\cap T) + P(\overline{D}\cap T) \\ &= 0{,}049 + 0{,}0285 \\ &= 0{,}0775\end{aligned}

3.On appelle valeur prédictive positive du test la probabilité qu'une pièce soit défectueuse sachant que son test est positif. On considère que le test est efficace si cette valeur dépasse 0,95. Calculer cette valeur prédictive positive et conclure sur l'efficacité du test.

La valeur prédictive positive est \begin{aligned}P_T(D) &= \dfrac{P(T\cap D)}{P(T)} \\ &= \dfrac{P(D\cap T)}{P(T)} \\ &= \dfrac{0{,}049}{0{,}0775} \\ &\approx 0{,}632\end{aligned}
Comme 0{,}632 < 0{,}95, ce test n'est pas efficace au sens de ce critère.

PartieII ; 1. On prélève un échantillon de 20 pièces (tirage assimilé à un tirage avec remise) et on note X le nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon. Justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres.

Le prélèvement, assimilé à un tirage avec remise, répète 20 fois de façon indépendante l'épreuve de Bernoulli « la pièce est défectueuse », de probabilité de succès p=0{,}05 constante. Donc, X suit la loi binomiale de paramètres n=20 et p=0{,}05.

2.Calculer la probabilité que l'échantillon contienne au moins une pièce défectueuse (arrondir au centième).

\begin{aligned}P(X\geqslant1) &= 1-P(X=0) \\ &= 1-0{,}95^{20}\end{aligned}
À la calculatrice, 1-0{,}95^{20} \approx 0{,}642. Donc, la réponse est 0,64 au centième près.

3.Calculer l'espérance de X et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Pour une loi binomiale, \begin{aligned}E(X) &= np \\ &= 20\times0{,}05 \\ &= 1\end{aligned}
En moyenne, sur un grand nombre d'échantillons de 20 pièces prélevées, on trouve donc 1 pièce défectueuse par échantillon.

PartieI : Cécile sort des gâteaux du congélateur, où ils étaient à -19\,^{\circ}C, pour les poser sur une terrasse à 25\,^{\circ}C. Au bout de 10 minutes, ils sont à 1,3\,^{\circ}C. En supposant que la température augmente à vitesse constante (même hausse chaque minute), quelle serait la température des gâteaux au bout de 25 minutes ? Ce modèle est-il pertinent ?

En 10 minutes, la température a augmenté de 1{,}3-(-19) = 20{,}3\,^{\circ}C, soit une hausse constante supposée de \dfrac{20{,}3}{10} = 2{,}03\,^{\circ}C par minute.
Au bout de 25 minutes, la hausse totale serait de 25\times2{,}03 = 50{,}75\,^{\circ}C, donc une température de -19+50{,}75 = 31{,}75\,^{\circ}C.
Or la température de la terrasse est de 25\,^{\circ}C : les gâteaux ne peuvent pas dépasser cette température ambiante. Donc, ce modèle n'est pas pertinent.

PartieII : On note T_n la température des gâteaux, en degré Celsius, n minutes après leur sortie du congélateur, avec T_0=-19. On admet la relation {T_{n+1}-T_n = -0,06\times(T_n-25)} pour tout entier naturel n. 1. Montrer que, pour tout entier naturel n, T_{n+1} = 0,94\,T_n+1,5.

En développant : \begin{aligned}T_{n+1}-T_n &= -0{,}06T_n+0{,}06\times25 \\ &= -0{,}06T_n+1{,}5\end{aligned}
D'où \begin{aligned}T_{n+1} &= T_n-0{,}06T_n+1{,}5 \\ &= 0{,}94\,T_n+1{,}5\end{aligned}

2.Calculer T_1 et T_2 (arrondir au dixième).

Avec n=0 : \begin{aligned}T_1 &= 0{,}94\times(-19)+1{,}5 \\ &= -17{,}86+1{,}5 \\ &= -16{,}36\end{aligned} soit T_1\approx-16{,}4.
Avec n=1 : \begin{aligned}T_2 &= 0{,}94\times(-16{,}36)+1{,}5 \\ &= -15{,}3784+1{,}5 \\ &= -13{,}8784\end{aligned} soit T_2\approx-13{,}9.

3.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, T_n\leqslant25. Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l'énoncé ?

Initialisation. \begin{aligned}T_0 &= -19 \\ &\leqslant 25\end{aligned} La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité. Supposons que, pour un entier n, T_n\leqslant25. En multipliant par 0{,}94>0 : \begin{aligned}0{,}94\,T_n &\leqslant 0{,}94\times25 \\ &= 23{,}5\end{aligned}
En ajoutant 1{,}5 aux deux membres : 0{,}94\,T_n+1{,}5\leqslant25, soit T_{n+1}\leqslant25 : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, T_n\leqslant25.
Ce résultat était prévisible : la température des gâteaux ne peut pas dépasser la température ambiante de la terrasse, qui est justement de 25\,^{\circ}C.

4.Étudier le sens de variation de la suite (T_n).

D'après la relation de récurrence, T_{n+1}-T_n = -0{,}06\times(T_n-25).
D'après la question précédente, T_n\leqslant25 pour tout n, donc T_n-25\leqslant0, donc -0{,}06\times(T_n-25)\geqslant0.
Ainsi T_{n+1}-T_n\geqslant0 pour tout n : la suite (T_n) est croissante.

5.Démontrer que la suite (T_n) est convergente.

La suite (T_n) est croissante (question précédente) et majorée par 25 : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite \ell vérifiant \ell\leqslant25.

6.aOn pose, pour tout entier naturel n, U_n = T_n-25. Montrer que (U_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}U_{n+1} &= T_{n+1}-25 \\ &= 0{,}94\,T_n+1{,}5-25 \\ &= 0{,}94\,T_n-23{,}5\end{aligned}
Or 0{,}94\times(T_n-25) = 0{,}94\,T_n-23{,}5, donc \begin{aligned}U_{n+1} &= 0{,}94\times(T_n-25) \\ &= 0{,}94\,U_n\end{aligned}
La suite (U_n) est donc géométrique de raison 0{,}94, de premier terme \begin{aligned}U_0 &= T_0-25 \\ &= -19-25 \\ &= -44\end{aligned}

6.bEn déduire que, pour tout entier naturel n, T_n = -44\times0,94^n+25.

Comme (U_n) est géométrique de raison 0{,}94 et de premier terme -44 : {U_n = -44\times0{,}94^n} pour tout n.
Or U_n = T_n-25, donc \begin{aligned}T_n &= U_n+25 \\ &= -44\times0{,}94^n+25\end{aligned}

6.cEn déduire la limite de la suite (T_n) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

Comme {0<0{,}94<1}, on a {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}0{,}94^n = 0}, donc par somme de limites, \displaystyle\lim_{n\to+\infty}T_n = 25.
Cela signifie que la température des gâteaux se rapproche indéfiniment de la température ambiante de la terrasse, 25\,^{\circ}C, sans jamais la dépasser, ce qui est cohérent avec la situation physique.

7.aLe fabricant conseille de consommer les gâteaux une demi-heure après leur sortie du congélateur. Quelle température ont-ils alors atteinte (arrondir à l'entier le plus proche) ?

Avec n=30 minutes : \begin{aligned}T_{30} &= -44\times0{,}94^{30}+25 \\ &\approx 18{,}1\end{aligned} Donc, les gâteaux ont atteint une température d'environ 18 ^{\circ}C.

7.bCécile aime déguster ces gâteaux encore frais, à 10 ^{\circ}C. Donner un encadrement, entre deux entiers consécutifs, du nombre de minutes après lesquelles elle doit les déguster.

À la calculatrice, T_{17}\approx9{,}6 et T_{18}\approx10{,}6 : la température franchit donc 10\,^{\circ}C entre les minutes 17 et 18.
Donc, Cécile doit déguster son gâteau entre la 17^{\text{e}} et la 18^{\text{e}} minute après sa sortie du congélateur.

7.cLe programme Python suivant doit renvoyer la plus petite valeur de l'entier n pour laquelle T_n\geqslant10. Recopier et compléter les lignes manquantes.

Exercice au choix A : Géométrie de l'espace. Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le point A de coordonnées (1~;~3~;~2), le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} et la droite d passant par l'origine O et de vecteur directeur \overrightarrow{u}. 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite d.

Un point M(x~;~y~;~z) appartient à d si et seulement si \overrightarrow{\text{O}M} = t\,\overrightarrow{u} pour un réel t, ce qui donne la représentation paramétrique \begin{cases}x=t\\y=t\\z=0\end{cases}, \ t\in\mathbb{R}.

2.aSoit t un réel et M(t~;~t~;~0) un point de d. En notant AM la distance entre A et M, démontrer que AM^2 = 2t^2-8t+14.

Le vecteur \overrightarrow{\text{A}M} a pour coordonnées \begin{pmatrix}t-1 \\ t-3 \\ -2\end{pmatrix}.
\begin{aligned}AM^2 &= (t-1)^2+(t-3)^2+(-2)^2 \\ &= (t^2-2t+1)+(t^2-6t+9)+4 \\ &= 2t^2-8t+14\end{aligned}

2.bDémontrer que le point M_0(2~;~2~;~0) est le point de d pour lequel la distance AM est minimale (on admet que AM est minimale lorsque AM^2 l'est).

On met le trinôme sous forme canonique : \begin{aligned}2t^2-8t+14 &= 2(t^2-4t+7) \\ &= 2\left[(t-2)^2-4+7\right] \\ &= 2(t-2)^2+6\end{aligned}
Ce trinôme est minimal lorsque {(t-2)^2=0}, c'est-à-dire pour t=2, ce qui correspond au point M_0(2~;~2~;~0) de d.
La valeur minimale de AM^2 est alors 6, donc la distance minimale est {AM_0=\sqrt{6}}.

3.Démontrer que les droites (AM_0) et d sont orthogonales.

Le vecteur \overrightarrow{\text{A}M_0} a pour coordonnées \begin{pmatrix}2-1 \\ 2-3 \\ 0-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ -2\end{pmatrix}, et \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} dirige d.
\begin{aligned}\overrightarrow{\text{A}M_0}\cdot\overrightarrow{u} &= 1\times1+(-1)\times1+(-2)\times0 \\ &= 1-1+0 \\ &= 0\end{aligned}
Les vecteurs directeurs sont orthogonaux, donc les droites (AM_0) et d sont orthogonales.

4.On note A' le projeté orthogonal de A sur le plan d'équation z=0, de coordonnées (1~;~3~;~0). Démontrer que M_0 est le point du plan (AA'M_0) le plus proche de l'origine O.

Le vecteur \overrightarrow{\text{A}'M_0} a pour coordonnées \begin{pmatrix}2-1 \\ 2-3 \\ 0-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}.
\begin{aligned}\overrightarrow{\text{A}'M_0}\cdot\overrightarrow{u} &= 1\times1+(-1)\times1+0\times0 \\ &= 0\end{aligned} \overrightarrow{u} est donc orthogonal à \overrightarrow{\text{A}'M_0}, et on a vu qu'il est orthogonal à \overrightarrow{\text{A}M_0}.
Les vecteurs \overrightarrow{\text{A}M_0} et \overrightarrow{\text{A}'M_0} ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles) et dirigent le plan (AA'M_0) : \overrightarrow{u}, orthogonal à ces deux vecteurs, est donc un vecteur normal à ce plan, et d lui est orthogonale.
Comme M_0 appartient à la fois à d et au plan (AA'M_0), M_0 est le pied de la perpendiculaire abaissée de O sur ce plan : c'est donc bien le point du plan le plus proche de O.

5.Calculer le volume de la pyramide OM_0A'A.

La base AA'M_0 est un triangle rectangle en A' (car AA' est vertical et A'M_0 horizontal). On a AA'=2 (différence des cotes de A et A').
A'M_0^2 = (2-1)^2+(2-3)^2+0^2 = 1+1 = 2, donc A'M_0=\sqrt{2}.
L'aire de la base est \begin{aligned}\mathcal{B} &= \dfrac{AA'\times A'M_0}{2} \\ &= \dfrac{2\times\sqrt{2}}{2} \\ &= \sqrt{2}\end{aligned}
La droite d étant orthogonale au plan (AA'M_0) (question 4), la hauteur issue de O est OM_0 : \begin{aligned}OM_0^2 &= 2^2+2^2 \\ &= 8\end{aligned} donc \begin{aligned}OM_0 &= 2\sqrt{2} \\ &= h\end{aligned}
\begin{aligned}V &= \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h \\ &= \dfrac{1}{3}\times\sqrt{2}\times2\sqrt{2} \\ &= \dfrac{1}{3}\times4 \\ &= \dfrac{4}{3}\end{aligned} Donc, le volume de la pyramide est \dfrac{4}{3} unité de volume.

Exercice au choix B : Équations différentielles et fonction exponentielle. On considère l'équation différentielle (E)\ :\ y' = y+2xe^x, dont on cherche les solutions définies et dérivables sur \mathbb{R}. 1. Soit u la fonction définie sur \mathbb{R} par u(x) = x^2e^x. Démontrer que u est une solution particulière de (E).

u est dérivable sur \mathbb{R} comme produit de fonctions dérivables, et u'(x) = 2xe^x+x^2e^x.
Or u(x)+2xe^x = x^2e^x+2xe^x, qui est bien égal à u'(x).
On a donc u'(x) = u(x)+2xe^x pour tout réel x : u est bien une solution particulière de (E).

2.aSoit f une fonction dérivable sur \mathbb{R}, et g la fonction définie sur \mathbb{R} par {g(x) = f(x)-u(x)}. Démontrer que si f est solution de (E), alors g est solution de l'équation différentielle y'=y.

Supposons que f soit solution de (E), c'est-à-dire que f'(x) = f(x)+2xe^x pour tout réel x.
Comme {g(x) = f(x)-u(x)}, on a {f(x) = g(x)+u(x)}, et par dérivation (les fonctions étant dérivables sur \mathbb{R}) : f'(x) = g'(x)+u'(x).
En reportant dans l'égalité de (E) : g'(x)+u'(x) = g(x)+u(x)+2xe^x.
Or, d'après la question 1, u'(x) = u(x)+2xe^x. En simplifiant ce terme des deux côtés, il reste : g'(x) = g(x).
La fonction g est donc bien solution de l'équation différentielle y'=y.

2.bEn admettant que la réciproque de la propriété précédente est vraie, résoudre l'équation différentielle (E) à l'aide des solutions de y'=y.

Les solutions de l'équation y'=y sont les fonctions x\longmapsto K e^x, avec K\in\mathbb{R}.
On a donc g(x) = Ke^x pour un réel K, soit \begin{aligned}f(x) &= g(x)+u(x) \\ &= Ke^x+x^2e^x\end{aligned}
Donc, les solutions de (E) sont les fonctions définies sur \mathbb{R} par {f(x) = (K+x^2)e^x}, avec K\in\mathbb{R}.

3.aÉtude de la fonction u. Étudier le signe de u'(x) pour x décrivant \mathbb{R}.

On a établi que u'(x) = 2xe^x+x^2e^x = x(x+2)e^x.
Comme e^x>0 pour tout réel x, le signe de u'(x) est celui du trinôme x(x+2), de racines -2 et 0, positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.
Donc, u'(x)>0 sur {]-\infty~;~-2[\,\cup\,]0~;~+\infty[}, u'(x)<0 sur {]-2~;~0[}, et u'(-2)=u'(0)=0.

3.bDresser le tableau de variations de u sur \mathbb{R} (les limites ne sont pas demandées).

D'après le signe de u' : u est croissante sur ]-\infty~;~-2], décroissante sur [-2~;~0], puis croissante sur [0~;~+\infty[.
u admet donc un maximum local en -2, valant u(-2) = 4e^{-2}, et un minimum local en 0, valant u(0)=0.

3.cDéterminer le plus grand intervalle sur lequel u est concave.

u' est dérivable sur \mathbb{R} comme produit de fonctions dérivables, et u''(x) = (2x+2)e^x+(x^2+2x)e^x = e^x(x^2+4x+2).
Comme e^x>0 pour tout réel x, le signe de u''(x) est celui du trinôme x^2+4x+2, dont le discriminant est \begin{aligned}\Delta &= 4^2-4\times1\times2 \\ &= 8\end{aligned} soit \sqrt{\Delta}=2\sqrt{2}.
Les racines de ce trinôme sont \begin{aligned}x_1 &= \dfrac{-4-2\sqrt{2}}{2} \\ &= -2-\sqrt{2}\end{aligned} et \begin{aligned}x_2 &= \dfrac{-4+2\sqrt{2}}{2} \\ &= -2+\sqrt{2}\end{aligned} et le trinôme est négatif entre ses racines.
u est donc concave là où u''(x)\leqslant0, c'est-à-dire sur \left[-2-\sqrt{2}~;~-2+\sqrt{2}\right], qui est le plus grand intervalle de concavité de u.