Bac Terminale Spé Maths : Métropole 2021, Sujet 2
Session 2021 : Métropole, Mayotte, La Réunion, Antilles Guyane, Sujet 2 · Spécialité mathématiques, 4 exercices, 4 heures.
Exercice 1 4 points
Cetexercice est un QCM (une seule bonne réponse par question, aucune justification n'est exigée sur la copie). L'espace est muni d'un repère orthonormé. On donne la droite \mathcal{D} passant par A(1~;~1~;~-2) et B(-1~;~3~;~2), la droite \mathcal{D}' de représentation paramétrique x=-4+3t, y=6-3t, {z=8-6t} (t\in\mathbb{R}), et le plan \mathcal{P} d'équation {x+my-2z+8=0} (m réel). Question 1 : lequel des points M_1(-1~;~3~;~-2), M_2(11~;~-9~;~-22), M_3(-7~;~9~;~2), M_4(-2~;~3~;~4) appartient à \mathcal{D}' ?
En prenant t=5 dans la représentation paramétrique de \mathcal{D}', on obtient \begin{aligned}x &= -4+15 \\ &= 11\end{aligned} \begin{aligned}y &= 6-15 \\ &= -9\end{aligned} et \begin{aligned}z &= 8-30 \\ &= -22\end{aligned} soit exactement les coordonnées de M_2. Donc, la réponse est b. M_2(11~;~-9~;~-22).
Question 2 : parmi \overrightarrow{u_1}\begin{pmatrix}-4 \\ 6 \\ 8\end{pmatrix}, \overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 6\end{pmatrix}, \overrightarrow{u_3}\begin{pmatrix}3 \\ -3 \\ -6\end{pmatrix} et \overrightarrow{u_4}\begin{pmatrix}-1 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix}, lequel est un vecteur directeur de \mathcal{D}' ?
Les coefficients de t dans la représentation paramétrique de \mathcal{D}' donnent directement un vecteur directeur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3 \\ -3 \\ -6\end{pmatrix}, qui correspond exactement à \overrightarrow{u_3}. Donc, la réponse est c. \overrightarrow{u_3}.
Question 3 : les droites \mathcal{D} et \mathcal{D}' sont-elles sécantes, strictement parallèles, non coplanaires, ou confondues ?
Un vecteur directeur de \mathcal{D} est \overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}-2 \\ 2 \\ 4\end{pmatrix}, colinéaire à \overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} (en divisant par 2).
Un vecteur directeur de \mathcal{D}' est \overrightarrow{u_3}\begin{pmatrix}3 \\ -3 \\ -6\end{pmatrix}, colinéaire à \overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} (en divisant par -3) : les deux droites ont donc des vecteurs directeurs colinéaires, elles sont parallèles.
En prenant t=\dfrac{5}{3} dans la représentation paramétrique de \mathcal{D}', on obtient \begin{aligned}x &= -4+5 \\ &= 1\end{aligned} \begin{aligned}y &= 6-5 \\ &= 1\end{aligned} et \begin{aligned}z &= 8-10 \\ &= -2\end{aligned} soit exactement le point A. Le point A appartient donc aux deux droites.
Deux droites parallèles ayant un point commun sont confondues. Donc, la réponse est d. confondues.
Question 4 : pour quelle valeur du réel m la droite \mathcal{D} est-elle parallèle au plan \mathcal{P} ? (parmi m=-1, m=1, m=5, m=-2)
Le plan \mathcal{P} admet pour vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1 \\ m \\ -2\end{pmatrix}, et \mathcal{D} a pour vecteur directeur \overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}-2 \\ 2 \\ 4\end{pmatrix}.
\mathcal{D} est parallèle à \mathcal{P} si, et seulement si, \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{n} sont orthogonaux, c'est-à-dire si \overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{n}=0.
\begin{aligned}\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{n} &= -2\times1+2\times m+4\times(-2) \\ &= 2m-10\end{aligned} qui s'annule pour m=5.
Donc, la réponse est c. m=5.
Exercice 2 6 points
Unemaladie féline touche 40 % des chats d'un centre vétérinaire. Un test de dépistage est positif dans 90 % des cas quand le chat est porteur de la maladie, et négatif dans 85 % des cas quand il ne l'est pas. On choisit un chat au hasard et on note M « le chat est porteur de la maladie » et T « le test est positif ». 1.a Représenter la situation par un arbre pondéré.
L'arbre comporte une première branche P(M)=0{,}4 et P(\overline{M})=0{,}6, puis, à partir de M, P_M(T)=0{,}9 et P_M(\overline{T})=0{,}1, et à partir de \overline{M}, P_{\overline{M}}(T)=0{,}15 et {P_{\overline{M}}(\overline{T})=0{,}85}.
1.bCalculer la probabilité que le chat soit porteur de la maladie et que son test soit positif.
P(M\cap T) = P(M)\times P_M(T) = 0{,}4\times0{,}9 = 0,36.
1.cMontrer que la probabilité que le test soit positif vaut 0,45.
\begin{aligned}P(\overline{M}\cap T) &= P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T) \\ &= 0{,}6\times0{,}15 \\ &= 0{,}09\end{aligned}
\{M,\overline{M}\} forme une partition de l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales : \begin{aligned}P(T) &= P(M\cap T)+P(\overline{M}\cap T) \\ &= 0{,}36+0{,}09 \\ &= 0{,}45\end{aligned}
1.dSachant que le test d'un chat est positif, calculer la probabilité qu'il soit porteur de la maladie.
P_T(M) = \dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}36}{0{,}45} = 0,8.
2.aOn prélève un échantillon de 20 chats, assimilé à un tirage avec remise. Soit X le nombre de chats dont le test est positif dans cet échantillon. Justifier la loi suivie par X et donner ses paramètres.
L'épreuve « le test du chat est positif » (probabilité 0{,}45 d'après la question précédente) est répétée 20 fois de façon identique et indépendante (tirage avec remise) : X suit donc la loi binomiale de paramètres n=20 et p=0{,}45.
2.bCalculer la probabilité qu'exactement 5 chats de l'échantillon aient un test positif.
P(X=5) = \dbinom{20}{5}\times0{,}45^{5}\times0{,}55^{15} \approx 0,036.
2.cCalculer la probabilité qu'au plus 8 chats de l'échantillon aient un test positif.
À la calculatrice : P(X\leqslant8) \approx 0,414.
2.dDéterminer l'espérance de X et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\begin{aligned}E(X) &= np \\ &= 20\times0{,}45 \\ &= 9\end{aligned} En moyenne, sur un grand nombre d'échantillons de 20 chats, on observera 9 chats avec un test positif par échantillon.
3.aOn choisit maintenant un échantillon de n chats (toujours assimilé à un tirage avec remise) et on note p_n la probabilité qu'au moins un chat de l'échantillon ait un test positif. Montrer que p_n = 1-0{,}55^n.
Le nombre de chats à test positif dans l'échantillon suit une loi binomiale de paramètres n et p=0{,}45 ; l'évènement contraire de « au moins un chat positif » est « aucun chat positif », c'est-à-dire (X=0).
\begin{aligned}P(X=0) &= \dbinom{n}{0}\times0{,}45^{0}\times0{,}55^{n} \\ &= 0{,}55^{n}\end{aligned}
Donc \begin{aligned}p_n &= 1-P(X=0) \\ &= 1-0{,}55^{n}\end{aligned}
3.bOn considère le programme Python suivant, où n est un entier naturel et P un nombre réel :
- def seuil():
- n = 0
- P = 0
- while P < 0.99 :
- n = n + 1
- P = 1 - 0.55n
- return n
Décrire le rôle de ce programme.
Ce programme calcule successivement p_n pour n=1,2,3,\ldots en augmentant n de 1 à chaque étape, jusqu'à ce que p_n atteigne ou dépasse 0{,}99 ; il renvoie alors la plus petite valeur de n pour laquelle p_n\geqslant0{,}99, c'est-à-dire la taille minimale d'échantillon garantissant une probabilité d'au moins 99 % d'avoir un chat positif.
3.cDéterminer, en précisant la méthode employée, la valeur renvoyée par ce programme.
On cherche le plus petit entier n tel que 1-0{,}55^{n}\geqslant0{,}99, soit 0{,}55^{n}\leqslant0{,}01.
La fonction logarithme népérien étant strictement croissante, cette inégalité équivaut à n\ln(0{,}55)\leqslant\ln(0{,}01), puis, en divisant par \ln(0{,}55) qui est négatif (ce qui inverse le sens de l'inégalité), à n\geqslant\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}55)}.
Or \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}55)}\approx7{,}7, donc le plus petit entier convenant est n=8.
Donc, le programme renvoie la valeur 8.
Exercice 3 5 points
Onconsidère la suite (u_n) définie par u_0=1 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = \dfrac{4u_n}{u_n+4}. 1. Une feuille de calcul donne les valeurs de u_n et de \dfrac{4}{u_n} pour n allant de 0 à 12 ; ces dernières valent successivement 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16. Conjecturer l'expression de \dfrac{4}{u_n} en fonction de n.
On peut conjecturer que, pour tout entier naturel n, \dfrac{4}{u_n} = n+4.
2.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_n>0.
Initialisation : u_0=1>0, la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : on suppose que, pour un entier naturel n, u_n>0. Alors {u_n+4>4>0}, donc \dfrac{1}{u_n+4}>0, et comme u_n>0 par hypothèse de récurrence, u_{n+1} = \dfrac{4u_n}{u_n+4}>0 : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, u_n>0.
3.Démontrer que la suite (u_n) est décroissante.
Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \dfrac{4u_n}{u_n+4}-u_n \\ &= \dfrac{4u_n-u_n(u_n+4)}{u_n+4} \\ &= \dfrac{4u_n-u_n^{2}-4u_n}{u_n+4} \\ &= -\dfrac{u_n^{2}}{u_n+4}\end{aligned}
D'après la question précédente, u_n>0 donc u_n^{2}>0, et u_n+4>0 ; ainsi -\dfrac{u_n^{2}}{u_n+4}<0.
Donc, pour tout entier naturel n, u_{n+1}-u_n<0 : la suite (u_n) est décroissante.
4.Que peut-on en conclure concernant la convergence de la suite (u_n) ?
La suite (u_n) est décroissante (question 3) et minorée par 0 (question 2) : d'après le théorème de la convergence monotone, la suite (u_n) converge vers un réel \ell\geqslant0.
5.On pose, pour tout entier naturel n, {v_n = \dfrac{4}{u_n}}. Démontrer que (v_n) est une suite arithmétique, préciser sa raison et son premier terme, puis en déduire l'expression de v_n en fonction de n.
Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}v_{n+1}-v_n &= \dfrac{4}{u_{n+1}}-\dfrac{4}{u_n} \\ &= \dfrac{4}{\frac{4u_n}{u_n+4}}-\dfrac{4}{u_n} \\ &= \dfrac{u_n+4}{u_n}-\dfrac{4}{u_n} \\ &= \dfrac{u_n+4-4}{u_n} \\ &= \dfrac{u_n}{u_n} \\ &= 1\end{aligned}
Donc, pour tout entier naturel n, v_{n+1}-v_n=1 (constante) : la suite (v_n) est arithmétique de raison r=1.
Son premier terme est \begin{aligned}v_0 &= \dfrac{4}{u_0} \\ &= \dfrac{4}{1} \\ &= 4\end{aligned}
D'après la formule du terme général d'une suite arithmétique : \begin{aligned}v_n &= v_0+nr \\ &= 4+n\end{aligned} pour tout entier naturel n.
6.En déduire l'expression de u_n en fonction de n, puis la limite de la suite (u_n).
Comme v_n=\dfrac{4}{u_n}, on a \begin{aligned}u_n &= \dfrac{4}{v_n} \\ &= \dfrac{4}{n+4}\end{aligned} pour tout entier naturel n.
Or \displaystyle\lim_{n\to+\infty}(n+4) = +\infty, donc, par quotient, \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n = 0.
Exercice 4A 5 points
Exercice au choix : Partie 1. Soit h la fonction définie sur ]0~;~+\infty[ par {h(x) = 1+\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}}, dérivable sur cet intervalle. 1. Déterminer les limites de h en 0 et en +\infty.
Limite en 0 : on écrit {h(x) = 1+\dfrac{1}{x}\times\dfrac{\ln(x)}{x}}. Or \displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\dfrac{1}{x} = +\infty et {\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\dfrac{\ln(x)}{x} = -\infty} (produit d'une limite finie négative infiniment grande par une limite infiniment grande), donc, par produit puis somme de limites : {\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}h(x) = -\infty}.
Limite en +\infty : par croissances comparées, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^{2}} = 0, donc, par somme de limites : \displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x) = 1.
2.Montrer que, pour tout réel x de ]0~;~+\infty[, h'(x) = \dfrac{1-2\ln(x)}{x^{3}}.
h est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme somme et quotient de fonctions dérivables (dénominateur non nul).
{h(x) = 1+\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}}, donc, en dérivant le quotient \dfrac{\ln(x)}{x^{2}} (dérivée du numérateur \dfrac{1}{x}, dérivée du dénominateur 2x) : h'(x) = \dfrac{\frac{1}{x}\times x^{2}-\ln(x)\times2x}{x^{4}} = \dfrac{x-2x\ln(x)}{x^{4}} = \dfrac{1-2\ln(x)}{x^{3}}.
3.En déduire les variations de h sur ]0~;~+\infty[.
Pour x>0, x^{3}>0, donc h'(x) est du signe du numérateur 1-2\ln(x).
1-2\ln(x)>0 \iff \ln(x)<\dfrac{1}{2} \iff x<\text{e}^{\dfrac{1}{2}} (par stricte croissance de la fonction exponentielle).
Donc h'(x)>0 sur ]0~;~\text{e}^{\dfrac{1}{2}}[ et h'(x)<0 sur ]\text{e}^{\dfrac{1}{2}}~;~+\infty[ : la fonction h est strictement croissante sur ]0~;~\text{e}^{\dfrac{1}{2}}] puis strictement décroissante sur [\text{e}^{\dfrac{1}{2}}~;~+\infty[, avec un maximum \begin{aligned}h(\text{e}^{\dfrac{1}{2}}) &= 1+\dfrac{1}{2\text{e}} \\ &\approx 1{,}18\end{aligned}
4.Montrer que l'équation h(x)=0 admet une unique solution \alpha dans ]0~;~+\infty[, et vérifier que {\dfrac{1}{2}<\alpha<1}.
Sur ]0~;~\text{e}^{\dfrac{1}{2}}], h est continue (car dérivable) et strictement croissante, de limite -\infty en 0 à h(\text{e}^{\dfrac{1}{2}})\approx1{,}18>0 : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation h(x)=0 admet une unique solution sur ]0~;~\text{e}^{\dfrac{1}{2}}].
Sur [\text{e}^{\dfrac{1}{2}}~;~+\infty[, h est strictement décroissante avec un maximum h(\text{e}^{\dfrac{1}{2}})\approx1{,}18>0 et une limite égale à 1 (donc strictement positive) en +\infty : h ne s'annule pas sur cet intervalle.
L'équation h(x)=0 admet donc bien une unique solution \alpha sur ]0~;~+\infty[, appartenant à ]0~;~\text{e}^{\dfrac{1}{2}}].
Comme h est strictement croissante sur cet intervalle, avec {h(\dfrac{1}{2})\approx-1{,}77<0} et h(1)=1>0, on en déduit que {\dfrac{1}{2}<\alpha<1}.
5.Déterminer le signe de h(x) pour x appartenant à ]0~;~+\infty[.
D'après les questions précédentes, h est strictement croissante sur ]0~;~\alpha] en partant de -\infty puis strictement décroissante ensuite en restant strictement positive (le maximum h(\text{e}^{\dfrac{1}{2}}) et la limite 1 en +\infty sont strictement positifs), et s'annule uniquement en \alpha : donc h(x)<0 sur ]0~;~\alpha[, h(\alpha)=0, et h(x)>0 sur ]\alpha~;~+\infty[.
Partie2. On désigne par f_1 et f_2 les fonctions définies sur ]0~;~+\infty[ par {f_1(x) = x-1-\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}} et f_2(x) = x-2-\dfrac{2\ln(x)}{x^{2}}, de courbes représentatives respectives \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2 dans un repère. 1. Montrer que, pour tout réel x de ]0~;~+\infty[, f_1(x)-f_2(x) = h(x).
Pour tout réel x de ]0~;~+\infty[ : \begin{aligned}f_1(x)-f_2(x) &= \left(x-1-\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}\right)-\left(x-2-\dfrac{2\ln(x)}{x^{2}}\right) \\ &= -1+2-\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}+\dfrac{2\ln(x)}{x^{2}} \\ &= 1+\dfrac{\ln(x)}{x^{2}} \\ &= h(x)\end{aligned}
2.En déduire, à l'aide des résultats de la partie 1, la position relative des courbes \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2, en justifiant que leur unique point d'intersection a pour coordonnées (\alpha~;~\alpha).
Sur ]0~;~\alpha[, h(x)<0 donc f_1(x)<f_2(x) : la courbe \mathcal{C}_1 est strictement en dessous de \mathcal{C}_2.
Sur ]\alpha~;~+\infty[, h(x)>0 donc {f_1(x)>f_2(x)} : la courbe \mathcal{C}_1 est strictement au-dessus de \mathcal{C}_2.
En x=\alpha, h(\alpha)=0 donc f_1(\alpha)=f_2(\alpha) : les deux courbes se coupent en un unique point, d'abscisse \alpha.
L'ordonnée de ce point vaut \begin{aligned}f_1(\alpha) &= \alpha-1-\dfrac{\ln(\alpha)}{\alpha^{2}} \\ &= \alpha-\left(1+\dfrac{\ln(\alpha)}{\alpha^{2}}\right) \\ &= \alpha-h(\alpha) \\ &= \alpha\end{aligned} (car h(\alpha)=0).
Donc, les courbes \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2 ont pour unique point d'intersection le point de coordonnées (\alpha~;~\alpha).
Exercice 4B 5 points
Exercice au choix : Partie 1. On donne, dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction dérivée f' d'une fonction f dérivable sur \mathbb{R} (la courbe de f' est celle d'une fonction du type {x\mapsto-\dfrac{1+x}{\text{e}^{x}}}, positive puis négative, qui s'annule en x=-1, décroissante avant x=0 et croissante après). 1. Conjecturer, en justifiant, le sens de variation de f sur \mathbb{R}.
D'après la courbe de f', cette dérivée est positive sur ]-\infty~;~-1[ : la fonction f est donc croissante sur cet intervalle.
D'après la courbe de f', cette dérivée est négative sur ]-1~;~+\infty[ : la fonction f est donc décroissante sur cet intervalle.
2.Conjecturer, en justifiant, la convexité de f sur \mathbb{R}.
D'après la courbe de f', cette fonction est décroissante sur ]-\infty~;~0[ : la fonction f est donc concave sur cet intervalle.
D'après la courbe de f', cette fonction est croissante sur ]0~;~+\infty[ : la fonction f est donc convexe sur cet intervalle.
Partie2. On admet que la fonction f de la partie 1 est définie sur \mathbb{R} par {f(x) = (x+2)\text{e}^{-x}}, deux fois dérivable, de courbe représentative \mathcal{C} dans un repère orthonormé. 1. Montrer que, pour tout réel x, f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^{x}}+2\text{e}^{-x}, en déduire la limite de f en +\infty, puis justifier que \mathcal{C} admet une asymptote que l'on précisera (on admet que \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty).
Pour tout réel x : f(x) = (x+2)\text{e}^{-x} = x\text{e}^{-x}+2\text{e}^{-x} = \dfrac{x}{\text{e}^{x}}+2\text{e}^{-x}.
Par croissances comparées, {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x} = +\infty}, donc \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\text{e}^{x}} = 0 ; de plus \displaystyle\lim_{x\to+\infty}2\text{e}^{-x} = 0.
Par somme de limites : \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = 0.
On en déduit que la courbe \mathcal{C} admet la droite d'équation y=0 (l'axe des abscisses) pour asymptote horizontale en +\infty.
2.aMontrer que, pour tout réel x, f'(x) = (-x-1)\text{e}^{-x}.
f est dérivable sur \mathbb{R} comme produit de fonctions dérivables : f'(x) = 1\times\text{e}^{-x}+(x+2)\times(-\text{e}^{-x}) = \text{e}^{-x}\big(1-(x+2)\big) = (-x-1)\text{e}^{-x}.
2.bÉtudier les variations de f sur \mathbb{R} et dresser son tableau de variations.
Pour tout réel x, \text{e}^{-x}>0, donc f'(x) est du signe de -x-1, qui s'annule en x=-1, est positif avant et négatif après.
f est donc strictement croissante sur ]-\infty~;~-1] et strictement décroissante sur [-1~;~+\infty[.
f(-1) = (-1+2)\text{e}^{1} = \text{e} : le tableau de variations de f va de -\infty (limite en -\infty, admise) jusqu'au maximum \text{e} atteint en x=-1, puis redescend vers 0 (limite en +\infty, question 1).
2.cMontrer que l'équation f(x)=2 admet une unique solution \alpha sur [-2~;~-1], et en donner une valeur approchée à 10^{-1} près.
Sur [-2~;~-1], f est continue (car dérivable) et strictement croissante (question 2.b).
f(-2) = (-2+2)\text{e}^{2} = 0 et {f(-1) = \text{e}\approx2{,}72}, donc f(-2)<2<f(-1).
D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire de la stricte monotonie), l'équation f(x)=2 admet une unique solution \alpha sur [-2~;~-1].
À la calculatrice, f(-1{,}6)\approx1{,}98<2 et f(-1{,}5)\approx2{,}24>2, donc \alpha\approx-1{,}6 à 10^{-1} près.
3.Déterminer, pour tout réel x, l'expression de f''(x), étudier la convexité de f, et préciser ce que représente pour la courbe \mathcal{C} son point A d'abscisse 0.
f'(x) = (-x-1)\text{e}^{-x}, donc f''(x) = (-1)\times\text{e}^{-x}+(-x-1)\times(-\text{e}^{-x}) = \text{e}^{-x}\big(-1+(x+1)\big) = x\text{e}^{-x}.
Pour tout réel x, \text{e}^{-x}>0, donc f''(x) est du signe de x.
Sur ]-\infty~;~0[, f''(x)<0 : la fonction f est concave. Sur ]0~;~+\infty[, f''(x)>0 : la fonction f est convexe.
En x=0, f'' s'annule en changeant de signe : le point A d'abscisse 0 de la courbe \mathcal{C} est donc son point d'inflexion.
Corrigé rédigé par Logimaths à partir du sujet officiel du Ministère de l'Éducation nationale (éduscol.education.gouv.fr).