Bac Terminale Spé Maths : Métropole 2021 (remplacement)

1.Une entreprise reçoit chaque jour beaucoup de courriels, dont 8 % sont des spams (courriers indésirables à but publicitaire ou malveillant). Le logiciel de messagerie classe un courriel comme « indésirable » avec une probabilité de 0,9 sachant que c'est un spam, et avec une probabilité de 0,01 sachant que ce n'en est pas un. On note S l'évènement « le courriel est un spam » et I l'évènement « le courriel est classé indésirable », et \overline{S}, \overline{I} leurs évènements contraires. On choisit un courriel au hasard. Construire l'arbre pondéré associé à cette expérience.

L'arbre part de la racine avec deux branches : S de probabilité 0{,}08 et \overline{S} de probabilité 0{,}92.
Depuis S partent I (probabilité 0{,}9) et \overline{I} (probabilité 0{,}1).
Depuis \overline{S} partent I (probabilité 0{,}01) et \overline{I} (probabilité 0{,}99).

2.aDémontrer que la probabilité que le courriel choisi soit à la fois un spam et classé indésirable est égale à 0,072.

En suivant la branche S puis I de l'arbre : \begin{aligned}P(S\cap I) &= P(S)\times P_S(I) \\ &= 0{,}08\times0{,}9 \\ &= 0{,}072\end{aligned}

2.bCalculer la probabilité que le courriel choisi soit classé indésirable.

On calcule d'abord \begin{aligned}P\left(\overline{S}\cap I\right) &= P\left(\overline{S}\right)\times P_{\overline{S}}(I) \\ &= 0{,}92\times0{,}01 \\ &= 0{,}0092\end{aligned}
Comme \{S~;~\overline{S}\} forme une partition de l'univers, la formule des probabilités totales donne :
\begin{aligned}P(I) &= P(S\cap I)+P\left(\overline{S}\cap I\right) \\ &= 0{,}072+0{,}0092 \\ &= 0{,}0812\end{aligned}

2.cLe courriel choisi est classé indésirable. Quelle est la probabilité que ce soit effectivement un spam ? On arrondira au centième.

Il s'agit de calculer \begin{aligned}P_I(S) &= \dfrac{P(I\cap S)}{P(I)} \\ &= \dfrac{0{,}072}{0{,}0812} \\ &\approx 0{,}8867\end{aligned}
Donc, la probabilité cherchée est environ 0,89.

3.aOn choisit au hasard, avec remise, 50 courriels parmi ceux reçus par l'entreprise. On note Z le nombre de spams parmi ces 50 courriels. Quelle est la loi de probabilité suivie par Z, et quels sont ses paramètres ?

Ce tirage avec remise répète 50 fois, de façon identique et indépendante, l'épreuve de Bernoulli « le courriel est un spam » de probabilité de succès {p=0{,}08}. Donc, Z suit la loi binomiale de paramètres n=50 et {p=0{,}08}.

3.bQuelle est la probabilité que, parmi les 50 courriels choisis, au moins deux soient des spams ? On arrondira au centième.

On calcule {P(Z\geqslant2) = 1-P(Z=0)-P(Z=1)}.
\begin{aligned}P(Z=0) &= (1-0{,}08)^{50} \\ &= 0{,}92^{50} \\ &\approx 0{,}01547\end{aligned}
\begin{aligned}P(Z=1) &= \dbinom{50}{1}\times0{,}08\times0{,}92^{49} \\ &\approx 0{,}06725\end{aligned}
\begin{aligned}P(Z\geqslant2) &\approx 1-0{,}01547-0{,}06725 \\ &\approx 0{,}9173\end{aligned} Donc, la probabilité cherchée est environ 0,92.

Cetexercice est un questionnaire à choix multiples (une seule réponse exacte par question, aucune justification demandée). Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O~;~\vec{i}~;~\vec{j}~;~\vec{k}), on considère les points A(1~;~0~;~2), B(2~;~1~;~0), C(0~;~1~;~2) et la droite \Delta de représentation paramétrique \begin{cases}x=1+2t\\y=-2+t\\z=4-t\end{cases}, \ t\in\mathbb{R}. 1. Parmi les points M(2 ; 1 ; -1), N(-3 ; -4 ; 6), P(-3 ; -4 ; 2) et Q(-5 ; -5 ; 1), lequel appartient à \Delta ?

Un point appartient à \Delta si ses coordonnées vérifient le système pour une même valeur de t. En utilisant la deuxième équation y=-2+t pour chaque point, on obtient une valeur candidate de t, que l'on reporte ensuite dans les deux autres équations.
Pour N(-3~;~-4~;~6) : y=-4 donne {t=-2}, et on vérifie \begin{aligned}x &= 1+2\times(-2) \\ &= -3\end{aligned} ainsi que \begin{aligned}z &= 4-(-2) \\ &= 6\end{aligned} Les trois coordonnées correspondent.
Les trois autres points échouent à au moins l'une des deux vérifications. Donc, le point cherché est N.

2.Quelles sont les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} ?

\overrightarrow{AB} a pour coordonnées \begin{pmatrix}2-1 \\ 1-0 \\ 0-2\end{pmatrix}, soit \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}.

3.Donner une représentation paramétrique de la droite (AB).

Un point M(x~;~y~;~z) appartient à (AB) si et seulement s'il existe un réel t tel que \overrightarrow{AM} = t\,\overrightarrow{AB}, ce qui donne \begin{cases}x=1+t\\y=t\\z=2-2t\end{cases}, \ t\in\mathbb{R}.
En posant u=1-t (changement de paramètre, qui décrit toujours la même droite), ce système devient \begin{cases}x=2-u\\y=1-u\\z=2u\end{cases}, \ u\in\mathbb{R}, qui est la représentation proposée.

4.Donner une équation cartésienne du plan passant par le point C et orthogonal à la droite \Delta.

La droite \Delta admet pour vecteur directeur \vec{\delta}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}, qui est donc un vecteur normal au plan cherché.
Un point M(x~;~y~;~z) appartient à ce plan si et seulement si \overrightarrow{CM}\cdot\vec{\delta}=0, soit 2(x-0)+1(y-1)-1(z-2)=0, c'est-à-dire {2x+y-z+1=0}.
L'équation cherchée est donc {2x+y-z+1=0}.

5.On considère le point D défini par {\overrightarrow{OD} = 3\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}}. Que peut-on affirmer sur les points A, B, C, D ?

En faisant apparaître A dans chaque vecteur grâce à la relation de Chasles : \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{OA}-\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}\right)-\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}\right).
En simplifiant : \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.
Le vecteur \overrightarrow{AD} est donc une combinaison linéaire de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} : les trois vecteurs \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} sont coplanaires.

PartieI : On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = x-e^{-2x}, et \Gamma sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1. Déterminer les limites de f en -\infty et en +\infty.

En -\infty : \displaystyle\lim_{x\to-\infty}x = -\infty et {\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{-2x} = +\infty} (car -2x\to+\infty), donc \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(-e^{-2x}\right) = -\infty. Par somme de limites : \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x) = -\infty.
En +\infty : \displaystyle\lim_{x\to+\infty}x = +\infty et \displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-2x} = 0, donc par somme de limites : \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty.

2.Étudier le sens de variation de f sur \mathbb{R} et dresser son tableau de variation.

f est dérivable sur \mathbb{R} comme somme de fonctions dérivables, et f'(x) = 1-(-2)e^{-2x} = 1+2e^{-2x}.
Pour tout réel x, e^{-2x}>0, donc f'(x) = 1+2e^{-2x} > 1 > 0.
f' est strictement positive sur \mathbb{R}, donc f est strictement croissante sur \mathbb{R}, de -\infty à +\infty.

3.Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution \alpha sur \mathbb{R}, dont on donnera une valeur approchée à 10^{-2} près.

f est continue (car dérivable) et strictement croissante sur \mathbb{R}, et 0 appartient à l'intervalle image \left]-\infty~;~+\infty\right[. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet donc une unique solution \alpha dans \mathbb{R}.
À la calculatrice, f(0,42)\approx-0{,}012<0 et f(0,43)\approx0{,}007>0, donc {0{,}42<\alpha<0{,}43}.

4.Déduire des questions précédentes le signe de f(x) suivant les valeurs de x.

f étant strictement croissante et s'annulant uniquement en \alpha :
sur \left]-\infty~;~\alpha\right[, f(x)<0 ;
f(\alpha)=0 ;
sur \left]\alpha~;~+\infty\right[, f(x)>0.

PartieII : Dans le même repère, on appelle \mathcal{C} la courbe représentative de la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x)=e^{-x}. Pour tout réel t, on note M le point de coordonnées (t~;~e^{-t}) de \mathcal{C}, et \begin{aligned}h(t) &= OM \\ &= \sqrt{t^2+e^{-2t}}\end{aligned} la distance entre l'origine O et M. 1.a Montrer que, pour tout réel t, h'(t) = \dfrac{f(t)}{\sqrt{t^2+e^{-2t}}}.

Posons u(t) = t^2+e^{-2t}, de sorte que h(t)=\sqrt{u(t)}. La fonction u est dérivable et strictement positive sur \mathbb{R} (somme d'un carré et d'une exponentielle, non tous deux nuls), donc h est dérivable comme composée par la racine carrée, avec u'(t) = 2t-2e^{-2t}.
h'(t) = \dfrac{u'(t)}{2\sqrt{u(t)}} = \dfrac{2t-2e^{-2t}}{2\sqrt{t^2+e^{-2t}}} = \dfrac{t-e^{-2t}}{\sqrt{t^2+e^{-2t}}} = \dfrac{f(t)}{\sqrt{t^2+e^{-2t}}}, ce qui est le résultat attendu.

1.bDémontrer que le point A de coordonnées (\alpha~;~e^{-\alpha}) est le point de la courbe \mathcal{C} pour lequel la distance OM est minimale.

Le dénominateur \sqrt{t^2+e^{-2t}} est strictement positif, donc h'(t) est du signe de f(t), dont le signe a été établi en Partie I.
Sur \left]-\infty~;~\alpha\right[, f(t)<0 donc h'(t)<0 : h est strictement décroissante.
Sur \left]\alpha~;~+\infty\right[, f(t)>0 donc h'(t)>0 : h est strictement croissante.
h admet donc un minimum global en t=\alpha. Le point de \mathcal{C} correspondant, d'abscisse \alpha et d'ordonnée e^{-\alpha}, est bien le point A : c'est le point de \mathcal{C} le plus proche de l'origine.

2.aOn appelle T la tangente en A à la courbe \mathcal{C}. Exprimer en fonction de \alpha le coefficient directeur de T.

La tangente à \mathcal{C} au point d'abscisse \alpha a pour coefficient directeur g'(\alpha). Comme g'(x)=-e^{-x}, ce coefficient directeur vaut -e^{-\alpha}.

2.bDémontrer que la droite (OA) et la tangente T sont perpendiculaires (on rappelle que le coefficient directeur de (OA) est \dfrac{e^{-\alpha}}{\alpha}, et que deux droites de coefficients directeurs m et m' sont perpendiculaires si et seulement si mm'=-1).

Le produit des coefficients directeurs de (OA) et de T vaut \dfrac{e^{-\alpha}}{\alpha}\times\left(-e^{-\alpha}\right) = -\dfrac{e^{-2\alpha}}{\alpha}.
Or \alpha vérifie f(\alpha)=0, c'est-à-dire {\alpha-e^{-2\alpha}=0}, soit \alpha=e^{-2\alpha}, donc \dfrac{e^{-2\alpha}}{\alpha}=1.
Le produit des coefficients directeurs vaut donc -1 : les droites (OA) et T sont perpendiculaires.

Exercice au choix A : Suites numériques et raisonnement par récurrence. On considère les suites (u_n) et (v_n) définies par u_0=16, v_0=5, et pour tout entier naturel n : {u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2v_n}{5}} et v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}. 1. Calculer u_1 et v_1.

\begin{aligned}u_1 &= \dfrac{3\times16+2\times5}{5} \\ &= \dfrac{48+10}{5} \\ &= \dfrac{58}{5}\end{aligned} soit u_1=11{,}6.
\begin{aligned}v_1 &= \dfrac{16+5}{2} \\ &= \dfrac{21}{2}\end{aligned} soit v_1=10{,}5.

2.aOn pose, pour tout entier naturel n, w_n=u_n-v_n. Démontrer que (w_n) est géométrique de raison 0,1, et en déduire l'expression de w_n en fonction de n.

Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}w_{n+1} &= u_{n+1}-v_{n+1} \\ &= \dfrac{3u_n+2v_n}{5}-\dfrac{u_n+v_n}{2} \\ &= \dfrac{2(3u_n+2v_n)-5(u_n+v_n)}{10} \\ &= \dfrac{6u_n+4v_n-5u_n-5v_n}{10} \\ &= \dfrac{u_n-v_n}{10} \\ &= \dfrac{1}{10}w_n\end{aligned}
La suite (w_n) est donc géométrique de raison 0{,}1, de premier terme \begin{aligned}w_0 &= u_0-v_0 \\ &= 16-5 \\ &= 11\end{aligned}
On en déduit que, pour tout entier naturel n, w_n = 11\times0{,}1^n.

2.bPréciser le signe de la suite (w_n) et sa limite.

Pour tout entier naturel n, 0{,}1^n>0 et 11>0, donc w_n>0 : la suite (w_n) est à termes strictement positifs.
Comme {0<0{,}1<1}, \displaystyle\lim_{n\to+\infty}0{,}1^n=0, donc par produit de limites, \displaystyle\lim_{n\to+\infty}w_n=0.

3.aDémontrer que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}-u_n=-0,4\,w_n.

Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \dfrac{3u_n+2v_n}{5}-u_n \\ &= \dfrac{3u_n+2v_n-5u_n}{5} \\ &= \dfrac{-2u_n+2v_n}{5} \\ &= -\dfrac{2}{5}(u_n-v_n) \\ &= -\dfrac{2}{5}w_n\end{aligned}
Or \dfrac{2}{5}=0{,}4, donc u_{n+1}-u_n = -0{,}4\,w_n.

3.bEn déduire que la suite (u_n) est décroissante.

D'après la question 2.b, w_n>0 pour tout entier naturel n, donc -0{,}4\,w_n<0, c'est-à-dire u_{n+1}-u_n<0 : la suite (u_n) est strictement décroissante.

3.cOn admet (la démonstration est analogue) que (v_n) est croissante, donc que \begin{aligned}v_n &\geqslant v_0 \\ &= 5\end{aligned} pour tout entier naturel n. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_n\geqslant5, puis conclure que (u_n) converge.

Initialisation. \begin{aligned}u_0 &= 16 \\ &\geqslant 5\end{aligned} La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité. Supposons que, pour un entier naturel n, u_n\geqslant5. On a alors 3u_n\geqslant15, et comme v_n\geqslant5, on a aussi 2v_n\geqslant10.
En additionnant ces deux inégalités : 3u_n+2v_n\geqslant25, puis en divisant par {5>0} : \dfrac{3u_n+2v_n}{5}\geqslant5, c'est-à-dire u_{n+1}\geqslant5 : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, u_n\geqslant5.
La suite (u_n) est décroissante (question 3.b) et minorée par 5 : d'après le théorème de la convergence monotone, elle converge vers une limite \ell\geqslant5.

4.aOn admet également que (v_n) converge, vers une limite \ell'. Démontrer que \ell=\ell'.

D'après la question 2.b, \displaystyle\lim_{n\to+\infty}w_n=0, c'est-à-dire \displaystyle\lim_{n\to+\infty}(u_n-v_n)=0.
Les suites (u_n) et (v_n) étant toutes deux convergentes, la limite d'une différence est la différence des limites : \ell-\ell'=0, donc \ell=\ell'.

4.bOn pose, pour tout entier naturel n, c_n=5u_n+4v_n. Démontrer que (c_n) est constante et en déduire sa valeur.

Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}c_{n+1} &= 5u_{n+1}+4v_{n+1} \\ &= 5\times\dfrac{3u_n+2v_n}{5}+4\times\dfrac{u_n+v_n}{2} \\ &= (3u_n+2v_n)+2(u_n+v_n) \\ &= 5u_n+4v_n \\ &= c_n\end{aligned}
La suite (c_n) est donc constante.
Sa valeur commune est \begin{aligned}c_0 &= 5u_0+4v_0 \\ &= 5\times16+4\times5 \\ &= 80+20 \\ &= 100\end{aligned} Donc, pour tout entier naturel n, {c_n=100}.

4.cDéterminer la valeur commune des limites \ell et \ell'.

Comme (c_n) est constante égale à 100, \displaystyle\lim_{n\to+\infty}c_n=100.
Or c_n=5u_n+4v_n, et (u_n), (v_n) ont la même limite \ell (question 4.a), donc \begin{aligned}\displaystyle\lim_{n\to+\infty}c_n &= 5\ell+4\ell \\ &= 9\ell\end{aligned}
Donc 9\ell=100, soit \ell=\ell'=\dfrac{100}{9}.

Exercice au choix B : Fonction logarithme, limites, dérivation. Partie I : Le graphique fourni représente la fonction f définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x)=\dfrac{2\ln(x)-1}{x}. 1. Déterminer par le calcul l'unique solution \alpha de l'équation f(x)=0, en valeur exacte puis arrondie au centième.

Sur ]0~;~+\infty[, x\ne0, donc \begin{aligned}f(x) = 0 &\iff 2\ln(x)-1 = 0 \\ &\iff \ln(x) = \dfrac{1}{2} \\ &\iff x = e^{\frac{1}{2}} \end{aligned}
L'unique solution est donc \begin{aligned}\alpha &= e^{\frac{1}{2}} \\ &= \sqrt{e}\end{aligned} soit, en valeur arrondie, \alpha\approx1{,}65.

2.Préciser, par lecture graphique, le signe de f(x) sur ]0~;~+\infty[.

Sur \left]0~;~e^{\frac{1}{2}}\right[, f(x)<0 ;
f\left(e^{\frac{1}{2}}\right)=0 ;
sur \left]e^{\frac{1}{2}}~;~+\infty\right[, f(x)>0.

PartieII : On considère la fonction g définie sur ]0~;~+\infty[ par g(x)=[\ln(x)]^2-\ln(x). 1.a Déterminer la limite de g en 0.

Quand x\to0, \ln(x)\to-\infty, donc [\ln(x)]^2\to+\infty et -\ln(x)\to+\infty ; par somme de limites, \displaystyle\lim_{x\to0}g(x)=+\infty.

1.bDéterminer la limite de g en +\infty.

On peut écrire g(x)=\ln(x)\times[\ln(x)-1].
Quand x\to+\infty, \ln(x)\to+\infty et {\ln(x)-1\to+\infty}, donc par produit de limites, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty.

2.Démontrer que, pour tout réel x de ]0~;~+\infty[, g'(x)=f(x).

En écrivant g(x)=\ln(x)\times[\ln(x)-1], g est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme produit de fonctions dérivables, et :
g'(x) = \dfrac{1}{x}\times[\ln(x)-1]+\ln(x)\times\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x}\left[\ln(x)-1+\ln(x)\right] = \dfrac{2\ln(x)-1}{x} = f(x).

3.Dresser le tableau de variations de g sur ]0~;~+\infty[, en y faisant figurer les limites et la valeur du minimum.

Comme g'=f, le signe de g' est celui trouvé en Partie I :
g est strictement décroissante sur \left]0~;~e^{\frac{1}{2}}\right[ (limite +\infty en 0), strictement croissante sur \left]e^{\frac{1}{2}}~;~+\infty\right[ (limite +\infty en +\infty), avec un minimum en e^{\frac{1}{2}}.
Ce minimum vaut \begin{aligned}g\left(e^{\frac{1}{2}}\right) &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2} \\ &= -\dfrac{1}{4}\end{aligned}

4.Démontrer que, pour tout réel m>-0,25, l'équation g(x)=m admet exactement deux solutions.

Le minimum de g sur ]0~;~+\infty[ vaut -\dfrac{1}{4}=-0{,}25, atteint uniquement en e^{\frac{1}{2}}, et g tend vers +\infty aux deux bornes de l'intervalle.
D'après le tableau de variations, pour tout réel m>-0{,}25, l'équation g(x)=m admet donc exactement deux solutions : l'une dans \left]0~;~e^{\frac{1}{2}}\right[, l'autre dans \left]e^{\frac{1}{2}}~;~+\infty\right[.

5.Déterminer par le calcul les deux solutions de l'équation {g(x)=0}.

Sur ]0~;~+\infty[ : g(x)=0 \iff \ln(x)\times[\ln(x)-1]=0 \iff \ln(x)=0 \text{ ou } \ln(x)=1.
\begin{aligned}\ln(x) = 0 &\iff x = 1 \end{aligned} et \begin{aligned}\ln(x) = 1 &\iff x = e \end{aligned}
Les deux solutions de l'équation {g(x)=0} sont donc 1 et e.