Bac Terminale Spé Maths : Asie 2022, Sujet 1

1.aLors d'une kermesse, une roue comporte quatre cases blanches et huit cases rouges, et un sac contient cinq jetons numérotés de 1 à 5. On tourne la roue : si la case est blanche, on tire un seul jeton du sac ; si elle est rouge, on tire successivement et sans remise deux jetons. Le joueur gagne si le ou les jetons tirés portent tous un numéro impair. On note B l'évènement « la case obtenue est blanche », R « la case obtenue est rouge » et G « le joueur gagne la partie ». Donner la valeur de P_B(G).

Si la case est blanche, on tire un seul jeton parmi les 5 ; il y a 3 numéros impairs (1, 3, 5). Donc \begin{aligned}P_B(G) &= \dfrac{3}{5} \\ &= 0{,}6\end{aligned}

1.bOn admet que la probabilité de tirer successivement et sans remise deux jetons impairs est égale à 0{,}3. Construire l'arbre de probabilités complet de l'expérience.

La roue comporte 4+8=12 cases : \begin{aligned}P(B) &= \dfrac{4}{12} \\ &= \dfrac13\end{aligned} et \begin{aligned}P(R) &= \dfrac{8}{12} \\ &= \dfrac23\end{aligned}
Sur la branche B, un seul jeton est tiré : P_B(G) = 0{,}6 donc P_B(\overline{G}) = 0{,}4.
Sur la branche R, deux jetons sont tirés successivement sans remise : {P_R(G) = 0{,}3} (valeur admise) donc P_R(\overline{G}) = 0{,}7.
L'arbre pondéré comporte donc, à la racine, les branches B (poids \dfrac13) et R (poids \dfrac23), puis sur chacune les branches G et \overline{G} avec les poids ci-dessus.

2.aMontrer que P(G) = 0{,}4.

D'après la formule des probabilités totales, \begin{aligned}P(G) &= P(B\cap G) + P(R\cap G) \\ &= P(B)\times P_B(G) + P(R)\times P_R(G) \\ &= \dfrac13\times0{,}6 + \dfrac23\times0{,}3 \\ &= 0{,}2+0{,}2 \\ &= 0{,}4\end{aligned}

2.bUn joueur gagne la partie. Quelle est la probabilité qu'il ait obtenu une case blanche en lançant la roue ?

On cherche {P_G(B) = \dfrac{P(B\cap G)}{P(G)} = \dfrac{0{,}2}{0{,}4} =} 0,5.

3.Les évènements B et G sont-ils indépendants ? Justifier.

\begin{aligned}P(B)\times P(G) &= \dfrac13\times0{,}4 \\ &= \dfrac{2}{15} \\ &\approx 0{,}133\end{aligned}
\begin{aligned}P(B\cap G) &= \dfrac13\times0{,}6 \\ &= 0{,}2\end{aligned}
Comme P(B)\times P(G) \ne P(B\cap G), les évènements B et G ne sont pas indépendants.

4.aUn même joueur fait dix parties indépendantes, les jetons étant remis dans le sac après chaque partie. On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

On répète 10 fois, de façon identique et indépendante, l'épreuve de Bernoulli « gagner une partie » de probabilité de succès P(G) = 0{,}4. Donc X suit la loi binomiale \mathcal{B}(10~;~0{,}4).

4.bCalculer la probabilité, arrondie à 10^{-3} près, que le joueur gagne exactement trois parties sur les dix parties jouées.

P(X=3) = \dbinom{10}{3}\times0{,}4^3\times0{,}6^7 \approx 0,215.

4.cCalculer P(X\geqslant4) arrondie à 10^{-3} près, et interpréter ce résultat.

À la calculatrice, P(X\leqslant3) \approx 0{,}382, donc P(X\geqslant4) = 1-P(X\leqslant3) \approx 0,618.
Sur dix parties jouées, le joueur a donc plus de 6 chances sur 10 d'en gagner au moins quatre.

5.aUn joueur fait n parties (indépendantes) et on note p_n la probabilité de l'évènement « le joueur gagne au moins une partie ». Montrer que p_n = 1-0{,}6^n.

L'évènement contraire de « gagner au moins une partie sur n » est « ne gagner aucune partie », de probabilité {(1-0{,}4)^n = 0{,}6^n} par indépendance des parties. Donc p_n = 1-0{,}6^n.

5.bDéterminer la plus petite valeur de l'entier n pour laquelle la probabilité de gagner au moins une partie est supérieure ou égale à 0{,}99.

On cherche le plus petit entier n tel que 1-0{,}6^n \geqslant 0{,}99, soit 0{,}6^n \leqslant 0{,}01.
Comme {0 < 0{,}6 < 1}, la fonction logarithme népérien est strictement croissante, donc \begin{aligned}0{,}6^n \leqslant 0{,}01 &\iff n\ln(0{,}6) \leqslant \ln(0{,}01) \\ &\iff n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}6)} \end{aligned} (l'inégalité change de sens car {\ln(0{,}6) < 0}).
Or \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}6)} \approx 9{,}02. Donc, la réponse est n=10 : il faut jouer au moins 10 parties pour gagner au moins une partie avec une probabilité d'au moins 99 %.

PartieA ; 1. Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse. Après une première injection de 1 mg, le patient est placé sous perfusion : toutes les 30 minutes, l'organisme élimine 10 % de la quantité présente et reçoit 0,25 mg supplémentaire. Pour tout entier naturel n, on note u_n la quantité (en mg) au bout de n périodes de 30 minutes, avec u_0=1. Calculer la quantité de médicament dans le sang au bout d'une demi-heure.

En 30 minutes, 10 % de u_0=1 mg disparaissent : il reste 0{,}9\times1=0{,}9 mg, auxquels s'ajoutent 0,25 mg supplémentaires. Donc u_1 = 0{,}9+0{,}25 = 1,15 mg.

PartieA ; 2. Justifier que, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = 0{,}9u_n+0{,}25.

Au bout de n périodes, la quantité présente est u_n. Pendant la période suivante, 10 % de cette quantité disparaît, il en reste donc 0{,}9u_n, puis 0,25 mg supplémentaires sont administrés. D'où, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = 0{,}9u_n+0{,}25.

PartieA ; 3.a Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier naturel n, {u_n \leqslant u_{n+1} < 5}.

Initialisation : u_0=1 et u_1=1{,}15, donc {u_0\leqslant u_1 < 5}. La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : soit n\in\mathbb{N} tel que {u_n\leqslant u_{n+1}<5}. En multipliant par 0{,}9>0 : {0{,}9u_n \leqslant 0{,}9u_{n+1} < 4{,}5}. En ajoutant 0,25 à chaque membre : {0{,}9u_n+0{,}25 \leqslant 0{,}9u_{n+1}+0{,}25 < 4{,}75}, soit {u_{n+1}\leqslant u_{n+2} < 4{,}75 < 5}. La propriété est donc vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {u_n\leqslant u_{n+1}<5}.

PartieA ; 3.b En déduire que la suite (u_n) est convergente.

L'inégalité u_n\leqslant u_{n+1} montre que (u_n) est croissante, et l'inégalité u_{n+1}<5 montre qu'elle est majorée par 5. Une suite croissante et majorée étant convergente, la suite (u_n) converge vers une limite \ell\leqslant5.

PartieA ; 4.a Le médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang est supérieure ou égale à 1,8 mg. Recopier et compléter le script Python suivant afin de déterminer au bout de combien de périodes de 30 minutes le médicament devient réellement efficace : def efficace(): / u = 1 / n = 0 / while ... : / u = ... / n = n + 1 / return n.

PartieA ; 4.b Quelle est la valeur renvoyée par ce script ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

En itérant la relation u_{n+1}=0{,}9u_n+0{,}25 à partir de u_0=1, on obtient {u_7\approx1{,}783<1{,}8} et \begin{aligned}u_8 &\approx 1{,}854 \\ &\geqslant 1{,}8\end{aligned}
Le script renvoie donc n=8 : le médicament devient réellement efficace au bout de 8 périodes de 30 minutes, soit 4 heures après le début de la perfusion.

PartieA ; 5.a Soit (v_n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par v_n = 2{,}5-u_n. Montrer que (v_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

Pour tout entier naturel n, \begin{aligned}v_{n+1} &= 2{,}5-u_{n+1} \\ &= 2{,}5-(0{,}9u_n+0{,}25) \\ &= 2{,}25-0{,}9u_n\end{aligned}
Or u_n = 2{,}5-v_n, donc \begin{aligned}v_{n+1} &= 2{,}25-0{,}9(2{,}5-v_n) \\ &= 2{,}25-2{,}25+0{,}9v_n \\ &= 0{,}9v_n\end{aligned}
La relation v_{n+1}=0{,}9v_n étant vraie pour tout entier naturel n, (v_n) est une suite géométrique de raison 0{,}9, de premier terme v_0 = 2{,}5-u_0 = 2{,}5-1 = 1,5.

PartieA ; 5.b Montrer que, pour tout entier naturel n, {u_n = 2{,}5-1{,}5\times0{,}9^n}.

(v_n) étant géométrique de raison 0{,}9 et de premier terme v_0=1{,}5, on a, pour tout entier naturel n, v_n = 1{,}5\times0{,}9^n. Comme u_n = 2{,}5-v_n, on en déduit que, pour tout entier naturel n, {u_n = 2{,}5-1{,}5\times0{,}9^n}.

PartieA ; 5.c Le médicament devient toxique lorsque sa quantité dans le sang dépasse 3 mg. D'après ce modèle, le traitement présente-t-il un risque pour le patient ? Justifier.

Comme {-1<0{,}9<1}, on a {\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}9^n = 0}, donc \begin{aligned}\lim\limits_{n\to+\infty}u_n &= 2{,}5-1{,}5\times0 \\ &= 2{,}5\end{aligned}
De plus, pour tout entier naturel n, 0{,}9^n>0, donc {u_n = 2{,}5-1{,}5\times0{,}9^n < 2{,}5 < 3} : la quantité de médicament reste toujours strictement inférieure à 2,5 mg.
Donc, la réponse est que le traitement ne présente aucun risque de toxicité pour le patient, la quantité de médicament restant en permanence inférieure à 3 mg.

PartieB ; 1. Après une injection initiale de 1 mg, le patient est placé sous perfusion à un débit de 0,5 mg par heure. La quantité de médicament dans le sang, en fonction du temps t (en heures), est modélisée par f(t) = 2{,}5-1{,}5\text{e}^{-0{,}2t} sur [0~;~+\infty[. Le médicament est-il réellement efficace au bout de 3 h 45 min ?

3 h 45 min {= 3+\dfrac{45}{60} = 3+0{,}75 = 3{,}75} heures.
f(3{,}75) = 2{,}5-1{,}5\text{e}^{-0{,}2\times3{,}75} = 2{,}5-1{,}5\text{e}^{-0{,}75} \approx 1{,}791.
Comme 1{,}791<1{,}8, le médicament n'est pas encore réellement efficace au bout de 3 h 45 min selon ce modèle.

PartieB ; 2. Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps le médicament devient réellement efficace.

On cherche t\geqslant0 tel que f(t)\geqslant1{,}8, soit 2{,}5-1{,}5\text{e}^{-0{,}2t}\geqslant1{,}8 \iff 1{,}5\text{e}^{-0{,}2t}\leqslant0{,}7 \iff \text{e}^{-0{,}2t}\leqslant\dfrac{7}{15}.
La fonction logarithme népérien étant strictement croissante, cette inégalité équivaut à -0{,}2t\leqslant\ln\left(\dfrac{7}{15}\right), soit, en divisant par -0{,}2<0 (ce qui inverse le sens), t\geqslant -5\ln\left(\dfrac{7}{15}\right).
Or -5\ln\left(\dfrac{7}{15}\right) \approx 3{,}811 heures, soit 3 heures et 0{,}811\times60\approx48{,}6 minutes. Donc, la réponse est que le médicament devient réellement efficace au bout d'environ 3 h 49 min.

PartieB ; 3. Comparer le résultat obtenu avec celui de la question 4.b du modèle discret de la Partie A.

Dans le modèle discret, le médicament devient efficace au bout de 4 heures, alors que dans le modèle continu il le devient au bout d'environ 3 h 49 min, un délai plus court. Le modèle continu prévoit donc une efficacité un peu plus rapide que le modèle discret.

1.ABCDEFGH est un cube. Dans le repère orthonormé (\text{A}~;~\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}), on donne B(3 ; 0 ; 0), D(0 ; 3 ; 0), E(0 ; 0 ; 3), et on considère les points P(0 ; 0 ; 1), Q(0 ; 2 ; 3) et R(1 ; 0 ; 3). Placer les points P, Q et R sur la figure du cube.

P est sur l'arête [AE] (à un tiers de A en partant vers E), Q est sur la face (DHGC)... plus précisément Q se place à partir de E en avançant de 2 selon \vec{\jmath} et en montant de 3 selon \vec{k} à partir de A, et R se place à 1 selon \vec{\imath} et 3 selon \vec{k} : les trois points sont sur les faces du cube, respectivement sur l'arête [AE] pour P, et sur les faces supérieures pour Q et R (voir figure en annexe du sujet).

2.Montrer que le triangle PQR est isocèle en R.

\overrightarrow{RP}\begin{pmatrix}0-1 \\ 0-0 \\ 1-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix} et \overrightarrow{RQ}\begin{pmatrix}0-1 \\ 2-0 \\ 3-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}.
\begin{aligned}RP^2 &= \left\|\overrightarrow{RP}\right\|^2 \\ &= (-1)^2+0^2+(-2)^2 \\ &= 1+4 \\ &= 5\end{aligned} et \begin{aligned}RQ^2 &= \left\|\overrightarrow{RQ}\right\|^2 \\ &= (-1)^2+2^2+0^2 \\ &= 1+4 \\ &= 5\end{aligned}
Donc \begin{aligned}RP &= RQ \\ &= \sqrt5\end{aligned} Le triangle PQR est isocèle en R.

3.Justifier que les points P, Q et R définissent un plan.

Les coordonnées de \overrightarrow{RP}\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix} et \overrightarrow{RQ}\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} ne sont pas proportionnelles (par exemple 0\times0 \ne (-2)\times2), donc ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires : les points P, Q et R ne sont pas alignés et définissent donc un plan.

4.aMontrer que le vecteur \vec{u}(2~;~1~;~-1) est normal au plan (PQR).

En posant \overrightarrow{PR}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} et \overrightarrow{QR}\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix} (deux vecteurs non colinéaires du plan (PQR)) : \begin{aligned}\overrightarrow{PR}\cdot\vec{u} &= 1\times2+0\times1+2\times(-1) \\ &= 2+0-2 \\ &= 0\end{aligned}
\begin{aligned}\overrightarrow{QR}\cdot\vec{u} &= 1\times2+(-2)\times1+0\times(-1) \\ &= 2-2+0 \\ &= 0\end{aligned}
Le vecteur \vec{u} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (PQR), donc \vec{u}(2~;~1~;~-1) est normal au plan (PQR).

4.bEn déduire une équation cartésienne du plan (PQR).

Le plan (PQR) admet \vec{u}(2~;~1~;~-1) pour vecteur normal, donc une équation de la forme 2x+y-z=d. Comme \text{P}(0~;~0~;~1)\in(\text{PQR}), on a {2\times0+0-1=d}, soit d=-1. Donc, la réponse est que le plan (PQR) a pour équation cartésienne 2x+y-z=-1.

4.cDéterminer une représentation paramétrique de la droite (d) passant par le point E et orthogonale au plan (PQR).

La droite (d) est orthogonale au plan (PQR), donc dirigée par le vecteur normal \vec{u}(2~;~1~;~-1). Comme elle passe par \text{E}(0~;~0~;~3), une représentation paramétrique de (d) est : \begin{cases}x=2t\\y=t\\z=3-t\end{cases}, t\in\mathbb{R}.

4.dMontrer que le point \text{L}\left(\dfrac23~;~\dfrac13~;~\dfrac83\right) est le projeté orthogonal du point E sur le plan (PQR).

Le projeté orthogonal de E sur (PQR) est l'unique point appartenant à la fois à la droite (d) et au plan (PQR). Il suffit donc de résoudre le système formé par la représentation paramétrique de (d) et l'équation de (PQR).
En substituant x=2t, y=t, z=3-t dans 2x+y-z=-1 : \begin{aligned}2(2t)+t-(3-t) = -1 &\iff 4t+t-3+t = -1 \\ &\iff 6t = 2 \\ &\iff t = \dfrac13 \end{aligned}
On obtient alors x=\dfrac23, y=\dfrac13 et \begin{aligned}z &= 3-\dfrac13 \\ &= \dfrac83\end{aligned} ce qui correspond bien aux coordonnées de L. Donc, la réponse est que L est le projeté orthogonal de E sur le plan (PQR).

4.eDéterminer la distance entre le point E et le plan (PQR).

\overrightarrow{EL}\begin{pmatrix}\frac23-0 \\ \frac13-0 \\ \frac83-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac23 \\ \frac13 \\ -\frac13\end{pmatrix}.
\begin{aligned}EL^2 &= \left(\dfrac23\right)^2+\left(\dfrac13\right)^2+\left(-\dfrac13\right)^2 \\ &= \dfrac49+\dfrac19+\dfrac19 \\ &= \dfrac69 \\ &= \dfrac23\end{aligned}
La distance de E au plan (PQR) est \begin{aligned}EL &= \sqrt{\dfrac23} \\ &= \dfrac{\sqrt2}{\sqrt3} \\ &= \dfrac{\sqrt6}{3}\end{aligned}

5.En choisissant le triangle EQR comme base, montrer que le volume du tétraèdre EPQR est \dfrac23 (on rappelle que le volume d'un tétraèdre est V=\dfrac13\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur correspondante}).

\overrightarrow{EQ}\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} et \overrightarrow{ER}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} sont orthogonaux (leur produit scalaire vaut 0) : le triangle EQR est rectangle en E, d'aire \begin{aligned}\mathcal{A}(\text{EQR}) &= \dfrac{EQ\times ER}{2} \\ &= \dfrac{2\times1}{2} \\ &= 1\end{aligned}
En prenant EQR comme base, la hauteur correspondante est la distance du point P au plan (EQR), c'est-à-dire PE : \overrightarrow{PE}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}, donc PE=2 (P et E ont même abscisse et ordonnée, seule l'altitude diffère).
Donc \begin{aligned}V(\text{EPQR}) &= \dfrac13\times\mathcal{A}(\text{EQR})\times PE \\ &= \dfrac13\times1\times2 \\ &= \dfrac23\end{aligned}

6.À l'aide des deux questions précédentes, trouver l'aire du triangle PQR.

Le volume du tétraèdre EPQR peut aussi s'exprimer avec (PQR) comme base et EL comme hauteur correspondante : {V(\text{EPQR}) = \dfrac13\times\mathcal{A}(\text{PQR})\times EL}.
On a donc \begin{aligned}\dfrac23 = \dfrac13\times\mathcal{A}(\text{PQR})\times\dfrac{\sqrt6}{3} &\iff \mathcal{A}(\text{PQR}) = \dfrac{2\times3}{\sqrt6} \\ &\iff \mathcal{A}(\text{PQR}) = \dfrac{6}{\sqrt6} \\ &\iff \mathcal{A}(\text{PQR}) = \sqrt6\end{aligned}
Donc, la réponse est que l'aire du triangle PQR est \sqrt6 (en unités d'aire).

PartieA ; 1. Soit f une fonction définie et dérivable sur \mathbb{R}. On considère les points A(1 ; 3) et B(3 ; 5), et on donne ci-dessus la courbe représentative \mathcal{C}_f de f ainsi que la tangente (AB) à \mathcal{C}_f au point A. Déterminer graphiquement les valeurs de f(1) et f'(1).

L'ordonnée du point A donne f(1) = 3. Le nombre dérivé f'(1) est le coefficient directeur de la tangente (AB) en A : f'(1) = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \dfrac{5-3}{3-1} = \dfrac22 = 1.

PartieA ; 2.a On admet que f est définie par f(x) = \ln(ax^2+1)+b, où a et b sont des réels positifs. Déterminer l'expression de f'(x).

Comme a\geqslant0 et x^2\geqslant0 pour tout réel x, on a {ax^2+1\geqslant1>0} : f est donc dérivable sur \mathbb{R}, avec f'(x) = \dfrac{2ax}{ax^2+1} (dérivée de \ln(u) égale à \dfrac{u'}{u}, avec u(x)=ax^2+1 et u'(x)=2ax).

PartieA ; 2.b Déterminer les valeurs de a et b à l'aide des résultats précédents.

Les résultats de la question 1 donnent le système \begin{cases}f(1)=3\\f'(1)=1\end{cases} \iff \begin{cases}\ln(a+1)+b=3\\\dfrac{2a}{a+1}=1\end{cases}.
La deuxième équation donne \begin{aligned}2a = a+1 &\iff a = 1 \end{aligned} En reportant dans la première : \begin{aligned}\ln(1+1)+b = 3 &\iff b = 3-\ln2 \end{aligned}
Donc, la réponse est a=1 et {b=3-\ln2}, ce qui donne, sur \mathbb{R}, {f(x) = \ln(x^2+1)+3-\ln2}.

PartieB ; 1. On admet désormais que f est définie sur \mathbb{R} par {f(x) = \ln(x^2+1)+3-\ln2}. Montrer que f est une fonction paire.

Pour tout réel x, \begin{aligned}f(-x) &= \ln\left((-x)^2+1\right)+3-\ln2 \\ &= \ln(x^2+1)+3-\ln2 \\ &= f(x)\end{aligned} Donc, f est une fonction paire (sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées).

PartieB ; 2. Déterminer les limites de f en +\infty et en -\infty.

\lim\limits_{x\to+\infty}x^2+1 = +\infty, et par composition avec la fonction \ln, {\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x^2+1) = +\infty}, donc \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = +\infty.
f étant paire, \begin{aligned}\lim\limits_{x\to-\infty}f(x) &= \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) \\ &= +\infty\end{aligned}

PartieB ; 3. Déterminer l'expression de f'(x), étudier le sens de variation de f sur \mathbb{R}, puis dresser son tableau de variations complet (limites en \pm\infty et valeur exacte du minimum).

Comme x^2+1>0 pour tout réel x, f est dérivable sur \mathbb{R} et f'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}.
Le dénominateur x^2+1 étant strictement positif, f'(x) est du signe de 2x : f'(x)<0 sur ]-\infty~;~0[ et f'(x)>0 sur ]0~;~+\infty[, avec f'(0)=0.
Donc f est strictement décroissante sur ]-\infty~;~0] et strictement croissante sur [0~;~+\infty[, avec un minimum en {x=0} valant \begin{aligned}f(0) &= \ln(1)+3-\ln2 \\ &= 3-\ln2\end{aligned}
Tableau de variations : f décroît de +\infty (limite en -\infty) jusqu'au minimum {3-\ln2} atteint en {x=0}, puis croît de {3-\ln2} jusqu'à +\infty (limite en +\infty).

PartieB ; 4. À l'aide du tableau de variations de f, donner les valeurs du réel k pour lesquelles l'équation f(x)=k admet exactement deux solutions.

D'après le tableau de variations, f décroît strictement puis croît strictement de part et d'autre du minimum {3-\ln2}, avec pour limites +\infty en -\infty et en +\infty. Donc, la réponse est que l'équation f(x)=k admet exactement deux solutions si et seulement si k>3-\ln2.

PartieB ; 5. Résoudre l'équation {f(x) = 3+\ln2}.

\begin{aligned}f(x) = 3+\ln2 &\iff \ln(x^2+1)+3-\ln2 = 3+\ln2 \\ &\iff \ln(x^2+1) = 2\ln2 \\ &\iff \ln(x^2+1) = \ln4 \end{aligned}
La fonction \ln étant strictement croissante, cette égalité équivaut à x^2+1=4, soit x^2=3, soit x=\sqrt3 ou x=-\sqrt3.
Donc, la réponse est que l'ensemble des solutions est S=\{-\sqrt3~;~\sqrt3\}.

PartieC ; 1. On rappelle que {f(x) = \ln(x^2+1)+3-\ln2} sur \mathbb{R}. Conjecturer, par lecture graphique, les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe \mathcal{C}_f.

Par lecture graphique de la courbe, la convexité de \mathcal{C}_f semble changer aux points d'abscisses -1 et 1 : on peut conjecturer l'existence de deux points d'inflexion, d'abscisses -1 et 1.

PartieC ; 2. Montrer que, pour tout réel x, f''(x) = \dfrac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}.

f'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1} est le quotient de deux fonctions dérivables sur \mathbb{R} (numérateur 2x, dénominateur x^2+1 ne s'annulant jamais), donc f' est dérivable sur \mathbb{R}.
Avec \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}, u(x)=2x, u'(x)=2, v(x)=x^2+1, v'(x)=2x : f''(x) = \dfrac{2(x^2+1)-2x\times2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}.

PartieC ; 3. En déduire le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est convexe.

Le dénominateur (x^2+1)^2 est toujours strictement positif, donc f''(x) est du signe de 1-x^2, qui s'annule en x=-1 et x=1, et est positif entre les deux racines, soit sur ]-1~;~1[.
f est convexe lorsque f''(x)\geqslant0. Donc, la réponse est que f est convexe sur l'intervalle [-1~;~1], ce qui confirme la conjecture graphique de la question 1 (changements de convexité en x=-1 et x=1).