Bac Terminale Spé Maths : Centres étrangers 2022, Sujet 2

1.Soit f la fonction dérivable sur \mathbb{R} définie par f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x}. Quelle est l'expression de f'(x) : a. \text{e}^{-x} ; b. x\text{e}^{-x} ; c. (1-x)\text{e}^{-x} ; d. {(1+x)\text{e}^{-x}} ?

En écrivant f(x) = x\text{e}^{-x} (produit de x par \text{e}^{-x}), la formule de dérivation d'un produit donne, pour tout réel x : f'(x) = 1\times\text{e}^{-x} + x\times\left(-\text{e}^{-x}\right) = (1-x)\,\text{e}^{-x}.
Réponse c.

2.Soit f une fonction deux fois dérivable sur [-3~;~1], dont on donne la courbe représentative de la fonction dérivée seconde f'' : celle-ci est positive sur [-3~;~-1], s'annule en x=-1, puis est négative sur [-1~;~1]. Que peut-on affirmer : a. f convexe sur [-1~;~1] ; b. f concave sur [-2~;~0] ; c. f' décroissante sur [-2~;~0] ; d. f' admet un maximum en x=-1 ?

Comme f'' est positive sur [-3~;~-1], la fonction f' est croissante sur cet intervalle ; comme f'' est négative sur [-1~;~1], la fonction f' est décroissante sur cet intervalle.
La fonction f' est donc croissante puis décroissante, avec un changement de sens de variation en x=-1 : f' admet donc un maximum local en x=-1.
Réponse d.

3.On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = x^3\text{e}^{-x^2}. Si F est une primitive de f sur \mathbb{R}, laquelle des expressions suivantes convient : a. F(x) = -\dfrac16\left(x^3+1\right)\text{e}^{-x^2} ; b. F(x) = -\dfrac14x^4\text{e}^{-x^2} ; c. F(x) = -\dfrac12\left(x^2+1\right)\text{e}^{-x^2} ; d. F(x) = x^2(3-2x^2)\text{e}^{-x^2} ?

Pour identifier la bonne primitive, on dérive chaque candidate et on compare le résultat à f(x)=x^3\text{e}^{-x^2}. Testons la proposition c : F(x) = -\dfrac12\left(x^2+1\right)\text{e}^{-x^2}.
En utilisant la formule de dérivation d'un produit, avec u(x)=-\dfrac12(x^2+1) et v(x)=\text{e}^{-x^2}, on a u'(x)=-x et v'(x)=-2x\,\text{e}^{-x^2} : F'(x) = -x\,\text{e}^{-x^2} + \left(-\dfrac12(x^2+1)\right)\times\left(-2x\,\text{e}^{-x^2}\right) = -x\,\text{e}^{-x^2} + x(x^2+1)\text{e}^{-x^2}.
En factorisant : F'(x) = \text{e}^{-x^2}\left(-x+x^3+x\right) = x^3\,\text{e}^{-x^2} = f(x). La proposition c convient bien.
Réponse c.

4.Que vaut \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^x+1}{\text{e}^x-1} : a. -1 ; b. 1 ; c. +\infty ; d. n'existe pas ?

Pour lever l'indétermination, on factorise le numérateur et le dénominateur par le terme dominant \text{e}^x (non nul) : \begin{aligned}\dfrac{\text{e}^x+1}{\text{e}^x-1} &= \dfrac{\text{e}^x\left(1+\text{e}^{-x}\right)}{\text{e}^x\left(1-\text{e}^{-x}\right)} \\ &= \dfrac{1+\text{e}^{-x}}{1-\text{e}^{-x}}\end{aligned}
Or \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{e}^{-x} = 0, donc par limite de quotient, \begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1+\text{e}^{-x}}{1-\text{e}^{-x}} &= \dfrac{1+0}{1-0} \\ &= 1\end{aligned}
Réponse b.

5.On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = \text{e}^{2x+1}. La seule primitive F sur \mathbb{R} de f telle que F(0)=1 est : a. {x\longmapsto2\text{e}^{2x+1}-2\text{e}+1} ; b. x\longmapsto2\text{e}^{2x+1}-\text{e} ; c. {x\longmapsto\dfrac12\text{e}^{2x+1}-\dfrac12\text{e}+1} ; d. x\longmapsto\text{e}^{x^2+x} ?

La fonction f est continue sur \mathbb{R}, donc elle admet des primitives sur \mathbb{R}. En remarquant que f(x) = \dfrac12\times2\,\text{e}^{2x+1} est de la forme u'(x)\text{e}^{u(x)} avec {u(x)=2x+1}, une primitive générale de f s'écrit F(x) = \dfrac12\text{e}^{2x+1}+k, avec k une constante réelle.
La condition F(0)=1 donne {\dfrac12\text{e}^{1}+k=1}, soit k=1-\dfrac12\text{e}.
On obtient donc F(x) = \dfrac12\text{e}^{2x+1}+1-\dfrac12\text{e}.
Réponse c.

6.Une fonction f est définie et deux fois dérivable sur [-2~;~4] ; on donne sa courbe représentative, qui laisse apparaître un profil concave sur [-2~;~1] puis convexe sur [1~;~4], avec un point d'inflexion en {x=1}. Parmi quatre courbes proposées, laquelle représente la fonction dérivée seconde f'' de f ?

Comme f est concave sur [-2~;~1], on a f''(x)\leqslant0 sur cet intervalle ; comme f est convexe sur [1~;~4], on a f''(x)\geqslant0 sur cet intervalle. La fonction f'' change donc de signe (de négatif à positif) en s'annulant en {x=1}.
Parmi les quatre courbes proposées, une seule est négative sur [-2~;~1], s'annule en changeant de signe en {x=1}, puis devient positive sur [1~;~4].
Réponse a.

1.Soit f la fonction définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x) = x\ln(x)+1, de courbe représentative \mathcal{C}_f. Déterminer la limite de f en 0, puis sa limite en +\infty.

On sait, par croissances comparées, que \displaystyle\lim_{x\to0}x\ln(x) = 0. Donc, par limite de somme, \begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to0}f(x) &= 0+1 \\ &= 1\end{aligned}
D'autre part, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}x = +\infty et \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x) = +\infty ; par limite de produit, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\ln(x) = +\infty, puis par limite de somme, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty.

2.aOn admet que f est dérivable sur ]0~;~+\infty[, de dérivée f'. Montrer que, pour tout réel x strictement positif, f'(x) = 1+\ln(x).

La fonction f est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme somme d'un produit de fonctions dérivables (x\longmapsto x et {x\longmapsto\ln(x)}) et d'une constante. En utilisant la formule de dérivation d'un produit, pour tout réel x strictement positif : f'(x) = 1\times\ln(x)+x\times\dfrac1x = \ln(x)+1.

2.bEn déduire le tableau de variation de f sur ]0~;~+\infty[, en y faisant figurer la valeur exacte de l'extremum et les limites.

f'(x)\geqslant0 \iff \ln(x)+1\geqslant0 \iff \ln(x)\geqslant-1 \iff x\geqslant\text{e}^{-1} (la fonction exponentielle étant strictement croissante).
Donc, f'(x)<0 sur \left]0~;~\text{e}^{-1}\right[ et f'(x)>0 sur \left]\text{e}^{-1}~;~+\infty\right[ : la fonction f est donc strictement décroissante sur \left]0~;~\text{e}^{-1}\right], puis strictement croissante sur \left[\text{e}^{-1}~;~+\infty\right[.
La fonction f admet donc un minimum en x=\text{e}^{-1}, valant f\left(\text{e}^{-1}\right) = \text{e}^{-1}\ln\left(\text{e}^{-1}\right)+1 = \text{e}^{-1}\times(-1)+1 = 1-\text{e}^{-1}.
Le tableau de variation de f sur ]0~;~+\infty[ est donc : f décroît de 1 (limite en 0, non atteinte) jusqu'au minimum 1-\text{e}^{-1} atteint en x=\text{e}^{-1}, puis croît de 1-\text{e}^{-1} jusqu'à +\infty (limite en +\infty).

2.cJustifier que, pour tout x\in\,]0~;~1[, on a f(x)\in\,]0~;~1[.

D'après le tableau de variation précédent, sur l'intervalle ]0~;~1[, la fonction f prend ses valeurs entre son minimum 1-\text{e}^{-1} et sa valeur en 1 (non atteinte sur l'intervalle ouvert) : \begin{aligned}f(1) &= 1\times\ln(1)+1 \\ &= 0+1 \\ &= 1\end{aligned}
Ainsi, pour tout x de ]0~;~1[, on a {1-\text{e}^{-1}\leqslant f(x)<1}.
Or \text{e}^{-1}<1 donc 1-\text{e}^{-1}>0 : on a donc bien f(x)\in\,]0~;~1[ pour tout x\in\,]0~;~1[.

3.aDéterminer une équation de la tangente (T) à la courbe \mathcal{C}_f au point d'abscisse 1.

Une équation de la tangente à \mathcal{C}_f au point d'abscisse 1 est y=f'(1)(x-1)+f(1).
On calcule f'(1) = \ln(1)+1 = 0+1 = 1 et f(1)=1 (calculé à la question précédente).
Donc, une équation de (T) est \begin{aligned}y &= 1\times(x-1)+1 \\ &= x-1+1 \\ &= x\end{aligned} c'est-à-dire y=x.

3.bÉtudier la convexité de f sur ]0~;~+\infty[.

La fonction f', définie par f'(x)=\ln(x)+1, est elle-même dérivable sur ]0~;~+\infty[, de dérivée f''(x) = \dfrac1x.
Or \dfrac1x>0 pour tout x de ]0~;~+\infty[, donc f''(x)>0 sur cet intervalle : la fonction f est donc strictement convexe sur ]0~;~+\infty[.

3.cEn déduire que, pour tout réel x strictement positif, f(x)\geqslant x.

La fonction f est convexe sur ]0~;~+\infty[, donc sa courbe représentative \mathcal{C}_f est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier au-dessus de (T), d'équation y=x.
Donc, pour tout réel x strictement positif, f(x)\geqslant x.

4.aOn définit la suite \left(u_n\right) par son premier terme u_0\in\,]0~;~1[ et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=f\left(u_n\right). Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0<u_n<1.

Initialisation : par hypothèse, u_0\in\,]0~;~1[, soit 0<u_0<1 : la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : soit n un entier naturel fixé, et supposons que 0<u_n<1. D'après la question 2.c, comme u_n\in\,]0~;~1[, on a f\left(u_n\right)\in\,]0~;~1[, c'est-à-dire 0<u_{n+1}<1 : la propriété est donc vraie au rang {n+1}.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0, et elle est héréditaire ; donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, 0<u_n<1.

4.bEn utilisant le résultat de la question 3.c, déterminer le sens de variation de la suite \left(u_n\right).

D'après la question 3.c, pour tout réel x strictement positif, f(x)\geqslant x. Comme, d'après la question précédente, u_n>0 pour tout entier naturel n, on peut appliquer cette inégalité à x=u_n : f\left(u_n\right)\geqslant u_n, c'est-à-dire u_{n+1}\geqslant u_n.
La suite \left(u_n\right) est donc croissante.

4.cEn déduire que la suite \left(u_n\right) est convergente.

La suite \left(u_n\right) est croissante (question précédente) et majorée par 1 (d'après la question 4.a). Donc, d'après le théorème de convergence monotone, la suite \left(u_n\right) converge vers une limite finie.

1.L'espace est muni d'un repère orthonormé \left(\text{O}~;~\vec\imath,\vec\jmath,\vec k\right). On considère les points A(3 ; -2 ; 2), B(6 ; 1 ; 5), C(6 ; -2 ; -1) et D(0 ; 4 ; -1). Démontrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

On détermine les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AC}} et \overrightarrow{\text{AD}} : \overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 3\end{pmatrix}, \overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix} et \overrightarrow{\text{AD}}\begin{pmatrix}-3 \\ 6 \\ -3\end{pmatrix}.
Les points A, B, C, D sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels a et b tels que \overrightarrow{\text{AD}} = a\,\overrightarrow{\text{AB}} + b\,\overrightarrow{\text{AC}}. Cette égalité vectorielle équivaut au système : \left\{\begin{array}{l}3a+3b=-3\\3a=6\\3a-3b=-3\end{array}\right.
La deuxième ligne donne a=2. En reportant dans la première ligne : {6+3b=-3}, soit {b=-3}. Or la troisième ligne impose 6-3b=-3, soit b=3.
Les deux dernières lignes donnent des valeurs incompatibles pour b ({b=-3} et b=3) : le système n'a donc pas de solution.
Il n'existe donc pas de couple (a~;~b) tel que \overrightarrow{\text{AD}} = a\,\overrightarrow{\text{AB}} + b\,\overrightarrow{\text{AC}} : les points A, B, C et D ne sont donc pas coplanaires.

2.aMontrer que le triangle ABC est rectangle.

Calculons le produit scalaire \overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{AC}} à partir des coordonnées \overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 3\end{pmatrix} et \overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix} : \begin{aligned}\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{AC}} &= 3\times3+3\times0+3\times(-3) \\ &= 9+0-9 \\ &= 0\end{aligned}
Le produit scalaire étant nul, les vecteurs \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{AC}} sont orthogonaux : donc, le triangle ABC est rectangle en A.

2.bMontrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC).

Calculons les produits scalaires \overrightarrow{\text{AD}}\cdot\overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{AD}}\cdot\overrightarrow{\text{AC}}, avec \overrightarrow{\text{AD}}\begin{pmatrix}-3 \\ 6 \\ -3\end{pmatrix} :
\begin{aligned}\overrightarrow{\text{AD}}\cdot\overrightarrow{\text{AB}} &= (-3)\times3+6\times3+(-3)\times3 \\ &= -9+18-9 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\overrightarrow{\text{AD}}\cdot\overrightarrow{\text{AC}} &= (-3)\times3+6\times0+(-3)\times(-3) \\ &= -9+0+9 \\ &= 0\end{aligned}
Le vecteur \overrightarrow{\text{AD}} est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), à savoir \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{AC}} (non colinéaires puisque ABC est un triangle) : il est donc orthogonal à tout vecteur du plan (ABC).
Donc, la droite (AD), dirigée par \overrightarrow{\text{AD}}, est perpendiculaire au plan (ABC).

2.cEn déduire le volume du tétraèdre ABCD.

D'après la question précédente, la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC) : le point A est donc le pied de la hauteur issue de D dans le tétraèdre ABCD, et cette hauteur mesure AD.
Calculons les longueurs nécessaires : \text{AD} = \sqrt{(-3)^2+6^2+(-3)^2} = \sqrt{9+36+9} = \sqrt{54} = 3\sqrt6, {\text{AB} = \sqrt{3^2+3^2+3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt3} et {\text{AC} = \sqrt{3^2+0^2+(-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt2}.
Le triangle ABC étant rectangle en A, son aire vaut \mathcal{A}_{\text{ABC}} = \dfrac12\times\text{AB}\times\text{AC} = \dfrac12\times3\sqrt3\times3\sqrt2 = \dfrac{9\sqrt6}{2}.
D'après la formule du volume d'un tétraèdre, \mathcal{V}_{\text{ABCD}} = \dfrac13\times\mathcal{A}_{\text{ABC}}\times\text{AD} = \dfrac13\times\dfrac{9\sqrt6}{2}\times3\sqrt6 = \dfrac13\times\dfrac{27\times6}{2} = \dfrac{162}{6} = 27 unités de volume.

3.aOn considère le point H(5 ; 0 ; 1). Montrer qu'il existe des réels \alpha et \beta tels que \overrightarrow{\text{BH}} = \alpha\,\overrightarrow{\text{BC}} + \beta\,\overrightarrow{\text{BD}}.

Déterminons les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\text{BH}}, \overrightarrow{\text{BC}} et \overrightarrow{\text{BD}}, avec \text{B}(6~;~1~;~5), \text{C}(6~;~-2~;~-1), \text{D}(0~;~4~;~-1) et \text{H}(5~;~0~;~1) : \overrightarrow{\text{BH}}\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ -4\end{pmatrix}, \overrightarrow{\text{BC}}\begin{pmatrix}0 \\ -3 \\ -6\end{pmatrix} et \overrightarrow{\text{BD}}\begin{pmatrix}-6 \\ 3 \\ -6\end{pmatrix}.
L'égalité \overrightarrow{\text{BH}} = \alpha\,\overrightarrow{\text{BC}} + \beta\,\overrightarrow{\text{BD}} équivaut au système : \left\{\begin{array}{l}-6\beta=-1\\-3\alpha+3\beta=-1\\-6\alpha-6\beta=-4\end{array}\right.
La première ligne donne \beta=\dfrac16. En reportant dans la deuxième ligne : -3\alpha+\dfrac12=-1, soit -3\alpha=-\dfrac32, d'où \alpha=\dfrac12.
On vérifie que ces valeurs satisfont la troisième ligne : \begin{aligned}-6\times\dfrac12-6\times\dfrac16 &= -3-1 \\ &= -4\end{aligned} ce qui est bien cohérent.
Donc, il existe bien des réels \alpha=\dfrac12 et \beta=\dfrac16 tels que \overrightarrow{\text{BH}} = \dfrac12\,\overrightarrow{\text{BC}} + \dfrac16\,\overrightarrow{\text{BD}}.

3.bDémontrer que H est le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).

D'après la question précédente, le vecteur \overrightarrow{\text{BH}} s'écrit comme combinaison linéaire des vecteurs \overrightarrow{\text{BC}} et \overrightarrow{\text{BD}}, non colinéaires (car B, C, D forment un plan) : le point H appartient donc au plan (BCD).
Montrons à présent que le vecteur \overrightarrow{\text{AH}} est orthogonal au plan (BCD), c'est-à-dire orthogonal aux deux vecteurs \overrightarrow{\text{BC}} et \overrightarrow{\text{BD}} de ce plan. On a \overrightarrow{\text{AH}}\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix} (avec \text{A}(3~;~-2~;~2) et \text{H}(5~;~0~;~1)).
\begin{aligned}\overrightarrow{\text{AH}}\cdot\overrightarrow{\text{BC}} &= 2\times0+2\times(-3)+(-1)\times(-6) \\ &= 0-6+6 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\overrightarrow{\text{AH}}\cdot\overrightarrow{\text{BD}} &= 2\times(-6)+2\times3+(-1)\times(-6) \\ &= -12+6+6 \\ &= 0\end{aligned}
Le vecteur \overrightarrow{\text{AH}} est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD) : il est orthogonal à ce plan tout entier.
Le point H appartient au plan (BCD) et le vecteur \overrightarrow{\text{AH}} est orthogonal à ce plan : donc, H est bien le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).

3.cEn déduire la distance du point A au plan (BCD).

La distance du point A au plan (BCD) est, par définition, la longueur AH, où H est le projeté orthogonal de A sur ce plan.
\text{AH} = \sqrt{2^2+2^2+(-1)^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt9 = 3.
Donc, la distance du point A au plan (BCD) est égale à 3 unités de longueur.

4.Déduire des questions précédentes l'aire du triangle BCD.

Le point A n'appartenant pas au plan (BCD), on peut considérer le tétraèdre ABCD en prenant BCD comme base et A comme sommet ; sa hauteur est alors AH. D'après la formule du volume d'un tétraèdre : \mathcal{V}_{\text{ABCD}} = \dfrac13\times\mathcal{A}_{\text{BCD}}\times\text{AH}.
Or on a établi à la question 2.c que \mathcal{V}_{\text{ABCD}} = 27 et, à la question précédente, que \text{AH}=3. On en déduit : \begin{aligned}\mathcal{A}_{\text{BCD}} &= \dfrac{3\times\mathcal{V}_{\text{ABCD}}}{\text{AH}} \\ &= \dfrac{3\times27}{3} \\ &= 27\end{aligned}
Donc, l'aire du triangle BCD est égale à 27 unités d'aire.

1.aUne urne contient 2 jetons noirs et 3 jetons blancs, tous indiscernables au toucher. On tire au hasard, successivement et avec remise, deux jetons de cette urne. Un joueur perd 9 € si les deux jetons tirés sont blancs, perd 1 € si les deux jetons tirés sont noirs, et gagne 5 € si les deux jetons tirés sont de couleurs différentes. Modéliser la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

Notons B l'évènement « le jeton tiré est blanc » et N l'évènement « le jeton tiré est noir ». Comme l'urne contient 3 jetons blancs et 2 jetons noirs sur 5 au total, p(\text{B}) = \dfrac35 et p(\text{N}) = \dfrac25.
Les tirages étant effectués avec remise, les probabilités sont les mêmes au premier et au second tirage : l'arbre pondéré comporte, à la première branche, B (probabilité \dfrac35) ou N (probabilité \dfrac25) ; puis, sous chacune de ces deux branches, à nouveau B (probabilité \dfrac35) ou N (probabilité \dfrac25) au second tirage, ces deux tirages étant indépendants du fait de la remise.

1.bCalculer la probabilité de perdre 9 € sur une partie.

Perdre 9 € correspond à tirer deux jetons blancs. Notons X la variable aléatoire donnant le gain du joueur sur une partie ; comme les deux tirages sont indépendants (tirages avec remise) : \begin{aligned}p(X=-9) &= p(\text{B})\times p(\text{B}) \\ &= \left(\dfrac35\right)^2 \\ &= \dfrac{9}{25}\end{aligned}
Donc, la probabilité de perdre 9 € sur une partie est égale à \dfrac{9}{25} (soit 0,36).

2.aOn considère maintenant que l'urne contient 3 jetons blancs et N jetons noirs, avec N\geqslant2 (le nombre exact de jetons noirs n'étant pas connu). Soit X la variable aléatoire donnant le gain du jeu pour une partie. Déterminer la loi de probabilité de X.

L'urne contient à présent N+3 jetons au total, dont 3 blancs et N noirs. Sur un tirage, p(\text{B}) = \dfrac{3}{N+3} et p(\text{N}) = \dfrac{N}{N+3}. La variable X prend les valeurs -9, -1 et 5.
Pour perdre 9 € (deux jetons blancs, tirages indépendants) : \begin{aligned}p(X=-9) &= \left(\dfrac{3}{N+3}\right)^2 \\ &= \dfrac{9}{(N+3)^2}\end{aligned}
Pour perdre 1 € (deux jetons noirs) : \begin{aligned}p(X=-1) &= \left(\dfrac{N}{N+3}\right)^2 \\ &= \dfrac{N^2}{(N+3)^2}\end{aligned}
Pour gagner 5 € (un jeton de chaque couleur, dans l'un ou l'autre ordre) : \begin{aligned}p(X=5) &= 2\times\dfrac{3}{N+3}\times\dfrac{N}{N+3} \\ &= \dfrac{6N}{(N+3)^2}\end{aligned}
La loi de probabilité de X est donc donnée par : p(X=-9)=\dfrac{9}{(N+3)^2}, p(X=-1)=\dfrac{N^2}{(N+3)^2} et {p(X=5)=\dfrac{6N}{(N+3)^2}}.

2.bRésoudre l'inéquation d'inconnue réelle x : -x^2+30x-81>0.

Le trinôme -x^2+30x-81 a pour discriminant \begin{aligned}\Delta &= 30^2-4\times(-1)\times(-81) \\ &= 900-324 \\ &= 576 \\ &= 24^2\end{aligned}
Comme \Delta>0, le trinôme admet deux racines réelles : \begin{aligned}x_1 &= \dfrac{-30-24}{2\times(-1)} \\ &= \dfrac{-54}{-2} \\ &= 27\end{aligned} et \begin{aligned}x_2 &= \dfrac{-30+24}{2\times(-1)} \\ &= \dfrac{-6}{-2} \\ &= 3\end{aligned}
Le coefficient dominant du trinôme étant -1<0, celui-ci est positif entre ses racines et négatif à l'extérieur : donc, {-x^2+30x-81>0 \iff x\in\,]3~;~27[}.

2.cEn utilisant le résultat de la question précédente, déterminer le nombre de jetons noirs que l'urne doit contenir afin que ce jeu soit favorable au joueur.

Le jeu est favorable au joueur si, et seulement si, l'espérance de gain E(X) est strictement positive. D'après la loi de probabilité établie à la question 2.a : \begin{aligned}E(X) &= (-9)\times\dfrac{9}{(N+3)^2} + (-1)\times\dfrac{N^2}{(N+3)^2} + 5\times\dfrac{6N}{(N+3)^2} \\ &= \dfrac{-81-N^2+30N}{(N+3)^2} \\ &= \dfrac{-N^2+30N-81}{(N+3)^2}\end{aligned}
Comme (N+3)^2>0, E(X) est du signe de son numérateur -N^2+30N-81. D'après la question précédente, ce numérateur est strictement positif si, et seulement si, N\in\,]3~;~27[.
Or N est un entier naturel (un nombre de jetons), donc E(X)>0 si, et seulement si, N est un entier vérifiant {4\leqslant N\leqslant26}.
Donc, le jeu est favorable au joueur lorsque l'urne contient entre 4 et 26 jetons noirs (bornes incluses).

2.dCombien de jetons noirs le joueur doit-il demander afin d'obtenir un gain moyen maximal ?

Le gain moyen est maximal lorsque la fonction g, définie sur [0~;~+\infty[ par g(N) = \dfrac{-N^2+30N-81}{(N+3)^2} (qui correspond à E(X) vue comme fonction de N), atteint son maximum, c'est-à-dire lorsque g'(N)=0 en changeant de signe.
La fonction g est dérivable sur [0~;~+\infty[ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas. En utilisant la formule de dérivation d'un quotient : g'(N) = \dfrac{(-2N+30)(N+3)^2-(N+3)^2{}'\times\left(-N^2+30N-81\right)}{(N+3)^4}, avec (N+3)^2{}' = 2(N+3).
En simplifiant par (N+3) au numérateur et au dénominateur : g'(N) = \dfrac{(-2N+30)(N+3)-2\left(-N^2+30N-81\right)}{(N+3)^3}.
Développons le numérateur : \begin{aligned}(-2N+30)(N+3) &= -2N^2-6N+30N+90 \\ &= -2N^2+24N+90\end{aligned} puis -2\left(-N^2+30N-81\right) = 2N^2-60N+162. La somme donne : -2N^2+24N+90+2N^2-60N+162 = -36N+252.
Donc, g'(N) = \dfrac{-36N+252}{(N+3)^3} = \dfrac{-36(N-7)}{(N+3)^3}. Comme (N+3)^3>0, g'(N) est du signe de -(N-7) : positif avant N=7, négatif après.
La fonction g est donc croissante sur [0~;~7] puis décroissante sur [7~;~+\infty[ : elle admet un maximum en N=7.
Donc, le joueur doit demander que l'urne contienne 7 jetons noirs pour que son gain moyen soit maximal.

3.On suppose que l'urne contient désormais 7 jetons noirs et 3 jetons blancs. On observe 10 joueurs qui effectuent chacun une partie de ce jeu, indépendamment les uns des autres. Quelle est la probabilité d'avoir au moins un joueur gagnant 5 euros ?

Avec N=7 jetons noirs et 3 jetons blancs (10 jetons au total), la probabilité de gagner 5 € sur une partie est, d'après la question 2.a : \begin{aligned}p &= \dfrac{6\times7}{(7+3)^2} \\ &= \dfrac{42}{100} \\ &= \dfrac{21}{50} \\ &= 0{,}42\end{aligned}
Notons Y la variable aléatoire donnant le nombre de joueurs (parmi les 10) gagnant 5 €. Les 10 parties sont indépendantes et identiques, chacune ayant deux issues possibles (gagner 5 € ou non) : Y suit donc la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0{,}42, notée \mathcal{B}(10~;~0{,}42).
La probabilité d'avoir au moins un joueur gagnant 5 € est {p(Y\geqslant1) = 1-p(Y=0)}, avec \begin{aligned}p(Y=0) &= (1-0{,}42)^{10} \\ &= 0{,}58^{10}\end{aligned}
À la calculatrice, 0{,}58^{10}\approx0{,}0043, donc \begin{aligned}p(Y\geqslant1) &\approx 1-0{,}0043 \\ &\approx 0{,}996\end{aligned}
Donc, la probabilité qu'au moins un joueur parmi les 10 gagne 5 € est d'environ 0,996 : cet évènement est quasiment certain.