Bac Terminale Spé Maths : Mayotte 2022, Sujet 1

PartieA : Dans une station de ski, 20 % des skieurs ont un forfait JUNIOR et 80 % un forfait SENIOR. Parmi les JUNIOR, 6 % choisissent l'option coupe-file ; parmi les SENIOR, 12,5 % la choisissent. On interroge un skieur au hasard et on note J l'évènement « le skieur a un forfait JUNIOR » et C l'évènement « le skieur choisit l'option coupe-file ». 1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

L'arbre part de la racine avec les branches J (probabilité 0{,}2) et \overline{J} (probabilité 0{,}8) ; sous J, les branches C (probabilité 0{,}06) et \overline{C} (probabilité 0{,}94) ; sous \overline{J}, les branches C (probabilité 0{,}125) et \overline{C} (probabilité 0{,}875).

2.Calculer la probabilité P(J\cap C).

D'après l'arbre pondéré, P(J\cap C) = P(J)\times P_J(C) = 0{,}2\times0{,}06 = 0{,}012.

3.Montrer que la probabilité que le skieur choisisse l'option coupe-file est égale à 0{,}112.

D'après l'arbre pondéré, \begin{aligned}P\left(\overline{J}\cap C\right) &= P\left(\overline{J}\right)\times P_{\overline{J}}(C) \\ &= 0{,}8\times0{,}125 \\ &= 0{,}1\end{aligned}
Les évènements J et \overline{J} forment une partition de l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales : \begin{aligned}P(C) &= P(J\cap C)+P\left(\overline{J}\cap C\right) \\ &= 0{,}012+0{,}1 \\ &= 0{,}112\end{aligned}

4.Le skieur interrogé a choisi l'option coupe-file. Quelle est la probabilité qu'il ait un forfait SENIOR ? Arrondir le résultat à 10^{-3}.

On cherche P_C\left(\overline{J}\right) = \dfrac{P\left(\overline{J}\cap C\right)}{P(C)} = \dfrac{0{,}1}{0{,}112} \approx 0{,}893 au millième près.

5.Est-il vrai que les skieurs de moins de 25 ans représentent moins de 15 % des skieurs ayant choisi l'option coupe-file ? Justifier.

La probabilité qu'un skieur interrogé au hasard ait moins de 25 ans sachant qu'il a choisi le coupe-file est \begin{aligned}P_C(J) &= \dfrac{P(J\cap C)}{P(C)} \\ &= \dfrac{0{,}012}{0{,}112} \\ &\approx 0{,}107\end{aligned} soit environ 10,7 %. Donc, oui, les skieurs de moins de 25 ans représentent bien moins de 15 % des skieurs ayant choisi l'option coupe-file.

PartieB : On rappelle que la probabilité qu'un skieur choisisse l'option coupe-file est 0,112. On interroge un échantillon de 30 skieurs choisis au hasard, et X compte le nombre de skieurs de l'échantillon ayant choisi l'option coupe-file. 1. On admet que X suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.

On répète 30 fois, de façon indépendante, la même épreuve à deux issues (le skieur choisit ou non le coupe-file, avec probabilité 0{,}112 de choisir le coupe-file) : X suit donc la loi binomiale de paramètres n=30 et p=0{,}112, notée X\sim\mathcal{B}(30~;~0{,}112).

2.Calculer la probabilité qu'au moins un des 30 skieurs ait choisi l'option coupe-file. Arrondir le résultat à 10^{-3}.

P(X\geqslant1) = 1-P(X=0) = 1-(1-0{,}112)^{30} = 1-0{,}888^{30} \approx 0{,}972 au millième près.

3.Calculer la probabilité qu'au plus un des 30 skieurs ait choisi l'option coupe-file. Arrondir le résultat à 10^{-3}.

\begin{aligned}P(X\leqslant1) &= P(X=0)+P(X=1) \\ &= 0{,}888^{30} + \dbinom{30}{1}\times0{,}112\times0{,}888^{29}\end{aligned}
À la calculatrice, 0{,}888^{30}\approx0{,}0283 et 30\times0{,}112\times0{,}888^{29}\approx0{,}1072, d'où P(X\leqslant1) \approx 0{,}136 au millième près.

4.Calculer l'espérance mathématique de X.

Pour une loi binomiale de paramètres n et p, E(X) = n\times p = 30\times0{,}112 = 3{,}36. En moyenne, sur un échantillon de 30 skieurs, environ 3 d'entre eux choisissent l'option coupe-file.

1.Un récipient contient initialement 1 litre d'eau laissé au soleil. Chaque heure, le volume diminue de 15 %. Au bout de quel nombre entier d'heures le volume devient-il inférieur à un quart de litre ? (a) 2 heures (b) 8 heures (c) 9 heures (d) 13 heures

Diminuer une quantité de 15 % revient à la multiplier par 1-\dfrac{15}{100} = 0{,}85. Après n heures, le volume restant est 0{,}85^n litre.
On cherche le plus petit entier naturel n tel que 0{,}85^n < 0{,}25. La fonction logarithme népérien étant strictement croissante sur ]0~;~+\infty[, cette inégalité équivaut à n\times\ln(0{,}85) < \ln(0{,}25), soit, comme \ln(0{,}85)<0, à n > \dfrac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}85)}.
Or \dfrac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}85)} \approx 8{,}53. Le plus petit entier strictement supérieur à 8{,}53 est 9.
Donc, la réponse est c. 9 heures.

2.On considère la fonction f définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x) = 4\ln(3x). Pour tout réel x de cet intervalle, on a : (a) {f(2x) = f(x)+\ln(24)} (b) f(2x) = f(x)+\ln(16) (c) {f(2x) = \ln(2)+f(x)} (d) f(2x) = 2f(x)

\begin{aligned}f(2x) &= 4\ln(3\times2x) \\ &= 4\ln(2\times3x) \\ &= 4\left[\ln(2)+\ln(3x)\right] \\ &= 4\ln(2)+4\ln(3x)\end{aligned}
Or \begin{aligned}4\ln(2) &= \ln\left(2^4\right) \\ &= \ln(16)\end{aligned} et 4\ln(3x) = f(x), donc {f(2x) = \ln(16)+f(x)}.
Donc, la réponse est b. {f(2x)=f(x)+\ln(16)}.

3.On considère la fonction g définie sur ]1~;~+\infty[ par g(x) = \dfrac{\ln(x)}{x-1}, de courbe représentative \mathcal{C}_g dans un repère orthogonal. La courbe \mathcal{C}_g admet : (a) une asymptote verticale et une asymptote horizontale (b) une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale (c) aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale (d) aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale

Étude en +\infty : pour x>1, {g(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}\times\dfrac{x}{x-1}}. Par croissances comparées, \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0, et \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{x-1}=1. Par produit de limites, \lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=0 : la droite d'équation {y=0} est donc asymptote horizontale à \mathcal{C}_g.
Étude en 1 : on reconnaît, pour x\neq1, un taux d'accroissement de la fonction logarithme népérien en 1 : {g(x) = \dfrac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1}}. Or ce taux d'accroissement tend, quand x tend vers 1, vers le nombre dérivé de la fonction \ln en 1, qui vaut \dfrac11=1. Donc \lim\limits_{x\to1}g(x)=1 : il n'y a pas d'asymptote verticale en 1.
Donc, la réponse est c. aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.

Pourla suite de l'exercice, on considère la fonction h définie sur ]0~;~2] par {h(x) = x^2\left[1+2\ln(x)\right]}, de dérivée h'(x) = 4x\left[1+\ln(x)\right] (admise). 4. Sur l'intervalle \left]\dfrac{1}{e}~;~2\right], la fonction h s'annule : (a) exactement 0 fois (b) exactement 1 fois (c) exactement 2 fois (d) exactement 3 fois

Pour x>0, \begin{aligned}h(x) = 0 &\iff x^2\left[1+2\ln(x)\right] = 0 \end{aligned} Comme x>0, x^2\neq0, donc cette équation équivaut à \begin{aligned}1+2\ln(x) = 0 &\iff \ln(x) = -\dfrac12 \\ &\iff x = e^{-\dfrac{1}{2}} \end{aligned}
Or e^{-\dfrac{1}{2}}\approx0{,}607, à comparer avec {\dfrac1e\approx0{,}368} : on a bien e^{-\dfrac{1}{2}}\in\left]\dfrac1e~;~2\right].
Donc, la réponse est b. exactement 1 fois.

5.Une équation de la tangente à la courbe représentative de h au point d'abscisse \sqrt{e} est : (a) y = 6e^{\dfrac{1}{2}}\,x (b) y = 6\sqrt{e}\,x+2e (c) {y = 6e^{x/2}} (d) y = 6e^{\dfrac{1}{2}}\,x-4e

Une équation de la tangente à la courbe de h au point d'abscisse \sqrt{e} est y = h'\left(\sqrt{e}\right)\left(x-\sqrt{e}\right)+h\left(\sqrt{e}\right).
h'\left(\sqrt{e}\right) = 4\sqrt{e}\left[1+\ln\left(\sqrt{e}\right)\right] = 4\sqrt{e}\left(1+\dfrac12\right) = 6\sqrt{e}, et \begin{aligned}h\left(\sqrt{e}\right) &= \left(\sqrt{e}\right)^2\left[1+2\ln\left(\sqrt{e}\right)\right] \\ &= e\left(1+2\times\dfrac12\right) \\ &= 2e\end{aligned}
L'équation devient \begin{aligned}y &= 6\sqrt{e}\left(x-\sqrt{e}\right)+2e \\ &= 6\sqrt{e}\,x-6e+2e \\ &= 6\sqrt{e}\,x-4e\end{aligned}
Donc, la réponse est d. y=6e^{\dfrac{1}{2}}\,x-4e.

6.Sur l'intervalle ]0~;~2], le nombre de points d'inflexion de la courbe représentative de h est égal à : (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3

La fonction h', produit de fonctions dérivables sur ]0~;~2], est elle-même dérivable, et pour x dans cet intervalle : h''(x) = 4\left[1+\ln(x)\right]+4x\times\dfrac1x = 4+4\ln(x)+4 = 4\left[2+\ln(x)\right].
Comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}, h''(x)=0 \iff \ln(x)=-2 \iff x=e^{-2}, et e^{-2}\approx0{,}135 appartient bien à ]0~;~2]. De plus h''(x)<0 pour x<e^{-2} et h''(x)>0 pour x>e^{-2} : la dérivée seconde change donc bien de signe en x=e^{-2}.
Donc, la courbe de h admet un unique point d'inflexion sur ]0~;~2] : la réponse est b. 1.

PartieA : On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = 1+x-e^{0,5x-2}, dérivable sur \mathbb{R}, de dérivée f'. 1.a Déterminer la limite de f en -\infty.

\lim\limits_{x\to-\infty}(0{,}5x-2) = -\infty, et par composition avec la limite usuelle \lim\limits_{X\to-\infty}e^X=0, on obtient \lim\limits_{x\to-\infty}e^{0,5x-2}=0. Comme \lim\limits_{x\to-\infty}(1+x)=-\infty, par somme de limites, \lim\limits_{x\to-\infty}f(x) = -\infty.

1.bMontrer que, pour tout réel x non nul, f(x) = 1+0{,}5x\left(2-\dfrac{e^{0,5x}}{0{,}5x}\times e^{-2}\right), puis en déduire la limite de f en +\infty.

Pour x\neq0, en factorisant 0{,}5x dans le terme entre crochets : \begin{aligned}f(x) &= 1+x-e^{0,5x-2} \\ &= 1+0{,}5x\left[2-\dfrac{e^{0,5x-2}}{0{,}5x}\right] \\ &= 1+0{,}5x\left(2-\dfrac{e^{0,5x}}{0{,}5x}\times e^{-2}\right)\end{aligned} ce qui est bien l'égalité annoncée.
En posant X=0{,}5x, on a \lim\limits_{x\to+\infty}X=+\infty, et par croissances comparées \lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{e^X}{X}=+\infty. Donc {\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^{0,5x}}{0{,}5x}\times e^{-2} = +\infty}, d'où \lim\limits_{x\to+\infty}\left(2-\dfrac{e^{0,5x}}{0{,}5x}\times e^{-2}\right) = -\infty.
Comme \lim\limits_{x\to+\infty}0{,}5x=+\infty, par produit de limites, \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = -\infty.

2.aDéterminer f'(x) pour tout réel x.

f est une somme de fonctions dérivables sur \mathbb{R}, donc f est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x : f'(x) = 1-0{,}5e^{0,5x-2}.

2.bDémontrer que l'ensemble des solutions de l'inéquation f'(x)<0 est l'intervalle \left]4+2\ln(2)~;~+\infty\right[.

Pour tout réel x : f'(x)<0 \iff 1-0{,}5e^{0,5x-2}<0 \iff 1<0{,}5e^{0,5x-2} \iff 2<e^{0,5x-2}.
La fonction logarithme népérien étant strictement croissante sur ]0~;~+\infty[, cette inégalité équivaut à \ln(2)<0{,}5x-2 \iff 2+\ln(2)<0{,}5x \iff 4+2\ln(2)<x.
Donc, l'ensemble des solutions de f'(x)<0 est bien l'intervalle \left]4+2\ln(2)~;~+\infty\right[.

3.En déduire le tableau de variation de f sur \mathbb{R}, en faisant figurer la valeur exacte de f\left(4+2\ln(2)\right).

D'après la question précédente, f'(x)<0 sur \left]4+2\ln(2)~;~+\infty\right[, et par un raisonnement analogue, f'(x)>0 sur \left]-\infty~;~4+2\ln(2)\right[. La fonction f est donc strictement croissante sur \left]-\infty~;~4+2\ln(2)\right], puis strictement décroissante sur \left[4+2\ln(2)~;~+\infty\right[.
\begin{aligned}f\left(4+2\ln(2)\right) &= 1+4+2\ln(2)-e^{0,5\left(4+2\ln(2)\right)-2} \\ &= 5+2\ln(2)-e^{2+\ln(2)-2} \\ &= 5+2\ln(2)-e^{\ln(2)} \\ &= 5+2\ln(2)-2 \\ &= 3+2\ln(2)\end{aligned}
Le tableau de variation de f sur \mathbb{R} présente donc : \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, une croissance stricte jusqu'au maximum f\left(4+2\ln(2)\right) = 3+2\ln(2) atteint en x=4+2\ln(2), puis une décroissance stricte avec \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.

4.Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur l'intervalle [-1~;~0].

L'intervalle [-1~;~0] est inclus dans \left]-\infty~;~4+2\ln(2)\right[, intervalle sur lequel f est continue (car dérivable) et strictement croissante.
Or f(-1) = 1-1-e^{-0,5-2} = -e^{-1,5} \approx -0{,}22 < 0 et {f(0) = 1-e^{-2} \approx 0{,}86 > 0} : les images f(-1) et f(0) sont de signes contraires.
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire de la stricte monotonie), l'équation f(x)=0 admet une unique solution \alpha sur l'intervalle [-1~;~0].

PartieB : On considère la suite (u_n) définie par u_0=0 et, pour tout entier naturel n, {u_{n+1}=f(u_n)}, où f est la fonction de la partie A. 1.a Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant4}.

Initialisation : u_0=0 et \begin{aligned}u_1 &= f(u_0) \\ &= f(0) \\ &= 1-e^{-2} \\ &\approx 0{,}86\end{aligned} On a bien {u_0\leqslant u_1\leqslant4} : la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : soit n un entier naturel tel que {u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant4}. D'après la partie A, f est strictement croissante sur \left]-\infty~;~4+2\ln(2)\right[, intervalle qui contient [0~;~4] ; comme f est croissante sur cet intervalle, l'encadrement {u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant4} donne {f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(4)}, c'est-à-dire {u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant f(4)}.
Or \begin{aligned}f(4) &= 1+4-e^{2-2} \\ &= 5-e^0 \\ &= 5-1 \\ &= 4\end{aligned} donc {u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant4} : la propriété est vraie au rang n+1.
Donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant4}.

1.bEn déduire que la suite (u_n) converge.

D'après la question précédente, la suite (u_n) est croissante (car u_n\leqslant u_{n+1} pour tout n) et majorée par 4. Donc, d'après le théorème de convergence monotone, la suite (u_n) converge vers une limite \ell vérifiant \ell\leqslant4.

2.aOn admet que la limite \ell vérifie \ell=f(\ell). Démontrer que \ell=4.

\begin{aligned}\ell = f(\ell) &\iff \ell = 1+\ell-e^{0,5\ell-2} \\ &\iff e^{0,5\ell-2} = 1 \end{aligned}
La fonction exponentielle ne prenant la valeur 1 qu'en 0, cette équation équivaut à \begin{aligned}0{,}5\ell-2 = 0 &\iff \ell = 4 \end{aligned}
Donc, la suite (u_n) converge vers \ell=4.

2.bUne fonction Python valeur(a) initialise u = 0 et n = 0, puis répète tant que u <= a : u = 1 + u - exp(0.5*u - 2) et n = n + 1, avant de renvoyer n. L'instruction valeur(3.99) renvoie 12. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O~;~\vec\imath,\vec\jmath,\vec k). On considère les points A(5~;~0~;~-1), B(1~;~4~;~-1), C(1~;~0~;~3), D(5~;~4~;~3) et E(10~;~9~;~8). 1.a Soit R le milieu du segment [AB]. Calculer les coordonnées de R et du vecteur \overrightarrow{AB}.

R, milieu de [AB], a pour coordonnées \left(\dfrac{5+1}{2}~;~\dfrac{0+4}{2}~;~\dfrac{-1-1}{2}\right), soit R(3~;~2~;~-1). Le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1-5 \\ 4-0 \\ -1-(-1)\end{pmatrix}=\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-4 \\ 4 \\ 0\end{pmatrix}.

1.bSoit \mathcal{P}_1 le plan passant par R et de vecteur normal \overrightarrow{AB}. Démontrer qu'une équation cartésienne de \mathcal{P}_1 est {x-y-1=0}.

Le plan \mathcal{P}_1 ayant pour vecteur normal \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-4 \\ 4 \\ 0\end{pmatrix}, il admet une équation cartésienne de la forme {-4x+4y+0z+d=0}, avec d\in\mathbb{R}.
Comme R(3~;~2~;~-1) appartient à \mathcal{P}_1 : \begin{aligned}-4\times3+4\times2+0\times(-1)+d = 0 &\iff -12+8+d = 0 \\ &\iff d = 4 \end{aligned}
Une équation de \mathcal{P}_1 est donc {-4x+4y+4=0}, soit, en divisant par -4 : {x-y-1=0}.

1.cDémontrer que E appartient au plan \mathcal{P}_1 et que EA = EB.

En remplaçant les coordonnées de E(10~;~9~;~8) dans l'équation de \mathcal{P}_1 : {10-9-1=0}, égalité vraie. Donc E appartient au plan \mathcal{P}_1.
\overrightarrow{EA}\begin{pmatrix}5-10 \\ 0-9 \\ -1-8\end{pmatrix}=\overrightarrow{EA}\begin{pmatrix}-5 \\ -9 \\ -9\end{pmatrix} et \overrightarrow{EB}\begin{pmatrix}1-10 \\ 4-9 \\ -1-8\end{pmatrix}=\overrightarrow{EB}\begin{pmatrix}-9 \\ -5 \\ -9\end{pmatrix}.
\begin{aligned}EA^2 &= (-5)^2+(-9)^2+(-9)^2 \\ &= 25+81+81 \\ &= 187\end{aligned} et \begin{aligned}EB^2 &= (-9)^2+(-5)^2+(-9)^2 \\ &= 81+25+81 \\ &= 187\end{aligned}
EA^2=EB^2, et des longueurs étant positives, on en déduit EA = EB.

2.aOn considère le plan \mathcal{P}_2 d'équation cartésienne x-z-2=0. Justifier que les plans \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 sont sécants.

Le plan \mathcal{P}_1 admet pour vecteur normal \vec n_1\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} (en divisant \overrightarrow{AB} par -4) et le plan \mathcal{P}_2 admet pour vecteur normal \vec n_2\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires (aucun réel k ne vérifie \vec n_1=k\vec n_2), donc les plans \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 ne sont pas parallèles : ils sont donc sécants selon une droite.

2.bOn note \Delta la droite d'intersection de \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2. Démontrer qu'une représentation paramétrique de \Delta est \begin{cases}x=2+t\\y=1+t\\z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}.

Un point M(x~;~y~;~z) appartient à \Delta si, et seulement si, ses coordonnées vérifient simultanément les équations de \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 : \begin{cases}x-y-1=0\\x-z-2=0\end{cases}.
En posant z=t (avec t\in\mathbb{R}), la deuxième équation donne x=t+2, puis la première donne \begin{aligned}y &= x-1 \\ &= t+1\end{aligned}
Donc, une représentation paramétrique de \Delta est bien \begin{cases}x=2+t\\y=1+t\\z=t\end{cases}, t\in\mathbb{R}.

3.On considère le plan \mathcal{P}_3 d'équation cartésienne y+z-3=0. Justifier que \Delta est sécante à \mathcal{P}_3 en un point \Omega dont on déterminera les coordonnées.

Un point \Omega(x~;~y~;~z) de \Delta appartient à \mathcal{P}_3 si ses coordonnées, exprimées en fonction de t, vérifient y+z-3=0, soit \begin{aligned}(t+1)+t-3 = 0 &\iff 2t-2 = 0 \\ &\iff t = 1 \end{aligned}
Cette équation admet une unique solution t=1 : la droite \Delta est donc bien sécante au plan \mathcal{P}_3, en un unique point.
En remplaçant t=1 dans la représentation paramétrique de \Delta : \begin{aligned}x &= 2+1 \\ &= 3\end{aligned} \begin{aligned}y &= 1+1 \\ &= 2\end{aligned} z=1. Donc, \Omega a pour coordonnées (3~;~2~;~1).

Onrappelle que, pour deux points distincts S et T de l'espace, l'ensemble des points M tels que MS = MT est un plan appelé plan médiateur du segment [ST], et on admet que \mathcal{P}_1, \mathcal{P}_2 et \mathcal{P}_3 sont les plans médiateurs respectifs des segments [AB], [AC] et [AD]. 4.a Justifier que \begin{aligned}\Omega A &= \Omega B \\ &= \Omega C \\ &= \Omega D\end{aligned}

Puisque \Omega appartient au plan \mathcal{P}_1, médiateur de [AB], on a \Omega A=\Omega B. De même, \Omega appartient au plan \mathcal{P}_2, médiateur de [AC], donc \Omega A=\Omega C ; et \Omega appartient au plan \mathcal{P}_3, médiateur de [AD], donc \Omega A=\Omega D. On en déduit \begin{aligned}\Omega A &= \Omega B \\ &= \Omega C \\ &= \Omega D\end{aligned}.

4.bEn déduire que les points A, B, C et D appartiennent à une même sphère, dont on précisera le centre et le rayon.

L'égalité \begin{aligned}\Omega A &= \Omega B \\ &= \Omega C \\ &= \Omega D\end{aligned} signifie que les points A, B, C et D sont tous à la même distance du point \Omega.
\overrightarrow{\Omega A}\begin{pmatrix}5-3 \\ 0-2 \\ -1-1\end{pmatrix}=\overrightarrow{\Omega A}\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ -2\end{pmatrix}, donc \begin{aligned}\Omega A &= \sqrt{2^2+(-2)^2+(-2)^2} \\ &= \sqrt{12} \\ &= 2\sqrt3\end{aligned}
Donc, les points A, B, C et D appartiennent tous à la sphère de centre \Omega(3~;~2~;~1) et de rayon 2\sqrt3.