Bac Terminale Spé Maths : Mayotte 2022, Sujet 2

1.Une étude statistique menée dans une entreprise indique que 48 % des salariés sont des femmes, et que parmi elles 16,5 % occupent un poste de cadre ; les 52 % restants sont des hommes, parmi lesquels 21,5 % occupent un poste de cadre. On choisit un salarié au hasard et on note F l'évènement « le salarié choisi est une femme » et C l'évènement « le salarié choisi est cadre ». Représenter la situation par un arbre pondéré.

L'arbre part de la racine avec les branches F (probabilité 0{,}48) et \overline{F} (probabilité 0{,}52) ; sous F, les branches C (0{,}165) et \overline{C} (0{,}835) ; sous \overline{F}, les branches C (0{,}215) et \overline{C} (0{,}785).

2.Calculer la probabilité que le salarié choisi soit une femme cadre.

P(F\cap C) = P(F)\times P_F(C) = 0{,}48\times0{,}165 = 0{,}0792.

3.aDémontrer que la probabilité que le salarié choisi soit cadre est égale à 0{,}191.

F et \overline{F} formant une partition de l'univers, la formule des probabilités totales donne : \begin{aligned}P(C) &= P(F\cap C) + P\left(\overline{F}\cap C\right) \\ &= P(F)\times P_F(C) + P\left(\overline{F}\right)\times P_{\overline{F}}(C)\end{aligned}
\begin{aligned}P(C) &= 0{,}48\times0{,}165 + 0{,}52\times0{,}215 \\ &= 0{,}0792+0{,}1118 \\ &= 0{,}191\end{aligned}
Donc, la probabilité que le salarié choisi soit cadre est bien égale à 0,191.

3.bLes évènements F et C sont-ils indépendants ? Justifier.

Les évènements F et C sont indépendants si, et seulement si, {P(F\cap C) = P(F)\times P(C)}.
Or P(F\cap C) = 0{,}0792 (question 2), alors que \begin{aligned}P(F)\times P(C) &= 0{,}48\times0{,}191 \\ &= 0{,}09168\end{aligned}
Ces deux valeurs sont différentes, donc les évènements F et C ne sont pas indépendants.

4.Calculer P_C(F) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

P_C(F) = \dfrac{P(F\cap C)}{P(C)} = \dfrac{0{,}0792}{0{,}191} \approx 0,4147 (arrondi à 10^{-4}).
Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que, parmi les salariés cadres de l'entreprise, environ 41,47 % sont des femmes.

5.aOn choisit un échantillon de 15 salariés, ce choix étant assimilé à un tirage avec remise (l'entreprise comptant un grand nombre de salariés). On note X le nombre de cadres dans cet échantillon, sachant que la probabilité qu'un salarié choisi au hasard soit cadre vaut 0,191. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

Le choix des 15 salariés est assimilé à la répétition de 15 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune ayant pour issue « le salarié est cadre » (succès, de probabilité 0{,}191) ou « le salarié n'est pas cadre ». Donc, X suit la loi binomiale de paramètres n=15 et p=0{,}191, notée X\sim\mathcal{B}(15~;~0{,}191).

5.bCalculer la probabilité que l'échantillon contienne au plus un cadre (arrondi à 10^{-4}).

\begin{aligned}P(X\leqslant1) &= P(X=0)+P(X=1) \\ &= \dbinom{15}{0}\times0{,}191^0\times0{,}809^{15} + \dbinom{15}{1}\times0{,}191^1\times0{,}809^{14}\end{aligned}
À la calculatrice, P(X\leqslant1) \approx 0,1890.

5.cDéterminer l'espérance de la variable aléatoire X.

X suivant la loi binomiale \mathcal{B}(15~;~0{,}191), son espérance vaut {E(X) = n\times p = 15\times0{,}191 =} 2,865.

6.On considère un échantillon de n salariés, avec n entier naturel. Déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle la probabilité qu'il y ait au moins un cadre dans l'échantillon soit supérieure ou égale à 0,99.

On note Y le nombre de cadres dans l'échantillon de taille n : Y suit la loi binomiale \mathcal{B}(n~;~0{,}191). On cherche le plus petit entier n tel que {P(Y\geqslant1)\geqslant0{,}99}.
Or \begin{aligned}P(Y\geqslant1) &= 1-P(Y=0) \\ &= 1-0{,}809^n\end{aligned} L'inégalité devient : \begin{aligned}1-0{,}809^n \geqslant 0{,}99 &\iff 0{,}809^n \leqslant 0{,}01 \end{aligned}
La fonction \ln étant strictement croissante sur ]0~;~+\infty[ : \begin{aligned}0{,}809^n \leqslant 0{,}01 &\iff \ln\left(0{,}809^n\right) \leqslant \ln(0{,}01) \\ &\iff n\times\ln(0{,}809) \leqslant \ln(0{,}01) \end{aligned}
Comme \ln(0{,}809)<0, on divise les deux membres en changeant le sens de l'inégalité : n\geqslant\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}809)}.
À la calculatrice, \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}809)}\approx21{,}73, donc n\geqslant22.
Donc, la plus petite valeur de n qui convient est n=22.

Onconsidère un cube ABCDEFGH d'arête 1, muni du repère orthonormé \left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{AE}}\right), dans lequel A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1) et H(0 ; 1 ; 1). 1.a Justifier que les droites (AH) et (ED) sont perpendiculaires.

ADHE est une face carrée du cube, et (AH), (ED) en sont les deux diagonales. Or, dans un carré, les diagonales sont perpendiculaires. Donc, les droites (AH) et (ED) sont perpendiculaires.

1.bJustifier que la droite (GH) est orthogonale au plan (EDH).

CDHG est une face carrée du cube, donc (GH) est perpendiculaire à (DH). De même, EFGH est une face carrée du cube, donc (GH) est perpendiculaire à (EH).
Les droites (DH) et (EH) sont sécantes en H et déterminent donc le plan (EDH). Or, une droite orthogonale à deux droites sécantes d'un plan est orthogonale à ce plan.
Donc, la droite (GH) est orthogonale au plan (EDH).

1.cEn déduire que la droite (ED) est orthogonale au plan (AGH).

La droite (ED) est incluse dans le plan (EDH) (question 1.b), donc la droite (GH), orthogonale au plan (EDH), est orthogonale à la droite (ED).
D'autre part, la droite (ED) est perpendiculaire à la droite (AH) (question 1.a).
Les droites (GH) et (AH) sont sécantes en H et non confondues : elles déterminent donc le plan (AGH). Comme (ED) est orthogonale à ces deux droites sécantes de ce plan, la droite (ED) est orthogonale au plan (AGH).

2.Donner les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{ED}}, puis en déduire, à l'aide de la question 1.c, qu'une équation cartésienne du plan (AGH) est y-z=0.

\text{E}(0~;~0~;~1) et \text{D}(0~;~1~;~0) donc \overrightarrow{\text{ED}}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}.
D'après la question 1.c, la droite (ED) est orthogonale au plan (AGH), donc le vecteur \overrightarrow{\text{ED}}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} est normal à ce plan.
Le plan (AGH), de vecteur normal \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}, admet donc une équation cartésienne de la forme {0x+1y-1z+d=0}, soit y-z+d=0.
Comme \text{A}(0~;~0~;~0) appartient au plan (AGH) : \begin{aligned}0-0+d = 0 &\iff d = 0 \end{aligned}
Donc, une équation cartésienne du plan (AGH) est bien y-z=0.

3.aOn note L le point de coordonnées \left(\dfrac23~;~1~;~0\right). Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EL).

\text{E}(0~;~0~;~1) et \text{L}\left(\dfrac23~;~1~;~0\right) donc \overrightarrow{\text{EL}}\begin{pmatrix}\frac23 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}.
La droite (EL) passe par E et admet \overrightarrow{\text{EL}} comme vecteur directeur, donc une représentation paramétrique de (EL) est : \begin{cases}x=\dfrac23t\\y=t\\z=1-t\end{cases}, t\in\mathbb{R}.

3.bDéterminer l'intersection de la droite (EL) et du plan (AGH).

Un point de paramètre t de la droite (EL) appartient au plan (AGH) si, et seulement si, ses coordonnées vérifient y-z=0, soit \begin{aligned}t-(1-t) = 0 &\iff 2t-1 = 0 \\ &\iff t = \dfrac12 \end{aligned}
En remplaçant t=\dfrac12 : \begin{aligned}x &= \dfrac23\times\dfrac12 \\ &= \dfrac13\end{aligned} y=\dfrac12, \begin{aligned}z &= 1-\dfrac12 \\ &= \dfrac12\end{aligned}
Donc, la droite (EL) et le plan (AGH) sont sécants au point de coordonnées \left(\dfrac13~;~\dfrac12~;~\dfrac12\right).

3.cDémontrer que le projeté orthogonal du point L sur le plan (AGH) est le point K de coordonnées \left(\dfrac23~;~\dfrac12~;~\dfrac12\right).

Les coordonnées de K vérifient \dfrac12-\dfrac12=0, donc K appartient au plan (AGH).
\overrightarrow{\text{LK}} = \text{K}-\text{L}\begin{pmatrix}0 \\ -\frac12 \\ \frac12\end{pmatrix}. On remarque que \overrightarrow{\text{LK}} = -\dfrac12\overrightarrow{\text{ED}} : les vecteurs \overrightarrow{\text{LK}} et \overrightarrow{\text{ED}} sont donc colinéaires.
Or, \overrightarrow{\text{ED}} est normal au plan (AGH) (question 2), donc \overrightarrow{\text{LK}}, qui lui est colinéaire, est également normal au plan (AGH).
K appartenant au plan (AGH) et la droite (LK) étant orthogonale à ce plan, K est bien le projeté orthogonal de L sur le plan (AGH).

3.dMontrer que la distance du point L au plan (AGH) est égale à \dfrac{\sqrt2}{2}.

La distance du point L au plan (AGH) est, par définition, la longueur LK, où K est le projeté orthogonal de L sur ce plan.
\text{LK} = \left\|\overrightarrow{\text{LK}}\right\| = \sqrt{0^2+\left(-\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac12\right)^2} = \sqrt{\dfrac12} = \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}.
Donc, la distance du point L au plan (AGH) est bien égale à \dfrac{\sqrt2}{2}.

3.eDéterminer le volume du tétraèdre LAGH, sachant que le volume V d'un tétraèdre est donné par V=\dfrac13\times(\text{aire de la base})\times\text{hauteur}.

On choisit comme base le triangle AGH et comme hauteur associée la longueur LK =\dfrac{\sqrt2}{2} (question 3.d), puisque (LK) est orthogonale au plan (AGH).
Le triangle AGH est rectangle en H, car (GH) est orthogonale au plan (ADHE) qui contient (AH) (question 1.b), donc (GH)\perp(AH). Son aire vaut donc \dfrac{\text{AH}\times\text{HG}}{2}.
AH est la diagonale d'une face carrée de côté 1, donc \text{AH}=\sqrt2 ; HG est une arête du cube, donc \text{HG}=1. L'aire du triangle AGH vaut donc \dfrac{\sqrt2\times1}{2}=\dfrac{\sqrt2}{2}.
Le volume du tétraèdre LAGH vaut donc \begin{aligned}V &= \dfrac13\times\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2} \\ &= \dfrac13\times\dfrac24 \\ &= \dfrac16\end{aligned}
Donc, le volume du tétraèdre LAGH est égal à \dfrac16 unité de volume.

Cetexercice est un questionnaire à choix multiples : pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte, et aucune justification n'est demandée sur la copie. Logimaths justifie ici chaque réponse par souci pédagogique. 1. Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x)=x^{1000}+x. On peut affirmer que : a. g est concave sur \mathbb{R} ; b. g est convexe sur \mathbb{R} ; c. g possède exactement un point d'inflexion ; d. g possède exactement deux points d'inflexion.

g est deux fois dérivable sur \mathbb{R}, avec g'(x) = 1000x^{999}+1 puis g''(x) = 1000\times999\times x^{998} = 999000x^{998}.
Pour tout réel x, x^{998}\geqslant0 (puissance paire), donc g''(x)\geqslant0 : g'' ne change jamais de signe (elle s'annule uniquement en x=0, sans changer de signe autour). Donc, g est convexe sur \mathbb{R}.
La réponse exacte est b.

2.On considère une fonction f dérivable sur \mathbb{R}, de dérivée f', dont la courbe représentative \Gamma est donnée : elle correspond à la fonction x\mapsto\dfrac{x+1}{e^x}. On note T la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0. On peut affirmer que T est parallèle à la droite d'équation : a. y=x ; b. y=0 ; c. y=1 ; d. x=0.

Le coefficient directeur de la tangente T est f'(0), lu graphiquement sur la courbe \Gamma : f'(0) = \dfrac{0+1}{e^0} = 1.
Deux droites sont parallèles si, et seulement si, elles ont le même coefficient directeur. La droite d'équation y=x a pour coefficient directeur 1, comme T.
La réponse exacte est a.

3.On considère la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}. On peut affirmer que la suite (u_n) est : a. majorée et non minorée ; b. minorée et non majorée ; c. bornée ; d. non majorée et non minorée.

Pour tout entier naturel n, {-1\leqslant(-1)^n\leqslant1}, et {n+1\geqslant1>0}, donc en divisant par n+1 : {-\dfrac{1}{n+1}\leqslant u_n\leqslant\dfrac{1}{n+1}}.
Or \dfrac{1}{n+1}\leqslant1 pour tout n, donc {-1\leqslant-\dfrac{1}{n+1}} et \dfrac{1}{n+1}\leqslant1, d'où {-1\leqslant u_n\leqslant1} pour tout entier naturel n.
La suite (u_n) est donc à la fois majorée (par 1) et minorée (par -1) : elle est bornée.
La réponse exacte est c.

4.Soit k un réel non nul et (v_n) une suite telle que v_0=k et, pour tout entier naturel n, v_n\times v_{n+1}<0. On peut affirmer que v_{10} est : a. positif ; b. négatif ; c. du signe de k ; d. du signe de -k.

La condition v_n\times v_{n+1}<0 signifie que v_n et v_{n+1} sont de signes opposés (et tous deux non nuls), pour tout entier naturel n.
Donc, deux termes consécutifs quelconques de la suite sont de signes opposés, ce qui entraîne que deux termes séparés d'un rang pair sont de même signe : ainsi, v_0,v_2,v_4,\dots,v_{2p} (pour tout entier naturel p) ont tous le même signe, celui de v_0=k.
Comme 10 est pair, v_{10} est donc du même signe que v_0=k.
La réponse exacte est c.

5.On considère la suite (w_n) définie pour tout entier naturel n par w_{n+1}=2w_n-4 et w_2=8. On peut affirmer que : a. w_0=0 ; b. w_0=5 ; c. w_0=10 ; d. il n'est pas possible de calculer w_0.

De la relation w_{n+1}=2w_n-4, on tire w_n=\dfrac{w_{n+1}+4}{2} pour tout entier naturel n.
\begin{aligned}w_1 &= \dfrac{w_2+4}{2} \\ &= \dfrac{8+4}{2} \\ &= 6\end{aligned} puis \begin{aligned}w_0 &= \dfrac{w_1+4}{2} \\ &= \dfrac{6+4}{2} \\ &= 5\end{aligned}
La réponse exacte est b.

6.On considère la suite (a_n) définie pour tout entier naturel n par a_{n+1}=\dfrac{e^n}{e^n+1}a_n et a_0=1. On peut affirmer que : a. (a_n) est strictement croissante ; b. (a_n) est strictement décroissante ; c. (a_n) n'est pas monotone ; d. (a_n) est constante.

Montrons par récurrence que {a_n>0} pour tout entier naturel n : a_0=1>0, et si {a_n>0} pour un certain n, alors {a_{n+1}=\dfrac{e^n}{e^n+1}a_n>0} car \dfrac{e^n}{e^n+1}>0. Donc, {a_n>0} pour tout n.
Pour tout entier naturel n, e^n<e^n+1, donc {0<\dfrac{e^n}{e^n+1}<1}. Comme {a_n>0}, on multiplie par ce facteur strictement compris entre 0 et 1 : {a_{n+1}=\dfrac{e^n}{e^n+1}a_n<a_n}.
Donc, la suite (a_n) est strictement décroissante.
La réponse exacte est b.

7.Une cellule se divise en deux cellules identiques, qui se divisent à leur tour, et ainsi de suite. Au bout de 4 heures, une culture partie d'une seule cellule en contient environ 4000. On appelle temps de génération le temps nécessaire à une cellule pour se diviser en deux. On peut affirmer que ce temps de génération est environ égal à : a. moins d'une minute ; b. 12 minutes ; c. 20 minutes ; d. 1 heure.

Après n divisions successives, la culture compte 2^n cellules. On cherche le plus petit entier n tel que 2^n\geqslant4000.
La fonction \ln étant strictement croissante sur ]0~;~+\infty[ : \begin{aligned}2^n \geqslant 4000 &\iff n\times\ln(2) \geqslant \ln(4000) \\ &\iff n \geqslant \dfrac{\ln(4000)}{\ln(2)} \end{aligned}
À la calculatrice, \dfrac{\ln(4000)}{\ln(2)}\approx11{,}97, donc le plus petit entier qui convient est {n=12}.
Il s'est donc écoulé environ 12 divisions en 4 heures, soit 240 minutes. Le temps de génération est donc environ {\dfrac{240}{12}=20} minutes.
La réponse exacte est c.

PartieA : On considère la fonction f définie sur ]0~;~1] par f(x)=e^{-x}+\ln(x). A.1 Calculer la limite de f en 0.

La fonction x\mapsto e^{-x} est continue en 0, donc \begin{aligned}\lim\limits_{x\to0}e^{-x} &= e^0 \\ &= 1\end{aligned}
D'autre part, \lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}\ln(x) = -\infty.
Par somme des limites, \lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}f(x) = 1+(-\infty) = -\infty.

A.2On admet que f est dérivable sur ]0~;~1], de dérivée f'. Démontrer que, pour tout réel x de ]0~;~1], f'(x)=\dfrac{1-xe^{-x}}{x}.

Pour tout x de ]0~;~1], f'(x) = -e^{-x}+\dfrac1x.
En mettant au même dénominateur x (non nul sur cet intervalle) : f'(x) = \dfrac{-xe^{-x}}{x}+\dfrac1x = \dfrac{1-xe^{-x}}{x}.

A.3Justifier que, pour tout réel x de ]0~;~1], xe^{-x}<1, puis en déduire le tableau de variation de f sur ]0~;~1].

La fonction x\mapsto e^{-x} est strictement décroissante sur \mathbb{R} (car de dérivée {x\mapsto-e^{-x}}, strictement négative). Donc, pour tout x de ]0~;~1], 0<x\leqslant1 entraîne e^{-1}\leqslant e^{-x}<e^0=1, donc 0<e^{-x}<1.
En multipliant par x, avec 0<x\leqslant1 : 0<xe^{-x}<x\leqslant1, donc xe^{-x}<1 pour tout x de ]0~;~1].
On en déduit que 1-xe^{-x}>0 pour tout x de ]0~;~1], et comme x>0 également, f'(x)=\dfrac{1-xe^{-x}}{x}>0 sur ]0~;~1].
Donc, f est strictement croissante sur ]0~;~1]. Comme \begin{aligned}f(1) &= e^{-1}+\ln(1) \\ &= e^{-1}\end{aligned} le tableau de variation de f sur ]0~;~1] présente une unique flèche croissante, du bas (-\infty, limite en 0) vers le haut (valeur e^{-1} atteinte en x=1).

A.4Démontrer qu'il existe un unique réel \ell appartenant à ]0~;~1] tel que f(\ell)=0.

La fonction f est continue (car dérivable) et strictement croissante sur ]0~;~1], à valeurs dans \left]-\infty~;~e^{-1}\right] (question A.3).
Comme e^{-1}>0, le réel 0 appartient à l'intervalle \left]-\infty~;~e^{-1}\right]. Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet une unique solution \ell dans ]0~;~1].
À la calculatrice, \ell\approx0{,}567.

PartieB : On définit deux suites (a_n) et (b_n) par a_0=\dfrac{1}{10}, b_0=1 et, pour tout entier naturel n, a_{n+1}=e^{-b_n} et b_{n+1}=e^{-a_n}. B.1.a Calculer a_1 et b_1 (valeurs approchées à 10^{-2} près).

a_1 = e^{-b_0} = e^{-1} \approx 0,37, et {b_1 = e^{-a_0} = e^{-\frac{1}{10}} \approx} 0,90.

B.1.bUne fonction Python termes(n) initialise a=1/10 et b=1, puis, pour k allant de 0 à n-1, doit mettre à jour a et b selon les relations des suites (a_n) et (b_n), avant de renvoyer le couple (a,b). Recopier et compléter le code (sans justifier).

B.2.aOn rappelle que la fonction x\mapsto e^{-x} est décroissante sur \mathbb{R}. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {0<a_n\leqslant a_{n+1}\leqslant b_{n+1}\leqslant b_n\leqslant1}.

Initialisation : a_0=\dfrac{1}{10}, \begin{aligned}a_1 &= e^{-1} \\ &\approx 0{,}37\end{aligned} \begin{aligned}b_1 &= e^{-\frac{1}{10}} \\ &\approx 0{,}90\end{aligned} et b_0=1. On a bien {0<0{,}1\leqslant0{,}37\leqslant0{,}90\leqslant1}, donc la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : soit n un entier naturel tel que {0<a_n\leqslant a_{n+1}\leqslant b_{n+1}\leqslant b_n\leqslant1}. La fonction x\mapsto e^{-x} étant strictement décroissante sur \mathbb{R}, elle renverse les inégalités : {e^{-b_n}\leqslant e^{-b_{n+1}}\leqslant e^{-a_{n+1}}\leqslant e^{-a_n}\leqslant e^0=1}, et comme b_n\leqslant1, on a aussi e^{-1}\leqslant e^{-b_n}, donc e^{-b_n}>0.
Or, a_{n+1}=e^{-b_n}, a_{n+2}=e^{-b_{n+1}}, {b_{n+2}=e^{-a_{n+1}}} et b_{n+1}=e^{-a_n}. La chaîne d'inégalités précédente se réécrit donc 0<a_{n+1}\leqslant a_{n+2}\leqslant b_{n+2}\leqslant b_{n+1}\leqslant1 : la propriété est vraie au rang n+1.
Donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {0<a_n\leqslant a_{n+1}\leqslant b_{n+1}\leqslant b_n\leqslant1}.

B.2.bEn déduire que les suites (a_n) et (b_n) sont convergentes.

D'après la question précédente, la suite (a_n) est croissante (car a_n\leqslant a_{n+1} pour tout n) et majorée par 1. Donc, d'après le théorème de convergence monotone, la suite (a_n) converge.
De même, la suite (b_n) est décroissante (car b_{n+1}\leqslant b_n pour tout n) et minorée par 0. Donc, d'après le théorème de convergence monotone, la suite (b_n) converge également.

B.3.aOn note A la limite de (a_n) et B la limite de (b_n). On admet que A et B appartiennent à ]0~;~1] et que A=e^{-B} et {B=e^{-A}}. Démontrer que f(A)=0.

De A=e^{-B}, comme A>0, on peut appliquer le logarithme népérien aux deux membres : \ln(A) = -B.
Or {B=e^{-A}}, donc \ln(A) = -e^{-A}, soit \ln(A)+e^{-A}=0, c'est-à-dire f(A)=0.

B.3.bDéterminer A-B.

Par un raisonnement symétrique à celui de la question B.3.a (en partant de {B=e^{-A}}), on obtient de même {\ln(B)+e^{-B}=0}, soit f(B)=0.
Donc, A et B sont tous deux solutions de l'équation f(x)=0 sur ]0~;~1]. Or, d'après la question A.4, cette équation admet une unique solution sur cet intervalle.
Donc, A=B, d'où A-B= 0.