Bac Terminale Spé Maths : Métropole 2022, Sujet 2

PartieA : Le coyote est un mammifère sauvage proche du loup vivant en Amérique du Nord. Dans l'Oklahoma, 70 % des coyotes sont porteurs d'une maladie appelée l'ehrlichiose. Un test de dépistage existe : si le coyote est malade, le test est positif dans 97 % des cas ; s'il n'est pas malade, le test est négatif dans 95 % des cas. On capture un coyote au hasard et on lui applique le test. On note M l'évènement « le coyote est malade » et T l'évènement « le test est positif ». 1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

L'arbre part de la racine avec les branches M (probabilité 0{,}7) et \overline{M} (probabilité 0{,}3).
Sous M : les branches T (probabilité 0{,}97) et \overline{T} (probabilité 0{,}03).
Sous \overline{M} : les branches T (probabilité 0{,}05) et \overline{T} (probabilité 0{,}95).

2.Déterminer la probabilité que le coyote soit malade et ait un test positif.

D'après l'arbre pondéré, P(M\cap T) = P(M)\times P_M(T) = 0{,}7\times0{,}97 = 0{,}679.

3.Démontrer que P(T) = 0{,}694.

D'après la formule des probabilités totales, comme M et \overline{M} forment une partition de l'univers : {P(T) = P(M\cap T) + P\left(\overline{M}\cap T\right)}.
Or \begin{aligned}P\left(\overline{M}\cap T\right) &= P\left(\overline{M}\right)\times P_{\overline{M}}(T) \\ &= 0{,}3\times0{,}05 \\ &= 0{,}015\end{aligned}
Donc, P(T) = 0{,}679+0{,}015 = 0{,}694.

4.On appelle « valeur prédictive positive du test » la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif. Calculer cette valeur, arrondie au millième.

P_T(M) = \dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}679}{0{,}694} \approx 0{,}978 (arrondi au millième).

5.aPar analogie, proposer une définition de la « valeur prédictive négative du test » et la calculer, arrondie au millième.

La valeur prédictive négative du test est la probabilité que le coyote ne soit effectivement pas malade sachant que son test est négatif, c'est-à-dire P_{\overline{T}}\left(\overline{M}\right).
On calcule \begin{aligned}P\left(\overline{T}\right) &= 1-P(T) \\ &= 1-0{,}694 \\ &= 0{,}306\end{aligned} et \begin{aligned}P\left(\overline{T}\cap\overline{M}\right) &= P\left(\overline{M}\right)\times P_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right) \\ &= 0{,}3\times0{,}95 \\ &= 0{,}285\end{aligned}
Donc, P_{\overline{T}}\left(\overline{M}\right) = \dfrac{P\left(\overline{T}\cap\overline{M}\right)}{P\left(\overline{T}\right)} = \dfrac{0{,}285}{0{,}306} \approx 0{,}931 (arrondi au millième).

5.bComparer les valeurs prédictives positive et négative du test, et interpréter le résultat.

Comme 0{,}978 > 0{,}931, la valeur prédictive positive est supérieure à la valeur prédictive négative : un résultat positif au test permet donc de conclure à la maladie avec un peu plus de certitude (environ 2,2 % d'erreur) qu'un résultat négatif ne permet de conclure à l'absence de maladie (environ 6,9 % d'erreur).

PartieB : On admet désormais que la probabilité qu'un coyote capturé au hasard présente un test positif vaut 0{,}694. 1.a On capture cinq coyotes au hasard, ce choix étant assimilé à un tirage avec remise ; X compte, parmi ces cinq coyotes, le nombre de ceux dont le test est positif. Quelle est la loi de X ? Justifier et préciser ses paramètres.

La capture des cinq coyotes correspond à la répétition de cinq épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (par assimilation à un tirage avec remise), chacune de paramètre de succès 0{,}694 (« le test est positif »). Donc, X suit la loi binomiale de paramètres n=5 et p=0{,}694, notée X\sim\mathcal{B}(5~;~0{,}694).

1.bCalculer la probabilité qu'un seul des cinq coyotes ait un test positif, arrondie au centième.

P(X=1) = \dbinom{5}{1}\times0{,}694^1\times(1-0{,}694)^4 \approx 0{,}03 (arrondi au centième).

1.cUn vétérinaire affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'au moins quatre des cinq coyotes aient un test positif. Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier.

Il s'agit de comparer P(X\geqslant4) à \dfrac12, avec P(X\geqslant4) = P(X=4)+P(X=5).
\begin{aligned}P(X=4) &= \dbinom{5}{4}\times0{,}694^4\times0{,}306^1 \\ &\approx 0{,}3549\end{aligned} et \begin{aligned}P(X=5) &= \dbinom{5}{5}\times0{,}694^5\times0{,}306^0 \\ &\approx 0{,}1610\end{aligned}
Donc, \begin{aligned}P(X\geqslant4) &\approx 0{,}3549+0{,}1610 \\ &= 0{,}5159\end{aligned} valeur strictement supérieure à 0{,}5.
L'affirmation du vétérinaire est donc vraie.

2.Pour tester des médicaments, les vétérinaires ont besoin de disposer d'au moins un coyote présentant un test positif. Combien doivent-ils en capturer pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux ait un test positif soit supérieure à 0{,}99 ?

On note n le nombre de coyotes capturés et Y la variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p=0{,}694 comptant le nombre de tests positifs parmi eux. On cherche le plus petit n tel que P(Y\geqslant1) > 0{,}99.
Or \begin{aligned}P(Y\geqslant1) &= 1-P(Y=0) \\ &= 1-0{,}306^n\end{aligned} (probabilité de l'évènement contraire, qu'aucun test ne soit positif).
On résout donc dans \mathbb{N} l'inéquation {1-0{,}306^n > 0{,}99 \iff 0{,}306^n < 0{,}01}.
La fonction logarithme népérien étant strictement croissante sur ]0~;~+\infty[ : \ln\left(0{,}306^n\right) < \ln(0{,}01) \iff n\times\ln(0{,}306) < \ln(0{,}01).
Comme \ln(0{,}306) < 0, l'inégalité change de sens en divisant : {n > \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}306)} \approx 3{,}89}.
Donc, les vétérinaires doivent capturer au moins 4 coyotes.

Pourles questions 1 à 3, on considère une fonction f définie et deux fois dérivable sur \mathbb{R}, dont la courbe représentative de la dérivée f' est donnée : f' admet un maximum en -\dfrac32 et sa courbe coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse -\dfrac12 (courbe positive avant, négative après). Question 1 : que peut-on affirmer sur f ? a. f admet un maximum en -\dfrac32 ; b. f admet un maximum en -\dfrac12 ; c. f admet un minimum en -\dfrac12 ; d. la courbe de f admet une tangente horizontale au point d'abscisse -1.

Par lecture graphique, f' est positive sur \left]-\infty~;~-\dfrac12\right[ et négative sur \left[-\dfrac12~;~+\infty\right[ : f est donc croissante puis décroissante, avec un changement de sens de variation en -\dfrac12.
f admet donc un maximum en -\dfrac12. Donc, la réponse est b.

Question 2 : a. f est convexe sur \left]-\infty~;~-\dfrac32\right[ ; b. f est convexe sur \left]-\infty~;~-\dfrac12\right[ ; c. la courbe de f n'admet pas de point d'inflexion ; d. f est concave sur \left]-\infty~;~-\dfrac12\right[.

Une fonction est convexe sur un intervalle lorsque sa dérivée y est croissante. Or, par lecture graphique, la courbe de f' admet un maximum en -\dfrac32 : f' est donc croissante sur \left]-\infty~;~-\dfrac32\right[.
f est donc convexe sur cet intervalle. Donc, la réponse est a.

Question 3 : la dérivée seconde f'' de f vérifie : a. f''(x)\geqslant0 pour x\in\left]-\infty~;~-\dfrac12\right[ ; b. f''(x)\geqslant0 pour x\in[-2~;~-1] ; c. f''\left(-\dfrac32\right) = 0 ; d. f''(-3) = 0.

D'après la question précédente, f' est croissante sur \left]-\infty~;~-\dfrac32\right[ et, par lecture graphique, décroissante sur \left]-\dfrac32~;~+\infty\right[ : f' change donc de sens de variation en -\dfrac32, où elle admet un maximum.
Comme f'' est la dérivée de f', on a donc f''\left(-\dfrac32\right) = 0. Donc, la réponse est c.

Question 4 : on considère trois suites (u_n), (v_n) et (w_n) telles que, pour tout entier naturel n, {u_n\leqslant v_n\leqslant w_n}, avec \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1 et \lim\limits_{n\to+\infty}w_n=3. a. la suite (v_n) converge ; b. si (u_n) est croissante alors (v_n) est minorée par u_0 ; c. {1\leqslant v_0\leqslant3} ; d. la suite (v_n) diverge.

Si (u_n) est croissante, alors pour tout entier naturel n, u_0\leqslant u_n. Or, par hypothèse, u_n\leqslant v_n pour tout n, donc u_0\leqslant v_n pour tout entier naturel n.
La suite (v_n) est donc minorée par u_0. Donc, la réponse est b.
(Les autres propositions sont fausses en général : le théorème des gendarmes ne s'applique ici que si u_n et w_n avaient la même limite, ce qui n'est pas le cas puisque 1\neq3 ; on ne peut donc rien conclure sur la convergence de (v_n), ni sur l'encadrement de v_0 en particulier.)

Question 5 : on considère une suite (u_n) telle que, pour tout entier naturel n non nul, {u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\dfrac1n}. a. la suite (u_n) diverge ; b. la suite (u_n) converge ; c. \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0 ; d. \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1.

L'inégalité u_n\leqslant u_{n+1}, vraie pour tout entier naturel n non nul, signifie que la suite (u_n) est croissante à partir du rang 1.
De plus, pour tout n\geqslant1, {u_{n+1}\leqslant\dfrac1n\leqslant1} : la suite (u_n) est donc majorée par 1 à partir du rang 2, et donc bornée.
Une suite croissante et majorée converge, d'après le théorème de convergence monotone : (u_n) converge. On ne peut cependant pas déterminer sa limite exacte avec les seules informations données (l'encadrement ne donne qu'une majoration, pas la valeur précise de la limite). Donc, la réponse est b.

Question 6 : on considère une suite réelle (u_n) telle que, pour tout entier naturel n, {n < u_n < n+1}. a. il existe un entier naturel N tel que u_N est un entier ; b. la suite (u_n) est croissante ; c. la suite (u_n) est convergente ; d. la suite (u_n) n'a pas de limite.

Au rang n : {n < u_n < n+1}. Au rang {n+1} : {n+1 < u_{n+1} < n+2}.
En particulier, {u_n < n+1 < u_{n+1}}, donc u_n < u_{n+1} pour tout entier naturel n.
La suite (u_n) est donc croissante. Donc, la réponse est b.

Onconsidère un cube ABCDEFGH et K le milieu du segment [BC]. L'espace est muni du repère \left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right), et on s'intéresse au tétraèdre EFGK. On rappelle que le volume d'un tétraèdre vaut {V = \dfrac13\times\mathcal{B}\times h}, où \mathcal{B} est l'aire d'une base et h la hauteur relative à cette base. 1. Donner les coordonnées des points E, F, G et K.

Dans le repère \left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right), le cube ABCDEFGH a pour sommets A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1) et H(0 ; 1 ; 1) ; K, milieu de [BC], a donc pour coordonnées E(0 ; 0 ; 1), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1) et K\left(1~;~\dfrac12~;~0\right).

2.Montrer que le vecteur \vec n\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix} est orthogonal au plan (EGK).

D'après les coordonnées précédentes, \overrightarrow{\text{EG}}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} et \overrightarrow{\text{EK}}\begin{pmatrix}1 \\ \frac12 \\ -1\end{pmatrix}.
\begin{aligned}\vec n\cdot\overrightarrow{\text{EG}} &= 2\times1+(-2)\times1+1\times0 \\ &= 2-2+0 \\ &= 0\end{aligned} donc \vec n et \overrightarrow{\text{EG}} sont orthogonaux.
\begin{aligned}\vec n\cdot\overrightarrow{\text{EK}} &= 2\times1+(-2)\times\dfrac12+1\times(-1) \\ &= 2-1-1 \\ &= 0\end{aligned} donc \vec n et \overrightarrow{\text{EK}} sont orthogonaux.
\vec n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (EGK) : \vec n est donc orthogonal au plan (EGK).

3.Démontrer que le plan (EGK) admet pour équation cartésienne 2x-2y+z-1=0.

D'après la question précédente, \vec n\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (EGK), qui admet donc une équation cartésienne de la forme {2x-2y+z+d=0}, avec d\in\mathbb{R}.
Comme E(0 ; 0 ; 1) appartient au plan (EGK) : \begin{aligned}2\times0-2\times0+1+d = 0 &\iff d = -1 \end{aligned}
Donc, une équation cartésienne du plan (EGK) est 2x-2y+z-1=0.

4.Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d) orthogonale au plan (EGK) et passant par F.

La droite (d), orthogonale au plan (EGK), admet \vec n\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix} comme vecteur directeur ; elle passe par F(1 ; 0 ; 1).
Donc, une représentation paramétrique de (d) est : \begin{cases}x=1+2t\\y=-2t\\z=1+t\end{cases}, t\in\mathbb{R}.

5.Montrer que le projeté orthogonal L de F sur le plan (EGK) a pour coordonnées \left(\dfrac59~;~\dfrac49~;~\dfrac79\right).

L est l'unique point d'intersection de la droite (d) et du plan (EGK). On remplace les coordonnées paramétriques de (d) dans l'équation du plan (EGK) : {2(1+2t)-2(-2t)+(1+t)-1=0}.
En développant : \begin{aligned}2+4t+4t+1+t-1 = 0 &\iff 9t+2 = 0 \\ &\iff t = -\dfrac29 \end{aligned}
En remplaçant t=-\dfrac29 dans les équations de (d) : \begin{aligned}x &= 1+2\times\left(-\dfrac29\right) \\ &= 1-\dfrac49 \\ &= \dfrac59\end{aligned} \begin{aligned}y &= -2\times\left(-\dfrac29\right) \\ &= \dfrac49\end{aligned} \begin{aligned}z &= 1+\left(-\dfrac29\right) \\ &= \dfrac79\end{aligned}
Donc, L a pour coordonnées \left(\dfrac59~;~\dfrac49~;~\dfrac79\right).

6.Justifier que la longueur LF est égale à \dfrac23.

Avec L\left(\dfrac59~;~\dfrac49~;~\dfrac79\right) et F(1 ; 0 ; 1), on a \overrightarrow{\text{LF}}\begin{pmatrix}\frac49 \\ -\frac49 \\ \frac29\end{pmatrix}.
Donc, \text{LF} = \sqrt{\left(\dfrac49\right)^2+\left(-\dfrac49\right)^2+\left(\dfrac29\right)^2} = \sqrt{\dfrac{16}{81}+\dfrac{16}{81}+\dfrac{4}{81}} = \sqrt{\dfrac{36}{81}} = \dfrac{6}{9} = \dfrac23.

7.Calculer l'aire du triangle EFG. En déduire que le volume du tétraèdre EFGK est égal à \dfrac16.

On a \overrightarrow{\text{EF}}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} et \overrightarrow{\text{FG}}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, donc {\overrightarrow{\text{EF}}\cdot\overrightarrow{\text{FG}} = 0} : le triangle EFG est rectangle en F, avec EF =1 et FG =1.
Son aire vaut donc \begin{aligned}\mathcal{A}(\text{EFG}) &= \dfrac{\text{EF}\times\text{FG}}{2} \\ &= \dfrac{1\times1}{2} \\ &= \dfrac12\end{aligned}
Le triangle EFG est situé dans le plan d'équation z=1 (contenant E, F et G) ; la hauteur du tétraèdre EFGK relative à cette base est donc la distance de K, d'altitude z=0, à ce plan, soit h=1.
Donc, \mathcal{V}(\text{EFGK}) = \dfrac13\times\mathcal{A}(\text{EFG})\times h = \dfrac13\times\dfrac12\times1 = \dfrac16.

8.Déduire des questions précédentes l'aire du triangle EGK.

Le volume du tétraèdre EFGK peut aussi se calculer en prenant pour base le triangle EGK et pour hauteur la longueur LF, puisque L est le projeté orthogonal de F sur le plan (EGK) : \mathcal{V}(\text{EFGK}) = \dfrac13\times\mathcal{A}(\text{EGK})\times\text{LF}.
D'après les questions précédentes, \begin{aligned}\dfrac16 &= \dfrac13\times\mathcal{A}(\text{EGK})\times\dfrac23 \\ &= \dfrac29\times\mathcal{A}(\text{EGK})\end{aligned}
Donc, \mathcal{A}(\text{EGK}) = \dfrac{\frac16}{\frac29} = \dfrac16\times\dfrac92 = \dfrac34.

9.On considère les points P, milieu de [EG], M, milieu de [EK], et N, milieu de [GK]. Déterminer le volume du tétraèdre FPMN.

D'après le théorème des milieux appliqué dans le triangle EGK, les côtés du triangle PMN mesurent chacun la moitié des côtés correspondants du triangle EGK.
L'aire du triangle PMN vaut donc \left(\dfrac12\right)^2 = \dfrac14 fois celle du triangle EGK : \begin{aligned}\mathcal{A}(\text{PMN}) &= \dfrac14\times\dfrac34 \\ &= \dfrac{3}{16}\end{aligned}
Les points P, M et N appartiennent tous les trois au plan (EGK) : la hauteur du tétraèdre FPMN relative à la base PMN est donc la même que celle du tétraèdre EFGK relative à la base EGK, à savoir LF =\dfrac23.
Donc, \mathcal{V}(\text{FPMN}) = \dfrac13\times\mathcal{A}(\text{PMN})\times\text{LF} = \dfrac13\times\dfrac{3}{16}\times\dfrac23 = \dfrac{1}{24}.

PartieA : On considère les fonctions f et g définies sur [0~;~+\infty[ par {f(x) = 0{,}06\left(-x^2+13{,}7x\right)} et {g(x) = (-0{,}15x+2{,}2)\text{e}^{0,2x}-2{,}2}. On admet que f et g sont dérivables sur [0~;~+\infty[, de dérivées respectives f' et g'. On donne le tableau de variations complet de f : croissante sur [0~;~6{,}85] de f(0)=0 à f(6{,}85), puis décroissante sur [6{,}85~;~+\infty[ vers -\infty. 1.a Justifier la limite de f en +\infty.

Pour tout x>0, {f(x) = 0{,}06x^2\left(-1+\dfrac{13{,}7}{x}\right)}.
Or \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{13{,}7}{x} = 0, donc \lim\limits_{x\to+\infty}\left(-1+\dfrac{13{,}7}{x}\right) = -1 ; de plus \lim\limits_{x\to+\infty}0{,}06x^2 = +\infty.
Par produit de limites, \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = -\infty.

1.bJustifier les variations de la fonction f affichées dans le tableau.

f est une fonction polynôme, donc dérivable sur [0~;~+\infty[, avec f'(x) = 0{,}06\times(-2x+13{,}7) = -0{,}12x+0{,}822.
f'(x) > 0 \iff -0{,}12x+0{,}822 > 0 \iff x < \dfrac{0{,}822}{0{,}12} = 6{,}85, et de même f'(x) < 0 \iff x > 6{,}85.
Donc, f est croissante sur [0~;~6{,}85] et décroissante sur [6{,}85~;~+\infty[, conformément au tableau donné.

1.cRésoudre l'équation f(x)=0.

\begin{aligned}f(x) = 0 &\iff 0{,}06\left(-x^2+13{,}7x\right) = 0 \\ &\iff -x^2+13{,}7x = 0 \\ &\iff x(13{,}7-x) = 0 \end{aligned}
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un au moins des facteurs est nul, donc x=0 ou x=13{,}7.
Donc, l'ensemble des solutions est {S=\{0~;~13{,}7\}}.

2.aDéterminer la limite de g en +\infty.

\lim\limits_{x\to+\infty}(-0{,}15x+2{,}2) = -\infty et \lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{0,2x} = +\infty (limite usuelle de la fonction exponentielle).
Par produit de limites, {\lim\limits_{x\to+\infty}(-0{,}15x+2{,}2)\text{e}^{0,2x} = -\infty}, donc \lim\limits_{x\to+\infty}g(x) = -\infty.

2.bDémontrer que, pour tout réel {x\in[0~;~+\infty[}, g'(x) = (-0{,}03x+0{,}29)\text{e}^{0,2x}.

g est un produit de deux fonctions dérivables sur [0~;~+\infty[ : {x\mapsto-0{,}15x+2{,}2}, de dérivée -0{,}15, et x\mapsto\text{e}^{0,2x}, de dérivée x\mapsto0{,}2\text{e}^{0,2x} (la constante -2{,}2 ayant une dérivée nulle).
g'(x) = -0{,}15\,\text{e}^{0,2x} + (-0{,}15x+2{,}2)\times0{,}2\,\text{e}^{0,2x} = \text{e}^{0,2x}\left(-0{,}15-0{,}03x+0{,}44\right) = \text{e}^{0,2x}(-0{,}03x+0{,}29).
Donc, pour tout réel {x\in[0~;~+\infty[}, g'(x) = (-0{,}03x+0{,}29)\text{e}^{0,2x}.

2.cÉtudier les variations de g sur [0~;~+\infty[ et donner une valeur approchée à 10^{-2} près de son maximum.

Pour tout x\geqslant0, \text{e}^{0,2x} > 0, donc g'(x) est du signe de -0{,}03x+0{,}29.
-0{,}03x+0{,}29 > 0 \iff x < \dfrac{0{,}29}{0{,}03} = \dfrac{29}{3}, et de même g'(x) < 0 \iff x > \dfrac{29}{3}.
Donc, g est croissante sur \left[0~;~\dfrac{29}{3}\right] et décroissante sur \left[\dfrac{29}{3}~;~+\infty\right[ : g admet donc un maximum en \dfrac{29}{3}.
g\left(\dfrac{29}{3}\right) = \left(-0{,}15\times\dfrac{29}{3}+2{,}2\right)\text{e}^{0,2\times\frac{29}{3}}-2{,}2 \approx 2{,}98 (arrondi au centième).

2.dMontrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution non nulle sur [0~;~+\infty[ et déterminer, à 10^{-2} près, une valeur approchée de cette solution.

On remarque déjà que {g(0) = (0+2{,}2)\text{e}^0-2{,}2 = 2{,}2-2{,}2 = 0} : x=0 est donc une solution évidente.
Sur l'intervalle \left[\dfrac{29}{3}~;~+\infty\right[, la fonction g est continue (car dérivable) et strictement décroissante, de {g\left(\dfrac{29}{3}\right)\approx2{,}98} vers -\infty.
Comme 0 appartient à l'intervalle \left]-\infty~;~2{,}98\right[, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire de la stricte monotonie), l'équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha sur cet intervalle, avec \alpha\neq0 puisque {\alpha>\dfrac{29}{3}>0}.
À la calculatrice, on obtient \alpha\approx13{,}72 (arrondi au centième).

PartieB : On admet que 13{,}7 annule f et est une approximation de la valeur qui annule g. Pour x représentant, en dizaine de yards, la distance horizontale parcourue par une balle de golf après la frappe (avec {0<x<13{,}7}), f(x) (ou g(x), selon le modèle choisi) représente la hauteur correspondante de la balle, dans la même unité. L'angle de décollage est l'angle d tel que \tan(d) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 ; l'angle d'atterrissage est l'angle a tel que \tan(a) est l'opposé du coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 13{,}7. Première modélisation (fonction f) ; 1.a Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle ?

D'après la Partie A, le maximum de f sur [0~;~+\infty[ est atteint en x=6{,}85, avec \begin{aligned}f(6{,}85) &= 0{,}06\left(-6{,}85^2+13{,}7\times6{,}85\right) \\ &= 2{,}81535\end{aligned}
Cette hauteur est exprimée en dizaine de yards, donc, en yards, la hauteur maximale atteinte par la balle vaut 28{,}1535 yards, soit environ 28,2 yards.

1.bVérifier que f'(0) = 0{,}822.

D'après la question 1.b de la Partie A, f'(x) = -0{,}12x+0{,}822, donc f'(0) = 0{,}822.

1.cDonner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle selon ce modèle, arrondie au dixième.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 est f'(0) = 0{,}822, donc l'angle de décollage d vérifie \tan(d) = 0{,}822.
À l'aide de la calculatrice (ou du tableau fourni dans l'énoncé), {d = \arctan(0{,}822) \approx} 39{,}4^{\circ} (arrondi au dixième).

1.dQuelle propriété graphique de la courbe de f permet de justifier que les angles de décollage et d'atterrissage sont égaux, selon ce modèle ?

La courbe de f est un arc de parabole, symétrique par rapport à la droite verticale d'équation x=6{,}85 (l'abscisse de son sommet, qui est le milieu de l'intervalle [0~;~13{,}7]). Cette symétrie échange les points d'abscisses 0 et 13{,}7 et transforme donc la tangente en 0 en la tangente en 13{,}7 (à une réflexion près), ce qui justifie que les angles de décollage et d'atterrissage sont égaux.

Seconde modélisation (fonction g) ; 2.a Quelle est la hauteur maximale, en yard, atteinte par la balle selon ce modèle ? (On précise que g'(0)=0{,}29 et g'(13{,}7)\approx-1{,}87.)

D'après la question 2.c de la Partie A, le maximum de g sur [0~;~+\infty[ vaut {g\left(\dfrac{29}{3}\right)\approx2{,}98}, exprimé en dizaine de yards.
Donc, en yards, la hauteur maximale atteinte par la balle vaut environ 29,8 yards selon ce modèle.

2.bDonner une mesure en degré de l'angle de décollage de la balle selon ce modèle, arrondie au dixième.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse 0 est g'(0) = 0{,}29, donc l'angle de décollage d vérifie \tan(d) = 0{,}29.
À l'aide de la calculatrice (ou du tableau fourni), d = \arctan(0{,}29) \approx 16{,}2^{\circ} (arrondi au dixième).

2.cJustifier que 62 est une valeur approchée, arrondie à l'unité, d'une mesure en degré de l'angle d'atterrissage de la balle selon ce modèle.

L'angle d'atterrissage a vérifie \tan(a) = -g'(13{,}7), l'opposé du coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 13{,}7.
Comme g'(13{,}7)\approx-1{,}87, on a {\tan(a) \approx 1{,}87}, d'où \begin{aligned}a &= \arctan(1{,}87) \\ &\approx 61{,}9\end{aligned}^{\circ}, soit 62^{\circ} arrondi à l'unité.

PartieC : Des observations sur des joueurs professionnels donnent, en moyenne : angle de décollage 24^{\circ}, hauteur maximale 32 yards, angle d'atterrissage 52^{\circ}, distance horizontale au point de chute 137 yards (soit 13{,}7 dizaines de yards, cohérent avec les deux modèles). Quel modèle, parmi les deux étudiés, semble le plus adapté pour décrire la frappe d'un joueur professionnel ? Justifier.

Comparons les deux modèles aux observations professionnelles (angle de décollage 24^{\circ}, hauteur maximale 32 yards, angle d'atterrissage 52^{\circ}) :
Avec le modèle f : angle de décollage \approx39{,}4^{\circ} (net écart avec 24^{\circ}, surestimation), hauteur maximale {\approx28{,}2} yards (sous-estimation), angles de décollage et d'atterrissage égaux entre eux (alors que les observations donnent 24^{\circ} et 52^{\circ}, très différents).
Avec le modèle g : angle de décollage \approx16{,}2^{\circ} (sous-estimation, mais ordre de grandeur plus proche que f), hauteur maximale \approx29{,}8 yards (sous-estimation, mais plus proche de 32 que le modèle f), angle d'atterrissage \approx62^{\circ} (surestimation, mais du même ordre que 52^{\circ}, et surtout nettement supérieur à l'angle de décollage comme dans les observations).
Le modèle g reproduit qualitativement le fait que l'angle d'atterrissage est bien plus grand que l'angle de décollage (comportement observé chez les professionnels), ce que le modèle f, de par sa symétrie, est structurellement incapable de reproduire.
Donc, même si aucun des deux modèles ne redonne exactement les valeurs observées, le modèle g semble le plus adapté pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel.