Bac Terminale Spé Maths : Nouvelle-Calédonie 2022, Sujet 1
Session 2022 : Nouvelle-Calédonie, Sujet 1 · Spécialité mathématiques, 4 exercices, 4 heures.
Exercice 1 7 points
1.a.On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0~;~+\infty[ par {f(x) = x^2 - 6x + 4\ln(x)}. Déterminer \displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) et interpréter graphiquement ce résultat.
Quand x tend vers 0, on a \displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 = 0 et \displaystyle\lim_{x \to 0} -6x = 0, tandis que \displaystyle\lim_{x \to 0} \ln(x) = -\infty, donc \displaystyle\lim_{x \to 0} 4\ln(x) = -\infty.
Par somme de limites, on obtient \displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty.
Graphiquement, cela signifie que la droite d'équation x=0 (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale à la courbe \mathcal{C}_f.
1.b.Déterminer \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x).
Pour x>0, on factorise : {x^2 - 6x = x^2\left(1-\dfrac{6}{x}\right)}.
Or \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{6}{x} = 0, donc \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1-\dfrac{6}{x}\right) = 1, et comme \displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty, par produit de limites \displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2\left(1-\dfrac{6}{x}\right) = +\infty.
De plus \displaystyle\lim_{x \to +\infty} 4\ln(x) = +\infty, donc, par somme de limites, \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.
2.a.Déterminer f'(x) pour tout réel x de ]0~;~+\infty[.
La fonction f est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme somme de fonctions dérivables, et f'(x) = 2x - 6 + \dfrac{4}{x} = \dfrac{2x^2-6x+4}{x}.
2.b.Étudier le signe de f'(x) sur ]0~;~+\infty[ et en déduire le tableau de variations de f.
Comme x>0 sur l'intervalle d'étude, le signe de f'(x) = \dfrac{2x^2-6x+4}{x} est celui du numérateur 2x^2-6x+4, c'est-à-dire celui de x^2-3x+2 (même signe, car on divise par 2>0).
Ce trinôme a pour racines évidentes 1 et 2 (leur somme vaut 3 et leur produit 2, ce qui correspond bien aux coefficients), donc {x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)}.
Un trinôme du second degré de coefficient dominant positif est négatif entre ses racines et positif à l'extérieur : f'(x)<0 sur ]1~;~2[ et f'(x)>0 sur ]0~;~1[\cup]2~;~+\infty[, avec f'(1)=f'(2)=0.
La fonction f est donc strictement croissante sur ]0~;~1], strictement décroissante sur [1~;~2], puis strictement croissante sur [2~;~+\infty[.
On calcule les valeurs aux bornes : \begin{aligned}f(1) &= 1-6+4\ln(1) \\ &= 1-6+0 \\ &= -5\end{aligned} et \begin{aligned}f(2) &= 4-12+4\ln(2) \\ &= 4\ln(2)-8 \\ &\approx -5{,}23\end{aligned}
Le tableau de variations de f sur ]0~;~+\infty[ part donc de -\infty (limite en 0), croît jusqu'à -5 en x=1, décroît jusqu'à 4\ln(2)-8 en x=2, puis croît vers +\infty (limite en +\infty).
3.Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution dans l'intervalle [4~;~5].
On calcule les images des bornes : \begin{aligned}f(4) &= 16-24+4\ln(4) \\ &= -8+8\ln(2) \\ &\approx -2{,}45\end{aligned} et \begin{aligned}f(5) &= 25-30+4\ln(5) \\ &= 4\ln(5)-5 \\ &\approx 1{,}44\end{aligned}
Ainsi f(4)<0<f(5). Or, d'après la question précédente, l'intervalle [4~;~5] est inclus dans [2~;~+\infty[, sur lequel f est continue (car dérivable) et strictement croissante.
Donc, d'après le théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l'équation f(x)=0 admet une unique solution \alpha dans l'intervalle [4~;~5].
4.a.On admet que, pour tout x de ]0~;~+\infty[, f''(x) = \dfrac{2x^2-4}{x^2}. Étudier la convexité de f sur ]0~;~+\infty[ et préciser les coordonnées exactes des éventuels points d'inflexion de \mathcal{C}_f.
Comme x>0, le dénominateur x^2 est strictement positif, donc le signe de f''(x) est celui du numérateur 2x^2-4.
On résout \begin{aligned}2x^2-4 = 0 &\iff x^2 = 2 \\ &\iff x = \sqrt{2} \end{aligned} ou x=-\sqrt{2} ; seule la solution x=\sqrt{2} appartient à ]0~;~+\infty[.
Le trinôme 2x^2-4 est négatif entre ses racines et positif à l'extérieur, donc, restreint à ]0~;~+\infty[ : f''(x)<0 sur ]0~;~\sqrt{2}[ et f''(x)>0 sur ]\sqrt{2}~;~+\infty[.
Donc f est concave sur ]0~;~\sqrt{2}] et convexe sur [\sqrt{2}~;~+\infty[.
Comme f'' s'annule en x=\sqrt{2} en changeant de signe, la courbe \mathcal{C}_f admet un unique point d'inflexion, d'abscisse \sqrt{2}.
Son ordonnée vaut \begin{aligned}f(\sqrt{2}) &= 2 - 6\sqrt{2} + 4\ln(\sqrt{2}) \\ &= 2-6\sqrt{2}+4\times\dfrac12\ln(2) \\ &= 2-6\sqrt{2}+2\ln(2)\end{aligned}
Donc, le point d'inflexion de \mathcal{C}_f a pour coordonnées exactes \left(\sqrt{2}~;~2-6\sqrt{2}+2\ln(2)\right).
4.b.On note A le point de coordonnées \left(\sqrt{2}~;~f(\sqrt{2})\right). Soit t un réel strictement positif tel que t\ne\sqrt{2} et M le point de coordonnées (t~;~f(t)). En utilisant la question 4.a., indiquer, selon la valeur de t, les positions relatives du segment [AM] et de la courbe \mathcal{C}_f.
Le segment [AM] est une corde de la courbe \mathcal{C}_f joignant le point d'inflexion A au point M.
Si t \in ]0~;~\sqrt{2}[, les points A et M sont tous deux situés sur la partie de \mathcal{C}_f où f est concave : une corde d'une courbe concave est toujours située en dessous de la courbe, donc le segment [AM] est en dessous de \mathcal{C}_f.
Si t \in ]\sqrt{2}~;~+\infty[, les points A et M sont tous deux situés sur la partie de \mathcal{C}_f où f est convexe : une corde d'une courbe convexe est toujours située au-dessus de la courbe, donc le segment [AM] est au-dessus de \mathcal{C}_f.
Exercice 2 7 points
1.a.On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = x^3e^x et la suite (u_n) définie par {u_0=-1} et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=f(u_n). Calculer u_1 puis u_2 (valeurs exactes puis approchées à 10^{-3} près).
\begin{aligned}u_1 &= f(u_0) \\ &= f(-1) \\ &= (-1)^3e^{-1} \\ &= -e^{-1} \\ &= -\dfrac{1}{e} \\ &\approx -0{,}368\end{aligned}
\begin{aligned}u_2 &= f(u_1) \\ &= \left(-e^{-1}\right)^3 \times e^{-e^{-1}} \\ &= -e^{-3}\times e^{-e^{-1}} \\ &= -e^{-3-e^{-1}} \\ &\approx -0{,}034\end{aligned}
1.b.Le code Python ci-dessous définit une fonction fonc(n) qui, partant de u=-1, applique n fois de suite l'instruction u = u3*exp(u) avant de renvoyer u. Déterminer, sans justifier, la valeur renvoyée par fonc(2), arrondie à 10^{-3} près.
La boucle applique deux fois la relation u_{n+1}=f(u_n) à partir de {u_0=-1}, donc fonc(2) renvoie la valeur de u_2, soit environ -0,034.
2.a.Démontrer que, pour tout réel x, f'(x) = x^2e^x(x+3).
La fonction f(x)=x^3e^x est dérivable sur \mathbb{R} comme produit de fonctions dérivables. En dérivant ce produit, on obtient f'(x) = 3x^2\times e^x + x^3\times e^x = x^2e^x(3+x), ce qui est bien le résultat annoncé.
2.b.Justifier le tableau de variations de f sur \mathbb{R} (minimum en x=-3, limites 0 en -\infty et +\infty en +\infty).
Pour tout réel x, x^2 \geqslant 0 et e^x>0, donc le signe de f'(x) = x^2e^x(x+3) est celui de (x+3), sauf en x=0 où f'(x)=0 car x^2=0.
On a x+3<0 \iff x<-3 : donc f'(x)<0 sur ]-\infty~;~-3[, et f y est strictement décroissante.
On a x+3>0 \iff x>-3 : donc f'(x)>0 sur {]-3~;~+\infty[} (sauf au point isolé x=0 où f' s'annule sans changer de signe), et f y est strictement croissante.
La fonction f admet donc un minimum en x=-3, qui vaut \begin{aligned}f(-3) &= (-3)^3\times e^{-3} \\ &= -27e^{-3} \\ &= -\dfrac{27}{e^3} \\ &\approx -1{,}344\end{aligned}
Par ailleurs, \displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^3 = +\infty et \displaystyle\lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty, donc, par produit de limites, \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty.
Ceci justifie bien le tableau de variations donné dans l'énoncé.
2.c.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {-1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 0}.
Initialisation : on a {u_0=-1} et \begin{aligned}u_1 &= -e^{-1} \\ &\approx -0{,}368\end{aligned} On vérifie bien {-1 \leqslant -1 \leqslant -0{,}368 \leqslant 0}, donc l'encadrement est vrai au rang 0.
Hérédité : supposons que, pour un entier naturel n fixé, on ait {-1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 0}.
D'après la question 2.b., la fonction f est strictement croissante sur {]-3~;~+\infty[}, donc en particulier sur [-1~;~0], qui contient tous les termes encadrés par hypothèse de récurrence.
En appliquant f, qui est croissante sur cet intervalle, à chaque membre de l'inégalité {-1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 0}, on obtient {f(-1) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(0)}, c'est-à-dire {u_1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant f(0)}.
Or \begin{aligned}f(0) &= 0^3\times e^0 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}u_1 &= -e^{-1} \\ &\approx -0{,}368 \\ &\geqslant -1\end{aligned} donc on obtient bien {-1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 0} : la relation est vraie au rang n+1.
Conclusion : l'encadrement est vrai au rang 0 et il est héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {-1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 0}.
2.d.En déduire que la suite (u_n) est convergente.
D'après la question précédente, pour tout entier naturel n, u_n \leqslant u_{n+1} : la suite (u_n) est donc croissante.
Toujours d'après la question précédente, pour tout entier naturel n, u_{n+1} \leqslant 0, donc u_n \leqslant 0 (en particulier pour \begin{aligned}u_0 &= -1 \\ &\le 0\end{aligned}) : la suite (u_n) est majorée par 0.
Donc, d'après le théorème de la limite monotone, la suite (u_n), croissante et majorée, est convergente vers une limite \ell vérifiant \ell \leqslant 0.
2.e.On note \ell la limite de (u_n), solution de l'équation f(x)=x. Déterminer \ell, sachant que l'équation {x^2e^x-1=0} n'admet pas de solution dans ]-1~;~0[.
D'après la question 2.c., tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle [-1~;~0], donc \ell \in [-1~;~0].
On résout l'équation f(x)=x sur cet intervalle : \begin{aligned}x^3e^x = x &\iff x^3e^x-x = 0 \\ &\iff x\left(x^2e^x-1\right) = 0 \end{aligned}
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul, donc x=0 ou {x^2e^x-1=0}.
Or, par hypothèse, l'équation {x^2e^x-1=0} n'a pas de solution dans ]-1~;~0[, donc, sur l'intervalle [-1~;~0], la seule solution possible de f(x)=x est x=0 (qui appartient bien à [-1~;~0]).
Donc, \begin{aligned}\ell &= \displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n \\ &= 0\end{aligned}
Exercice 3 7 points
1.Une maison est modélisée par un parallélépipède rectangle ABCDEFGH surmonté d'un prisme EFIHGJ, de base triangulaire EIF isocèle en I, avec AB=3, AD=2, AE=1. On munit l'espace du repère orthonormé \left(\text{A}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right) avec \vec{\imath}=\dfrac13\vec{\text{AB}}, {\vec{\jmath}=\dfrac12\vec{\text{AD}}}, \vec{k}=\vec{\text{AE}}. Donner les coordonnées du point G.
Dans ce repère, on a \begin{aligned}\vec{\text{AG}} &= \vec{\text{AB}}+\vec{\text{AD}}+\vec{\text{AE}} \\ &= 3\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+1\vec{k}\end{aligned} donc les coordonnées de G sont G(3 ; 2 ; 1).
2.Le vecteur \vec{n} de coordonnées (2~;~0~;~-3) est normal au plan (EHI). Déterminer une équation cartésienne du plan (EHI).
Une équation cartésienne d'un plan de vecteur normal \vec{n}(2~;~0~;~-3) est de la forme 2x + 0y - 3z = d, avec d \in \mathbb{R} à déterminer.
Dans le repère choisi, on a E(0 ; 0 ; 1) (puisque \vec{\text{AE}}=\vec{k}), et E appartient au plan (EHI), donc 2\times0 - 3\times1 = d, soit d=-3.
Donc, une équation cartésienne du plan (EHI) est 2x - 3z = -3.
3.Déterminer les coordonnées du point I.
Le triangle EIF est isocèle en I, donc le projeté orthogonal de I sur la droite (EF) est le milieu de [EF].
Or, dans le repère choisi, E(0 ; 0 ; 1) et F(3 ; 0 ; 1) (F ayant même ordonnée et cote que E, avec l'abscisse de B), donc le milieu de [EF] a pour abscisse \dfrac{0+3}{2}=1{,}5 et pour ordonnée 0.
Le point I a donc la même abscisse (1{,}5) et la même ordonnée (0) que ce projeté, par symétrie du toit par rapport au plan d'équation y=0 contenant A, B, E, F.
Il reste à déterminer la cote de I : puisque I appartient au plan (EHI) d'équation 2x-3z=-3, on a \begin{aligned}2\times1{,}5 - 3z = -3 &\iff 3 - 3z = -3 \\ &\iff 3z = 6 \\ &\iff z = 2 \end{aligned}
Donc, les coordonnées du point I sont I(1,5 ; 0 ; 2).
4.Déterminer une mesure au degré près de l'angle \widehat{\text{EIF}}.
Avec I(1,5 ; 0 ; 2), E(0 ; 0 ; 1) et F(3 ; 0 ; 1), on calcule les coordonnées des vecteurs \vec{\text{IE}}(-1{,}5~;~0~;~-1) et \vec{\text{IF}}(1{,}5~;~0~;~-1).
On calcule les normes : \text{IE}^2 = (-1{,}5)^2+0^2+(-1)^2 = 2{,}25+1 = 3{,}25 = \dfrac{13}{4}, donc \text{IE} = \dfrac{\sqrt{13}}{2} ; de même \text{IF} = \dfrac{\sqrt{13}}{2} (le triangle EIF est bien isocèle en I).
On calcule le produit scalaire : \begin{aligned}\vec{\text{IE}}\cdot\vec{\text{IF}} &= (-1{,}5)\times1{,}5 + 0\times0 + (-1)\times(-1) \\ &= -2{,}25+1 \\ &= -1{,}25\end{aligned}
Or \vec{\text{IE}}\cdot\vec{\text{IF}} = \text{IE}\times\text{IF}\times\cos\left(\widehat{\text{EIF}}\right), donc \begin{aligned}\cos\left(\widehat{\text{EIF}}\right) &= \dfrac{-1{,}25}{\dfrac{\sqrt{13}}{2}\times\dfrac{\sqrt{13}}{2}} \\ &= \dfrac{-1{,}25}{\dfrac{13}{4}} \\ &= -\dfrac{5}{13}\end{aligned}
La calculatrice donne alors \begin{aligned}\widehat{\text{EIF}} &= \arccos\left(-\dfrac{5}{13}\right) \\ &\approx 112{,}6\degres\end{aligned} soit 113^{\circ} au degré près.
5.a.On souhaite creuser une tranchée depuis un relais électrique R de coordonnées (6~;~-3~;~-1), assimilée à un segment de la droite \Delta passant par R et dirigée par le vecteur \vec{u}(-3~;~4~;~1). Donner une représentation paramétrique de la droite \Delta.
Un point M(x ; y ; z) appartient à \Delta si et seulement s'il existe un réel t tel que \vec{\text{RM}} = t\vec{u}, ce qui donne la représentation paramétrique : \left\{\begin{array}{l}x = 6-3t\\y=-3+4t\\z=-1+t\end{array}\right.,\quad t\in\mathbb{R}.
5.b.On admet qu'une équation du plan (BFG) est x=3. Soit K le point d'intersection de la droite \Delta avec le plan (BFG). Déterminer les coordonnées de K.
Le point K appartient à la fois à \Delta et au plan (BFG), donc ses coordonnées vérifient à la fois la représentation paramétrique de \Delta et l'équation x=3.
En substituant x=6-3t dans x=3, on obtient \begin{aligned}6-3t = 3 &\iff 3t = 3 \\ &\iff t = 1 \end{aligned}
On reporte t=1 dans les deux autres équations : \begin{aligned}y &= -3+4\times1 \\ &= 1\end{aligned} et \begin{aligned}z &= -1+1 \\ &= 0\end{aligned}
Donc, les coordonnées du point K sont K(3 ; 1 ; 0).
5.c.Le point K appartient-il à l'arête [BC] ?
Dans le repère choisi, B(3 ; 0 ; 0) et C(3 ; 2 ; 0) (C ayant même abscisse et cote que B, et l'ordonnée de D).
Le milieu de [BC] a pour coordonnées \left(\dfrac{3+3}{2}~;~\dfrac{0+2}{2}~;~\dfrac{0+0}{2}\right) = (3~;~1~;~0), qui sont exactement les coordonnées de K.
Donc K est le milieu de [BC], et en particulier, K appartient bien à l'arête [BC] : la tranchée atteindra donc la maison au niveau de cette arête.
Exercice 4 7 points
Préambule (QCM). Un système de communication binaire transmet des bits (0 ou 1), avec un risque d'erreur de transmission (un 0 peut être reçu comme un 1 et réciproquement). Pour un bit choisi au hasard, on note E_0 : « le bit envoyé est 0 », E_1 : « le bit envoyé est 1 », R_0 : « le bit reçu est 0 », R_1 : « le bit reçu est 1 ». On donne P(E_0)=0{,}4, P_{E_0}(R_1)=0{,}01 et {P_{E_1}(R_0)=0{,}02}.
On complète l'arbre pondéré : à la racine, les branches E_0 (probabilité 0{,}4) et E_1 (probabilité 0{,}6, car {P(E_1)=1-P(E_0)}). Sur la branche E_0, les sous-branches sont R_0 (probabilité {1-0{,}01=0{,}99}) et R_1 (probabilité 0{,}01). Sur la branche E_1, les sous-branches sont R_0 (probabilité 0{,}02) et R_1 (probabilité 1-0{,}02=0{,}98).
1.Calculer la probabilité que le bit envoyé soit un 0 et que le bit reçu soit un 0.
D'après la formule des probabilités composées, P(E_0\cap R_0) = P(E_0)\times P_{E_0}(R_0) = 0{,}4\times0{,}99 = 0,396.
2.Calculer la probabilité P(R_0).
On calcule d'abord \begin{aligned}P(E_1\cap R_0) &= P(E_1)\times P_{E_1}(R_0) \\ &= 0{,}6\times0{,}02 \\ &= 0{,}012\end{aligned}
Les évènements E_0 et E_1 forment une partition de l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales : P(R_0) = P(E_0\cap R_0) + P(E_1\cap R_0) = 0{,}396+0{,}012 = 0,408.
3.Donner une valeur approchée au millième de la probabilité P_{R_1}(E_0).
On calcule d'abord \begin{aligned}P(R_1) &= 1-P(R_0) \\ &= 1-0{,}408 \\ &= 0{,}592\end{aligned}
On calcule ensuite \begin{aligned}P(E_0\cap R_1) &= P(E_0)\times P_{E_0}(R_1) \\ &= 0{,}4\times0{,}01 \\ &= 0{,}004\end{aligned}
D'après la définition de la probabilité conditionnelle, {P_{R_1}(E_0) = \dfrac{P(E_0\cap R_1)}{P(R_1)} = \dfrac{0{,}004}{0{,}592} \approx} 0,007 au millième près.
4.Calculer la probabilité de l'évènement « il y a une erreur de transmission ».
Une erreur de transmission survient soit si un 0 est envoyé et reçu comme un 1 (évènement E_0\cap R_1), soit si un 1 est envoyé et reçu comme un 0 (évènement E_1\cap R_0) ; ces deux évènements sont incompatibles.
On a \begin{aligned}P(E_0\cap R_1) &= 0{,}4\times0{,}01 \\ &= 0{,}004\end{aligned} et \begin{aligned}P(E_1\cap R_0) &= 0{,}6\times0{,}02 \\ &= 0{,}012\end{aligned}
Donc P(\text{erreur}) = P(E_0\cap R_1) + P(E_1\cap R_0) = 0{,}004+0{,}012 = 0,016.
5.On admet que la probabilité qu'un octet (message de 8 bits) soit transmis sans erreur vaut 0,88. On transmet 10 octets de façon indépendante. Calculer, à 10^{-3} près, la probabilité qu'exactement 7 octets soient transmis sans erreur.
On note X la variable aléatoire égale au nombre d'octets transmis sans erreur, parmi les 10 transmis de façon indépendante et avec la même probabilité de succès à chaque fois.
X suit donc la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0{,}88.
On calcule P(X=7) = \dbinom{10}{7}\times0{,}88^7\times(1-0{,}88)^{3} = \dbinom{10}{7}\times0{,}88^7\times0{,}12^{3} \approx 0,085 au millième près.
6.On transmet 10 octets de façon indépendante. Calculer la probabilité qu'au moins 1 octet soit transmis sans erreur.
Avec X la même variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0{,}88, l'évènement contraire de « au moins 1 octet transmis sans erreur » est « aucun octet transmis sans erreur », soit {X=0}.
\begin{aligned}P(X=0) &= \dbinom{10}{0}\times0{,}88^0\times(1-0{,}88)^{10} \\ &= 0{,}12^{10}\end{aligned}
Donc P(X\geqslant1) = 1-P(X=0) = {1-0{,}12^{10}}.
7.Soit N un entier naturel et N_0 la plus grande valeur de N pour laquelle la probabilité que les N octets soient tous transmis sans erreur reste supérieure ou égale à 0,1. Déterminer N_0.
La probabilité que N octets soient tous transmis sans erreur, de façon indépendante, vaut 0{,}88^N.
On cherche donc la plus grande valeur entière de N telle que 0{,}88^N \geqslant 0{,}1.
À la calculatrice, on trouve \begin{aligned}0{,}88^{18} &\approx 0{,}1002 \\ &\geqslant 0{,}1\end{aligned} tandis que 0{,}88^{19} \approx 0{,}0881 < 0{,}1.
Donc N_0 = 18.
Corrigé rédigé par Logimaths à partir du sujet officiel du Ministère de l'Éducation nationale (éduscol.education.gouv.fr).