Bac Terminale Spé Maths : Nouvelle-Calédonie 2022, Sujet 2

Partie1 : Stéphanie s'entraîne au basket-ball. Un quart de ses tirs sont des tirs à deux points, et parmi eux 60 % sont réussis ; les trois quarts restants sont des tirs à trois points, et parmi eux 35 % sont réussis. Elle réalise un tir ; on note D l'évènement « le tir choisi est un tir à deux points » et R l'évènement « le tir est réussi ». 1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

L'arbre part de la racine avec les branches D (probabilité 0{,}25) et \overline{D} (probabilité 0{,}75). Sur la branche D, les sous-branches sont R (probabilité 0{,}6) et \overline{R} (probabilité 0{,}4). Sur la branche \overline{D}, les sous-branches sont R (probabilité 0{,}35) et \overline{R} (probabilité 0{,}65).

2.Calculer la probabilité P\left(\overline{D}\cap R\right).

D'après la lecture de l'arbre : P\left(\overline{D}\cap R\right) = P\left(\overline{D}\right)\times P_{\overline{D}}(R) = 0{,}75\times0{,}35 = 0,2625.

3.Démontrer que la probabilité que Stéphanie réussisse un tir quelconque est égale à 0{,}4125.

On calcule de même \begin{aligned}P(D\cap R) &= P(D)\times P_D(R) \\ &= 0{,}25\times0{,}6 \\ &= 0{,}15\end{aligned}
Les évènements D et \overline{D} partitionnent l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales : P(R) = P(D\cap R) + P\left(\overline{D}\cap R\right) = 0{,}15 + 0{,}2625 = 0,4125, ce qui est le résultat annoncé.

4.Sachant que Stéphanie a réussi son tir, calculer la probabilité qu'il s'agisse d'un tir à trois points (arrondir au centième).

D'après la définition de la probabilité conditionnelle : \begin{aligned}P_R\left(\overline{D}\right) &= \dfrac{P\left(R\cap\overline{D}\right)}{P(R)} \\ &= \dfrac{0{,}2625}{0{,}4125}\end{aligned}
On obtient P_R\left(\overline{D}\right) \approx 0{,}6364, soit, arrondi au centième, 0,64.

Partie2 : Stéphanie réalise une série de 10 tirs à trois points, supposés indépendants ; on rappelle que la probabilité de réussir un tir à trois points vaut 0{,}35. On note X la variable aléatoire comptant le nombre de tirs réussis. 1. Justifier que X suit une loi binomiale, et préciser ses paramètres.

Les 10 tirs sont indépendants et chacun n'a que deux issues possibles (réussi ou raté), avec la même probabilité de succès 0{,}35 à chaque tir : X suit donc une loi binomiale de paramètres n=10 et {p=0{,}35}.

2.Calculer l'espérance de X, et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Pour une loi binomiale, {E(X) = np = 10\times0{,}35 =} 3,5. Cela signifie que, si Stéphanie répète très souvent des séries de 10 tirs à trois points, elle réussira en moyenne 3,5 tirs par série.

3.Déterminer la probabilité que Stéphanie rate 4 tirs ou plus sur cette série de 10 (arrondir au centième).

Rater 4 tirs ou plus sur 10, c'est en réussir au plus 10-4=6 : l'évènement demandé correspond donc à (X\leqslant6).
À la calculatrice, avec X suivant la loi binomiale de paramètres n=10 et {p=0{,}35} : P(X\leqslant6) \approx 0,97.

4.Déterminer la probabilité que Stéphanie rate au plus 4 tirs sur cette série de 10 (arrondir au centième).

Rater au plus 4 tirs sur 10, c'est en réussir au moins 10-4=6 : l'évènement demandé correspond donc à (X\geqslant6).
À la calculatrice : {P(X\geqslant6) = 1 - P(X\leqslant5) \approx} 0,09.

Partie3 : Stéphanie souhaite réaliser une série de n tirs à trois points indépendants, avec n entier naturel non nul, la probabilité de réussir chaque tir restant égale à 0{,}35. Déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle la probabilité qu'elle réussisse au moins un tir parmi les n soit supérieure ou égale à 0{,}99.

La probabilité de rater un tir donné vaut 1-0{,}35=0{,}65. Comme les tirs sont indépendants, la probabilité de les rater tous les n vaut 0{,}65^n.
La probabilité de réussir au moins un tir parmi les n est donc l'évènement contraire de « tout rater », de probabilité 1-0{,}65^n.
On cherche le plus petit entier naturel non nul n tel que 1-0{,}65^n \geqslant 0{,}99, c'est-à-dire 0{,}65^n \leqslant 0{,}01.
La fonction logarithme népérien étant strictement croissante sur ]0~;~+\infty[, cette inégalité équivaut à {\ln\left(0{,}65^n\right) \leqslant \ln(0{,}01)}, soit n\ln(0{,}65) \leqslant \ln(0{,}01).
Comme \ln(0{,}65) < 0, diviser par \ln(0{,}65) inverse le sens de l'inégalité : {n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}65)}}.
Or \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}65)} \approx 10{,}69, donc le plus petit entier naturel qui convient est n=11 : Stéphanie doit prévoir une série d'au moins 11 tirs.

Onconsidère la fonction f définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x) = x\ln(x)-x-2, deux fois dérivable sur cet intervalle, de dérivée f', de dérivée seconde f'', et de courbe représentative \mathcal{C}_f dans un repère. 1.a Démontrer que, pour tout x de ]0~;~+\infty[, f'(x) = \ln(x).

La fonction f est une somme de produits de fonctions dérivables sur ]0~;~+\infty[, donc f est dérivable sur cet intervalle, et : f'(x) = \ln(x) + x\times\dfrac{1}{x} - 1 = \ln(x) + 1 - 1 = \ln(x).

1.bDéterminer une équation de la tangente T à la courbe \mathcal{C}_f au point d'abscisse x=\text{e}.

On calcule f(\text{e}) = \text{e}\ln(\text{e}) - \text{e} - 2 = \text{e}\times1 - \text{e} - 2 = -2 (car \ln(\text{e})=1), et f'(\text{e}) = \ln(\text{e}) = 1.
L'équation de la tangente en un point d'abscisse a est y = f'(a)(x-a) + f(a), donc ici : {y = 1\times(x-\text{e}) + (-2) = x - \text{e} - 2}.
Donc, la réponse est T\colon y = x - \text{e} - 2.

1.cJustifier que la fonction f est convexe sur ]0~;~+\infty[.

D'après la question 1.a, f'(x) = \ln(x), donc f''(x) = \dfrac{1}{x}.
Pour tout x de ]0~;~+\infty[, on a x>0, donc f''(x) = \dfrac{1}{x} > 0 : la fonction f est donc convexe sur cet intervalle.

1.dEn déduire la position relative de la courbe \mathcal{C}_f et de la tangente T.

Comme la fonction f est convexe sur ]0~;~+\infty[, sa courbe représentative \mathcal{C}_f est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier au-dessus de la tangente T.

2.aCalculer la limite de f en 0.

On sait, par croissances comparées, que \lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}} x\ln(x) = 0, et par ailleurs \lim\limits_{x\to0}x = 0. Par somme de limites : \lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}} f(x) = 0 - 0 - 2 = -2.

2.bDémontrer que la limite de f en +\infty vaut +\infty.

Pour tout x de ]0~;~+\infty[, on peut factoriser : f(x) = x\left[\ln(x)-1\right] - 2.
Or \lim\limits_{x\to+\infty}\left[\ln(x)-1\right] = +\infty et {\lim\limits_{x\to+\infty}x = +\infty}, donc, par produit de limites, \lim\limits_{x\to+\infty}x\left[\ln(x)-1\right] = +\infty.
Par somme de limites, {\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = +\infty - 2 =} +\infty.

3.Dresser le tableau de variations de f sur ]0~;~+\infty[.

D'après la question 1.a, f'(x) = \ln(x). Or \ln(x) est strictement négatif sur ]0~;~1[, nul en x=1, et strictement positif sur ]1~;~+\infty[.
La fonction f est donc strictement décroissante sur ]0~;~1], puis strictement croissante sur [1~;~+\infty[ : elle admet un minimum en x=1.
Ce minimum vaut \begin{aligned}f(1) &= 1\times\ln(1) - 1 - 2 \\ &= 0 - 1 - 2 \\ &= -3\end{aligned}
Le tableau de variations de f part donc de la limite -2 en 0, décroît jusqu'au minimum -3 atteint en x=1, puis croît vers +\infty.

4.aDémontrer que l'équation {f(x)=0} admet une unique solution \alpha dans ]0~;~+\infty[.

Sur ]0~;~1], f est strictement décroissante et son maximum sur cet intervalle est f(0^+) = -2 (limite en 0) : donc f(x) < 0 pour tout x de ]0~;~1], si bien que l'équation {f(x)=0} n'a pas de solution sur cet intervalle.
Sur [1~;~+\infty[, f est continue (car dérivable) et strictement croissante, avec f(1) = -3 et \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = +\infty. Comme 0 est compris entre -3 et +\infty, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation {f(x)=0} admet une unique solution \alpha sur cet intervalle.
Donc, la réponse est : l'équation {f(x)=0} admet une unique solution \alpha sur ]0~;~+\infty[, avec \alpha \in [1~;~+\infty[.

4.bJustifier que \alpha appartient à l'intervalle ]4{,}3~;~4{,}4[.

On calcule f(4{,}3) = 4{,}3\ln(4{,}3) - 4{,}3 - 2 \approx -0{,}028 < 0 et f(4{,}4) = 4{,}4\ln(4{,}4) - 4{,}4 - 2 \approx 0{,}119 > 0.
Comme f est strictement croissante et continue sur [1~;~+\infty[, et que f(4{,}3) et f(4{,}4) sont de signes contraires, la valeur \alpha qui annule f est encadrée par 4{,}3 et 4{,}4.
Donc, la réponse est \alpha \in\ ]4{,}3~;~4{,}4[.

4.cEn déduire le signe de f sur ]0~;~+\infty[.

D'après le tableau de variations de la question 3 et l'existence du seul zéro \alpha de f (question 4.a), on peut conclure sur le signe de f.
Sur ]0~;~\alpha[, f(x) < 0 ; en x=\alpha, f(\alpha)=0 ; sur ]\alpha~;~+\infty[, f(x) > 0.

5.On considère la fonction Python suivante, où l'on suppose le module math importé : def seuil(pas): x=4.3 ; while x*log(x)-x-2 < 0: x=x+pas ; return x. Quelle valeur renvoie l'appel seuil(0.01), et comment interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice ?

Unemaison est modélisée par un parallélépipède rectangle ABCDEFGH surmonté d'une pyramide EFGHS, avec DC=6 et \begin{aligned}DA &= DH \\ &= 4\end{aligned} On pose \begin{aligned}\vec{\imath} &= \overrightarrow{DI} \\ &= \dfrac16\overrightarrow{DC}\end{aligned} \begin{aligned}\vec{\jmath} &= \overrightarrow{DJ} \\ &= \dfrac14\overrightarrow{DA}\end{aligned} et \begin{aligned}\vec{k} &= \overrightarrow{DK} \\ &= \dfrac14\overrightarrow{DH}\end{aligned} et l'on se place dans le repère orthonormé \left(D~;~\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right). On admet que S(3~;~2~;~6). 1. Donner, sans justifier, les coordonnées des points B, E, F et G.

D'après la géométrie du solide (arêtes parallèles aux vecteurs de base) : B(6~;~4~;~0), E(0~;~4~;~4), F(6~;~4~;~4), G(6~;~0~;~4).

2.Démontrer que le volume de la pyramide EFGHS représente le septième du volume total de la maison. On rappelle que le volume d'une pyramide vaut {\dfrac13\times(\text{aire de la base})\times\text{hauteur}}.

La base EFGH est un rectangle de côtés EF=6 et FG=4 (d'après les coordonnées de la question 1), donc d'aire \begin{aligned}\mathcal{A}(\text{EFGH}) &= 6\times4 \\ &= 24\end{aligned}
Le sommet S a pour cote 6, tandis que le plan de la base EFGH est à la cote 4 (coordonnées de E, F, G, H) : la hauteur de la pyramide vaut donc 6-4=2.
Le volume de la pyramide vaut donc \begin{aligned}V(\text{EFGHS}) &= \dfrac13\times24\times2 \\ &= 16\end{aligned}
Le parallélépipède ABCDEFGH a pour arêtes 6, 4 et 4, donc pour volume \begin{aligned}V(\text{ABCDEFGH}) &= 6\times4\times4 \\ &= 96\end{aligned}
Le volume total de la maison vaut donc 16+96=112.
Enfin, \begin{aligned}\dfrac{V(\text{EFGHS})}{V(\text{maison})} &= \dfrac{16}{112} \\ &= \dfrac{1}{7}\end{aligned} ce qui est le résultat attendu.

3.aDémontrer que le vecteur \vec{n}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} est normal au plan (EFS).

On calcule \overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}6 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} (car {F-E = (6,4,4)-(0,4,4)}) et \overrightarrow{ES}\begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix} (car {S-E=(3,2,6)-(0,4,4)}).
On a \begin{aligned}\overrightarrow{EF}\cdot\vec{n} &= 6\times0 + 0\times1 + 0\times1 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\overrightarrow{ES}\cdot\vec{n} &= 3\times0 + (-2)\times1 + 2\times1 \\ &= 0\end{aligned}
Le vecteur \vec{n} est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (EFS) (les coordonnées de \overrightarrow{EF} et \overrightarrow{ES} ne sont manifestement pas proportionnelles) : \vec{n} est donc normal au plan (EFS).

3.bEn déduire qu'une équation cartésienne du plan (EFS) est {y+z-8=0}.

Comme \vec{n}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} est normal au plan (EFS), une équation cartésienne de ce plan est de la forme {0x+1y+1z+d=0}, soit y+z+d=0, où d est une constante réelle à déterminer.
Le point E(0~;~4~;~4) appartient au plan (EFS), donc ses coordonnées vérifient l'équation : \begin{aligned}4+4+d = 0 &\iff d = -8 \end{aligned}
L'équation cartésienne du plan (EFS) est donc {y+z-8=0}, ce qui est le résultat attendu.

4.aOn installe une antenne représentée par le segment [PQ], avec P dans le plan (EFS), Q(2~;~3~;~5{,}5), et la droite (PQ) dirigée par le vecteur \vec{k}. Justifier qu'une représentation paramétrique de (PQ) est x=2, y=3, z=5{,}5+t (t\in\mathbb{R}).

Un point M(x~;~y~;~z) appartient à la droite (PQ), passant par Q et dirigée par \vec{k}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, si et seulement s'il existe un réel t tel que \overrightarrow{QM} = t\vec{k}.
Cette égalité vectorielle équivaut à {x-2=0}, y-3=0 et z-5{,}5=t, c'est-à-dire à x=2, y=3 et z=5{,}5+t, avec t\in\mathbb{R}.
Donc, la réponse est confirmée : x=2, y=3, z=5{,}5+t (t\in\mathbb{R}) est bien une représentation paramétrique de (PQ).

4.bEn déduire les coordonnées du point P.

Le point P appartient à la fois à la droite (PQ) et au plan (EFS) (d'équation {y+z-8=0}). Ses coordonnées vérifient donc à la fois la représentation paramétrique de (PQ) et l'équation du plan.
En substituant y=3 et z=5{,}5+t dans l'équation du plan : \begin{aligned}3+(5{,}5+t)-8 = 0 &\iff t+0{,}5 = 0 \\ &\iff t = -0{,}5 \end{aligned}
On obtient alors x=2, y=3, \begin{aligned}z &= 5{,}5+(-0{,}5) \\ &= 5\end{aligned}
Donc, la réponse est P(2 ; 3 ; 5).

4.cEn déduire la longueur PQ de l'antenne.

On calcule \begin{aligned}PQ^2 &= (2-2)^2+(3-3)^2+(5{,}5-5)^2 \\ &= 0+0+0{,}25 \\ &= 0{,}25\end{aligned}
Donc PQ = \sqrt{0{,}25} = 0,5.

5.Un oiseau vole selon une trajectoire modélisée par la droite \Delta de représentation paramétrique x=-4+6s, y=7-4s, z=2+4s (s\in\mathbb{R}). Déterminer la position relative des droites (PQ) et \Delta, puis dire si l'oiseau va percuter l'antenne représentée par le segment [PQ].

La droite (PQ) est dirigée par \vec{k}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} et la droite \Delta est dirigée par \vec{\delta}\begin{pmatrix}6 \\ -4 \\ 4\end{pmatrix}. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires (les coordonnées de \vec{k} nulles en x et y ne peuvent être proportionnelles à celles, non nulles, de \vec{\delta}) : les droites (PQ) et \Delta ne sont donc pas parallèles.
Cherchons un éventuel point d'intersection en résolvant \begin{aligned}x &= 2 \\ &= -4+6s\end{aligned} ce qui donne 6s=6, soit s=1. On vérifie avec l'ordonnée : pour s=1, \begin{aligned}y &= 7-4\times1 \\ &= 3\end{aligned} ce qui correspond bien à y=3 sur (PQ). Les droites sont donc sécantes.
Pour s=1, la cote sur \Delta vaut \begin{aligned}z &= 2+4\times1 \\ &= 6\end{aligned} Sur (PQ), cette cote correspond à {5{,}5+t=6}, soit t=0{,}5.
Le point d'intersection des deux droites a donc pour coordonnées (2~;~3~;~6), et correspond au paramètre t=0{,}5 sur la droite (PQ).
Or, d'après la représentation paramétrique de (PQ) et les points P et Q trouvés précédemment, le point P correspond à t=-0{,}5 et le point Q correspond à t=0 : le segment [PQ] correspond donc exactement aux valeurs de t comprises entre -0{,}5 et 0.
Comme le paramètre t=0{,}5 du point d'intersection n'appartient pas à cet intervalle [-0{,}5~;~0], le point d'intersection des deux droites n'appartient pas au segment [PQ].
Donc, la réponse est : l'oiseau ne va pas percuter l'antenne représentée par le segment [PQ] ; sa trajectoire croise la droite (PQ) en un point situé au-delà de Q, à une demi-unité de distance au-dessus de l'extrémité Q de l'antenne.

1.On considère la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par u_n = \dfrac{(-1)^n}{n+1}. Peut-on affirmer qu'elle diverge vers +\infty, qu'elle diverge vers -\infty, qu'elle n'a pas de limite, ou qu'elle converge ?

Pour tout entier naturel n, on a {-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1}. Comme {n+1 \geqslant 1 > 0}, en divisant par n+1 : {-\dfrac{1}{n+1} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n+1}}.
Or \lim\limits_{n\to+\infty}\left(-\dfrac{1}{n+1}\right) = 0 et \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n+1} = 0, donc, d'après le théorème des gendarmes, \lim\limits_{n\to+\infty}u_n = 0.
La suite (u_n) admet donc une limite finie : elle converge.

2.On considère deux suites (v_n) et (w_n) liées par w_n = \text{e}^{-2v_n}+2. Soit a un réel strictement positif, avec v_0=\ln(a). Que vaut w_0 : \dfrac{1}{a^2}+2, \dfrac{1}{a^2+2}, -2a+2, ou \dfrac{1}{-2a}+2 ?

On remplace v_0 par \ln(a) dans l'expression de w_0 : {w_0 = \text{e}^{-2v_0}+2 = \text{e}^{-2\ln(a)}+2}.
Or \text{e}^{-2\ln(a)} = \text{e}^{\ln\left(a^{-2}\right)} = a^{-2} = \dfrac{1}{a^2} (car {a>0}), donc w_0 = \dfrac{1}{a^2}+2.
Donc, la réponse est w_0 = \dfrac{1}{a^2}+2.

3.On sait que la suite (v_n) de la question précédente est croissante. Peut-on affirmer que (w_n) est décroissante et majorée par 3, décroissante et minorée par 2, croissante et majorée par 3, ou croissante et minorée par 2 ?

Comme (v_n) est croissante, pour tout entier naturel n : v_n \leqslant v_{n+1}, donc -2v_n \geqslant -2v_{n+1} (multiplication par -2, qui renverse le sens de l'inégalité).
La fonction exponentielle étant strictement croissante sur \mathbb{R}, cette inégalité entraîne \text{e}^{-2v_n} \geqslant \text{e}^{-2v_{n+1}}, puis, en ajoutant 2 des deux côtés : {\text{e}^{-2v_n}+2 \geqslant \text{e}^{-2v_{n+1}}+2}, soit w_n \geqslant w_{n+1}.
La suite (w_n) est donc décroissante.
Par ailleurs, pour tout réel \beta, \text{e}^{\beta} > 0, donc w_n = \text{e}^{-2v_n}+2 > 2 pour tout entier naturel n : la suite (w_n) est minorée par 2.
Donc, la réponse est : la suite (w_n) est décroissante et minorée par 2.

4.On considère la suite (a_n) définie par a_0=2 et, pour tout entier naturel n, {a_{n+1}=\dfrac13a_n+\dfrac83}. Pour tout entier naturel n, laquelle de ces expressions donne a_n : 4\times\left(\dfrac13\right)^n-2, -\dfrac{2}{3^n}+4, 4-\left(\dfrac13\right)^n, ou 2\times\left(\dfrac13\right)^n+\dfrac{8n}{3} ?

Cherchons le réel \ell tel que la suite constante égale à \ell soit solution de la relation de récurrence : \begin{aligned}\ell = \dfrac13\ell+\dfrac83 &\iff \dfrac23\ell = \dfrac83 \\ &\iff \ell = 4 \end{aligned}
Posons alors, pour tout entier naturel n, b_n = a_n-4. On a \begin{aligned}b_{n+1} &= a_{n+1}-4 \\ &= \dfrac13a_n+\dfrac83-4 \\ &= \dfrac13(b_n+4)+\dfrac83-4 \\ &= \dfrac13b_n+\dfrac43+\dfrac83-4 \\ &= \dfrac13b_n+4-4 \\ &= \dfrac13b_n\end{aligned}
La suite (b_n) est donc géométrique de raison \dfrac13 et de premier terme \begin{aligned}b_0 &= a_0-4 \\ &= 2-4 \\ &= -2\end{aligned}
Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}b_n &= b_0\times\left(\dfrac13\right)^n \\ &= -2\times\left(\dfrac13\right)^n \\ &= -\dfrac{2}{3^n}\end{aligned}
Donc \begin{aligned}a_n &= b_n+4 \\ &= -\dfrac{2}{3^n}+4\end{aligned}

5.On considère une suite (b_n) telle que, pour tout entier naturel n, {b_{n+1} = b_n+\ln\left(\dfrac{2}{(b_n)^2+3}\right)}. Peut-on affirmer que cette suite est croissante, décroissante, non monotone, ou que son sens de variation dépend de b_0 ?

Pour tout entier naturel n : {b_{n+1}-b_n = \ln\left(\dfrac{2}{(b_n)^2+3}\right)}.
Or, quel que soit le réel b_n, on a (b_n)^2 \geqslant 0, donc (b_n)^2+3 \geqslant 3.
Comme 3 > 2, on en déduit (b_n)^2+3 > 2, donc {0 < \dfrac{2}{(b_n)^2+3} < 1}.
La fonction logarithme népérien étant strictement négative sur ]0~;~1[, on a \ln\left(\dfrac{2}{(b_n)^2+3}\right) < 0, donc b_{n+1}-b_n < 0.
Cette inégalité est vraie pour tout entier naturel n, quel que soit le premier terme b_0 : donc, la réponse est que la suite (b_n) est décroissante.

6.On considère la fonction g définie sur ]0~;~+\infty[ par g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}, de courbe représentative \mathcal{C}_g dans un repère orthogonal. La courbe \mathcal{C}_g admet-elle une asymptote verticale et une asymptote horizontale, une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale, aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale, ou aucune des deux ?

Au voisinage de 0 (avec x>0) : \lim\limits_{x\to0}\text{e}^x = 1 et \lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}x = 0^+, donc, par quotient de limites, \lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}g(x) = +\infty : la courbe \mathcal{C}_g admet donc l'axe des ordonnées comme asymptote verticale.
Au voisinage de +\infty : par croissances comparées, \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty (l'exponentielle l'emporte sur x). La courbe \mathcal{C}_g ne présente donc aucune asymptote horizontale en +\infty.
Donc, la réponse est : la courbe \mathcal{C}_g admet une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.

7.Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = x\,\text{e}^{x^2+1}, et F une primitive de f sur \mathbb{R}. Laquelle de ces expressions donne F(x) pour tout réel x : \dfrac12x^2\text{e}^{x^2+1}, \left(1+2x^2\right)\text{e}^{x^2+1}, \text{e}^{x^2+1}, ou \dfrac12\text{e}^{x^2+1} ?

Posons u(x) = x^2+1, de dérivée u'(x) = 2x. On peut alors écrire f(x) = x\,\text{e}^{x^2+1} = \dfrac12\times2x\times\text{e}^{u(x)} = \dfrac12u'(x)\text{e}^{u(x)}.
Or une primitive de u'\text{e}^{u} est \text{e}^{u}, donc une primitive de \dfrac12u'\text{e}^u est \dfrac12\text{e}^u, c'est-à-dire \dfrac12\text{e}^{x^2+1}.
Vérification directe : si F(x) = \dfrac12\text{e}^{x^2+1}, alors F'(x) = \dfrac12\times2x\times\text{e}^{x^2+1} = x\,\text{e}^{x^2+1} = f(x), ce qui confirme le résultat.
Donc, la réponse est F(x) = \dfrac12\text{e}^{x^2+1}.