Bac Terminale Spé Maths : Polynésie française 2022, Sujet 2

1.QCM. On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0~;~+\infty[ par {f(x)=x\ln(x)-x+1}. Parmi quatre expressions proposées, indiquer celle de la fonction dérivée f'.

La fonction f est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. Pour tout x>0 : f'(x)=1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}-1+0=\ln(x)+1-1=\ln(x).
Donc, la réponse est f'(x)=\ln(x).

2.On considère la fonction g définie sur ]0~;~+\infty[ par g(x)=x^2\left[1-\ln(x)\right]. Parmi quatre affirmations sur la limite de g en 0, indiquer la correcte.

En développant, g(x)=x^2-x^2\ln(x). D'une part, \displaystyle\lim_{x\to0^+}x^2=0.
D'autre part, par croissances comparées, \displaystyle\lim_{x\to0^+}x^2\ln(x)=0.
Par somme de limites, \begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x) &= 0-0 \\ &= 0\end{aligned} Donc, la réponse est \displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x)=0.

3.On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^3-0{,}9x^2-0{,}1x. Indiquer le nombre de solutions de l'équation f(x)=0 sur \mathbb{R}.

Pour tout réel x, on factorise : {f(x)=x\left(x^2-0{,}9x-0{,}1\right)}. Donc \begin{aligned}f(x) = 0 &\iff x = 0 \end{aligned} ou {x^2-0{,}9x-0{,}1=0}.
Pour l'équation du second degré {x^2-0{,}9x-0{,}1=0}, on remarque que x=1 est une racine évidente, car \begin{aligned}1^2-0{,}9\times1-0{,}1 &= 1-0{,}9-0{,}1 \\ &= 0\end{aligned}
Le produit des deux racines d'un trinôme x^2+bx+c vaut c : ici le produit des racines vaut -0{,}1, donc la seconde racine est \dfrac{-0{,}1}{1}=-0{,}1.
L'équation f(x)=0 admet donc exactement trois solutions réelles : -0{,}1, 0 et 1. Donc, la réponse est 3 solutions.

4.Si H est une primitive d'une fonction h définie et continue sur \mathbb{R}, et si k est la fonction définie sur \mathbb{R} par k(x)=h(2x), indiquer, parmi quatre expressions, celle d'une primitive K de k.

On teste la fonction K définie sur \mathbb{R} par K(x)=\dfrac{1}{2}H(2x). Comme H est dérivable sur \mathbb{R} (c'est une primitive de h), K est dérivable sur \mathbb{R} comme produit d'une constante par une composée de fonctions dérivables.
Pour tout réel x : K'(x)=\dfrac{1}{2}\times2\times H'(2x)=H'(2x)=h(2x), car H'=h (H étant une primitive de h).
Donc K'(x)=h(2x)=k(x) pour tout réel x : K est bien une primitive de k sur \mathbb{R}. Donc, la réponse est K(x)=\dfrac{1}{2}H(2x).

5.On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=xe^x. Indiquer, parmi quatre équations proposées, celle de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1.

La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} comme produit de fonctions dérivables. Pour tout réel x : f'(x)=1\times e^x+x\times e^x=(1+x)e^x.
On calcule \begin{aligned}f(1) &= 1\times e^1 \\ &= e\end{aligned} et f'(1)=(1+1)e^1=2e.
L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse 1 est y=f'(1)(x-1)+f(1)=2e(x-1)+e=2ex-2e+e=2ex-e.
Donc, la réponse est y=2ex-e.

6.Indiquer, parmi quatre propositions, celle qui caractérise les entiers naturels n solutions de l'inéquation (0{,}2)^n<0{,}001.

La fonction \ln est strictement croissante sur ]0~;~+\infty[, donc, pour tout entier naturel n : (0{,}2)^n<0{,}001 \iff \ln\left((0{,}2)^n\right)<\ln(0{,}001) \iff n\ln(0{,}2)<\ln(0{,}001).
Comme 0{,}2<1, on a \ln(0{,}2)<0, donc diviser par \ln(0{,}2) inverse le sens de l'inégalité : n\ln(0{,}2)<\ln(0{,}001) \iff n>\dfrac{\ln(0{,}001)}{\ln(0{,}2)}.
À la calculatrice, \dfrac{\ln(0{,}001)}{\ln(0{,}2)}\approx4{,}29. Les entiers naturels strictement supérieurs à 4{,}29 sont donc les entiers supérieurs ou égaux à 5.
Donc, la réponse est : les entiers naturels n tels que n\geqslant5.

Partie1 : Les douanes s'intéressent aux importations de casques audio portant le logo d'une certaine marque. On estime que 20\,\% des casques portant ce logo sont des contrefaçons, que 2\,\% des casques authentiques présentent un défaut de conception, et que 10\,\% des casques contrefaits présentent un défaut de conception. Un agent commande au hasard un casque affichant ce logo. On note C l'évènement « le casque est contrefait » et D l'évènement « le casque présente un défaut de conception » (les probabilités sont arrondies à 10^{-3} si besoin). 1. Calculer P(C\cap D).

Puisque le casque est commandé au hasard, on assimile les proportions données aux probabilités des évènements correspondants : {P(C)=0{,}2}, P_C(D)=0{,}1 et P_{\overline{C}}(D)=0{,}02.
On en déduit l'arbre pondéré à deux niveaux : depuis la racine, une branche vers C (probabilité 0{,}2) puis vers D (probabilité 0{,}1) ou \overline{D} (probabilité 0{,}9) ; une branche vers \overline{C} (probabilité 0{,}8) puis vers D (probabilité 0{,}02) ou \overline{D} (probabilité 0{,}98).
Par la formule des probabilités composées : \begin{aligned}P(C\cap D) &= P(C)\times P_C(D) \\ &= 0{,}2\times0{,}1 \\ &= 0{,}02\end{aligned}
Donc, la réponse est P(C\cap D)=0{,}02.

2.Démontrer que P(D)=0{,}036.

Les évènements C et \overline{C} forment une partition de l'univers (tout casque est soit contrefait, soit authentique), donc, d'après la formule des probabilités totales : P(D)=P(C\cap D)+P\left(\overline{C}\cap D\right).
On a déjà P(C\cap D)=0{,}02, et \begin{aligned}P\left(\overline{C}\cap D\right) &= P(\overline{C})\times P_{\overline{C}}(D) \\ &= 0{,}8\times0{,}02 \\ &= 0{,}016\end{aligned}
D'où \begin{aligned}P(D) &= 0{,}02+0{,}016 \\ &= 0{,}036\end{aligned} Donc, la réponse est P(D)=0{,}036.

3.Le casque commandé présente un défaut. Quelle est la probabilité qu'il soit contrefait ?

On demande de calculer la probabilité conditionnelle P_D(C), définie par P_D(C)=\dfrac{P(C\cap D)}{P(D)} (avec P(D)\neq0).
\begin{aligned}P_D(C) &= \dfrac{0{,}02}{0{,}036} \\ &= \dfrac{20}{36} \\ &= \dfrac{5}{9} \\ &\approx 0{,}556\end{aligned} à 10^{-3} près.
Donc, la réponse est P_D(C)\approx0{,}556.

Partie2 : On commande n casques portant ce logo, expérience assimilée à un tirage aléatoire avec remise. X désigne le nombre de casques présentant un défaut de conception dans le lot. 1.a Dans cette question, n=35. Justifier que X suit une loi binomiale \mathcal{B}(n~;~p) avec n=35 et p=0{,}036.

On répète n=35 fois, de façon identique et indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), une expérience de Bernoulli : commander un casque, avec pour succès l'évènement « le casque présente un défaut », de probabilité \begin{aligned}p &= P(D) \\ &= 0{,}036\end{aligned} d'après la question 2 de la partie 1.
La variable aléatoire X compte le nombre de succès obtenus sur ces 35 répétitions indépendantes.
Donc, la réponse est que X suit la loi binomiale \mathcal{B}(35~;~0{,}036).

1.bCalculer la probabilité qu'exactement un casque parmi les 35 commandés présente un défaut de conception.

On veut calculer P(X=1), avec X suivant la loi \mathcal{B}(35~;~0{,}036) : \begin{aligned}P(X=1) &= \dbinom{35}{1}\times0{,}036^1\times(1-0{,}036)^{34} \\ &= 35\times0{,}036\times0{,}964^{34}\end{aligned}
À la calculatrice, P(X=1)\approx0{,}362 à 10^{-3} près.
Donc, la réponse est P(X=1)\approx0{,}362.

1.cCalculer P(X\leqslant1).

P(X\leqslant1)=P(X=0)+P(X=1). On calcule \begin{aligned}P(X=0) &= \dbinom{35}{0}\times0{,}036^0\times0{,}964^{35} \\ &\approx 0{,}278\end{aligned} et on a déjà P(X=1)\approx0{,}362.
D'où \begin{aligned}P(X\leqslant1) &\approx 0{,}278+0{,}362 \\ &= 0{,}640\end{aligned} le calcul direct à la calculatrice donne P(X\leqslant1)\approx0{,}639 à 10^{-3} près (l'écart avec 0{,}640 vient des arrondis intermédiaires).
Donc, la réponse est P(X\leqslant1)\approx0{,}639.

2.Dans cette question, n n'est pas fixé. Quel doit être le nombre minimal de casques à commander pour que la probabilité qu'au moins un casque présente un défaut soit supérieure à 0{,}99 ?

Pour un entier naturel non nul n, on note X_n la variable aléatoire qui suit la loi binomiale \mathcal{B}(n~;~0{,}036) et qui compte le nombre de casques défectueux parmi n casques commandés.
La probabilité qu'au moins un casque présente un défaut est \begin{aligned}P(X_n\geqslant1) &= 1-P(X_n=0) \\ &= 1-\dbinom{n}{0}\times0{,}036^0\times0{,}964^n \\ &= 1-0{,}964^n\end{aligned}
On résout, pour n entier naturel non nul : \begin{aligned}P(X_n\geqslant1) \geqslant 0{,}99 &\iff 1-0{,}964^n \geqslant 0{,}99 \\ &\iff 0{,}964^n \leqslant 0{,}01 \end{aligned}
La fonction \ln est strictement croissante sur ]0~;~+\infty[, donc \begin{aligned}0{,}964^n \leqslant 0{,}01 &\iff n\ln(0{,}964) \leqslant \ln(0{,}01) \end{aligned} Comme 0{,}964<1, on a \ln(0{,}964)<0, donc, en divisant par \ln(0{,}964), le sens de l'inégalité s'inverse : n\geqslant\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}964)}.
À la calculatrice, \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}964)}\approx125{,}6, donc les entiers naturels solutions sont ceux vérifiant n\geqslant126.
Donc, la réponse est qu'il faut commander au moins 126 casques.

1.Au début de l'année 2021, une colonie d'oiseaux comptait 40 individus. L'évolution de la population est modélisée par la suite (u_n) définie par u_0=40 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=0{,}008u_n(200-u_n), où u_n désigne le nombre d'individus au début de l'année (2021+n). Donner une estimation du nombre d'oiseaux au début de l'année 2022.

L'année 2022 correspond à 2021+1, donc le nombre d'oiseaux recherché est estimé par u_1.
\begin{aligned}u_1 &= 0{,}008\,u_0(200-u_0) \\ &= 0{,}008\times40\times(200-40) \\ &= 0{,}008\times40\times160 \\ &= 51{,}2\end{aligned}
Donc, la réponse est qu'on estime la population à environ 51 oiseaux au début de l'année 2022.

2.On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0~;~100] par {f(x)=0{,}008x(200-x)}. Résoudre dans [0~;~100] l'équation f(x)=x.

Pour x\in[0~;~100] : \begin{aligned}f(x) = x &\iff 0{,}008x(200-x) = x \\ &\iff 1{,}6x-0{,}008x^2 = x \\ &\iff 0{,}008x^2-0{,}6x = 0 \end{aligned}
En factorisant : \begin{aligned}0{,}008x^2-0{,}6x = 0 &\iff x(0{,}008x-0{,}6) = 0 \\ &\iff x = 0 \end{aligned} ou 0{,}008x-0{,}6=0.
L'équation 0{,}008x-0{,}6=0 donne \begin{aligned}x &= \dfrac{0{,}6}{0{,}008} \\ &= 75\end{aligned} valeur bien comprise dans [0~;~100].
Donc, la réponse est que l'équation f(x)=x admet exactement deux solutions dans [0~;~100] : 0 et 75.

3.aDémontrer que la fonction f est croissante sur [0~;~100] et dresser son tableau de variations.

Pour tout x de [0~;~100], en développant : \begin{aligned}f(x) &= 0{,}008x(200-x) \\ &= 1{,}6x-0{,}008x^2 \\ &= -0{,}008x^2+1{,}6x\end{aligned}
f est donc une fonction polynôme du second degré, de coefficient dominant -0{,}008<0 : sa courbe représentative est une parabole tournée vers le bas, dont le sommet a pour abscisse \begin{aligned}x_S &= -\dfrac{1{,}6}{2\times(-0{,}008)} \\ &= \dfrac{1{,}6}{0{,}016} \\ &= 100\end{aligned}
Une telle fonction est strictement croissante sur ]-\infty~;~x_S] et strictement décroissante sur [x_S~;~+\infty[. Comme x_S=100 est la borne droite de [0~;~100], f est donc strictement croissante sur tout l'intervalle [0~;~100].
On calcule les valeurs aux bornes : \begin{aligned}f(0) &= 0{,}008\times0\times200 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}f(100) &= 0{,}008\times100\times100 \\ &= 80\end{aligned} Le tableau de variations de f sur [0~;~100] montre donc une croissance stricte de 0 (en x=0) à 80 (en x=100).

3.bEn remarquant que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=f(u_n), démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant100}.

Pour tout entier naturel n, notons P_n la propriété : « {0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant100} ».
Initialisation. On a u_0=40 et u_1=51{,}2 (question 1), donc {0\leqslant40\leqslant51{,}2\leqslant100} : la propriété P_0 est vraie.
Hérédité. Soit n un entier naturel tel que P_n est vraie, c'est-à-dire {0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant100}. Les trois nombres 0, u_n, u_{n+1} et 100 appartiennent à [0~;~100], et f est croissante sur cet intervalle (question 3.a), donc l'inégalité est conservée par f : {f(0)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(100)}.
Or f(0)=0, f(u_n)=u_{n+1}, {f(u_{n+1})=u_{n+2}} (par définition de la suite) et f(100)=80, donc {0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant80}. Comme 80\leqslant100, on en déduit {0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant100} : la propriété P_{n+1} est vraie.
Conclusion. La propriété P_0 est vraie, et elle est héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n : {0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant100}.

3.cEn déduire que la suite (u_n) est convergente.

D'après la question précédente, pour tout entier naturel n, u_n\leqslant u_{n+1} : la suite (u_n) est donc croissante.
De plus, pour tout entier naturel n, {u_n\leqslant100} : la suite (u_n) est donc majorée par 100.
Une suite croissante et majorée converge, donc, la réponse est que la suite (u_n) converge vers une limite \ell.

3.dDéterminer la limite \ell de la suite (u_n) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

La suite (u_n) converge vers \ell et est définie par la relation de récurrence u_{n+1}=f(u_n), où f est continue sur [0~;~100] (car f est une fonction polynôme) et où l'intervalle [0~;~100] contient tous les termes de la suite ainsi que sa limite \ell (d'après la question 3.b).
D'après le théorème du point fixe, \ell est donc solution de l'équation f(x)=x dans [0~;~100], dont on a montré (question 2) qu'elle admet exactement deux solutions : 0 et 75.
Par ailleurs, la suite (u_n) est croissante à partir de u_0=40 (question 3.b), donc \ell\geqslant40. Cela exclut la solution 0, donc \ell=75.
Donc, la réponse est que la suite converge vers \ell=75. Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que, selon ce modèle, la population d'oiseaux de la colonie se stabilise à long terme autour de 75 individus.

4.On considère l'algorithme Python suivant, où p est un réel donné.

4.(suite) L'exécution de seuil(100) ne renvoie aucune valeur. Expliquer pourquoi, à l'aide de la question 3.

La fonction seuil(p) calcule successivement les termes de la suite (u_n) en partant de u_0=40, et s'arrête dès qu'un terme atteint ou dépasse la valeur p, en renvoyant alors l'année correspondante.
Or, d'après la question 3, la suite (u_n) est croissante et converge vers \ell=75 : tous ses termes restent donc strictement inférieurs à 75, et a fortiori strictement inférieurs à 100.
Ainsi, pour p = 100, la condition u < p (c'est-à-dire u_n<100) reste vraie pour toutes les valeurs successives de n : la boucle while ne s'arrête donc jamais, et la fonction tourne indéfiniment sans jamais renvoyer de résultat.

Partie1 (première méthode) : On considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1, muni du repère orthonormé \left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{AE}}\right). Le point I est le milieu du segment [EF], K le centre du carré ADHE et O le milieu du segment [AG]. On donne I\left(\dfrac{1}{2}~;~0~;~1\right) et K\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right). Le but de l'exercice est de calculer, de deux manières différentes, la distance du point B au plan (AIG). 1. Donner, sans justification, les coordonnées des points A, B et G.

Le repère étant \left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{AE}}\right) et le cube ayant pour arête 1, on lit directement : A(0~;~0~;~0) (origine du repère), B(1~;~0~;~0) et G(1~;~1~;~1).

2.Démontrer que la droite (BK) est orthogonale au plan (AIG).

Les points A, I, G ne sont pas alignés (I n'est ni sur (AG), ni confondu avec A ou G), donc les vecteurs \overrightarrow{\text{AI}} et \overrightarrow{\text{AG}} forment une base du plan (AIG).
On calcule les coordonnées : \overrightarrow{\text{AI}}\begin{pmatrix}0{,}5 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \overrightarrow{\text{AG}}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, et \overrightarrow{\text{BK}}\begin{pmatrix}0-1 \\ 0{,}5-0 \\ 0{,}5-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 0{,}5 \\ 0{,}5\end{pmatrix}.
Le repère étant orthonormé, on calcule les produits scalaires à l'aide des coordonnées : \begin{aligned}\overrightarrow{\text{BK}}\cdot\overrightarrow{\text{AI}} &= (-1)\times0{,}5+0{,}5\times0+0{,}5\times1 \\ &= -0{,}5+0+0{,}5 \\ &= 0\end{aligned}
De même, \begin{aligned}\overrightarrow{\text{BK}}\cdot\overrightarrow{\text{AG}} &= (-1)\times1+0{,}5\times1+0{,}5\times1 \\ &= -1+0{,}5+0{,}5 \\ &= 0\end{aligned}
Le vecteur \overrightarrow{\text{BK}} est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (AIG) : il est donc orthogonal à ce plan tout entier, donc la droite (BK) est orthogonale au plan (AIG).

3.Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (AIG) est {2x-y-z=0}.

D'après la question précédente, la droite (BK) est orthogonale au plan (AIG), donc tout vecteur directeur de (BK) est un vecteur normal à (AIG). Le vecteur \vec{n}=-2\,\overrightarrow{\text{BK}}, de coordonnées \begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}, est donc normal à (AIG).
Le plan (AIG) admet donc une équation cartésienne de la forme {2x-y-z+d=0}, où d est un réel à déterminer.
Comme A(0~;~0~;~0) appartient au plan (AIG), ses coordonnées vérifient l'équation : \begin{aligned}2\times0-0-0+d = 0 &\iff d = 0 \end{aligned}
Donc, la réponse est qu'une équation cartésienne du plan (AIG) est bien {2x-y-z=0}.

4.Donner une représentation paramétrique de la droite (BK).

La droite (BK) passe par B(1~;~0~;~0) et est dirigée par \overrightarrow{\text{BK}}\begin{pmatrix}-1 \\ 0{,}5 \\ 0{,}5\end{pmatrix}.
Donc, la réponse est que (BK) admet pour représentation paramétrique \begin{cases}x=1-t\\y=0{,}5t\\z=0{,}5t\end{cases}, avec t\in\mathbb{R}.

5.En déduire que le projeté orthogonal L du point B sur le plan (AIG) a pour coordonnées L\left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right).

On cherche la valeur du paramètre t pour laquelle le point de (BK) a pour coordonnées \left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right) : d'après la représentation paramétrique, 1-t=\dfrac{1}{3} donne t=\dfrac{2}{3}, et on vérifie que {0{,}5\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}} pour les deux autres coordonnées. Le point L de coordonnées \left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right) appartient donc bien à la droite (BK).
On vérifie aussi que L appartient au plan (AIG), d'équation {2x-y-z=0} (question 3) : \begin{aligned}2\times\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3} &= \dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3} \\ &= 0\end{aligned} Les coordonnées de L vérifient donc l'équation du plan.
Le point L appartient donc à la fois à la droite (BK) et au plan (AIG) : c'est le point d'intersection de cette droite et de ce plan. Comme (BK) est orthogonale à (AIG) (question 2), L est donc bien le projeté orthogonal de B sur le plan (AIG).

6.Déterminer la distance du point B au plan (AIG).

La distance de B au plan (AIG) est la distance BL, puisque L est le projeté orthogonal de B sur ce plan. Le repère étant orthonormé, on calcule cette distance à partir des coordonnées de B(1~;~0~;~0) et L\left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right) :
\text{BL}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{3}-1\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}-0\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}-0\right)^2}=\sqrt{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}}=\sqrt{\dfrac{6}{9}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.
Donc, la réponse est que la distance du point B au plan (AIG) vaut \dfrac{\sqrt{6}}{3}.

Partie2 (deuxième méthode) : On rappelle que le volume V d'une pyramide vaut {V=\dfrac{1}{3}\times b\times h}, où b est l'aire d'une base et h la hauteur associée. 1.a Justifier que, dans le tétraèdre ABIG, [GF] est la hauteur relative à la base AIB.

Le triangle AIB est inclus dans le plan (ABF), qui est le plan contenant la face avant du cube ABFE (car A, I, B appartiennent tous trois à cette face, I étant le milieu de [EF]).
Comme ABCDEFGH est un cube, l'arête [GF] est perpendiculaire à la face ABFE, donc perpendiculaire au plan (AIB). Le segment [GF] joint le sommet G du tétraèdre au plan de la base AIB en formant un angle droit avec ce plan : c'est donc bien la hauteur du tétraèdre ABIG relative à la base AIB.

1.bEn déduire le volume du tétraèdre ABIG.

Le triangle AIB a pour base [AB], de longueur 1 (arête du cube), et pour hauteur associée la distance de I à la droite (AB), qui vaut ici 1 (même longueur que l'arête [AE], puisque I est le milieu de [EF] à la même hauteur que E et F). Son aire est donc \begin{aligned}b_{\text{AIB}} &= \dfrac{1\times1}{2} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned}
La hauteur du tétraèdre relative à cette base est h_{\text{GF}}=\text{GF}=1 (arête du cube).
Donc, la réponse est \begin{aligned}V_{\text{ABIG}} &= \dfrac{1}{3}\times b_{\text{AIB}}\times h_{\text{GF}} \\ &= \dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\times1 \\ &= \dfrac{1}{6}\end{aligned}

2.On admet que AI = IG =\dfrac{\sqrt{5}}{2} et que AG {=\sqrt{3}}. Démontrer que l'aire du triangle isocèle AIG est égale à \dfrac{\sqrt{6}}{4} unité d'aire.

Le triangle AIG est isocèle en I (car AI = IG), donc la hauteur issue de I est aussi la médiane issue de I : elle passe par le milieu O du côté [AG], qui est précisément le point défini dans l'énoncé comme le milieu de [AG].
On calcule la longueur IO à l'aide des coordonnées : I\left(\dfrac{1}{2}~;~0~;~1\right) et O, milieu de [AG] avec A(0~;~0~;~0) et G(1~;~1~;~1), a pour coordonnées O\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right).
\text{IO}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}-0\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}-1\right)^2}=\sqrt{0+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
L'aire du triangle AIG, dont [AG] est la base et [IO] la hauteur associée, vaut donc \begin{aligned}A_{\text{AIG}} &= \dfrac{\text{AG}\times\text{IO}}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{3}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{6}}{4}\end{aligned}
Donc, la réponse est que l'aire du triangle AIG est bien \dfrac{\sqrt{6}}{4} unité d'aire.

3.En déduire la distance du point B au plan (AIG).

On peut aussi calculer le volume du tétraèdre ABIG en considérant le triangle AIG comme base : la hauteur associée est alors la distance h du point B au plan (AIG), c'est-à-dire la distance cherchée.
D'après les questions précédentes, V_{\text{ABIG}}=\dfrac{1}{6} et A_{\text{AIG}}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}, donc : \begin{aligned}\dfrac{1}{6} &= \dfrac{1}{3}\times A_{\text{AIG}}\times h \\ &= \dfrac{1}{3}\times\dfrac{\sqrt{6}}{4}\times h\end{aligned}
On en déduit \begin{aligned}h &= \dfrac{1}{6}\times\dfrac{3\times4}{\sqrt{6}} \\ &= \dfrac{12}{6\sqrt{6}} \\ &= \dfrac{2}{\sqrt{6}} \\ &= \dfrac{2\sqrt{6}}{6} \\ &= \dfrac{\sqrt{6}}{3}\end{aligned}
Donc, la réponse est que l'on retrouve bien la distance du point B au plan (AIG) égale à \dfrac{\sqrt{6}}{3}, ce qui confirme le résultat obtenu par la première méthode.