Bac Terminale Spé Maths : Amérique du Sud 2022 (remplacement), Sujet 1

PartieA ; 1. Le système d'alarme d'une entreprise s'active avec probabilité 0{,}97 lorsqu'un danger se présente. La probabilité qu'un danger se présente est 0{,}01, et la probabilité que l'alarme s'active vaut 0{,}01465. On note D l'évènement « un danger se présente » et A l'évènement « l'alarme s'active ». Représenter la situation par un arbre pondéré.

L'arbre part de la racine avec les branches D (probabilité 0{,}01) et \overline{D} (probabilité 0{,}99) ; sous D, les branches A (0{,}97) et \overline{A} (0{,}03) ; sous \overline{D}, les branches A et \overline{A}, dont les probabilités seront complétées aux questions suivantes.

PartieA ; 2.a Calculer la probabilité qu'un danger se présente et que l'alarme s'active.

P(D\cap A) = P(D)\times P_D(A) = 0{,}01\times0{,}97 = 0{,}0097.

PartieA ; 2.b En déduire la probabilité qu'un danger se présente sachant que l'alarme s'active (arrondi au millième).

P_A(D) = \dfrac{P(D\cap A)}{P(A)} = \dfrac{0{,}0097}{0{,}01465} \approx 0{,}662.

PartieA ; 3. Montrer que la probabilité que l'alarme s'active sachant qu'aucun danger ne s'est présenté vaut 0{,}005.

D'après la formule des probabilités totales : P(A) = P(D\cap A)+P(\overline{D}\cap A), donc \begin{aligned}P(\overline{D}\cap A) &= P(A)-P(D\cap A) \\ &= 0{,}01465-0{,}0097 \\ &= 0{,}00495\end{aligned}
Donc, P_{\overline{D}}(A) = \dfrac{P(\overline{D}\cap A)}{P(\overline{D})} = \dfrac{0{,}00495}{0{,}99} = 0{,}005.

PartieA ; 4. Une alarme ne fonctionne pas normalement si un danger se présente sans qu'elle s'active, ou si elle s'active sans qu'aucun danger ne se soit présenté. Montrer que la probabilité que l'alarme ne fonctionne pas normalement est inférieure à 0{,}01.

Cet évènement se décompose en D\cap\overline{A} et \overline{D}\cap A, deux évènements incompatibles.
\begin{aligned}P(D\cap\overline{A}) &= P(D)\times P_D(\overline{A}) \\ &= 0{,}01\times0{,}03 \\ &= 0{,}0003\end{aligned} et \begin{aligned}P(\overline{D}\cap A) &= P(\overline{D})\times P_{\overline{D}}(A) \\ &= 0{,}99\times0{,}005 \\ &= 0{,}00495\end{aligned}
La probabilité cherchée vaut donc 0{,}0003+0{,}00495 = 0{,}00525, et {0{,}00525<0{,}01} : la probabilité que l'alarme ne fonctionne pas normalement est bien inférieure à 0{,}01.

PartieB ; 1. Une usine prélève successivement et au hasard, avec remise, 5 systèmes d'alarme dans sa production. On note X la variable aléatoire donnant le nombre de systèmes d'alarme ne fonctionnant pas normalement parmi les 5 prélevés, et on admet que P(S)=0{,}00525 où S est l'évènement « l'alarme ne fonctionne pas normalement ». Donner la loi suivie par X et ses paramètres.

Le prélèvement avec remise de 5 systèmes d'alarme correspond à la répétition de 5 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (succès : « ne fonctionne pas normalement », de probabilité 0{,}00525) : X suit la loi binomiale de paramètres n=5 et {p=0{,}00525}, notée X\sim\mathcal{B}(5~;~0{,}00525).

PartieB ; 2. Calculer la probabilité que, dans le lot prélevé, un seul système d'alarme ne fonctionne pas normalement (arrondi à 10^{-4}).

P(X=1) = \dbinom{5}{1}\times0{,}00525^1\times(1-0{,}00525)^4 \approx 0{,}0257.

PartieB ; 3. Calculer la probabilité que, dans le lot prélevé, au moins un système d'alarme ne fonctionne pas normalement (arrondi à 10^{-4}).

P(X\geqslant1) = 1-P(X=0) = 1-(1-0{,}00525)^5 \approx 0{,}0260.

PartieC : Soit n un entier naturel non nul ; on prélève successivement et au hasard, avec remise, n systèmes d'alarme. Déterminer le plus petit entier n tel que la probabilité d'avoir, dans le lot prélevé, au moins un système d'alarme qui ne fonctionne pas normalement soit supérieure à 0{,}07.

Comme dans la partie B, la variable aléatoire Y comptant le nombre de systèmes défectueux dans un prélèvement de taille n suit la loi binomiale de paramètres n et {p=0{,}00525}. On cherche le plus petit n tel que P(Y\geqslant1)>0{,}07.
P(Y\geqslant1)>0{,}07 \iff 1-P(Y=0)>0{,}07 \iff P(Y=0)<0{,}93 \iff (1-0{,}00525)^n<0{,}93 \iff 0{,}99475^n<0{,}93.
La fonction logarithme népérien étant strictement croissante sur ]0~;~+\infty[, et \ln(0{,}99475)<0 : n\ln(0{,}99475)<\ln(0{,}93) \iff n>\dfrac{\ln(0{,}93)}{\ln(0{,}99475)}.
\dfrac{\ln(0{,}93)}{\ln(0{,}99475)}\approx13{,}8. À la calculatrice, on vérifie que pour n=13, {P(Y\geqslant1)\approx0{,}0661<0{,}07}, tandis que pour n=14, P(Y\geqslant1)\approx0{,}0710>0{,}07.
Donc, le plus petit entier n qui convient est n=14.

1.aSoit (u_n) la suite définie par u_0=4 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=\dfrac15 u_n^2. Calculer u_1 et u_2.

\begin{aligned}u_1 &= \dfrac15u_0^2 \\ &= \dfrac{16}{5}\end{aligned} et \begin{aligned}u_2 &= \dfrac15u_1^2 \\ &= \dfrac15\times\left(\dfrac{16}{5}\right)^2 \\ &= \dfrac{256}{125}\end{aligned}

1.bCompléter la fonction Python suite_u(p) qui renvoie le terme de rang p de la suite (u_n) : def suite_u(p): puis u = ..., for i in range(1, ...):, u = ..., return u.

2.aDémontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {0<u_n\leqslant4}.

Initialisation : u_0=4, et {0<4\leqslant4}, donc la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons que pour un entier n donné, {0<u_n\leqslant4}. Alors 0<u_n^2\leqslant16, donc {0<\dfrac15u_n^2\leqslant\dfrac{16}{5}}. Or \begin{aligned}\dfrac{16}{5} &= 3{,}2 \\ &\leqslant 4\end{aligned} donc 0<u_{n+1}\leqslant4 : la propriété est vraie au rang n+1.
Donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {0<u_n\leqslant4}.

2.bDémontrer que la suite (u_n) est décroissante.

\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \dfrac15u_n^2-u_n \\ &= u_n\left(\dfrac{u_n}{5}-1\right) \\ &= u_n\times\dfrac{u_n-5}{5}\end{aligned}
D'après la question précédente, {0<u_n\leqslant4} pour tout n, donc u_n>0 et {u_n-5<0} : le produit u_n\times(u_n-5) est donc négatif, d'où u_{n+1}-u_n\leqslant0.
Donc, la suite (u_n) est décroissante.

2.cEn déduire que la suite (u_n) est convergente.

La suite (u_n) est décroissante et minorée par 0 (question 2.a) : donc, d'après le théorème de convergence monotone, elle converge.

3.aJustifier que la limite \ell de la suite (u_n) vérifie l'égalité \ell=\dfrac15\ell^2.

Comme (u_n) converge vers \ell, on a \begin{aligned}\lim\limits_{n\to+\infty}u_{n+1} &= \lim\limits_{n\to+\infty}u_n \\ &= \ell\end{aligned} et \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac15u_n^2=\dfrac15\ell^2. En passant à la limite dans la relation u_{n+1}=\dfrac15u_n^2, valable pour tout n, on obtient \ell=\dfrac15\ell^2.

3.bEn déduire la valeur de \ell.

\ell est solution de l'équation \begin{aligned}x = \dfrac15x^2 &\iff x\left(1-\dfrac15x\right) = 0 \\ &\iff x = 0 \end{aligned} ou x=5.
Or, pour tout n, {0<u_n\leqslant4}, donc \ell vérifie {0\leqslant\ell\leqslant4} : la solution \ell=5 est donc à exclure.
Donc, \ell= 0.

4.aPour tout entier naturel n, on pose {v_n=\ln(u_n)} et w_n=v_n-\ln(5). Montrer que, pour tout entier naturel n, v_{n+1}=2v_n-\ln(5).

\begin{aligned}v_{n+1} &= \ln(u_{n+1}) \\ &= \ln\left(\dfrac15u_n^2\right) \\ &= \ln\left(\dfrac15\right)+\ln\left(u_n^2\right) \\ &= -\ln(5)+2\ln(u_n) \\ &= 2v_n-\ln(5)\end{aligned}

4.bMontrer que la suite (w_n) est géométrique de raison 2.

\begin{aligned}w_{n+1} &= v_{n+1}-\ln(5) \\ &= 2v_n-\ln(5)-\ln(5) \\ &= 2v_n-2\ln(5)\end{aligned}
Or v_n=w_n+\ln(5), donc \begin{aligned}w_{n+1} &= 2\left(w_n+\ln(5)\right)-2\ln(5) \\ &= 2w_n+2\ln(5)-2\ln(5) \\ &= 2w_n\end{aligned}
Donc, la suite (w_n) est géométrique de raison q=2.

4.cDonner l'expression de w_n en fonction de n, et montrer que {v_n=\ln\left(\dfrac45\right)\times2^n+\ln(5)}.

\begin{aligned}w_0 &= v_0-\ln(5) \\ &= \ln(u_0)-\ln(5) \\ &= \ln(4)-\ln(5) \\ &= \ln\left(\dfrac45\right)\end{aligned}
(w_n) étant géométrique de premier terme w_0=\ln\left(\dfrac45\right) et de raison 2 : w_n = \ln\left(\dfrac45\right)\times2^n.
Comme v_n=w_n+\ln(5), on obtient v_n = \ln\left(\dfrac45\right)\times2^n+\ln(5).

5.Calculer \lim\limits_{n\to+\infty}v_n et retrouver \lim\limits_{n\to+\infty}u_n.

Comme \dfrac45<1, \ln\left(\dfrac45\right)<0. Or \lim\limits_{n\to+\infty}2^n=+\infty, donc, par produit d'une limite infinie par un réel strictement négatif, \lim\limits_{n\to+\infty}\ln\left(\dfrac45\right)\times2^n=-\infty, d'où \lim\limits_{n\to+\infty}v_n=-\infty.
Comme {v_n=\ln(u_n)}, on a u_n=e^{v_n}. Or \lim\limits_{X\to-\infty}e^X=0, donc, par composition, \lim\limits_{n\to+\infty}u_n= 0, ce qui confirme le résultat de la question 2.c.

PartieA ; 1. Soit g la fonction définie sur ]0~;~+\infty[ par g(x)=1+x^2\left(1-2\ln(x)\right). Justifier que g(e) est strictement négatif.

\begin{aligned}g(e) &= 1+e^2\left(1-2\ln(e)\right) \\ &= 1+e^2(1-2) \\ &= 1-e^2\end{aligned} Comme e>2, on a e^2>4, donc 1-e^2<0 : g(e) est bien strictement négatif.

PartieA ; 2. Justifier que \lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty.

\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty, donc {\lim\limits_{x\to+\infty}1-2\ln(x)=-\infty}, et par produit avec \lim\limits_{x\to+\infty}x^2=+\infty : {\lim\limits_{x\to+\infty}x^2\left(1-2\ln(x)\right)=-\infty}. Donc, \lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty.

PartieA ; 3.a Montrer que, pour tout x de ]0~;~+\infty[, g'(x)=-4x\ln(x).

g est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme somme et produit de fonctions dérivables, avec g'(x) = 2x\left(1-2\ln(x)\right)+x^2\times\left(-\dfrac2x\right) = 2x-4x\ln(x)-2x = -4x\ln(x).

PartieA ; 3.b Étudier le sens de variation de g sur ]0~;~+\infty[.

Pour tout x>0, g'(x)=-4x\ln(x) est du signe de -\ln(x) (car -4x<0) : g'(x)>0 \iff \ln(x)<0 \iff 0<x<1, et g'(x)<0 \iff x>1.
Donc, g est strictement croissante sur ]0~;~1[ et strictement décroissante sur ]1~;~+\infty[, avec un maximum en {x=1} valant \begin{aligned}g(1) &= 1+1\times(1-0) \\ &= 2\end{aligned}

PartieA ; 3.c Montrer que l'équation {g(x)=0} admet une unique solution, notée \alpha, sur [1~;~+\infty[.

Sur [1~;~+\infty[, g est dérivable donc continue, et strictement décroissante (question précédente).
g(1)=2>0, et \lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty<0 (question 2) : d'après le théorème des valeurs intermédiaires (strictement monotone), l'équation {g(x)=0} admet une unique solution \alpha sur [1~;~+\infty[.

PartieA ; 3.d Donner un encadrement de \alpha d'amplitude 10^{-2}.

g(1{,}8)\approx0{,}431>0 et {g(1{,}9)\approx-0{,}024<0}, donc \alpha\in\,]1{,}8~;~1{,}9[.
g(1{,}89)\approx0{,}024>0 et {g(1{,}90)\approx-0{,}024<0}, donc \alpha\in\,]1{,}89~;~1{,}90[.

PartieA ; 4. Déduire de ce qui précède le signe de g sur [1~;~+\infty[.

g étant strictement décroissante sur [1~;~+\infty[ et s'annulant uniquement en \alpha : g(x)\geqslant0 sur [1~;~\alpha], et g(x)\leqslant0 sur [\alpha~;~+\infty[.

PartieB ; 1. On admet que, pour tout x de [1~;~\alpha], g''(x)=-4\left(\ln(x)+1\right). Justifier que g est concave sur [1~;~\alpha].

Sur [1~;~\alpha], \begin{aligned}\ln(x) &\geqslant \ln(1) \\ &= 0\end{aligned} donc {\ln(x)+1\geqslant1>0}, d'où g''(x)=-4\left(\ln(x)+1\right)<0. Donc, g est concave sur [1~;~\alpha].

PartieB ; 2.a A et B sont les points de la courbe \mathcal{C} d'abscisses respectives 1 et \alpha (avec g(1)=2 et g(\alpha)=0). Déterminer l'équation réduite de la droite (AB).

Le coefficient directeur de (AB) vaut \begin{aligned}\dfrac{g(\alpha)-g(1)}{\alpha-1} &= \dfrac{0-2}{\alpha-1} \\ &= \dfrac{-2}{\alpha-1}\end{aligned}
La droite (AB) passe par A(1~;~2), donc son équation réduite est \begin{aligned}y &= \dfrac{-2}{\alpha-1}(x-1)+2 \\ &= \dfrac{-2}{\alpha-1}x+\dfrac{2}{\alpha-1}+2\end{aligned}
Comme 2 = \dfrac{2\alpha-2}{\alpha-1}, on obtient : {y = \dfrac{-2}{\alpha-1}x+\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}}.

PartieB ; 2.b En déduire que, pour tout réel x de [1~;~\alpha], g(x)\geqslant\dfrac{-2}{\alpha-1}x+\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}.

Sur [1~;~\alpha], la fonction g est concave (question 1), donc sa courbe représentative est située au-dessus de toute corde, en particulier au-dessus du segment [AB]. Donc, pour tout {x\in[1~;~\alpha]}, g(x)\geqslant\dfrac{-2}{\alpha-1}x+\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}.

1.aDans un parallélépipède rectangle ABCDEFGH, avec AB =5, AD =3 et AE =2, l'espace est muni du repère orthonormé d'origine A dans lequel B, D, E ont pour coordonnées (5~;~0~;~0), (0~;~3~;~0) et (0~;~0~;~2). Donner les coordonnées des points H et G.

\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}, donc H a pour coordonnées (0~;~3~;~2). {\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}}, donc G a pour coordonnées (5~;~3~;~2).

1.bDonner une représentation paramétrique de la droite (GH).

La droite (GH) a pour vecteur directeur \overrightarrow{HG}\begin{pmatrix}5 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} et passe par G(5~;~3~;~2) : une représentation paramétrique est \begin{cases}x=5+5t\\y=3\\z=2\end{cases}, t\in\mathbb{R}.

2.aSoit M un point du segment [GH] tel que \overrightarrow{HM}=k\overrightarrow{HG}, avec k\in[0~;~1]. Justifier que les coordonnées de M sont (5k~;~3~;~2).

\overrightarrow{HM}=k\overrightarrow{HG} \iff \begin{cases}x_M-0=5k\\y_M-3=0\\z_M-2=0\end{cases} \iff \begin{cases}x_M=5k\\y_M=3\\z_M=2\end{cases}. Donc, les coordonnées de M sont (5k~;~3~;~2).

2.bEn déduire que {\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CM} = 25k^2-25k+4}.

\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}5k \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} (coordonnées de M, car A est l'origine). Comme C a pour coordonnées (5~;~3~;~0), \overrightarrow{CM}\begin{pmatrix}5k-5 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}.
\begin{aligned}\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CM} &= 5k\times(5k-5)+3\times0+2\times2 \\ &= 25k^2-25k+4\end{aligned}

2.cDéterminer les valeurs de k pour lesquelles AMC est un triangle rectangle en M.

Le triangle AMC est rectangle en M si, et seulement si, \overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{CM}, c'est-à-dire \begin{aligned}\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CM} = 0 &\iff 25k^2-25k+4 = 0 \end{aligned}
Discriminant : \Delta = (-25)^2-4\times25\times4 = 625-400 = 225 = 15^2>0.
Les deux solutions sont \begin{aligned}k_1 &= \dfrac{25-15}{50} \\ &= \dfrac{10}{50} \\ &= \dfrac15\end{aligned} et \begin{aligned}k_2 &= \dfrac{25+15}{50} \\ &= \dfrac{40}{50} \\ &= \dfrac45\end{aligned}
Donc, le triangle AMC est rectangle en M pour k=\dfrac15 ou k=\dfrac45.

3.aOn admet dans la suite que M a pour coordonnées (1~;~3~;~2) et que le triangle AMC est rectangle en M. On considère le point K(1~;~3~;~0). Déterminer une équation cartésienne du plan (ACD).

Le plan (ACD) contient A, origine du repère, et admet \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AD} comme vecteurs directeurs (puisque C, D, B sont dans le plan de base) : c'est donc le plan d'équation z=0.

3.bJustifier que K est le projeté orthogonal de M sur le plan (ACD).

K(1~;~3~;~0) vérifie z_K=0 : K appartient donc au plan (ACD).
\overrightarrow{MK}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix}. Or \begin{aligned}\overrightarrow{MK}\cdot\overrightarrow{AB} &= 0\times5+0\times0+(-2)\times0 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\overrightarrow{MK}\cdot\overrightarrow{AD} &= 0\times0+0\times3+(-2)\times0 \\ &= 0\end{aligned} \overrightarrow{MK} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ACD), donc normal à ce plan.
Donc, K est bien le projeté orthogonal de M sur le plan (ACD).

3.cEn déduire le volume du tétraèdre MACD.

Le triangle ACD est rectangle en D (car \overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}=0, D étant à l'intersection des côtés du rectangle de base), d'aire \begin{aligned}\mathcal{A} &= \dfrac{AD\times DC}{2} \\ &= \dfrac{3\times5}{2} \\ &= \dfrac{15}{2}\end{aligned}
\begin{aligned}MK &= \left\|\overrightarrow{MK}\right\| \\ &= \sqrt{0^2+0^2+(-2)^2} \\ &= 2\end{aligned} et MK est la hauteur du tétraèdre relative à la base ACD (question précédente).
\begin{aligned}V &= \dfrac13\times\mathcal{A}\times MK \\ &= \dfrac13\times\dfrac{15}{2}\times2 \\ &= 5\end{aligned}
Donc, le volume du tétraèdre MACD vaut 5 unités de volume.

4.On note P le projeté orthogonal du point D sur le plan (AMC). Calculer la distance DP (arrondi à 10^{-1}).

On considère D comme sommet du tétraèdre MACD : le volume V=5 (question 3.c) s'écrit aussi {V=\dfrac13\times\mathcal{A}(AMC)\times DP}, où DP est la hauteur relative à la base AMC.
\begin{aligned}AM &= \sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2+(2-0)^2} \\ &= \sqrt{14}\end{aligned} et \begin{aligned}CM &= \sqrt{(1-5)^2+(3-3)^2+(2-0)^2} \\ &= \sqrt{16+0+4} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}
Le triangle AMC étant rectangle en M, son aire vaut \begin{aligned}\mathcal{A}(AMC) &= \dfrac{AM\times CM}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{14}\times\sqrt{20}}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{280}}{2} \\ &= \sqrt{70}\end{aligned}
Donc, {5 = \dfrac13\times\sqrt{70}\times DP \iff DP = \dfrac{15}{\sqrt{70}} \approx} 1,8.