Bac Terminale Spé Maths : Amérique du Sud 2022 (remplacement), Sujet 2

PartieA ; 1. Une entreprise fabrique des composants sur trois chaînes de montage : la moitié des composants proviennent de la chaîne 1, 30 % de la chaîne 2, le reste de la chaîne 3. Parmi les pièces de chaque chaîne, respectivement 1 %, 0,5 % et 4 % présentent un défaut. On note C_1, C_2, C_3 les évènements « le composant provient de la chaîne i » et D l'évènement « le composant est défectueux ». Représenter la situation par un arbre pondéré.

L'arbre part de la racine avec les branches C_1 (probabilité 0{,}5), C_2 (0{,}3) et C_3 (0{,}2, car 1-0{,}5-0{,}3=0{,}2) ; sous chaque C_i, les branches D et \overline{D}, de probabilités respectives 0{,}01/0{,}99 sous C_1, 0{,}005/0{,}995 sous C_2, et 0{,}04/0{,}96 sous C_3.

PartieA ; 2. Calculer la probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne 3 et soit défectueux.

P(C_3\cap D) = P(C_3)\times P_{C_3}(D) = 0{,}2\times0{,}04 = 0{,}008.

PartieA ; 3. Montrer que la probabilité de l'évènement D vaut P(D)=0{,}0145.

\begin{aligned}P(C_1\cap D) &= P(C_1)\times P_{C_1}(D) \\ &= 0{,}5\times0{,}01 \\ &= 0{,}005\end{aligned} et \begin{aligned}P(C_2\cap D) &= P(C_2)\times P_{C_2}(D) \\ &= 0{,}3\times0{,}005 \\ &= 0{,}0015\end{aligned}
D'après la formule des probabilités totales, appliquée au système complet d'évènements (C_1,C_2,C_3) : P(D) = P(C_1\cap D)+P(C_2\cap D)+P(C_3\cap D) = 0{,}005+0{,}0015+0{,}008 = 0{,}0145.

PartieA ; 4. Calculer la probabilité qu'un composant défectueux provienne de la chaîne 3.

P_D(C_3) = \dfrac{P(D\cap C_3)}{P(D)} = \dfrac{0{,}008}{0{,}0145} \approx 0{,}5517 (à 10^{-4} près).

PartieB : L'entreprise conditionne les composants en lots de n unités ; on admet que le nombre X de composants défectueux dans un lot suit la loi binomiale de paramètres n et p=0{,}0145. 1.a Pour un lot de n=20 unités, calculer la probabilité que le lot possède exactement trois composants défectueux.

P(X=3) = \dbinom{20}{3}\times0{,}0145^3\times(1-0{,}0145)^{17} \approx 0{,}0027 (à 10^{-4} près).

PartieB ; 1.b Calculer la probabilité que le lot de 20 unités ne possède aucun composant défectueux, puis en déduire la probabilité qu'il en possède au moins un.

P(X=0) = (1-0{,}0145)^{20} \approx 0{,}7467 (à 10^{-4} près).
P(X\geqslant1) = 1-P(X=0) \approx 1-0{,}7467 = 0{,}2533.

PartieB ; 2. Le directeur souhaite que la probabilité de n'avoir aucun composant défectueux dans un lot de n composants soit supérieure à 0{,}85. Il propose des lots de 11 composants au maximum. A-t-il raison ?

On cherche les entiers n tels que P(X=0)\geqslant0{,}85, c'est-à-dire \begin{aligned}(1-0{,}0145)^n \geqslant 0{,}85 &\iff 0{,}9855^n \geqslant 0{,}85 \end{aligned}
La fonction logarithme népérien étant strictement croissante sur ]0~;~+\infty[, et \ln(0{,}9855)<0 : \begin{aligned}n\ln(0{,}9855) \geqslant \ln(0{,}85) &\iff n \leqslant \dfrac{\ln(0{,}85)}{\ln(0{,}9855)} \end{aligned}
\dfrac{\ln(0{,}85)}{\ln(0{,}9855)}\approx11{,}1, donc les entiers n qui conviennent sont ceux vérifiant n\leqslant11.
Donc, des lots de 11 composants au maximum conviennent bien : le directeur a raison.

PartieC : Les coûts de fabrication d'un composant sont de 15 € (chaîne 1), 12 € (chaîne 2) et 9 € (chaîne 3). Calculer le coût moyen de fabrication d'un composant pour cette entreprise.

Le coût moyen est l'espérance du coût, pondérée par les probabilités de chaque chaîne : 0{,}5\times15+0{,}3\times12+0{,}2\times9 = 7{,}5+3{,}6+1{,}8 = 12,90 € par composant.

PartieA ; 1. Soit g la fonction auxiliaire définie sur ]0~;~+\infty[ par {g(x)=2(x-1)-x\ln(x)}. Calculer g(1) et g(e).

\begin{aligned}g(1) &= 2\times(1-1)-1\times\ln(1) \\ &= 0-0 \\ &= 0\end{aligned} \begin{aligned}g(e) &= 2(e-1)-e\ln(e) \\ &= 2e-2-e \\ &= e-2\end{aligned}

PartieA ; 2. Déterminer \lim\limits_{x\to0^+}g(x).

On sait que \lim\limits_{x\to0^+}x\ln(x) = 0 (limite de référence). Donc, {\lim\limits_{x\to0^+}g(x) = 2\times(0-1)-0 =} -2.

PartieA ; 3. Montrer que, pour tout x>0, g'(x)=1-\ln(x), puis en déduire le tableau de variations de g sur ]0~;~+\infty[.

g est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme somme et produit de fonctions dérivables, avec g'(x) = 2-\left(\ln(x)+x\times\dfrac1x\right) = 2-\ln(x)-1 = 1-\ln(x).
g'(x)>0 \iff \ln(x)<1 \iff x<e, et g'(x)<0 \iff x>e.
Donc, g est strictement croissante sur ]0~;~e[ et strictement décroissante sur ]e~;~+\infty[, avec un maximum en {x=e} valant \begin{aligned}g(e) &= e-2 \\ &\approx 0{,}718\end{aligned} On a de plus \lim\limits_{x\to0^+}g(x)=-2 (question précédente) et {\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty} (admis).

PartieA ; 4. Montrer que l'équation g(x)=0 admet exactement deux solutions distinctes sur ]0~;~+\infty[ : 1 et \alpha, avec \alpha\in[e~;~+\infty[, et donner un encadrement de \alpha à 0{,}01 près.

Sur ]0~;~e], g est dérivable donc continue et strictement croissante, avec \lim\limits_{x\to0^+}g(x)=-2<0 et {g(e)=e-2\approx0{,}718>0} : d'après le théorème des valeurs intermédiaires (strictement monotone), l'équation g(x)=0 admet une unique solution sur ]0~;~e]. Or {g(1)=0} (question 1), donc cette solution est 1.
Sur [e~;~+\infty[, g est dérivable donc continue et strictement décroissante, avec g(e)\approx0{,}718>0 et {\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty<0} : d'après le même théorème, l'équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha sur [e~;~+\infty[.
g(4{,}92)\approx0{,}0009>0 et {g(4{,}93)\approx-0{,}0050<0}, donc \alpha\in\,]4{,}92~;~4{,}93[.
L'équation g(x)=0 admet donc exactement deux solutions distinctes sur ]0~;~+\infty[ : 1 et \alpha.

PartieA ; 5. En déduire le tableau de signes de g sur ]0~;~+\infty[.

D'après les variations de g et les deux racines trouvées : g(x)<0 sur ]0~;~1[, g(x)>0 sur ]1~;~\alpha[, et g(x)<0 sur ]\alpha~;~+\infty[, avec \begin{aligned}g(1) &= g(\alpha) \\ &= 0\end{aligned}

PartieB : Soit f la fonction définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x)=3x-x\ln(x)-2\ln(x). 1. Déterminer la limite de f en +\infty.

Pour x>0, on factorise : {f(x) = x\left[3-\ln(x)-2\dfrac{\ln(x)}{x}\right]}.
Par croissances comparées, \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0, et \lim\limits_{x\to+\infty}-\ln(x)=-\infty, donc, par somme de limites, \lim\limits_{x\to+\infty}\left[3-\ln(x)-2\dfrac{\ln(x)}{x}\right]=-\infty.
Comme \lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty, par produit de limites : \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.

PartieB ; 2.a Justifier que, pour tout x>0, f'(x)=\dfrac{g(x)}{x}.

f est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme somme et produit de fonctions dérivables, avec f'(x) = 3-\left(\ln(x)+x\times\dfrac1x\right)-2\times\dfrac1x = 3-\ln(x)-1-\dfrac2x = 2-\ln(x)-\dfrac2x = \dfrac{2x-x\ln(x)-2}{x} = \dfrac{2(x-1)-x\ln(x)}{x} = \dfrac{g(x)}{x}.

PartieB ; 2.b En déduire le tableau de variations de f sur ]0~;~+\infty[.

Pour x>0, x>0 donc le signe de f'(x)=\dfrac{g(x)}{x} est celui de g(x), étudié à la question A.5.
Donc, f'(x)<0 sur ]0~;~1[, f'(x)>0 sur ]1~;~\alpha[, et f'(x)<0 sur ]\alpha~;~+\infty[ : f est décroissante sur ]0~;~1], croissante sur [1~;~\alpha], puis décroissante sur [\alpha~;~+\infty[.
On a \begin{aligned}f(1) &= 3\times1-1\times\ln(1)-2\ln(1) \\ &= 3\end{aligned} et \lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty (admis) ; en \alpha, f(\alpha)\approx3{,}73 ; en +\infty, f(x)\to-\infty (question 1).

PartieB ; 3. On admet que, pour tout x>0, f''(x)=\dfrac{2-x}{x^2}. Étudier la convexité de f et donner les coordonnées du point d'inflexion de \mathcal{C}_f.

Pour x>0, x^2>0, donc le signe de f''(x) est celui de 2-x : f''(x)>0 \iff x<2, et f''(x)<0 \iff x>2.
Donc, f est convexe sur ]0~;~2] et concave sur [2~;~+\infty[ ; f'' s'annule en changeant de signe en x=2, donc la courbe \mathcal{C}_f admet un point d'inflexion en x=2.
\begin{aligned}f(2) &= 6-2\ln(2)-2\ln(2) \\ &= 6-4\ln(2) \\ &\approx 3{,}23\end{aligned} Donc, le point d'inflexion a pour coordonnées (2~;~6-4\ln(2)).

1.Une population d'une espèce menacée diminue de 10 % chaque année, mais 100 individus sont réintroduits à la fin de chaque année. On modélise l'effectif par la suite (u_n) où u_n représente l'effectif au début de l'année 2020+n, avec u_0=2\,000. Justifier que (u_n) vérifie u_{n+1}=0{,}9u_n+100.

Diminuer de 10 % revient à multiplier par 1-\dfrac{10}{100}=0{,}9. L'effectif de l'année suivante s'obtient donc en multipliant l'effectif de l'année n par 0{,}9, puis en ajoutant les 100 individus réintroduits : u_{n+1}=0{,}9u_n+100.

2.Calculer u_1 puis u_2.

\begin{aligned}u_1 &= 0{,}9\times2\,000+100 \\ &= 1\,800+100 \\ &= 1\,900\end{aligned} \begin{aligned}u_2 &= 0{,}9\times1\,900+100 \\ &= 1\,710+100 \\ &= 1\,810\end{aligned}

3.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {1\,000<u_{n+1}\leqslant u_n}.

Initialisation : u_0=2\,000 et u_1=1\,900, donc 1\,000<1\,900\leqslant2\,000, soit {1\,000<u_1\leqslant u_0} : la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons que pour un entier n donné, {1\,000<u_{n+1}\leqslant u_n}. En multipliant chaque membre par 0{,}9>0 : {900<0{,}9u_{n+1}\leqslant0{,}9u_n}, puis en ajoutant 100 : 1\,000<0{,}9u_{n+1}+100\leqslant0{,}9u_n+100, c'est-à-dire 1\,000<u_{n+2}\leqslant u_{n+1} : la propriété est vraie au rang n+1.
Donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {1\,000<u_{n+1}\leqslant u_n}.

4.La suite (u_n) est-elle convergente ?

D'après la question précédente, la suite (u_n) est décroissante (car u_{n+1}\leqslant u_n) et minorée par 1\,000. Donc, d'après le théorème de convergence monotone, la suite (u_n) converge.

5.aOn pose, pour tout entier naturel n, v_n=u_n-1\,000. Montrer que (v_n) est géométrique de raison 0{,}9.

\begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1}-1\,000 \\ &= 0{,}9u_n+100-1\,000 \\ &= 0{,}9u_n-900 \\ &= 0{,}9(u_n-1\,000) \\ &= 0{,}9v_n\end{aligned} Donc, la suite (v_n) est géométrique de raison 0{,}9, de premier terme \begin{aligned}v_0 &= u_0-1\,000 \\ &= 1\,000\end{aligned}

5.bEn déduire que, pour tout entier naturel n, u_n=1\,000\left(1+0{,}9^n\right).

Comme (v_n) est géométrique de premier terme v_0=1\,000 et de raison 0{,}9 : v_n = 1\,000\times0{,}9^n. Or u_n=v_n+1\,000, donc \begin{aligned}u_n &= 1\,000\times0{,}9^n+1\,000 \\ &= 1\,000\left(1+0{,}9^n\right)\end{aligned}

5.cDéterminer la limite de la suite (u_n) et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.

Comme {0<0{,}9<1}, \lim\limits_{n\to+\infty}0{,}9^n=0, donc \lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+0{,}9^n\right)=1, d'où {\lim\limits_{n\to+\infty}u_n = 1\,000\times1 =} 1 000.
Dans le contexte de l'exercice, cela signifie qu'au bout de nombreuses années, l'effectif de la population se stabilise autour de 1 000 individus.

6.Déterminer le plus petit entier n tel que u_n\leqslant1\,020, en justifiant par un calcul.

\begin{aligned}u_n \leqslant 1\,020 &\iff 1\,000\left(1+0{,}9^n\right) \leqslant 1\,020 \\ &\iff 1\,000+1\,000\times0{,}9^n \leqslant 1\,020 \\ &\iff 1\,000\times0{,}9^n \leqslant 20 \\ &\iff 0{,}9^n \leqslant 0{,}02\end{aligned}
La fonction logarithme népérien étant strictement croissante sur ]0~;~+\infty[, et \ln(0{,}9)<0 : \begin{aligned}\ln\left(0{,}9^n\right) \leqslant \ln(0{,}02) &\iff n\ln(0{,}9) \leqslant \ln(0{,}02) \\ &\iff n \geqslant \dfrac{\ln(0{,}02)}{\ln(0{,}9)} \end{aligned}
\dfrac{\ln(0{,}02)}{\ln(0{,}9)}\approx37{,}1, donc le plus petit entier n qui convient est n=38 (on vérifie que \begin{aligned}u_{38} &\approx 1\,018{,}25 \\ &\leqslant 1\,020\end{aligned} alors que u_{37}>1\,020).

7.Le programme Python population(S) initialise n=0 et u=2000, puis doit renvoyer le nombre d'années nécessaires pour que l'effectif passe en dessous du seuil S. Compléter la boucle while ... :, l'instruction de mise à jour de u, celle de n, et l'instruction return.

1.aDans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points A(0~;~8~;~6), B(6~;~4~;~4) et C(2~;~4~;~0). Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}6 \\ -4 \\ -2\end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2 \\ -4 \\ -6\end{pmatrix}. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires (il n'existe pas de réel k tel que \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}, puisque par exemple \dfrac{6}{2}\neq\dfrac{-2}{-6}) : donc, les points A, B et C ne sont pas alignés.

1.bMontrer que le vecteur \vec n de coordonnées \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix} est normal au plan (ABC).

\begin{aligned}\vec n\cdot\overrightarrow{AB} &= 1\times6+2\times(-4)+(-1)\times(-2) \\ &= 6-8+2 \\ &= 0\end{aligned}
\begin{aligned}\vec n\cdot\overrightarrow{AC} &= 1\times2+2\times(-4)+(-1)\times(-6) \\ &= 2-8+6 \\ &= 0\end{aligned}
\vec n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), donc \vec n est normal au plan (ABC).

1.cDéterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

Le plan (ABC), de vecteur normal \vec n\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}, a une équation de la forme x+2y-z+d=0.
Comme A(0~;~8~;~6) appartient au plan : \begin{aligned}0+2\times8-6+d = 0 &\iff 16-6+d = 0 \\ &\iff d = -10 \end{aligned}
Donc, une équation cartésienne du plan (ABC) est {x+2y-z-10=0}.

2.aSoient D(0~;~0~;~6) et E(6~;~6~;~0). Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DE).

La droite (DE) admet \overrightarrow{DE}\begin{pmatrix}6 \\ 6 \\ -6\end{pmatrix}, ou plus simplement \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}, comme vecteur directeur ; elle passe par D(0~;~0~;~6). Une représentation paramétrique est donc : \begin{cases}x=t\\y=t\\z=6-t\end{cases}, t\in\mathbb{R}.

2.bMontrer que le milieu I du segment [BC] appartient à la droite (DE).

\begin{aligned}I &= \left(\dfrac{6+2}{2}~;~\dfrac{4+4}{2}~;~\dfrac{4+0}{2}\right) \\ &= (4~;~4~;~2)\end{aligned}
En prenant t=4 dans la représentation paramétrique de (DE) : x=4, y=4, \begin{aligned}z &= 6-4 \\ &= 2\end{aligned} ce qui correspond exactement aux coordonnées de I.
Donc, I appartient bien à la droite (DE).

3.aDéterminer la nature du triangle ABC.

\begin{aligned}AB &= \left\|\overrightarrow{AB}\right\| \\ &= \sqrt{6^2+(-4)^2+(-2)^2} \\ &= \sqrt{36+16+4} \\ &= \sqrt{56}\end{aligned}
\begin{aligned}AC &= \left\|\overrightarrow{AC}\right\| \\ &= \sqrt{2^2+(-4)^2+(-6)^2} \\ &= \sqrt{4+16+36} \\ &= \sqrt{56}\end{aligned}
Comme \begin{aligned}AB &= AC \\ &= \sqrt{56}\end{aligned} le triangle ABC est isocèle en A.

3.bCalculer l'aire du triangle ABC.

Le triangle ABC étant isocèle en A, la médiane issue de A est aussi une hauteur : en notant I le milieu de [BC] (question 2.b), (AI) est donc hauteur du triangle, et \mathcal{A}(ABC) = \dfrac{AI\times BC}{2}.
\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix}4 \\ -4 \\ -4\end{pmatrix}, donc \begin{aligned}AI &= \sqrt{4^2+(-4)^2+(-4)^2} \\ &= \sqrt{48} \\ &= 4\sqrt3\end{aligned}
\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-4 \\ 0 \\ -4\end{pmatrix}, donc \begin{aligned}BC &= \sqrt{(-4)^2+0^2+(-4)^2} \\ &= \sqrt{32} \\ &= 4\sqrt2\end{aligned}
\begin{aligned}\mathcal{A}(ABC) &= \dfrac{4\sqrt3\times4\sqrt2}{2} \\ &= 8\sqrt6\end{aligned}

3.cCalculer \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.

\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= 6\times2+(-4)\times(-4)+(-2)\times(-6) \\ &= 12+16+12 \\ &= 40\end{aligned}

3.dEn déduire une mesure de l'angle \widehat{BAC}, arrondie à 0{,}1 degré.

On sait que \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB\times AC\times\cos\left(\widehat{BAC}\right), donc \begin{aligned}40 &= \sqrt{56}\times\sqrt{56}\times\cos\left(\widehat{BAC}\right) \\ &= 56\times\cos\left(\widehat{BAC}\right)\end{aligned}
\begin{aligned}\cos\left(\widehat{BAC}\right) &= \dfrac{40}{56} \\ &= \dfrac57\end{aligned} donc \widehat{BAC} = \arccos\left(\dfrac57\right) \approx 44,4^{\circ} (à la calculatrice).

4.On note H le point de coordonnées \left(\dfrac53~;~\dfrac{10}{3}~;~-\dfrac53\right). Montrer que H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC), puis en déduire la distance du point O au plan (ABC).

Notons K le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC) : \overrightarrow{OK} est colinéaire au vecteur normal \vec n\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}, donc il existe un réel t tel que K ait pour coordonnées (t~;~2t~;~-t).
Comme K appartient au plan (ABC), ses coordonnées vérifient {x+2y-z-10=0} : \begin{aligned}t+2\times2t-(-t)-10 = 0 &\iff t+4t+t-10 = 0 \\ &\iff 6t = 10 \\ &\iff t = \dfrac53 \end{aligned}
On obtient donc K de coordonnées \left(\dfrac53~;~\dfrac{10}{3}~;~-\dfrac53\right), qui sont bien celles de H : H est donc le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).
La distance de O au plan (ABC) est donc égale à OH : \begin{aligned}OH^2 &= \left(\dfrac53\right)^2+\left(\dfrac{10}{3}\right)^2+\left(-\dfrac53\right)^2 \\ &= \dfrac{25}{9}+\dfrac{100}{9}+\dfrac{25}{9} \\ &= \dfrac{150}{9}\end{aligned}
\begin{aligned}OH &= \sqrt{\dfrac{150}{9}} \\ &= \dfrac{\sqrt{150}}{3} \\ &= \dfrac{\sqrt{25\times6}}{3} \\ &= \dfrac{5\sqrt6}{3}\end{aligned} Donc, la distance de O au plan (ABC) vaut \dfrac{5\sqrt6}{3}.