Bac Terminale Spé Maths : Métropole 2022 (remplacement), Sujet 1

1.On considère la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x+1}. La courbe représentative de g admet pour asymptote en +\infty la droite d'équation : a. x=2 ; b. y=2 ; c. {y=0} ; d. x=-1.

Pour tout réel x, en factorisant par \text{e}^x au numérateur et au dénominateur : \begin{aligned}g(x) &= \dfrac{\text{e}^x\times2}{\text{e}^x\left(1+\text{e}^{-x}\right)} \\ &= \dfrac{2}{1+\text{e}^{-x}}\end{aligned} Or \lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0, donc {\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\text{e}^{-x}\right)=1}, d'où \begin{aligned}\lim\limits_{x\to+\infty}g(x) &= \dfrac21 \\ &= 2\end{aligned} La droite d'équation y=2 est donc asymptote à la courbe de g en +\infty. Réponse b.

2.On considère une fonction f deux fois dérivable sur \mathbb{R}, de représentation graphique \mathcal{C}. On donne la représentation graphique de sa dérivée seconde f'' : la courbe de f'' est négative sur ]-\infty~;~-1[, positive sur ]-1~;~2[... (en réalité, d'après la représentation fournie dans le sujet, f'' est positive sur ]-\infty~;~-1] et sur [2~;~+\infty[, et négative entre -1 et 2). On peut affirmer que : a. \mathcal{C} admet un unique point d'inflexion ; b. f est convexe sur [-1~;~2] ; c. f est convexe sur ]-\infty~;~-1] et sur [2~;~+\infty[ ; d. f est convexe sur \mathbb{R}.

f est convexe sur un intervalle exactement lorsque sa dérivée seconde f'' y est positive ou nulle.
D'après la représentation graphique de f'' (positive sur ]-\infty~;~-1], négative sur [-1~;~2], puis positive sur [2~;~+\infty[), f est donc convexe sur ]-\infty~;~-1] et sur [2~;~+\infty[, et concave entre -1 et 2.
Réponse c.

3.On donne la suite (u_n) définie par u_0=0 et, pour tout entier naturel n, {u_{n+1}=\dfrac12u_n+1}. La suite (v_n), définie pour tout entier naturel n par v_n=u_n-2, est : a. arithmétique de raison -2 ; b. géométrique de raison -2 ; c. arithmétique de raison 1 ; d. géométrique de raison \dfrac12.

Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1}-2 \\ &= \dfrac12u_n+1-2 \\ &= \dfrac12u_n-1 \\ &= \dfrac12\left(u_n-2\right) \\ &= \dfrac12v_n\end{aligned} Donc (v_n) est géométrique de raison \dfrac12. Réponse d.

4.On considère une suite (u_n) telle que, pour tout entier naturel n, {1+\left(\dfrac14\right)^n\leqslant u_n\leqslant2-\dfrac{n}{n+1}}. On peut affirmer que la suite (u_n) : a. converge vers 2 ; b. converge vers 1 ; c. diverge vers +\infty ; d. n'a pas de limite.

Comme {-1<\dfrac14<1}, on a \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac14\right)^n=0, donc \lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\left(\dfrac14\right)^n\right)=1.
De plus, \dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{1+\frac1n} et \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac1n=0, donc \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n}{n+1}=1, d'où \lim\limits_{n\to+\infty}\left(2-\dfrac{n}{n+1}\right)=1.
Les deux suites encadrant (u_n) convergent toutes deux vers 1 : d'après le théorème des gendarmes, la suite (u_n) converge et \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1. Réponse b.

5.Soit f la fonction définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x)=x^2\ln x. Une primitive F de f sur ]0~;~+\infty[ est définie par : a. {F(x)=\dfrac13x^3\left(\ln x-\dfrac13\right)} ; b. F(x)=\dfrac13x^3(\ln x-1) ; c. F(x)=\dfrac13x^2 ; d. F(x)=\dfrac13x^2(\ln x-1).

On teste la réponse a. : si {F(x)=\dfrac13x^3\left(\ln x-\dfrac13\right)}, alors, en dérivant un produit, F'(x) = x^2\left(\ln x-\dfrac13\right)+\dfrac13x^3\times\dfrac1x = x^2\ln x-\dfrac13x^2+\dfrac13x^2 = x^2\ln x = f(x). Donc F est bien une primitive de f. Réponse a.

6.Pour tout réel x, l'expression 2+\dfrac{3\text{e}^{-x}-5}{\text{e}^{-x}+1} est égale à : a. \dfrac{5-3\text{e}^x}{1+\text{e}^x} ; b. \dfrac{5+3\text{e}^x}{1-\text{e}^x} ; c. \dfrac{5+3\text{e}^x}{1+\text{e}^x} ; d. \dfrac{5-3\text{e}^x}{1-\text{e}^x}.

On réduit au même dénominateur : \begin{aligned}2+\dfrac{3\text{e}^{-x}-5}{\text{e}^{-x}+1} &= \dfrac{2\left(\text{e}^{-x}+1\right)+3\text{e}^{-x}-5}{\text{e}^{-x}+1} \\ &= \dfrac{2\text{e}^{-x}+2+3\text{e}^{-x}-5}{\text{e}^{-x}+1} \\ &= \dfrac{5\text{e}^{-x}-3}{\text{e}^{-x}+1}\end{aligned}
En multipliant le numérateur et le dénominateur par \text{e}^x (strictement positif) : \begin{aligned}\dfrac{5\text{e}^{-x}-3}{\text{e}^{-x}+1} &= \dfrac{5\text{e}^{-x}\times\text{e}^x-3\text{e}^x}{\text{e}^{-x}\times\text{e}^x+\text{e}^x} \\ &= \dfrac{5-3\text{e}^x}{1+\text{e}^x}\end{aligned} Réponse a.

1.aUn hôtel situé près d'un site touristique préhistorique propose la visite d'un musée et celle d'une grotte. Une étude montre que 70 % des clients visitent le musée, et parmi eux 60 % visitent aussi la grotte. Par ailleurs, 6 % des clients ne font aucune visite. On note M l'évènement « le client visite le musée », G l'évènement « le client visite la grotte », et p la probabilité. Vérifier que p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right) = 0,2.

On a p(M)=0,7, donc {p\left(\overline{M}\right)=1-0,7=0,3}. Or p\left(\overline{M}\cap\overline{G}\right)=0,06 (aucune visite), donc p\left(\overline{M}\right)\times p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right) = 0,06 \iff 0,3\times p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right)=0,06 \iff p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right) = \dfrac{0,06}{0,3} = 0,2. On retrouve bien p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right)=0,2.

1.bRecopier et compléter les branches de l'arbre pondéré associé aux évènements M et G.

L'arbre part de la racine avec les branches M (probabilité 0,7) et \overline{M} (probabilité 0,3) ; sous M, les branches G (probabilité 0,6, donnée par l'énoncé) et \overline{G} (probabilité 1-0,6=0,4) ; sous \overline{M}, les branches \overline{G} (probabilité 0,2, d'après la question 1.a) et G (probabilité {1-0,2=0,8}).

1.cQuelle est la probabilité de l'évènement « le client visite la grotte et ne visite pas le musée » ?

On cherche p\left(\overline{M}\cap G\right). D'après la formule des probabilités composées : p\left(\overline{M}\cap G\right) = p\left(\overline{M}\right)\times p_{\overline{M}}(G) = 0,3\times0,8 = 0,24. Donc, la probabilité que le client visite la grotte sans visiter le musée vaut 0,24.

1.dMontrer que p(G)=0,66.

On calcule d'abord p(M\cap G) = p(M)\times p_M(G) = 0,7\times0,6 = 0,42. D'après la formule des probabilités totales appliquée à G (avec le système complet M,\overline{M}) : p(G) = p(M\cap G)+p\left(\overline{M}\cap G\right) = 0,42+0,24 = 0,66. Donc, p(G)=0,66.

2.Le responsable de l'hôtel affirme que, parmi les clients qui visitent la grotte, plus de la moitié visitent également le musée. Cette affirmation est-elle exacte ?

On calcule p_G(M) = \dfrac{p(G\cap M)}{p(G)} = \dfrac{0,42}{0,66} = \dfrac{42}{66} = \dfrac{7}{11} \approx 0,636. Comme 0,636>0,5, l'affirmation du responsable est exacte : parmi les clients visitant la grotte, environ 63,6 % visitent également le musée, ce qui est bien plus de la moitié.

3.aLe musée coûte 12 € et la grotte 5 €. On note T la variable aléatoire modélisant la somme dépensée par un client pour ces visites. Donner la loi de probabilité de T sous forme d'un tableau.

T prend la valeur 12+5=17 si le client visite les deux (évènement M\cap G, de probabilité 0,42), la valeur 12 s'il ne visite que le musée (évènement M\cap\overline{G}, de probabilité 0,7\times0,4=0,28), la valeur 5 s'il ne visite que la grotte (évènement \overline{M}\cap G, de probabilité 0,24), et la valeur 0 s'il ne visite rien (évènement \overline{M}\cap\overline{G}, de probabilité 0,06).
On obtient le tableau : t_i : 0, 5, 12, 17 ; p(T=t_i) : 0,06 ; 0,24 ; 0,28 ; 0,42.

3.bCalculer l'espérance mathématique de T.

D'après le tableau précédent : E(T) = 0\times0,06+5\times0,24+12\times0,28+17\times0,42 = 0+1,2+3,36+7,14 = 11,7. Donc, la dépense moyenne par client vaut 11,70 €.

3.cLe responsable estime que le montant moyen des recettes des visites doit être supérieur à 700 € par jour. Déterminer le nombre moyen de clients par journée permettant d'atteindre cet objectif.

Si x désigne le nombre de clients par jour, la recette moyenne journalière est 11,7x. On veut {11,7x>700 \iff x>\dfrac{700}{11,7}\approx59,8}. Comme x est un nombre entier de clients, il faut donc au moins 60 clients par jour.

4.Pour augmenter les recettes, le responsable souhaite que l'espérance de T passe à 15 €, sans modifier le prix du musée (12 €). Quel prix faut-il fixer pour la visite de la grotte ?

Notons g le nouveau prix de la grotte. La loi de T devient : t_i vaut 0 (probabilité 0,06), g (probabilité 0,24), 12 (probabilité 0,28), 12+g (probabilité 0,42).
L'espérance est E(T) = 0\times0,06+g\times0,24+12\times0,28+(12+g)\times0,42 = 0,24g+3,36+5,04+0,42g = 0,66g+8,4.
On veut 0,66g+8,4=15 \iff 0,66g=6,6 \iff g=10. Donc, le prix de la visite de la grotte doit être fixé à 10 €.

5.On choisit au hasard 100 clients, en assimilant ce choix à un tirage avec remise. Quelle est la probabilité qu'au moins les trois quarts de ces clients aient visité la grotte ? On donnera le résultat à 10^{-3} près.

Le nombre de clients étant suffisamment grand pour assimiler ce tirage à un tirage avec remise, chaque client visite la grotte de façon indépendante avec la probabilité p(G)=0,66. La variable aléatoire X comptant le nombre de clients visitant la grotte parmi 100 suit donc la loi binomiale \mathcal{B}(100~;~0,66).
Les trois quarts de 100 valent 75, donc on cherche P(X\geqslant75) = 1-P(X\leqslant74).
À la calculatrice, P(X\leqslant74)\approx0,966, donc P(X\geqslant75) \approx 1-0,966 = 0,034. Donc, la probabilité qu'au moins les trois quarts des clients visitent la grotte vaut environ 0,034.

PartieA ; 1. On considère la fonction f définie sur [1~;~+\infty[ par f(x)=\dfrac{\ln x}{x}. Donner la limite de f en +\infty.

Par croissances comparées, \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0. Donc, \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0 ; l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe de f en +\infty.

PartieA ; 2.a On admet que f est dérivable sur [1~;~+\infty[. Montrer que, pour tout x\geqslant1, f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}.

En écrivant f=\dfrac{u}{v} avec u(x)=\ln x et v(x)=x, on a u'(x)=\dfrac1x et v'(x)=1. Donc f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2} = \dfrac{\frac1x\times x-\ln x\times1}{x^2} = \dfrac{1-\ln x}{x^2}.

PartieA ; 2.b Justifier le tableau de signes de f'(x), sachant qu'il s'annule en x=\text{e}.

Pour tout x\geqslant1, x^2>0, donc f'(x) est du signe de 1-\ln x.
Or 1-\ln x>0 \iff \ln x<1 \iff x<\text{e} (la fonction \ln étant strictement croissante). De même, {1-\ln x<0 \iff x>\text{e}}, et 1-\ln x=0 \iff x=\text{e}.
Donc, f'(x)>0 sur [1~;~\text{e}[, f'(\text{e})=0, et f'(x)<0 sur ]\text{e}~;~+\infty[.

PartieA ; 2.c Dresser le tableau de variations complet de f sur [1~;~+\infty[.

D'après le signe de f', f est strictement croissante sur [1~;~\text{e}] puis strictement décroissante sur [\text{e}~;~+\infty[.
On calcule \begin{aligned}f(1) &= \dfrac{\ln1}{1} \\ &= 0\end{aligned} \begin{aligned}f(\text{e}) &= \dfrac{\ln\text{e}}{\text{e}} \\ &= \dfrac1{\text{e}}\end{aligned} et \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0 (question 1).
Le maximum de f sur [1~;~+\infty[ vaut donc \dfrac1{\text{e}}, atteint en x=\text{e}.

PartieA ; 3.a Soit k un réel positif ou nul. Montrer que, si {0\leqslant k\leqslant\dfrac1{\text{e}}}, l'équation {f(x)=k} admet une unique solution sur [1~;~\text{e}].

Sur [1~;~\text{e}], f est continue (car dérivable) et strictement croissante, à valeurs entre f(1)=0 et f(\text{e})=\dfrac1{\text{e}}. Comme {0\leqslant k\leqslant\dfrac1{\text{e}}}, k appartient à cet intervalle image : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation {f(x)=k} admet une unique solution sur [1~;~\text{e}].

PartieA ; 3.b Si k>\dfrac1{\text{e}}, l'équation {f(x)=k} admet-elle des solutions sur [1~;~+\infty[ ?

D'après le tableau de variations, le maximum de f sur [1~;~+\infty[ vaut \dfrac1{\text{e}} (atteint en \text{e}) : pour tout x\geqslant1, f(x)\leqslant\dfrac1{\text{e}}. Donc, si k>\dfrac1{\text{e}}, l'équation {f(x)=k} n'admet aucune solution sur [1~;~+\infty[.

PartieB ; 1. Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x)=\text{e}^{x/4}. On considère la suite (u_n) définie par u_0=1 et, pour tout n, {u_{n+1}=g(u_n)=\text{e}^{u_n/4}}. Justifier que g est croissante sur \mathbb{R}.

La fonction g est dérivable sur \mathbb{R}, de dérivée g'(x)=\dfrac14\text{e}^{x/4}. Comme \text{e}^{x/4}>0 pour tout réel x, on a g'(x)>0 sur \mathbb{R}. Donc, g est strictement croissante sur \mathbb{R}.

PartieB ; 2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\text{e}.

Initialisation : u_0=1 et u_1=\text{e}^{\dfrac{1}{4}}\approx1,28. On a bien u_0\leqslant u_1\leqslant\text{e} (car \text{e}\approx2,72). La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : on suppose que, pour un entier n donné, u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\text{e}. Comme g est croissante sur \mathbb{R}, on peut appliquer g aux trois membres : {g(u_n)\leqslant g(u_{n+1})\leqslant g(\text{e})}, c'est-à-dire u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant\text{e}^{\text{e}/4}.
Or \text{e}^{\text{e}/4}\approx\text{e}^{0,68}\approx1,97\leqslant\text{e}, donc {u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant\text{e}} : la propriété est vraie au rang n+1.
Donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\text{e}.

PartieB ; 3. En déduire que la suite (u_n) est convergente.

D'après la question précédente, la suite (u_n) est croissante (car u_n\leqslant u_{n+1} pour tout n) et majorée par \text{e}. Donc, d'après le théorème de convergence monotone, la suite (u_n) converge vers une limite finie \ell\leqslant\text{e}.

PartieB ; 4. On admet que \ell est solution de l'équation \text{e}^{x/4}=x. En déduire que \ell est solution de l'équation f(x)=\dfrac14, où f est la fonction étudiée en partie A.

Pour tout x>0 : \text{e}^{x/4}=x \iff \dfrac{x}{4}=\ln x (en composant par la fonction \ln, strictement croissante, des deux côtés d'une égalité entre réels strictement positifs). Or \begin{aligned}\dfrac{x}{4} = \ln x &\iff \dfrac14 = \dfrac{\ln x}{x} \\ &\iff \dfrac14 = f(x)\end{aligned} Donc, \ell vérifiant \text{e}^{\ell/4}=\ell, on a bien f(\ell)=\dfrac14.

PartieB ; 5. Donner une valeur approchée à 10^{-2} près de \ell.

Comme \text{e}<4, on a \dfrac14<\dfrac1{\text{e}}, donc {0\leqslant\dfrac14\leqslant\dfrac1{\text{e}}} : d'après la question 3.a de la partie A, l'équation f(x)=\dfrac14 admet une unique solution sur [1~;~\text{e}], qui est donc \ell.
À la calculatrice, on encadre successivement : f(1,4)\approx0,240 et f(1,5)\approx0,270, donc 1,4<\ell<1,5.
Puis f(1,42)\approx0,247 et f(1,43)\approx0,251, donc 1,42<\ell<1,43.
Donc, \ell\approx1,43 à 10^{-2} près.

1.aDans l'espace muni d'un repère orthonormé \left(\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right), on considère les points A(-1~;~-1~;~3), B(1~;~1~;~2), C(1~;~-1~;~7), et la droite \Delta passant par D(-1~;~6~;~8) et E(11~;~-9~;~2). Vérifier que \Delta admet pour représentation paramétrique \begin{cases}x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\end{cases}, t\in\mathbb{R}.

On calcule \overrightarrow{\text{DE}}\begin{pmatrix}11-(-1) \\ -9-6 \\ 2-8\end{pmatrix} = \overrightarrow{\text{DE}}\begin{pmatrix}12 \\ -15 \\ -6\end{pmatrix}, colinéaire au vecteur \vec{u}\begin{pmatrix}4 \\ -5 \\ -2\end{pmatrix} (en divisant par 3). Un point M(x~;~y~;~z) appartient à \Delta si, et seulement si, \overrightarrow{\text{DM}} est colinéaire à \vec{u}, c'est-à-dire s'il existe t\in\mathbb{R} tel que \begin{cases}x+1=4t\\y-6=-5t\\z-8=-2t\end{cases}, soit \begin{cases}x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\end{cases}. On retrouve bien la représentation paramétrique annoncée.

1.bPréciser une représentation paramétrique de la droite \Delta' parallèle à \Delta et passant par l'origine O du repère.

La droite \Delta' admet le même vecteur directeur \vec{u}\begin{pmatrix}4 \\ -5 \\ -2\end{pmatrix} que \Delta, et passe par O(0~;~0~;~0). Une représentation paramétrique de \Delta' est donc \begin{cases}x=4t\\y=-5t\\z=-2t\end{cases}, t\in\mathbb{R}.

1.cLe point F(1,36~;~-1,7~;~-0,7) appartient-il à la droite \Delta' ?

F appartient à \Delta' si, et seulement si, il existe t\in\mathbb{R} tel que \begin{cases}1,36=4t\\-1,7=-5t\\-0,7=-2t\end{cases}. La première équation donne t=0,34, la deuxième donne t=0,34 également, mais la troisième donne t=0,35. Comme ces trois valeurs de t ne sont pas toutes égales, il n'existe pas de valeur commune : donc, F n'appartient pas à la droite \Delta'.

2.aMontrer que les points A, B et C définissent un plan.

On calcule \overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix} et \overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 4\end{pmatrix}. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires (il n'existe pas de réel k tel que 2=2k, 2=0k et -1=4k simultanément, car la deuxième égalité imposerait k=0, incompatible avec la première). Donc, A, B et C ne sont pas alignés et définissent un plan.

2.bMontrer que la droite \Delta est perpendiculaire au plan (ABC).

On calcule \begin{aligned}\vec{u}\cdot\overrightarrow{\text{AB}} &= 4\times2+(-5)\times2+(-2)\times(-1) \\ &= 8-10+2 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\vec{u}\cdot\overrightarrow{\text{AC}} &= 4\times2+(-5)\times0+(-2)\times4 \\ &= 8+0-8 \\ &= 0\end{aligned} Le vecteur directeur \vec{u} de \Delta est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : il est normal à ce plan, donc la droite \Delta est perpendiculaire au plan (ABC).

2.cMontrer qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est 4x-5y-2z+5=0.

Le vecteur \vec{u}\begin{pmatrix}4 \\ -5 \\ -2\end{pmatrix} est normal au plan (ABC) (question précédente), donc une équation cartésienne de ce plan est de la forme 4x-5y-2z+d=0. Comme A(-1~;~-1~;~3) appartient à (ABC) : \begin{aligned}4\times(-1)-5\times(-1)-2\times3+d = 0 &\iff -4+5-6+d = 0 \\ &\iff d = 5 \end{aligned} Donc, une équation cartésienne de (ABC) est 4x-5y-2z+5=0.

3.aMontrer que le point G(7~;~-4~;~4) appartient à la droite \Delta.

G appartient à \Delta si, et seulement si, il existe t\in\mathbb{R} tel que \begin{cases}7=-1+4t\\-4=6-5t\\4=8-2t\end{cases}, c'est-à-dire \begin{cases}4t=8\\-5t=-10\\-2t=-4\end{cases}, ce qui donne t=2 dans chacune des trois équations. Cette valeur commune existe bien, donc G appartient à la droite \Delta.

3.bDéterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal de G sur le plan (ABC).

H est l'unique point d'intersection de \Delta et de (ABC), puisque \Delta est perpendiculaire à (ABC) et passe par G. On substitue les coordonnées paramétriques de \Delta dans l'équation de (ABC) : 4(-1+4t)-5(6-5t)-2(8-2t)+5=0.
En développant : \begin{aligned}-4+16t-30+25t-16+4t+5 = 0 &\iff 45t-45 = 0 \\ &\iff t = 1 \end{aligned}
En remplaçant dans la représentation paramétrique : \begin{aligned}x &= -1+4 \\ &= 3\end{aligned} \begin{aligned}y &= 6-5 \\ &= 1\end{aligned} \begin{aligned}z &= 8-2 \\ &= 6\end{aligned}
Donc, H a pour coordonnées (3~;~1~;~6).

3.cEn déduire que la distance du point G au plan (ABC) est égale à 3\sqrt5.

La distance de G au plan (ABC) est égale à la longueur GH, puisque H est le projeté orthogonal de G sur ce plan. Avec G(7~;~-4~;~4) et H(3~;~1~;~6) : \begin{aligned}GH^2 &= (3-7)^2+(1-(-4))^2+(6-4)^2 \\ &= 16+25+4 \\ &= 45\end{aligned} Donc \begin{aligned}GH &= \sqrt{45} \\ &= \sqrt{9\times5} \\ &= 3\sqrt5\end{aligned} Donc, la distance de G au plan (ABC) vaut 3\sqrt5.

4.aMontrer que le triangle ABC est rectangle en A.

D'après la question 2.a, \begin{aligned}\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{AC}} &= 2\times2+2\times0+(-1)\times4 \\ &= 4+0-4 \\ &= 0\end{aligned} Les vecteurs \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{AC}} sont donc orthogonaux, ce qui signifie que les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires. Donc, le triangle ABC est rectangle en A.

4.bCalculer le volume V du tétraèdre ABCG. (Rappel : V=\dfrac13\times\mathcal{B}\times h, où \mathcal{B} est l'aire d'une base et h la hauteur associée.)

En prenant le triangle ABC comme base, la hauteur associée est la distance de G au plan (ABC), c'est-à-dire GH =3\sqrt5 (question 3.c).
Le triangle ABC étant rectangle en A, son aire vaut \mathcal{B}=\dfrac12\times AB\times AC. On calcule \begin{aligned}AB^2 &= 2^2+2^2+(-1)^2 \\ &= 4+4+1 \\ &= 9\end{aligned} donc AB=3 ; et \begin{aligned}AC^2 &= 2^2+0^2+4^2 \\ &= 4+16 \\ &= 20\end{aligned} donc \begin{aligned}AC &= \sqrt{20} \\ &= 2\sqrt5\end{aligned}
Donc \begin{aligned}\mathcal{B} &= \dfrac12\times3\times2\sqrt5 \\ &= 3\sqrt5\end{aligned}
Le volume vaut alors \begin{aligned}V &= \dfrac13\times\mathcal{B}\times GH \\ &= \dfrac13\times3\sqrt5\times3\sqrt5 \\ &= \dfrac13\times9\times5 \\ &= 15\end{aligned} Donc, le volume du tétraèdre ABCG vaut 15 unités de volume.