Bac Terminale Spé Maths : Métropole 2022 (remplacement), Sujet 2

1.Dans le magasin d'Hugo, les clients peuvent louer un vélo de route ou un vélo tout terrain, chacun disponible en version électrique ou non. On admet que : si le client loue un vélo de route, la probabilité que ce soit un vélo électrique est 0,4 ; si le client loue un vélo tout terrain, cette probabilité est 0,7 ; la probabilité que le client loue un vélo électrique est 0,58. On note \alpha la probabilité que le client loue un vélo de route, R l'évènement « le client loue un vélo de route » et E l'évènement « le client loue un vélo électrique ». Recopier et compléter l'arbre pondéré associé.

L'arbre part de la racine avec les branches R (probabilité \alpha) et \overline{R} (probabilité 1-\alpha) ; sous R, les branches E (probabilité 0,4, donnée par l'énoncé) et \overline{E} (probabilité 1-0,4=0,6) ; sous \overline{R}, les branches E (probabilité 0,7, donnée par l'énoncé) et \overline{E} (probabilité {1-0,7=0,3}).

2.aMontrer que p(E) = 0,7-0,3\alpha.

D'après la formule des probabilités totales appliquée à E (avec le système complet R,\overline{R}) : p(E) = p(R\cap E)+p\left(\overline{R}\cap E\right) = \alpha\times0,4+(1-\alpha)\times0,7 = 0,4\alpha+0,7-0,7\alpha = 0,7-0,3\alpha.

2.bEn déduire que \alpha=0,4.

On sait que p(E)=0,58. Or {p(E)=0,7-0,3\alpha} (question précédente), donc 0,7-0,3\alpha=0,58 \iff 0,3\alpha=0,7-0,58=0,12 \iff \alpha=\dfrac{0,12}{0,3}=0,4. Donc, \alpha=0,4.

3.On sait que le client a loué un vélo électrique. Déterminer la probabilité qu'il ait loué un vélo tout terrain. On donnera le résultat arrondi au centième.

On cherche p_E\left(\overline{R}\right) = \dfrac{p\left(\overline{R}\cap E\right)}{p(E)} = \dfrac{(1-0,4)\times0,7}{0,58} = \dfrac{0,6\times0,7}{0,58} = \dfrac{0,42}{0,58} \approx 0,72. Donc, la probabilité qu'il ait loué un vélo tout terrain, sachant qu'il a loué un vélo électrique, vaut environ 0,72.

4.Quelle est la probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique ?

On cherche p\left(\overline{R}\cap E\right) = p\left(\overline{R}\right)\times p_{\overline{R}}(E) = (1-0,4)\times0,7 = 0,6\times0,7 = 0,42. Donc, la probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique vaut 0,42.

5.aUn vélo de route non électrique coûte 25 €, un vélo tout terrain non électrique 35 €. La version électrique ajoute 15 € au prix de chaque type. On note X la variable aléatoire modélisant le prix de location. Donner la loi de probabilité de X sous forme d'un tableau.

Il y a quatre issues possibles. Vélo de route non électrique (R\cap\overline{E}) : prix 25 €, probabilité \alpha\times0,6=0,4\times0,6=0,24. Vélo de route électrique (R\cap E) : prix 25+15=40 €, probabilité {0,4\times0,4=0,16}.
Vélo tout terrain non électrique (\overline{R}\cap\overline{E}) : prix 35 €, probabilité 0,6\times0,3=0,18. Vélo tout terrain électrique (\overline{R}\cap E) : prix 35+15=50 €, probabilité {0,6\times0,7=0,42}.
On obtient le tableau : x_i : 25, 35, 40, 50 ; p(X=x_i) : 0,24 ; 0,18 ; 0,16 ; 0,42.

5.bCalculer l'espérance mathématique de X et interpréter ce résultat.

D'après le tableau précédent : E(X) = 25\times0,24+35\times0,18+40\times0,16+50\times0,42 = 6+6,3+6,4+21 = 39,7. Donc, le prix moyen de location d'un vélo est de 39,70 €.

6.aOn choisit 30 clients d'Hugo au hasard, en assimilant ce choix à un tirage avec remise. On note Y le nombre de clients, parmi ces 30, qui louent un vélo électrique. Justifier que Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Choisir 30 clients indépendamment, chacun louant ou non un vélo électrique avec la même probabilité p(E)=0,58 (tirage assimilé à un tirage avec remise), constitue la répétition de 30 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Y compte le nombre de succès (« loue un vélo électrique ») : Y suit donc la loi binomiale de paramètres n=30 et p=0,58, notée Y\sim\mathcal{B}(30~;~0,58).

6.bDéterminer la probabilité qu'un échantillon contienne exactement 20 clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.

P(Y=20) = \dbinom{30}{20}\times0,58^{20}\times0,42^{10} \approx 0,095 (à la calculatrice). Donc, la probabilité que 20 clients exactement louent un vélo électrique vaut environ 0,095.

6.cDéterminer la probabilité qu'un échantillon contienne au moins 15 clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.

On cherche P(Y\geqslant15) = 1-P(Y\leqslant14). À la calculatrice, P(Y\leqslant14)\approx0,142, donc P(Y\geqslant15) \approx 1-0,142 = 0,858. Donc, la probabilité qu'au moins 15 clients sur 30 louent un vélo électrique vaut environ 0,858.

1.On considère les suites (a_n) et (b_n) définies par a_0=1 et, pour tout entier naturel n, a_{n+1}=0,5a_n+1 et b_n=a_n-2. On peut affirmer que : a. (a_n) est arithmétique ; b. (b_n) est géométrique ; c. (a_n) est géométrique ; d. (b_n) est arithmétique.

Pour tout entier naturel n, b_n=a_n-2 donc a_n=b_n+2. Ainsi b_{n+1} = a_{n+1}-2 = 0,5a_n+1-2 = 0,5\left(b_n+2\right)-1 = 0,5b_n+1-1 = 0,5b_n. Donc (b_n) est géométrique de raison 0,5. Réponse b.

2.Pour les questions 2 et 3, on considère les suites (u_n) et (v_n) définies par u_0=2, v_0=1 et, pour tout entier naturel n, {u_{n+1}=u_n+3v_n} et v_{n+1}=u_n+v_n. On peut affirmer que : a. u_2=5 et v_2=3 ; b. u_2^2-3v_2^2=-2^2 ; c. \dfrac{u_2}{v_2}=1,75 ; d. 5u_1=3v_1.

On calcule successivement : \begin{aligned}u_1 &= u_0+3v_0 \\ &= 2+3\times1 \\ &= 5\end{aligned} et \begin{aligned}v_1 &= u_0+v_0 \\ &= 2+1 \\ &= 3\end{aligned}
Puis \begin{aligned}u_2 &= u_1+3v_1 \\ &= 5+3\times3 \\ &= 14\end{aligned} et \begin{aligned}v_2 &= u_1+v_1 \\ &= 5+3 \\ &= 8\end{aligned}
On a donc \dfrac{u_2}{v_2}=\dfrac{14}{8}=1,75. Réponse c.

3.On considère le programme Python suivant : def valeurs(): puis u = 2, v = 1, for k in range(1, 11):, c = u, u = u + 3*v, v = c + v, return (u, v). Ce programme renvoie : a. u_{11} et v_{11} ; b. u_{10} et v_{11} ; c. les valeurs de u_n et v_n pour n allant de 1 à 10 ; d. u_{10} et v_{10}.

La boucle for k in range(1, 11) s'exécute pour k allant de 1 à 10 inclus, soit 10 itérations. À chaque itération, les variables u et v sont mises à jour simultanément selon les relations {u_{n+1}=u_n+3v_n} et v_{n+1}=u_n+v_n (la variable c sert à conserver l'ancienne valeur de u pour le calcul de v). Partant de u_0=2 et v_0=1, après 10 itérations, le programme renvoie donc u_{10} et v_{10} (et non les valeurs intermédiaires). Réponse d.

4.Pour les questions 4 et 5, on considère une fonction f deux fois dérivable sur [-4~;~2], de dérivée f' et de dérivée seconde f''. On donne la représentation graphique de f', ainsi que les points A(-2~;~0), B(1~;~0) et C(0~;~5) : la courbe de f' est croissante sur [-4~;~0] (passant par A en x=-2) puis décroissante sur [0~;~2] (passant par B en x=1), avec un maximum en x=0 où elle vaut 5 (point C). La fonction f est : a. concave sur [-2~;~1] ; b. convexe sur [-4~;~0] ; c. convexe sur [-2~;~1] ; d. convexe sur [0~;~2].

f est convexe sur un intervalle exactement lorsque sa dérivée f' y est croissante. D'après la représentation graphique, f' est croissante sur [-4~;~0] (de son minimum jusqu'à son maximum en x=0). Donc f est convexe sur [-4~;~0]. Réponse b.

5.On admet que la droite (BC) est tangente à la courbe de f' au point B. On a : a. f'(1)<0 ; b. f'(1)=5 ; c. f''(1)>0 ; d. f''(1)=-5.

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f' au point B est égal à f''(1) (dérivée de f' en ce point). La droite (BC) passe par B(1~;~0) et C(0~;~5), donc son coefficient directeur vaut \dfrac{0-5}{1-0}=-5. Donc f''(1)=-5. Réponse d.

6.Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = \left(x^2+1\right)\text{e}^x. La primitive F de f sur \mathbb{R} vérifiant F(0)=1 est définie par : a. {F(x)=\left(x^2-2x+3\right)\text{e}^x} ; b. {F(x)=\left(x^2-2x+3\right)\text{e}^x-2} ; c. {F(x)=\left(\dfrac13x^3+x\right)\text{e}^x+1} ; d. F(x)=\left(\dfrac13x^3+x\right)\text{e}^x.

On remarque que pour les réponses a. et d., F(0) vaudrait respectivement 3 et 0, ce qui exclut ces deux réponses (car on veut F(0)=1). Il reste à tester b. et c.
Testons la réponse b. : si {F(x)=\left(x^2-2x+3\right)\text{e}^x-2}, alors, en dérivant un produit, F'(x) = (2x-2)\text{e}^x+\left(x^2-2x+3\right)\text{e}^x = \left(2x-2+x^2-2x+3\right)\text{e}^x = \left(x^2+1\right)\text{e}^x = f(x).
De plus, {F(0)=\left(0-0+3\right)\text{e}^0-2=3-2=1}, ce qui correspond bien à la condition demandée. Réponse b.

PartieA ; 1. On considère la fonction f définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x)=x-x\ln x. Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers 0.

On sait, par croissances comparées, que \lim\limits_{x\to0,~x>0}x\ln x=0. Donc, \begin{aligned}\lim\limits_{x\to0,~x>0}f(x) &= \lim\limits_{x\to0,~x>0}\left(x-x\ln x\right) \\ &= 0-0 \\ &= 0\end{aligned}.

PartieA ; 2. Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers +\infty.

On écrit f(x)=x(1-\ln x). Or \lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty, donc {\lim\limits_{x\to+\infty}(1-\ln x)=-\infty}. Par produit des limites ({\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty} et {\lim\limits_{x\to+\infty}(1-\ln x)=-\infty}), on obtient \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.

PartieA ; 3.a On admet que f est dérivable sur ]0~;~+\infty[. Démontrer que, pour tout {x>0}, f'(x)=-\ln x.

En écrivant f(x)=x-x\ln x, on dérive le second terme comme un produit u(x)v(x) avec u(x)=x et v(x)=\ln x : u'(x)=1 et v'(x)=\dfrac1x. Donc f'(x) = 1-\left(u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\right) = 1-\left(1\times\ln x+x\times\dfrac1x\right) = 1-\ln x-1 = -\ln x.

PartieA ; 3.b En déduire les variations de f sur ]0~;~+\infty[ et dresser son tableau de variations.

Le signe de f'(x)=-\ln x est l'opposé de celui de \ln x. Or {\ln x<0 \iff 0<x<1}, \begin{aligned}\ln x = 0 &\iff x = 1 \end{aligned} et \ln x>0 \iff x>1. Donc f'(x)>0 sur ]0~;~1[, f'(1)=0, et f'(x)<0 sur ]1~;~+\infty[.
Donc f est strictement croissante sur ]0~;~1], puis strictement décroissante sur [1~;~+\infty[.
On calcule \begin{aligned}f(1) &= 1-1\times\ln1 \\ &= 1-0 \\ &= 1\end{aligned} Avec les limites en 0 (question 1) et en +\infty (question 2), on obtient le tableau de variations : f part de 0 en 0^+, croît jusqu'au maximum f(1)=1, puis décroît vers -\infty.

PartieA ; 4. Résoudre l'équation f(x)=x sur ]0~;~+\infty[.

Pour {x>0} : \begin{aligned}f(x) = x &\iff x-x\ln x = x \\ &\iff -x\ln x = 0 \end{aligned} Comme {x>0}, cette équation équivaut à \ln x=0, c'est-à-dire x=1. Donc, l'équation f(x)=x admet l'unique solution x=1 sur ]0~;~+\infty[.

PartieB ; 1. On considère la suite (u_n) définie par u_0=0,5 et, pour tout entier naturel n, \begin{aligned}u_{n+1} &= u_n-u_n\ln u_n \\ &= f(u_n)\end{aligned} On admet que f est croissante sur [0,5~;~1]. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {0,5\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant1}.

Initialisation : u_0=0,5 et u_1=f(0,5)=0,5-0,5\ln(0,5)\approx0,5+0,347=0,847. On a bien 0,5\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant1. La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : on suppose que, pour un entier n donné, {0,5\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant1}. Comme f est croissante sur [0,5~;~1], on peut appliquer f aux trois membres : {f(0,5)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(1)}, c'est-à-dire {f(0,5)\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant f(1)}.
Or f(0,5)\approx0,847\geqslant0,5 et f(1)=1 (d'après la partie A, question 4, car f(1)=1 exactement). Donc {0,5\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant1} : la propriété est vraie au rang n+1.
Donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {0,5\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant1}.

PartieB ; 2.a Montrer que la suite (u_n) est convergente.

D'après la question précédente, la suite (u_n) est croissante (car u_n\leqslant u_{n+1} pour tout n) et majorée par 1. Donc, d'après le théorème de convergence monotone, la suite (u_n) converge vers une limite finie \ell.

PartieB ; 2.b On note \ell la limite de (u_n). Déterminer la valeur de \ell.

Pour tout entier naturel n, u_{n+1}=f(u_n), avec f continue (car dérivable) sur ]0~;~+\infty[. Par passage à la limite, \ell vérifie donc f(\ell)=\ell. Or, d'après la partie A (question 4), l'équation f(x)=x admet l'unique solution x=1 sur ]0~;~+\infty[. Donc, \ell=1.

PartieC ; 1. Pour un réel k quelconque, on considère f_k définie sur ]0~;~+\infty[ par f_k(x)=kx-x\ln x. Montrer que f_k admet un maximum y_k atteint en x_k=\text{e}^{k-1}.

On dérive : f_k'(x) = k-\left(1\times\ln x+x\times\dfrac1x\right) = k-\ln x-1.
On résout f_k'(x)=0 \iff \ln x=k-1 \iff x=\text{e}^{k-1} (par stricte croissance de la fonction exponentielle). De plus, f_k'(x)>0 \iff \ln x<k-1 \iff x<\text{e}^{k-1}, et f_k'(x)<0 \iff x>\text{e}^{k-1}.
Donc f_k est strictement croissante sur \left]0~;~\text{e}^{k-1}\right] puis strictement décroissante sur \left[\text{e}^{k-1}~;~+\infty\right[ : elle admet donc un maximum y_k, atteint en x_k=\text{e}^{k-1}.

PartieC ; 2. Vérifier que, pour tout réel k, x_k=y_k.

On calcule y_k=f_k\left(x_k\right) = k\,\text{e}^{k-1}-\text{e}^{k-1}\ln\left(\text{e}^{k-1}\right) = k\,\text{e}^{k-1}-\text{e}^{k-1}(k-1) = \text{e}^{k-1}\left(k-(k-1)\right) = \text{e}^{k-1}\times1 = \text{e}^{k-1} = x_k. Donc, pour tout réel k, x_k=y_k.

1.aDans l'espace muni d'un repère orthonormé \left(\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right), on considère la droite \mathcal{D} passant par A(2~;~4~;~0), de vecteur directeur \vec{u}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}, et la droite \mathcal{D}' de représentation paramétrique \begin{cases}x=3\\y=3+t\\z=3+t\end{cases}, t\in\mathbb{R}. Donner les coordonnées d'un vecteur directeur \vec{u'} de \mathcal{D}'.

En lisant les coefficients de t dans la représentation paramétrique de \mathcal{D}', un vecteur directeur de \mathcal{D}' est \vec{u'}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}.

1.bMontrer que les droites \mathcal{D} et \mathcal{D}' ne sont pas parallèles.

Les vecteurs directeurs \vec{u}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} et \vec{u'}\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} ne sont pas colinéaires : en effet, s'il existait k tel que \vec{u'}=k\vec{u}, la troisième coordonnée donnerait \begin{aligned}1 &= 0\times k \\ &= 0\end{aligned} ce qui est impossible. Donc, les droites \mathcal{D} et \mathcal{D}' ne sont pas parallèles.

1.cDéterminer une représentation paramétrique de la droite \mathcal{D}.

Un point M(x~;~y~;~z) appartient à \mathcal{D} si, et seulement si, \overrightarrow{\text{AM}} est colinéaire à \vec{u}, c'est-à-dire s'il existe t\in\mathbb{R} tel que \overrightarrow{\text{AM}}=t\vec{u}, soit \begin{cases}x-2=t\\y-4=2t\\z-0=0\end{cases}. Donc, une représentation paramétrique de \mathcal{D} est \begin{cases}x=2+t\\y=4+2t\\z=0\end{cases}, t\in\mathbb{R}.

2.On admet qu'il existe une unique droite \Delta perpendiculaire à \mathcal{D} et \mathcal{D}', coupant chacune de ces deux droites ; on note M le point d'intersection de \Delta et \mathcal{D}, et M' celui de \Delta et \mathcal{D}'. Montrer que le vecteur \vec{v}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} est un vecteur directeur de \Delta.

On calcule \begin{aligned}\vec{v}\cdot\vec{u} &= 2\times1+(-1)\times2+1\times0 \\ &= 2-2+0 \\ &= 0\end{aligned} donc \vec{v}\perp\vec{u}. On calcule aussi \begin{aligned}\vec{v}\cdot\vec{u'} &= 2\times0+(-1)\times1+1\times1 \\ &= 0-1+1 \\ &= 0\end{aligned} donc \vec{v}\perp\vec{u'}. Le vecteur \vec{v} est donc orthogonal aux vecteurs directeurs de \mathcal{D} et \mathcal{D}' : c'est un vecteur directeur de leur perpendiculaire commune \Delta.

3.aOn note \mathcal{P} le plan contenant \mathcal{D} et \Delta (passant par A, de vecteurs directeurs \vec{u} et \vec{v}). Montrer que le vecteur \vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -5\end{pmatrix} est un vecteur normal à \mathcal{P}.

On calcule \begin{aligned}\vec{n}\cdot\vec{u} &= 2\times1+(-1)\times2+(-5)\times0 \\ &= 2-2+0 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\vec{n}\cdot\vec{v} &= 2\times2+(-1)\times(-1)+(-5)\times1 \\ &= 4+1-5 \\ &= 0\end{aligned} Le vecteur \vec{n} est donc orthogonal aux deux vecteurs directeurs \vec{u} et \vec{v} du plan \mathcal{P} : il est normal à ce plan.

3.bEn déduire qu'une équation du plan \mathcal{P} est {2x-y-5z=0}.

Le plan \mathcal{P} admet \vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -5\end{pmatrix} comme vecteur normal et passe par A(2~;~4~;~0). Une équation cartésienne de \mathcal{P} est donc de la forme 2x-y-5z+d=0. Comme A appartient à \mathcal{P} : \begin{aligned}2\times2-4-5\times0+d = 0 &\iff 4-4+d = 0 \\ &\iff d = 0 \end{aligned} Donc, une équation de \mathcal{P} est {2x-y-5z=0}.

3.cJustifier que M' est le point d'intersection de \mathcal{D}' et de \mathcal{P}, et en déduire que M' a pour coordonnées (3~;~1~;~1).

Le plan \mathcal{P} contient la droite \Delta, et M' appartient à \Delta : donc M' appartient à \mathcal{P}. Comme M' appartient aussi à \mathcal{D}' par définition, M' est bien le point d'intersection de \mathcal{D}' et de \mathcal{P}.
On substitue les coordonnées paramétriques de \mathcal{D}' dans l'équation de \mathcal{P} : \begin{aligned}2\times3-(3+t)-5(3+t) = 0 &\iff 6-3-t-15-5t = 0 \\ &\iff -12-6t = 0 \\ &\iff t = -2 \end{aligned}
En remplaçant : x=3, \begin{aligned}y &= 3+(-2) \\ &= 1\end{aligned} \begin{aligned}z &= 3+(-2) \\ &= 1\end{aligned} Donc, M' a pour coordonnées (3~;~1~;~1).

4.aDéterminer une représentation paramétrique de la droite \Delta.

La droite \Delta a pour vecteur directeur \vec{v}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} et passe par M'(3~;~1~;~1). Une représentation paramétrique de \Delta est donc \begin{cases}x=3+2s\\y=1-s\\z=1+s\end{cases}, s\in\mathbb{R}.

4.bJustifier que le point M a pour coordonnées (1~;~2~;~0).

M est le point d'intersection de \mathcal{D} et de \Delta. Ses coordonnées vérifient donc simultanément \begin{cases}x=2+t\\y=4+2t\\z=0\end{cases} et \begin{cases}x=3+2s\\y=1-s\\z=1+s\end{cases}.
De la troisième équation de \Delta : \begin{aligned}z = 1+s = 0 &\iff s = -1 \end{aligned} En remplaçant : \begin{aligned}x &= 3+2\times(-1) \\ &= 1\end{aligned} et \begin{aligned}y &= 1-(-1) \\ &= 2\end{aligned}
On vérifie la cohérence avec les équations de \mathcal{D} : \begin{aligned}x = 2+t = 1 &\iff t = -1 \end{aligned} et \begin{aligned}y &= 4+2\times(-1) \\ &= 2\end{aligned} ce qui correspond bien. Donc, M a pour coordonnées (1~;~2~;~0).

4.cCalculer la distance MM'.

Avec M(1~;~2~;~0) et M'(3~;~1~;~1) : MM'^2 = (3-1)^2+(1-2)^2+(1-0)^2 = 4+1+1 = 6. Donc, MM' = \sqrt6.

5.aOn considère la droite d de représentation paramétrique \begin{cases}x=5t\\y=2+5t\\z=1+t\end{cases}, t\in\mathbb{R}. Montrer que d est parallèle au plan \mathcal{P}.

On cherche l'intersection éventuelle de d et de \mathcal{P} en substituant les coordonnées paramétriques de d dans l'équation {2x-y-5z=0} : \begin{aligned}2\times5t-(2+5t)-5(1+t) = 0 &\iff 10t-2-5t-5-5t = 0 \\ &\iff 0\times t = 7 \end{aligned} Cette égalité est impossible (0 ne peut pas être égal à 7) : le système n'a donc pas de solution, ce qui signifie que d et \mathcal{P} n'ont aucun point commun. Donc, la droite d est strictement parallèle au plan \mathcal{P}.

5.bOn note \ell la distance d'un point N de d au plan \mathcal{P}. Exprimer le volume du tétraèdre ANMM' en fonction de \ell. (Rappel : {V=\dfrac13\times\mathcal{B}\times h}.)

Les points A, M et M' appartiennent tous au plan \mathcal{P} (A et M appartiennent à {\mathcal{D}\subset\mathcal{P}}, et M' appartient à \mathcal{P} d'après la question 3.c) : le triangle AMM' est donc une base possible du tétraèdre ANMM', et la hauteur associée est la distance de N à ce plan, c'est-à-dire \ell.
Comme \Delta est perpendiculaire à \mathcal{D} et que M est le point d'intersection de \mathcal{D} et \Delta, le triangle AMM' est rectangle en M. On calcule \begin{aligned}AM^2 &= (1-2)^2+(2-4)^2+(0-0)^2 \\ &= 1+4+0 \\ &= 5\end{aligned} donc AM=\sqrt5.
L'aire de la base AMM' vaut donc \mathcal{B} = \dfrac12\times AM\times MM' = \dfrac12\times\sqrt5\times\sqrt6 = \dfrac{\sqrt{30}}{2}.
Le volume du tétraèdre vaut donc \begin{aligned}V &= \dfrac13\times\dfrac{\sqrt{30}}{2}\times\ell \\ &= \dfrac{\ell\sqrt{30}}{6}\end{aligned}

5.cJustifier que, si N_1 et N_2 sont deux points quelconques de d, les tétraèdres AN_1MM' et AN_2MM' ont le même volume.

La droite d étant strictement parallèle au plan \mathcal{P} (question 5.a), tous ses points sont à la même distance \ell de \mathcal{P} : en particulier, N_1 et N_2 sont à la même distance \ell de \mathcal{P}. Or, d'après la question précédente, les tétraèdres AN_1MM' et AN_2MM' ont la même base AMM' (incluse dans \mathcal{P}) et la même hauteur \ell. Donc, ils ont le même volume \dfrac{\ell\sqrt{30}}{6}.