Bac Terminale Spé Maths : Polynésie française 2022 (remplacement)
Session de remplacement 2022 : Polynésie française · Spécialité mathématiques, 4 exercices, 4 heures.
Exercice 1 7 points
Unquart des angines nécessite la prise d'antibiotiques, les trois quarts restants non. Un test de diagnostic donne un résultat positif dans 90 % des cas lorsque l'angine nécessite des antibiotiques, et un résultat négatif dans 95 % des cas lorsqu'elle n'en nécessite pas. On choisit au hasard un patient atteint d'angine ayant subi ce test, et on note A l'évènement « le patient est atteint d'une angine nécessitant la prise d'antibiotiques » et T l'évènement « le test est positif ». 1. Calculer P(A\cap T).
On construit un arbre pondéré à deux niveaux. Le premier niveau distingue A, de probabilité P(A)=0{,}25, et \overline{A}, de probabilité \begin{aligned}P(\overline{A}) &= 1-0{,}25 \\ &= 0{,}75\end{aligned}
Chez les patients de A, le test est positif dans 90 % des cas, donc P_A(T)=0{,}9 et P_A(\overline{T})=0{,}1.
Chez les patients de \overline{A}, le test est négatif dans 95 % des cas, donc positif dans les 5 % restants : P_{\overline{A}}(T)=0{,}05 et P_{\overline{A}}(\overline{T})=0{,}95.
D'après la définition des probabilités conditionnelles sur une branche de l'arbre : P(A\cap T) = P(A)\times P_A(T) = 0{,}25\times0{,}9 = 0,225.
2.Démontrer que P(T) = 0{,}2625.
Les évènements A et \overline{A} forment une partition de l'univers (chaque patient est atteint, ou non, d'une angine nécessitant des antibiotiques). D'après la formule des probabilités totales : P(T) = P(A\cap T) + P(\overline{A}\cap T).
On calcule la seconde branche : \begin{aligned}P(\overline{A}\cap T) &= P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(T) \\ &= 0{,}75\times0{,}05 \\ &= 0{,}0375\end{aligned}
D'où P(T) = 0{,}225 + 0{,}0375 = 0,2625, ce qui est le résultat annoncé.
3.On choisit un patient ayant un test positif. Calculer la probabilité qu'il soit atteint d'une angine nécessitant la prise d'antibiotiques (arrondir au dix-millième).
D'après la définition de la probabilité conditionnelle : \begin{aligned}P_T(A) &= \dfrac{P(A\cap T)}{P(T)} \\ &= \dfrac{0{,}225}{0{,}2625}\end{aligned}
Donc, la réponse est P_T(A)\approx 0,8571 au dix-millième près.
4.aParmi les évènements A\cap T, \overline{A}\cap T, {A\cap\overline{T}} et \overline{A}\cap\overline{T}, déterminer ceux qui correspondent à un résultat erroné du test.
Un résultat de test est erroné lorsque le test ne détecte pas correctement le besoin réel d'antibiotiques : soit le test est positif alors que l'angine n'en nécessite pas, soit il est négatif alors que l'angine en nécessite.
Donc, la réponse est que les résultats erronés correspondent aux évènements \overline{A}\cap T (faux positif) et {A\cap\overline{T}} (faux négatif).
4.bOn définit l'évènement E : « le test fournit un résultat erroné ». Démontrer que P(E) = 0{,}0625.
D'après la question précédente, {E = \left(\overline{A}\cap T\right)\cup\left(A\cap\overline{T}\right)}, réunion de deux évènements incompatibles, donc P(E) = P\left(\overline{A}\cap T\right) + P\left(A\cap\overline{T}\right).
On a déjà calculé P\left(\overline{A}\cap T\right) = 0{,}0375. On calcule l'autre terme : \begin{aligned}P\left(A\cap\overline{T}\right) &= P(A)\times P_A(\overline{T}) \\ &= 0{,}25\times0{,}1 \\ &= 0{,}025\end{aligned}
D'où P(E) = 0{,}0375 + 0{,}025 = 0,0625, ce qui est le résultat annoncé.
5.On sélectionne, avec remise, un échantillon de n patients testés, et X compte parmi eux le nombre de tests erronés. 5.a Pour n=50, justifier que X suit une loi binomiale de paramètres n=50 et p=0{,}0625.
Le tirage avec remise assure l'indépendance des 50 tirages, chacun ayant deux issues possibles (test erroné ou non) avec la même probabilité de succès \begin{aligned}p &= P(E) \\ &= 0{,}0625\end{aligned} à chaque tirage. Donc, la réponse est que X suit la loi binomiale de paramètres n=50 et p=0{,}0625.
5.bCalculer P(X=7) (arrondir au dix-millième).
D'après la formule de la loi binomiale : P(X=7) = \dbinom{50}{7}\times0{,}0625^7\times(1-0{,}0625)^{43}.
Donc, la réponse est P(X=7)\approx 0,0232 au dix-millième près.
5.cCalculer la probabilité qu'il y ait, dans cet échantillon de 50 patients, au moins un test erroné (arrondir au dix-millième).
L'évènement contraire de « au moins un test erroné » est « aucun test erroné », c'est-à-dire X=0 : \begin{aligned}P(X\geqslant1) &= 1-P(X=0) \\ &= 1-(1-0{,}0625)^{50}\end{aligned}
Donc, la réponse est P(X\geqslant1)\approx 0,9603 au dix-millième près.
6.Déterminer la taille minimale de l'échantillon pour que la probabilité {P(X\geqslant10)} soit supérieure à 0,95.
On cherche le plus petit entier n tel que, pour X suivant la loi binomiale de paramètres n et p=0{,}0625, on ait P(X\geqslant10) > 0{,}95, c'est-à-dire {P(X\leqslant9) \leqslant 0{,}05} (évènement contraire).
À la calculatrice, par essais successifs sur n : pour n=247, {P(X\leqslant9)\approx0{,}0514>0{,}05}, la condition n'est pas encore vérifiée.
Pour n=248, \begin{aligned}P(X\leqslant9) &\approx 0{,}0498 \\ &\leqslant 0{,}05\end{aligned} donc P(X\geqslant10)\approx0{,}9502>0{,}95 : la condition est vérifiée.
Donc, la réponse est qu'il faut un échantillon d'au moins 248 patients.
Exercice 2 7 points
Soitk un réel et \left(u_n\right) la suite définie par un premier terme u_0 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=ku_n\left(1-u_n\right). Partie 1 : on prend k=1{,}9 et u_0=0{,}1. 1.a Soit f la fonction définie sur [0~;~1] par {f(x)=1{,}9x(1-x)}. Étudier les variations de f sur [0~;~1].
La fonction f est dérivable sur [0~;~1] comme produit de fonctions dérivables, de dérivée f'(x) = 1{,}9(1-x) + 1{,}9x\times(-1) = 1{,}9-1{,}9x-1{,}9x = 1{,}9(1-2x).
Comme 1{,}9>0, f'(x) est du signe de 1-2x, qui s'annule en x=\dfrac{1}{2} : f'(x)>0 sur \left[0~;~\dfrac{1}{2}\right[ et f'(x)<0 sur \left]\dfrac{1}{2}~;~1\right].
On calcule les valeurs utiles : f(0)=0, \begin{aligned}f\left(\dfrac{1}{2}\right) &= 1{,}9\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2} \\ &= 0{,}475\end{aligned} et f(1)=0.
Donc, la réponse est que f est strictement croissante sur \left[0~;~\dfrac{1}{2}\right], atteint son maximum 0{,}475 en \dfrac{1}{2}, puis est strictement décroissante sur \left[\dfrac{1}{2}~;~1\right].
1.bEn déduire que, si x\in[0~;~1], alors f(x)\in[0~;~1].
D'après le tableau de variations de la question précédente, sur [0~;~1], la fonction f atteint sa plus petite valeur 0 (aux bornes) et sa plus grande valeur 0{,}475 (en \dfrac{1}{2}) : pour tout x\in[0~;~1], f(x)\in[0~;~0{,}475].
Comme [0~;~0{,}475]\subset[0~;~1], on en déduit que, pour tout x\in[0~;~1], f(x)\in[0~;~1].
2.Le graphique fourni dans le sujet représente la courbe de f et la droite d'équation y=x, avec construction des premiers termes u_0=0{,}1, u_1\approx0{,}171, {u_2\approx0{,}269} et u_3\approx0{,}374 par la méthode des escaliers. Conjecturer le sens de variation de \left(u_n\right) et sa limite éventuelle.
D'après la construction graphique, les termes successifs semblent croître (u_0<u_1<u_2<u_3) et se rapprocher du point d'intersection de la courbe de f avec la droite y=x. Donc, la réponse est que la suite \left(u_n\right) semble croissante et semble converger vers l'abscisse de ce point d'intersection.
3.aDémontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\dfrac{1}{2}}.
Notons P_n la proposition : {0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\dfrac{1}{2}}.
Initialisation : pour n=0, u_0=0{,}1 et \begin{aligned}u_1 &= f(u_0) \\ &= 1{,}9\times0{,}1\times0{,}9 \\ &= 0{,}171\end{aligned} On a bien {0\leqslant0{,}1\leqslant0{,}171\leqslant\dfrac{1}{2}}, donc P_0 est vraie.
Hérédité : supposons que P_n soit vraie pour un entier naturel n fixé, c'est-à-dire {0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\dfrac{1}{2}}. Montrons que P_{n+1} est alors vraie.
D'après la question 1.a, f est strictement croissante sur \left[0~;~\dfrac{1}{2}\right]. En appliquant f, qui conserve l'ordre sur cet intervalle, aux trois membres de l'hypothèse de récurrence : {f(0)\leqslant f(u_n)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f\left(\dfrac{1}{2}\right)}.
Or f(0)=0, f(u_n)=u_{n+1}, {f(u_{n+1})=u_{n+2}} et \begin{aligned}f\left(\dfrac{1}{2}\right) &= 0{,}475 \\ &\leqslant \dfrac{1}{2}\end{aligned} donc {0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant\dfrac{1}{2}} : la relation est donc vraie au rang n+1, ce qui montre que P_{n+1} est vraie.
Comme P_0 est vraie, et que pour tout entier naturel n, P_n vraie entraîne P_{n+1} vraie, on peut conclure, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel n, {0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\dfrac{1}{2}}.
3.bEn déduire que la suite \left(u_n\right) converge.
D'après la question précédente, pour tout entier naturel n, u_n\leqslant u_{n+1}, donc la suite \left(u_n\right) est croissante ; et u_n\leqslant\dfrac{1}{2}, donc elle est majorée par \dfrac{1}{2}. Donc, la réponse est que, d'après le théorème de la limite monotone, la suite \left(u_n\right) converge.
3.cDéterminer la limite de la suite \left(u_n\right).
Comme u_{n+1}=f(u_n) pour tout entier naturel n, et que f est continue sur [0~;~1] comme fonction polynomiale, la limite \ell de la suite \left(u_n\right) vérifie l'égalité f(\ell)=\ell.
On résout cette équation : 1{,}9\ell(1-\ell) = \ell \iff \ell\left(1{,}9(1-\ell)-1\right)=0 \iff \ell\left(0{,}9-1{,}9\ell\right)=0 \iff \ell=0 \text{ ou } \ell=\dfrac{0{,}9}{1{,}9}=\dfrac{9}{19}.
Comme la suite \left(u_n\right) est croissante (question 3.b) et que u_0=0{,}1>0, sa limite vérifie \begin{aligned}\ell &\geqslant u_0 \\ &= 0{,}1\end{aligned} La solution \ell=0 est donc à exclure.
Donc, la réponse est que la suite \left(u_n\right) converge vers \dfrac{9}{19} (soit environ 0{,}474).
Partie2 : on prend maintenant k=\dfrac{1}{2} et u_0=\dfrac{1}{4}, si bien que u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n(1-u_n) pour tout entier naturel n. On admet que, pour tout entier naturel n, {0\leqslant u_n\leqslant\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}. 1. Démontrer que la suite \left(u_n\right) converge et déterminer sa limite.
Comme {0<\dfrac{1}{2}<1}, la suite géométrique de terme général \left(\dfrac{1}{2}\right)^n converge vers 0.
Pour tout entier naturel n, on a l'encadrement {0\leqslant u_n\leqslant\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}, avec les deux suites encadrantes (la suite nulle et la suite géométrique) qui convergent vers la même limite 0.
Donc, la réponse est que, d'après le théorème des gendarmes, la suite \left(u_n\right) converge vers 0.
2.On considère la fonction Python algo(p), où p désigne un entier naturel non nul, ci-dessous. Expliquer pourquoi la boucle while ne tourne pas indéfiniment, ce qui permet à algo(p) de renvoyer une valeur.
- def algo(p):
- u = 1/4
- n = 0
- while u > 10(-p):
- u = 1/2 * u * (1 - u)
- n = n + 1
- return n
2.(suite) Justifier l'arrêt de la boucle.
La boucle while s'arrête dès que la variable u, qui contient les termes successifs u_n de la suite, devient inférieure ou égale à 10^{-p} : elle s'arrête donc à la première valeur de n telle que u_n\leqslant10^{-p}.
D'après la question précédente, \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0. Comme 10^{-p}>0 (car p est un entier naturel non nul), il existe, par définition de la limite, un rang n_0 à partir duquel u_n\leqslant10^{-p} pour tout {n\geqslant n_0}.
Donc, la réponse est que la boucle while finit nécessairement par rencontrer une valeur de n vérifiant u_n\leqslant10^{-p}, et s'arrête donc bien : elle ne tourne pas indéfiniment, ce qui permet à algo(p) de renvoyer une valeur.
Exercice 3 7 points
Partie1 : soit g la fonction définie sur ]0~;~+\infty[ par g(x) = \dfrac{2\ln(x)}{x}. 1. Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, g'(x) = \dfrac{2-2\ln(x)}{x^2}.
La fonction g est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas, de la forme \dfrac{u(x)}{v(x)} avec u(x)=2\ln(x) et v(x)=x, de dérivées u'(x)=\dfrac{2}{x} et v'(x)=1.
D'après la formule de dérivation d'un quotient, g'(x) = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2} = \dfrac{\dfrac{2}{x}\times x - 2\ln(x)\times1}{x^2} = \dfrac{2-2\ln(x)}{x^2}.
Donc, la réponse est bien g'(x) = \dfrac{2-2\ln(x)}{x^2}.
2.aLe sujet fournit un tableau de variations de g sur ]0~;~+\infty[, faisant apparaître la valeur \dfrac{2}{\text{e}} atteinte en x=\text{e}. Justifier cette valeur.
La valeur affichée dans le tableau en x=\text{e} est l'image de \text{e} par g : {g(\text{e}) = \dfrac{2\ln(\text{e})}{\text{e}} = \dfrac{2\times1}{\text{e}} =} \dfrac{2}{\text{e}} (car \ln(\text{e})=1).
2.bJustifier les variations de g affichées dans ce tableau.
D'après la question 1, g'(x) = \dfrac{2-2\ln(x)}{x^2}. Comme x^2>0 pour tout x de ]0~;~+\infty[, le signe de g'(x) est celui de 2-2\ln(x) = 2\left(1-\ln(x)\right).
Sur ]0~;~\text{e}[, on a \ln(x)<\ln(\text{e})=1 donc 1-\ln(x)>0, donc g'(x)>0 : la fonction g y est strictement croissante.
Sur ]\text{e}~;~+\infty[, on a \ln(x)>1 donc {1-\ln(x)<0}, donc g'(x)<0 : la fonction g y est strictement décroissante.
Donc, la réponse est que g est bien strictement croissante sur ]0~;~\text{e}] puis strictement décroissante sur [\text{e}~;~+\infty[, conformément au tableau.
2.cJustifier les limites de g aux bornes de son ensemble de définition.
En 0 : \displaystyle\lim_{x\to0^+}2\ln(x) = -\infty et {\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x} = +\infty}. Par produit de limites (une limite négative infinie par une limite positive infinie), \begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x) &= \displaystyle\lim_{x\to0^+}2\ln(x)\times\dfrac{1}{x} \\ &= -\infty\end{aligned}
En +\infty : d'après un résultat de croissances comparées du cours, \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0, donc \displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x) = \displaystyle\lim_{x\to+\infty}2\times\dfrac{\ln(x)}{x} = 2\times0 = 0.
Donc, la réponse est que g tend vers -\infty en 0 et vers 0 en +\infty, conformément au tableau.
3.En déduire le tableau de signes de g sur ]0~;~+\infty[.
Comme g(x) = \dfrac{2\ln(x)}{x} avec x>0, le signe de g(x) est celui de \ln(x), qui s'annule en x=1, où \ln(1)=0.
Sur ]0~;~1[, \ln(x)<0 donc g(x)<0. Sur ]1~;~+\infty[, \ln(x)>0 donc g(x)>0. En x=1, g(1)=0.
Donc, la réponse est que g est négative sur ]0~;~1[, nulle en x=1, et positive sur ]1~;~+\infty[.
Partie2 : soit f la fonction définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x) = \left[\ln(x)\right]^2. 1. Démontrer que, sur ]0~;~+\infty[, f est une primitive de g.
La fonction f est de la forme \left[u(x)\right]^2 avec u(x)=\ln(x), dérivable sur ]0~;~+\infty[, de dérivée u'(x)=\dfrac{1}{x}.
La fonction f est donc dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme composée de fonctions dérivables, de dérivée f'(x) = 2u'(x)u(x) = 2\times\dfrac{1}{x}\times\ln(x) = \dfrac{2\ln(x)}{x} = g(x).
Donc, la réponse est que f est bien une primitive de g sur ]0~;~+\infty[, puisque f'=g sur cet intervalle.
2.aÀ l'aide de la partie 1, étudier la convexité de f.
La convexité de f se lit sur le sens de variation de sa dérivée f'=g : f est convexe là où g est croissante, et concave là où g est décroissante.
D'après la partie 1, g est strictement croissante sur ]0~;~\text{e}[, donc f y est convexe. Et g est strictement décroissante sur ]\text{e}~;~+\infty[, donc f y est concave.
Comme g=f' change de sens de variation en x=\text{e}, la courbe représentative de f admet un point d'inflexion en x=\text{e}.
2.bÀ l'aide de la partie 1, étudier les variations de f.
Le sens de variation de f se lit sur le signe de sa dérivée f'=g, étudié à la question 3 de la partie 1.
Sur ]0~;~1[, g est négative donc f' est négative : f y est strictement décroissante. Sur ]1~;~+\infty[, g est positive donc f' est positive : f y est strictement croissante.
Comme f' s'annule en changeant de signe (de négatif à positif) en x=1, la fonction f y admet un minimum, qui vaut \begin{aligned}f(1) &= \left[\ln(1)\right]^2 \\ &= 0\end{aligned}
3.aDonner une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse \text{e}.
Une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse \text{e} est y = f'(\text{e})(x-\text{e}) + f(\text{e}).
Or f'(\text{e}) = g(\text{e}) = \dfrac{2}{\text{e}} (question 2.a de la partie 1) et \begin{aligned}f(\text{e}) &= \left[\ln(\text{e})\right]^2 \\ &= 1^2 \\ &= 1\end{aligned}
En remplaçant : \begin{aligned}y &= \dfrac{2}{\text{e}}(x-\text{e}) + 1 \\ &= \dfrac{2}{\text{e}}x - 2 + 1\end{aligned} soit, la réponse est y = \dfrac{2}{\text{e}}x - 1.
3.bEn déduire que, pour tout réel x de ]0~;~\text{e}], \left[\ln(x)\right]^2 \geqslant \dfrac{2}{\text{e}}x - 1.
D'après la question 2.a, la courbe représentative de f est convexe sur ]0~;~\text{e}[ et admet un point d'inflexion en x=\text{e} : sur ]0~;~\text{e}], elle est donc entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier au-dessus de la tangente au point d'abscisse \text{e} trouvée à la question précédente.
Cela signifie que, pour tout réel x de ]0~;~\text{e}], f(x) \geqslant \dfrac{2}{\text{e}}x - 1.
Donc, la réponse est bien que, pour tout réel x de ]0~;~\text{e}], \left[\ln(x)\right]^2 \geqslant \dfrac{2}{\text{e}}x - 1.
Exercice 4 7 points
Onconsidère le cube ABCDEFGH, I le milieu du segment [EH], et le triangle CFI. L'espace est muni du repère orthonormé \left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{AE}}\right), dans lequel I a pour coordonnées \left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right). 1.a Donner sans justifier les coordonnées des points C, F et G.
Dans un cube ABCDEFGH muni du repère \left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{AE}}\right), les huit sommets ont pour coordonnées des combinaisons de 0 et 1 (arête de longueur 1) selon leur position par rapport à A, B, D et E.
Le point C, opposé à A sur la face ABCD, a pour coordonnées \left(1~;~1~;~0\right). Le point F, sur l'arête verticale au-dessus de B, a pour coordonnées \left(1~;~0~;~1\right). Le point G, sommet opposé à A sur le cube, a pour coordonnées \left(1~;~1~;~1\right).
Donc, la réponse est C(1~;~1~;~0), F(1~;~0~;~1) et G(1~;~1~;~1).
1.bDémontrer que le vecteur \vec{n}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix} est normal au plan (CFI).
On calcule les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\text{CF}} et \overrightarrow{\text{CI}} à partir de celles de C, F et I : \overrightarrow{\text{CF}}\begin{pmatrix}1-1 \\ 0-1 \\ 1-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} et \overrightarrow{\text{CI}}\begin{pmatrix}0-1 \\ \frac{1}{2}-1 \\ 1-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ -\frac{1}{2} \\ 1\end{pmatrix}.
On calcule les produits scalaires : \begin{aligned}\vec{n}\cdot\overrightarrow{\text{CF}} &= 1\times0 + 2\times(-1) + 2\times1 \\ &= 0-2+2 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\vec{n}\cdot\overrightarrow{\text{CI}} &= 1\times(-1) + 2\times\left(-\dfrac{1}{2}\right) + 2\times1 \\ &= -1-1+2 \\ &= 0\end{aligned}
Le vecteur \vec{n} est donc orthogonal à \overrightarrow{\text{CF}} et à \overrightarrow{\text{CI}}. Comme C, F et I ne sont pas alignés (ils forment un triangle), ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires et dirigent le plan (CFI).
Donc, la réponse est que \vec{n}, orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (CFI), est bien normal à ce plan.
1.cVérifier qu'une équation cartésienne du plan (CFI) est {x+2y+2z-3=0}.
D'après la question précédente, le plan (CFI) admet \vec{n}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix} comme vecteur normal, donc une équation cartésienne de la forme {x+2y+2z+d=0}, où d est une constante à déterminer.
Comme C(1~;~1~;~0) appartient au plan (CFI), ses coordonnées vérifient l'équation : \begin{aligned}1+2\times1+2\times0+d = 0 &\iff 1+2+d = 0 \\ &\iff d = -3 \end{aligned}
Donc, la réponse est que le plan (CFI) a bien pour équation cartésienne {x+2y+2z-3=0}.
2.aOn note d la droite passant par G et orthogonale au plan (CFI). Déterminer une représentation paramétrique de d.
La droite d, orthogonale au plan (CFI), admet pour vecteur directeur le vecteur normal de ce plan, soit \vec{n}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix}.
Un point M(x~;~y~;~z) appartient à d si, et seulement si, \overrightarrow{\text{G}M} = t\vec{n} pour un certain réel t, avec G(1~;~1~;~1), c'est-à-dire x-1=t, y-1=2t et z-1=2t.
Donc, la réponse est que la droite d admet pour représentation paramétrique \begin{cases} x=1+t\\ y=1+2t\\ z=1+2t\end{cases}, avec t\in\mathbb{R}.
2.bDémontrer que le point K\left(\dfrac{7}{9}~;~\dfrac{5}{9}~;~\dfrac{5}{9}\right) est le projeté orthogonal de G sur le plan (CFI).
Le point K, projeté orthogonal de G sur le plan (CFI), est l'unique point d'intersection de la droite d (orthogonale au plan et passant par G) avec le plan (CFI).
Ses coordonnées vérifient donc à la fois la représentation paramétrique de d et l'équation {x+2y+2z-3=0} du plan (CFI). En substituant x=1+t, {y=1+2t}, z=1+2t dans cette équation : (1+t)+2(1+2t)+2(1+2t)-3=0.
En développant : \begin{aligned}1+t+2+4t+2+4t-3 = 0 &\iff 9t+2 = 0 \\ &\iff t = -\dfrac{2}{9} \end{aligned}
En remplaçant t=-\dfrac{2}{9} dans la représentation paramétrique : \begin{aligned}x &= 1-\dfrac{2}{9} \\ &= \dfrac{7}{9}\end{aligned} \begin{aligned}y &= 1+2\times\left(-\dfrac{2}{9}\right) \\ &= 1-\dfrac{4}{9} \\ &= \dfrac{5}{9}\end{aligned} \begin{aligned}z &= 1-\dfrac{4}{9} \\ &= \dfrac{5}{9}\end{aligned}
Donc, la réponse est que K a bien pour coordonnées \left(\dfrac{7}{9}~;~\dfrac{5}{9}~;~\dfrac{5}{9}\right).
2.cDéduire des questions précédentes que la distance du point G au plan (CFI) est égale à \dfrac{2}{3}.
La distance de G au plan (CFI) est, par définition, la longueur GK, où K est le projeté orthogonal de G sur ce plan (question précédente).
On calcule \overrightarrow{\text{GK}}\begin{pmatrix}\frac{7}{9}-1 \\ \frac{5}{9}-1 \\ \frac{5}{9}-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{2}{9} \\ -\frac{4}{9} \\ -\frac{4}{9}\end{pmatrix}, d'où \text{GK} = \sqrt{\left(-\dfrac{2}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{4}{81}+\dfrac{16}{81}+\dfrac{16}{81}} = \sqrt{\dfrac{36}{81}}.
Comme \begin{aligned}\sqrt{\dfrac{36}{81}} &= \dfrac{6}{9} \\ &= \dfrac{2}{3}\end{aligned} on obtient bien \text{GK}=\dfrac{2}{3}.
Donc, la réponse est que la distance du point G au plan (CFI) vaut bien \dfrac{2}{3}.
3.aOn rappelle que le volume d'une pyramide est \mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\mathcal{B}h, où \mathcal{B} désigne l'aire d'une base et h la hauteur associée. En considérant la pyramide GCFI de sommet I et de base le triangle GFC, démontrer que son volume vaut \dfrac{1}{6} unité de volume.
Dans le repère \left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{AE}}\right), on a G(1~;~1~;~1), F(1~;~0~;~1) et C(1~;~1~;~0), donc \overrightarrow{\text{GF}}\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} et \overrightarrow{\text{GC}}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}.
Le produit scalaire \begin{aligned}\overrightarrow{\text{GF}}\cdot\overrightarrow{\text{GC}} &= 0\times0+(-1)\times0+0\times(-1) \\ &= 0\end{aligned} Le triangle GFC est donc rectangle en G, d'aire \begin{aligned}\mathcal{B} &= \dfrac{\text{GF}\times\text{GC}}{2} \\ &= \dfrac{1\times1}{2} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned} (les longueurs GF et GC valent chacune 1, arête du cube).
En prenant I comme sommet de la pyramide, la hauteur associée à la base GFC est la distance de I au plan (GFC), c'est-à-dire au plan d'équation x=1 (le plan contenant G, F et C, tous de coordonnée x=1) : cette distance vaut \left|0-1\right|=1, puisque I a pour coordonnées \left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right).
Le volume de la pyramide GCFI vaut donc \begin{aligned}\mathcal{V} &= \dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\times1 \\ &= \dfrac{1}{6}\end{aligned} Donc, la réponse est bien que le volume de la pyramide GCFI vaut \dfrac{1}{6} unité de volume.
3.bEn déduire l'aire du triangle CFI, en unité d'aire.
En considérant maintenant G comme sommet de la pyramide et le triangle CFI comme base, d'aire notée \mathcal{A}, la hauteur associée est la distance de G au plan (CFI), soit \text{GK}=\dfrac{2}{3} (question 2.c).
Le volume de la même pyramide GCFI s'écrit alors aussi \begin{aligned}\mathcal{V} &= \dfrac{1}{3}\times\mathcal{A}\times\dfrac{2}{3} \\ &= \dfrac{2\mathcal{A}}{9}\end{aligned}
Comme ce volume vaut \dfrac{1}{6} (question précédente), on résout \begin{aligned}\dfrac{2\mathcal{A}}{9} = \dfrac{1}{6} &\iff \mathcal{A} = \dfrac{9}{6\times2} \\ &\iff \mathcal{A} = \dfrac{9}{12} \\ &\iff \mathcal{A} = \dfrac{3}{4}\end{aligned}
Donc, la réponse est que l'aire du triangle CFI vaut \dfrac{3}{4} unité d'aire.
Corrigé rédigé par Logimaths à partir du sujet officiel du Ministère de l'Éducation nationale (éduscol.education.gouv.fr).