Bac Terminale Spé Maths : Centres étrangers - Groupe 1 2023, Sujet 1

1.On considère la suite \left(u_n\right) définie pour tout entier naturel n par u_n = \dfrac{1+2^n}{3+5^n}. Quel est son comportement : diverge vers +\infty, converge vers \dfrac25, converge vers 0, ou converge vers \dfrac13 ?

En factorisant numérateur et dénominateur par 5^n : \begin{aligned}u_n &= \dfrac{5^n\left(\frac{1}{5^n}+\left(\frac25\right)^n\right)}{5^n\left(\frac{3}{5^n}+1\right)} \\ &= \dfrac{\left(\frac25\right)^n+\frac{1}{5^n}}{1+\frac{3}{5^n}}\end{aligned}
Les suites géométriques de raisons \dfrac25 et \dfrac15, toutes deux strictement comprises entre -1 et 1, convergent vers 0 : par limite de somme puis de quotient, u_n converge vers \dfrac{0+0}{1+0}=0.
Réponse : la suite converge vers 0.

2.Soit f la fonction définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x)=x^2\ln(x). Quelle est l'expression de f'(x) ?

f est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
f'(x) = 2x\times\ln(x) + x^2\times\dfrac1x = 2x\ln(x)+x = x\big(2\ln(x)+1\big).
Réponse : f'(x) = x(2\ln(x)+1).

3.Une fonction h, continue sur \mathbb{R}, admet le tableau de variations suivant : h décroît de +\infty (en -\infty) jusqu'à -\infty... en réalité h croît de -\infty vers +\infty, en s'annulant en x=1. On note H la primitive de h sur \mathbb{R} qui s'annule en 0. Que peut-on affirmer : H positive sur ]-\infty~;~0], H croissante sur ]-\infty~;~1], H négative sur ]-\infty~;~1], ou H croissante sur \mathbb{R} ?

h est strictement croissante sur \mathbb{R} et s'annule en 1, donc h(x)<0 pour tout x<1.
H étant une primitive de h, on a H'=h : ainsi H'(x)<0 sur ]-\infty~;~1[, donc H est strictement décroissante sur cet intervalle.
Pour tout x\leqslant 0, x et 0 appartiennent à ]-\infty~;~1[ où H décroît, donc {x\leqslant 0 \implies H(x)\geqslant H(0)}. Or H(0)=0 par définition de H, donc H(x)\geqslant 0 sur ]-\infty~;~0].
Réponse : H est positive sur ]-\infty~;~0].

4.Soit a<b deux réels et f une fonction définie, continue et strictement croissante sur [a~;~b], qui s'annule en un réel \alpha. Parmi quatre fonctions Python proposées (méthode de dichotomie), laquelle donne bien une valeur approchée de \alpha à 0{,}001 près ?

Le programme correct doit recalculer le milieu m=\dfrac{a+b}{2} à chaque tour de boucle (et non une seule fois avant la boucle), avec un test d'arrêt \og tant que l'écart dépasse 0{,}001 \fg{} correctement écrit.
Comme f est strictement croissante sur [a~;~b] et s'annule en \alpha, on a f(a)<0 et f(b)>0. Si f(m)<0, alors \alpha se trouve entre m et b : il faut donc remplacer a par m (et garder b) pour l'itération suivante ; sinon, on remplace b par m.
Seule la version qui recalcule m à l'intérieur de la boucle, avec la condition while abs(b-a) >= 0.001, et l'affectation a = m quand f(m)<0, respecte ce principe.
Réponse : le programme qui recalcule m dans la boucle et affecte a=m lorsque f(m)<0.

5.Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, dont 7 bleues et 3 vertes. On effectue trois tirages successifs avec remise. Quelle expression donne la probabilité d'obtenir exactement deux boules vertes ?

Chaque tirage est une épreuve à deux issues (\og verte \fg{} ou pas), de probabilité de succès p=\dfrac{3}{10}, répétée n=3 fois de façon identique et indépendante (tirages avec remise).
En notant X le nombre de boules vertes obtenues, X suit la loi binomiale \mathcal{B}\left(3~;~\dfrac{3}{10}\right).
\begin{aligned}P(X=2) &= \dbinom{3}{2}\left(\dfrac{3}{10}\right)^2\left(\dfrac{7}{10}\right)^{1} \\ &= \dbinom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2\end{aligned}
Réponse : \dbinom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2.

PartieA ; 1. Une entreprise loue des trottinettes électriques et contrôle leur état chaque lundi. On admet que si une trottinette est en bon état un lundi donné, la probabilité qu'elle le soit encore le lundi suivant est 0{,}9 ; si elle est en mauvais état, la probabilité qu'elle passe en bon état la semaine suivante est 0{,}4. On note B_n l'événement « la trottinette est en bon état n semaines après sa mise en service » et p_n=P(B_n), avec p_0=1. Donner p_1 et montrer que p_2=0{,}85.

Comme la trottinette est en bon état à l'instant 0 (p_0=1), on a directement \begin{aligned}p_1 &= P_{B_0}(B_1) \\ &= 0{,}9\end{aligned}
En construisant l'arbre pondéré sur les deux premières semaines (issues B_1 ou \overline{B_1}, puis B_2 ou \overline{B_2} à chaque fois), la formule des probabilités totales donne : \begin{aligned}p_2 &= P(B_1)\times P_{B_1}(B_2) + P(\overline{B_1})\times P_{\overline{B_1}}(B_2) \\ &= 0{,}9\times0{,}9+0{,}1\times0{,}4 \\ &= 0{,}81+0{,}04 \\ &= 0{,}85\end{aligned}
On obtient bien p_1=0{,}9 et p_2=0{,}85.

PartieA ; 2. Reproduire et compléter l'arbre pondéré traduisant le passage de la semaine n à la semaine n+1.

L'arbre a pour première branche B_n avec probabilité p_n (puis B_{n+1} avec probabilité 0{,}9 et \overline{B_{n+1}} avec probabilité 0{,}1), et pour seconde branche \overline{B_n} avec probabilité 1-p_n (puis B_{n+1} avec probabilité 0{,}4 et \overline{B_{n+1}} avec probabilité 0{,}6).

PartieA ; 3. En déduire que, pour tout entier naturel n, p_{n+1}=0{,}5p_n+0{,}4.

Les événements B_n et \overline{B_n} forment une partition de l'univers, donc la formule des probabilités totales donne : \begin{aligned}p_{n+1} &= P(B_n)\times0{,}9 + P(\overline{B_n})\times0{,}4 \\ &= 0{,}9p_n + 0{,}4(1-p_n) \\ &= 0{,}9p_n+0{,}4-0{,}4p_n\end{aligned}
Donc, la réponse est p_{n+1} = 0{,}5p_n+0{,}4.

PartieA ; 4.a Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, p_n\geqslant0{,}8.

Initialisation : \begin{aligned}p_0 &= 1 \\ &\geqslant 0{,}8\end{aligned} la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons que pour un entier naturel n donné, p_n\geqslant0{,}8. Alors, en multipliant par 0{,}5>0 : 0{,}5p_n\geqslant0{,}4, puis en ajoutant 0{,}4 : 0{,}5p_n+0{,}4\geqslant0{,}8, c'est-à-dire p_{n+1}\geqslant0{,}8. La propriété est donc héréditaire.
Conclusion : par principe de récurrence, pour tout entier naturel n, p_n\geqslant0{,}8.

PartieA ; 4.b Quelle communication l'entreprise peut-elle envisager à partir de ce résultat ?

En interprétant p_n comme la proportion de trottinettes en bon état, l'entreprise peut communiquer sur le fait qu'au moins 80 % de son parc reste en permanence en bon état, quelle que soit la semaine considérée.

PartieA ; 5.a On pose, pour tout entier naturel n, u_n=p_n-0{,}8. Montrer que \left(u_n\right) est géométrique et préciser son premier terme et sa raison.

Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}u_{n+1} &= p_{n+1}-0{,}8 \\ &= (0{,}5p_n+0{,}4)-0{,}8 \\ &= 0{,}5p_n-0{,}4 \\ &= 0{,}5(p_n-0{,}8) \\ &= 0{,}5\,u_n\end{aligned}
La suite \left(u_n\right) est donc géométrique de raison q=0{,}5, de premier terme \begin{aligned}u_0 &= p_0-0{,}8 \\ &= 1-0{,}8 \\ &= 0{,}2\end{aligned}

PartieA ; 5.b En déduire l'expression de u_n puis de p_n en fonction de n.

D'après la forme explicite d'une suite géométrique : \begin{aligned}u_n &= u_0\times q^n \\ &= 0{,}2\times0{,}5^n\end{aligned} pour tout entier naturel n. Comme {p_n=u_n+0{,}8}, on obtient p_n = 0{,}2\times0{,}5^n+0{,}8.

PartieA ; 5.c En déduire la limite de la suite \left(p_n\right).

La raison 0{,}5 est strictement comprise entre -1 et 1, donc \lim\limits_{n\to+\infty}0{,}5^n=0, puis \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0. Par limite de somme, \begin{aligned}\lim\limits_{n\to+\infty}p_n &= 0+0{,}8 \\ &= 0{,}8\end{aligned}

PartieB ; 1. On modélise désormais l'état des trottinettes du parc par une probabilité de bon état égale à 0{,}8, indépendamment d'une trottinette à l'autre. On note X le nombre de trottinettes en bon état dans un lot de 15, ce prélèvement pouvant être assimilé à un tirage avec remise. Justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres.

On répète 15 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (« la trottinette est en bon état », de probabilité 0{,}8) : X compte le nombre de succès, donc X suit la loi binomiale \mathcal{B}(15~;~0{,}8).

PartieB ; 2. Calculer la probabilité que les 15 trottinettes du lot soient toutes en bon état.

P(X=15) = 0{,}8^{15} \approx 0,0352 (arrondi au dix-millième).

PartieB ; 3. Calculer la probabilité qu'au moins 10 trottinettes du lot soient en bon état.

À la calculatrice, {P(X\geqslant10) = 1-P(X\leqslant9) \approx} 0,9389 (arrondi au dix-millième).

PartieB ; 4. On admet que E(X)=12. Interpréter ce résultat.

Pour une loi binomiale \mathcal{B}(n~;~p), on a \begin{aligned}E(X) &= np \\ &= 15\times0{,}8 \\ &= 12\end{aligned} Cela signifie qu'en moyenne, sur un grand nombre de lots de 15 trottinettes prélevées dans le parc, 12 d'entre elles sont en bon état.

1.On considère le prisme droit ABFEDCGH, de base ABFE trapèze rectangle en A, muni du repère orthonormé \left(\text{A}~;~\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right) défini par \vec{\imath}=\dfrac14\overrightarrow{AB}, \vec{\jmath}=\dfrac14\overrightarrow{AD}, \vec{k}=\dfrac18\overrightarrow{AE}, avec de plus \overrightarrow{BF}=\dfrac12\overrightarrow{AE}. On note I le milieu de [EF] et J le milieu de [AE]. Donner les coordonnées de I et J.

Dans ce repère, les sommets du prisme ont pour coordonnées : A(0 ; 0 ; 0), B(4 ; 0 ; 0), C(4 ; 4 ; 0), D(0 ; 4 ; 0), E(0 ; 0 ; 8), F(4 ; 0 ; 4), G(4 ; 4 ; 4), H(0 ; 4 ; 8).
I est le milieu de [EF], donc \mathrm{I}\left(\dfrac{0+4}{2}~;~\dfrac{0+0}{2}~;~\dfrac{8+4}{2}\right), soit I(2 ; 0 ; 6).
J est le milieu de [AE], donc \mathrm{J}\left(\dfrac{0+0}{2}~;~\dfrac{0+0}{2}~;~\dfrac{0+8}{2}\right), soit J(0 ; 0 ; 4).

2.aSoit \vec{n} le vecteur de coordonnées \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}. Montrer que \vec{n} est normal au plan (IGJ).

\overrightarrow{\mathrm{IG}}\begin{pmatrix}4-2 \\ 4-0 \\ 4-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ -2\end{pmatrix} et \overrightarrow{\mathrm{IJ}}\begin{pmatrix}0-2 \\ 0-0 \\ 4-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix} sont deux vecteurs non colinéaires du plan (IGJ).
Le repère étant orthonormé, on calcule les produits scalaires par les coordonnées : \begin{aligned}\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{IG}} &= -1\times2+1\times4+1\times(-2) \\ &= -2+4-2 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{IJ}} &= -1\times(-2)+1\times0+1\times(-2) \\ &= 2+0-2 \\ &= 0\end{aligned}
\vec{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (IGJ) : c'est donc un vecteur normal à ce plan.

2.bDéterminer une équation cartésienne du plan (IGJ).

Un vecteur normal étant \vec{n}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, une équation du plan (IGJ) est de la forme -x+y+z+d=0.
Le point G(4 ; 4 ; 4) appartient au plan, donc -4+4+4+d=0, soit d=-4.
Donc, la réponse est -x+y+z-4=0.

3.Déterminer une représentation paramétrique de la droite d, perpendiculaire au plan (IGJ) et passant par H.

La droite d est dirigée par le vecteur normal \vec{n}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} et passe par H(0 ; 4 ; 8), d'où la représentation paramétrique : \left\{\begin{array}{l}x=-t\\y=4+t\\z=8+t\end{array}\right.\ ,\ t\in\mathbb{R}.

4.On note L le projeté orthogonal de H sur le plan (IGJ). Montrer que L a pour coordonnées \left(\dfrac83~;~\dfrac43~;~\dfrac{16}{3}\right).

L est le point d'intersection de la droite d (perpendiculaire au plan et passant par H) avec le plan (IGJ). On cherche donc le paramètre t du point de d qui vérifie l'équation du plan.
\begin{aligned}-(-t)+(4+t)+(8+t)-4 = 0 &\iff 3t+8 = 0 \\ &\iff t = -\dfrac83 \end{aligned}
En reportant dans la représentation paramétrique : \begin{aligned}x &= -\left(-\dfrac83\right) \\ &= \dfrac83\end{aligned} \begin{aligned}y &= 4-\dfrac83 \\ &= \dfrac{4}{3}\end{aligned} \begin{aligned}z &= 8-\dfrac83 \\ &= \dfrac{16}{3}\end{aligned}
Donc, la réponse est \mathrm{L}\left(\dfrac83~;~\dfrac43~;~\dfrac{16}{3}\right).

5.Calculer la distance du point H au plan (IGJ).

La distance de H au plan (IGJ) est la longueur HL, où L est le projeté orthogonal de H sur ce plan. Le repère étant orthonormé :
\begin{aligned}\mathrm{HL} &= \sqrt{\left(\dfrac83-0\right)^2+\left(\dfrac43-4\right)^2+\left(\dfrac{16}{3}-8\right)^2} \\ &= \sqrt{\left(\dfrac83\right)^2+\left(\dfrac83\right)^2+\left(\dfrac83\right)^2} \\ &= \sqrt{3\times\dfrac{64}{9}} \\ &= \sqrt{\dfrac{64}{3}} \\ &= \dfrac{8}{\sqrt3} \\ &= \dfrac{8\sqrt3}{3}\end{aligned}
Donc, la réponse est \mathrm{HL} = \dfrac{8\sqrt3}{3}.

6.Montrer que le triangle IGJ est rectangle en I.

\begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{IG}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{IJ}} &= 2\times(-2)+4\times0+(-2)\times(-2) \\ &= -4+0+4 \\ &= 0\end{aligned}
Les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{IG}} et \overrightarrow{\mathrm{IJ}} sont non nuls et orthogonaux, donc les droites (IG) et (IJ), sécantes en I, sont perpendiculaires. Donc, la réponse est que le triangle IGJ est rectangle en I.

7.En déduire le volume du tétraèdre IGJH.

Le triangle IGJ étant rectangle en I, son aire vaut \mathcal{A} = \dfrac{\mathrm{IG}\times\mathrm{IJ}}{2}, avec \begin{aligned}\mathrm{IG} &= \sqrt{2^2+4^2+(-2)^2} \\ &= \sqrt{24} \\ &= 2\sqrt6\end{aligned} et \begin{aligned}\mathrm{IJ} &= \sqrt{(-2)^2+0^2+(-2)^2} \\ &= \sqrt8 \\ &= 2\sqrt2\end{aligned}
\begin{aligned}\mathcal{A} &= \dfrac{2\sqrt6\times2\sqrt2}{2} \\ &= 2\sqrt{12} \\ &= 4\sqrt3\end{aligned}
En prenant IGJ pour base et H comme sommet, la hauteur du tétraèdre est la distance HL calculée en question 5, soit \dfrac{8\sqrt3}{3}. Le volume vaut donc \begin{aligned}V &= \dfrac13\times\mathcal{A}\times\mathrm{HL} \\ &= \dfrac13\times4\sqrt3\times\dfrac{8\sqrt3}{3} \\ &= \dfrac{4\times8\times3}{9} \\ &= \dfrac{96}{9} \\ &= \dfrac{32}{3}\end{aligned}
Donc, la réponse est V=\dfrac{32}{3} (soit environ 10,7 unités de volume, au dixième près).

Unbiologiste modélise l'évolution d'une population de bactéries (en milliers d'individus) par la fonction f définie sur [0~;~+\infty[ par f(t) = e^3-e^{-0{,}5t^2+t+2}, où t désigne le temps en heures. Affirmation 1 : « La population de bactéries augmente en permanence ». Vrai ou faux ?

f est dérivable sur [0~;~+\infty[ comme composée de fonctions dérivables. En posant g(t)=-0{,}5t^2+t+2, donc g'(t)=-t+1, on obtient f'(t) = -g'(t)\,e^{g(t)} = (t-1)\,e^{-0{,}5t^2+t+2}.
L'exponentielle étant strictement positive, f'(t) est du signe de (t-1) : f'(t)<0 sur [0~;~1[ et f'(t)>0 sur ]1~;~+\infty[. La fonction f est donc strictement décroissante sur [0~;~1].
Donc, la réponse est que l'affirmation est fausse : durant la première heure, la population diminue strictement.

Affirmation 2 : « À très long terme, la population dépassera 21 000 bactéries ». Vrai ou faux ?

Pour tout t\geqslant0, e^{-0{,}5t^2+t+2}>0, donc -e^{-0{,}5t^2+t+2}<0, d'où {f(t) = e^3-e^{-0{,}5t^2+t+2} < e^3}.
Or e^3\approx20{,}086 (au millième près), donc f(t) reste toujours strictement inférieur à environ 20{,}086 milliers d'individus, soit 20 086 bactéries.
Donc, la réponse est que l'affirmation est fausse : la population ne dépassera jamais 20 086 bactéries, donc a fortiori jamais 21 000.

Affirmation 3 : « La population de bactéries atteindra un effectif de 10 000 individus à deux reprises au cours du temps ». Vrai ou faux ?

Un effectif de 10 000 bactéries correspond à f(t)=10 (population exprimée en milliers). D'après l'étude de variations précédente, f est strictement décroissante sur [0~;~1] puis strictement croissante sur [1~;~+\infty[.
On calcule les valeurs utiles : \begin{aligned}f(0) &= e^3-e^2 \\ &\approx 12{,}696\end{aligned} et \begin{aligned}f(1) &= e^3-e^{2{,}5} \\ &\approx 7{,}903\end{aligned} De plus, \lim\limits_{t\to+\infty}\left(-0{,}5t^2+t+2\right) = -\infty (le terme en t^2 l'emporte), donc par composition \lim\limits_{t\to+\infty}e^{-0{,}5t^2+t+2}=0, puis \begin{aligned}\lim\limits_{t\to+\infty}f(t) &= e^3 \\ &\approx 20{,}086\end{aligned}
Sur [0~;~1] : f est continue et strictement décroissante, et 10 est compris strictement entre f(1)\approx7{,}903 et {f(0)\approx12{,}696}, donc par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(t)=10 admet une unique solution sur cet intervalle.
Sur [1~;~+\infty[ : f est continue et strictement croissante, et 10 est compris strictement entre f(1)\approx7{,}903 et \lim\limits_{t\to+\infty}f(t)\approx20{,}086, donc l'équation f(t)=10 admet là aussi une unique solution.
Donc, la réponse est que l'affirmation est vraie : l'équation f(t)=10 admet exactement deux solutions sur [0~;~+\infty[, donc la population atteindra bien 10 000 individus à deux reprises.