Bac Terminale Spé Maths : Centres étrangers - Groupe 1 2023, Sujet 3

PartieA ; 1. Soit g la fonction définie sur ]0~;~+\infty[ par g(x) = \ln(x^2) + x - 2. Déterminer les limites de g en 0 et en +\infty.

En 0 : \ln(x^2)\to-\infty et x\to0, donc par somme de limites \lim\limits_{x\to0}g(x) = -\infty.
En +\infty : \ln(x^2)\to+\infty et x\to+\infty, donc par somme de limites \lim\limits_{x\to+\infty}g(x) = +\infty.

PartieA ; 2. Sachant que g est dérivable sur ]0~;~+\infty[, étudier son sens de variation.

Sur ]0~;~+\infty[, g(x) = 2\ln(x)+x-2, donc g'(x) = \dfrac{2}{x}+1 = \dfrac{x+2}{x}.
Comme x>0, on a aussi x+2>0 : g'(x)>0 sur tout l'intervalle.
g est donc strictement croissante sur ]0~;~+\infty[, de -\infty à +\infty d'après la question précédente.

PartieA ; 3.a Justifier qu'il existe un unique réel \alpha>0 tel que g(\alpha)=0.

g est continue (car dérivable) et strictement croissante sur ]0~;~+\infty[, avec \lim\limits_{0}g=-\infty et \lim\limits_{+\infty}g=+\infty : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha sur cet intervalle.

PartieA ; 3.b Encadrer \alpha à 10^{-2} près.

À la calculatrice : g(1) = -1 < 0 et g(2) \approx 1{,}39 > 0, donc {1<\alpha<2}.
En affinant : g(1{,}3) \approx -0{,}175 < 0 et g(1{,}4) \approx 0{,}073 > 0, donc {1{,}3<\alpha<1{,}4}.
Puis : g(1{,}37) \approx -0{,}0004 < 0 et {g(1{,}38) \approx 0{,}024 > 0}, donc {1{,}37 < \alpha < 1{,}38}.

PartieA ; 4. En déduire le tableau de signe de g sur ]0~;~+\infty[.

g est strictement croissante et s'annule uniquement en \alpha : g(x) < 0 sur ]0~;~\alpha[, g(\alpha)=0, et g(x) > 0 sur ]\alpha~;~+\infty[.

PartieB ; 1.a Soit f la fonction définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x) = \dfrac{x-2}{x}\ln(x). Déterminer la limite de f en 0.

Par quotient de limites, \dfrac{x-2}{x}\to-\infty quand x\to0 (numérateur vers -2, dénominateur vers 0^+).
Comme \ln(x)\to-\infty, on obtient par produit de limites \lim\limits_{x\to0}f(x) = +\infty.

PartieB ; 1.b Interpréter graphiquement ce résultat.

Cette limite infinie signifie que la courbe \mathcal{C}_f admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale.

PartieB ; 2. Déterminer la limite de f en +\infty.

On écrit \dfrac{x-2}{x} = 1-\dfrac{2}{x}, et \dfrac{2}{x}\to0 quand x\to+\infty, donc \dfrac{x-2}{x}\to1.
Comme \ln(x)\to+\infty, le produit donne \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = +\infty.

PartieB ; 3. Sachant que f est dérivable sur ]0~;~+\infty[, montrer que f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2} pour tout x>0.

En dérivant le produit \dfrac{x-2}{x}\times\ln(x), avec \left(\dfrac{x-2}{x}\right)' = \dfrac{x-(x-2)}{x^2} = \dfrac{2}{x^2} :
f'(x) = \dfrac{2}{x^2}\ln(x) + \dfrac{x-2}{x}\times\dfrac{1}{x} = \dfrac{2\ln(x)}{x^2} + \dfrac{x-2}{x^2} = \dfrac{2\ln(x)+x-2}{x^2} = \dfrac{g(x)}{x^2}.

PartieB ; 4. En déduire les variations de f sur ]0~;~+\infty[.

Comme x^2>0, le signe de f'(x) est celui de g(x).
D'après la question A.4 : g(x)<0 sur ]0~;~\alpha[ et g(x)>0 sur ]\alpha~;~+\infty[.
f est donc strictement décroissante sur ]0~;~\alpha[, puis strictement croissante sur ]\alpha~;~+\infty[.

PartieC. Étudier la position relative de \mathcal{C}_f par rapport à la courbe représentative de la fonction \ln sur ]0~;~+\infty[.

On étudie le signe de \begin{aligned}d(x) &= f(x)-\ln(x) \\ &= \dfrac{x-2}{x}\ln(x)-\ln(x) \\ &= \ln(x)\left[\dfrac{x-2}{x}-1\right] \\ &= \ln(x)\times\dfrac{-2}{x} \\ &= \dfrac{-2\ln(x)}{x}\end{aligned}
Comme x>0, le signe de d(x) est celui de -\ln(x) : sur ]0~;~1[, \ln(x)<0 donc d(x)>0 ; sur ]1~;~+\infty[, \ln(x)>0 donc d(x)<0 (d(1)=0).
Sur ]0~;~1[, \mathcal{C}_f est au-dessus de la courbe de \ln ; sur ]1~;~+\infty[, \mathcal{C}_f est en dessous ; les deux courbes se croisent au point d'abscisse 1.

1.Chaque matin, M. Durand se rend au travail à vélo ou en transports en commun. S'il prend les transports un matin, il les reprend le lendemain avec une probabilité de 0,8 ; s'il prend le vélo, il le reprend le lendemain avec une probabilité de 0,4. On note T_n (resp. V_n) l'évènement « il utilise les transports (resp. le vélo) le jour n », et {p_n = P(T_n)}, avec p_1=1. Compléter l'arbre pondéré des jours 2 et 3.

Depuis T_2 : P_{T_2}(T_3) = 0{,}8 et P_{T_2}(V_3) = 0{,}2 ; depuis V_2 : P_{V_2}(T_3) = 0{,}6 et {P_{V_2}(V_3) = 0{,}4}.
Comme p_1=1, on a P(T_2) = 0{,}8 et P(V_2) = 0{,}2 (le premier jour, M. Durand prend systématiquement les transports).

2.Calculer p_3.

D'après la formule des probabilités totales appliquée au système \{T_2,V_2\} : p_3 = P(T_2\cap T_3) + P(V_2\cap T_3).
\begin{aligned}P(T_2\cap T_3) &= P(T_2)\times P_{T_2}(T_3) \\ &= 0{,}8\times0{,}8 \\ &= 0{,}64\end{aligned} et \begin{aligned}P(V_2\cap T_3) &= P(V_2)\times P_{V_2}(T_3) \\ &= 0{,}2\times0{,}6 \\ &= 0{,}12\end{aligned}
Donc p_3 = 0{,}64+0{,}12 = 0,76.

3.Sachant que le 3e jour M. Durand a utilisé le vélo, calculer la probabilité qu'il ait pris les transports en commun la veille.

On cherche P_{V_3}(T_2) = \dfrac{P(T_2\cap V_3)}{P(V_3)}.
\begin{aligned}P(V_3) &= 1-p_3 \\ &= 1-0{,}76 \\ &= 0{,}24\end{aligned} et \begin{aligned}P(T_2\cap V_3) &= P(T_2)\times P_{T_2}(V_3) \\ &= 0{,}8\times0{,}2 \\ &= 0{,}16\end{aligned}
Donc \begin{aligned}P_{V_3}(T_2) &= \dfrac{0{,}16}{0{,}24} \\ &= \dfrac{2}{3}\end{aligned}

4.Compléter l'arbre pondéré représentant, pour un entier n non nul quelconque, la transition entre le jour n et le jour n+1.

Depuis T_n (probabilité p_n) : {P_{T_n}(T_{n+1}) = 0{,}8} et P_{T_n}(V_{n+1}) = 0{,}2.
Depuis V_n (probabilité 1-p_n) : P_{V_n}(T_{n+1}) = 0{,}6 et P_{V_n}(V_{n+1}) = 0{,}4.

5.Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, p_{n+1} = 0{,}2\,p_n + 0{,}6.

D'après la formule des probabilités totales : \begin{aligned}p_{n+1} &= P(T_n\cap T_{n+1}) + P(V_n\cap T_{n+1}) \\ &= 0{,}8p_n + 0{,}6(1-p_n) \\ &= 0{,}8p_n+0{,}6-0{,}6p_n \\ &= 0{,}2p_n+0{,}6\end{aligned}

6.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, {p_n = 0{,}75 + 0{,}25\times0{,}2^{n-1}}.

Initialisation : pour n=1, \begin{aligned}0{,}75+0{,}25\times0{,}2^0 &= 0{,}75+0{,}25 \\ &= 1 \\ &= p_1\end{aligned} La formule est vraie au rang 1.
Hérédité : supposons que {p_n = 0{,}75+0{,}25\times0{,}2^{n-1}} pour un entier n\geqslant1. D'après la question 5 : \begin{aligned}p_{n+1} &= 0{,}2p_n+0{,}6 \\ &= 0{,}2\left(0{,}75+0{,}25\times0{,}2^{n-1}\right)+0{,}6 \\ &= 0{,}15+0{,}25\times0{,}2^n+0{,}6 \\ &= 0{,}75+0{,}25\times0{,}2^n\end{aligned} La formule est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, donc par récurrence, pour tout entier naturel n non nul, {p_n = 0{,}75+0{,}25\times0{,}2^{n-1}}.

7.Déterminer la limite de la suite (p_n) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Comme {-1<0{,}2<1}, on a \lim\limits_{n\to+\infty}0{,}2^{n-1} = 0, donc par somme de limites \begin{aligned}\lim\limits_{n\to+\infty}p_n &= 0{,}75 \\ &= \dfrac{3}{4}\end{aligned}
Sur le long terme, M. Durand utilise les transports en commun environ 3 jours sur 4.

1.Soit f définie sur \mathbb{R} par f(x) = x\text{e}^x. Parmi F_a(x)=\dfrac{x^2}{2}\text{e}^x, F_b(x)=(x-1)\text{e}^x, {F_c(x)=(x+1)\text{e}^x}, F_d(x)=x^2\text{e}^{x^2}, laquelle est une primitive de f ?

En dérivant F_b(x)=(x-1)\text{e}^x : F_b'(x) = 1\times\text{e}^x+(x-1)\text{e}^x = \text{e}^x(1+x-1) = x\text{e}^x = f(x).
Réponse b.

2.On considère g(x) = \ln\left(\dfrac{x-1}{2x+4}\right). Quel est l'ensemble de définition de g ?

g est définie lorsque \dfrac{x-1}{2x+4}>0, ce qui équivaut à (x-1)(2x+4)>0 (produit de même signe que le quotient, dénominateur non nul).
Ce trinôme du second degré a pour racines -2 et 1 et un coefficient dominant positif : il est donc strictement positif à l'extérieur des racines, soit sur ]-\infty~;~-2[\cup]1~;~+\infty[.
Réponse : ]-\infty~;~-2[\cup]1~;~+\infty[.

3.La fonction h définie sur \mathbb{R} par {h(x) = (x+1)\text{e}^x} est-elle convexe ou concave, et sur quels intervalles ?

h'(x) = \text{e}^x+(x+1)\text{e}^x = (x+2)\text{e}^x, puis h''(x) = \text{e}^x+(x+2)\text{e}^x = (x+3)\text{e}^x.
Comme \text{e}^x>0 pour tout réel x, le signe de h''(x) est celui de (x+3) : négatif sur ]-\infty~;~-3], positif sur [-3~;~+\infty[.
h est donc concave sur ]-\infty~;~-3] et convexe sur [-3~;~+\infty[.

4.Une suite (u_n) est minorée par 3 et converge vers un réel \ell. Que peut-on affirmer ?

Le passage à la limite dans une inégalité conserve le sens large : puisque u_n\geqslant3 pour tout n, on obtient à la limite \ell\geqslant3.
(Rien n'impose \ell=3, ni que la suite soit décroissante ou stationnaire : ces propriétés ne se déduisent pas des hypothèses.)
Réponse : \ell\geqslant3.

5.La suite (w_n) est définie par {w_1=2} et, pour tout entier n\geqslant1, w_{n+1} = \dfrac{1}{n}w_n. Que peut-on affirmer sur cette suite ?

En calculant les premiers termes : {w_1=2}, \begin{aligned}w_2 &= \dfrac{1}{1}w_1 \\ &= 2\end{aligned} \begin{aligned}w_3 &= \dfrac{1}{2}w_2 \\ &= 1\end{aligned} \begin{aligned}w_4 &= \dfrac{1}{3}w_3 \\ &= \dfrac{1}{3}\end{aligned} \begin{aligned}w_5 &= \dfrac{1}{4}w_4 \\ &= \dfrac{1}{12}\end{aligned} ...
On peut montrer par récurrence que w_n = \dfrac{2}{(n-1)!} pour tout n\geqslant1 (avec 0!=1), et \lim\limits_{n\to+\infty}(n-1)! = +\infty.
Par quotient de limites, \lim\limits_{n\to+\infty}w_n = 0 : la suite (w_n) converge vers 0.

1.Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points A(-1~;~-3~;~2), B(3~;~-2~;~6) et C(1~;~2~;~-4). Montrer que A, B et C définissent un plan \mathcal{P}.

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4 \\ 1 \\ 4\end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2 \\ 5 \\ -6\end{pmatrix} : ces coordonnées ne sont pas proportionnelles, les deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires. A, B et C ne sont pas alignés : ils définissent bien un plan \mathcal{P}.

2.aMontrer que \vec{n}\begin{pmatrix}13 \\ -16 \\ -9\end{pmatrix} est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.

\begin{aligned}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB} &= 13\times4+(-16)\times1+(-9)\times4 \\ &= 52-16-36 \\ &= 0\end{aligned}
\begin{aligned}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC} &= 13\times2+(-16)\times5+(-9)\times(-6) \\ &= 26-80+54 \\ &= 0\end{aligned}
\vec{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan \mathcal{P} : il est donc normal à ce plan.

2.bDémontrer qu'une équation cartésienne de \mathcal{P} est 13x-16y-9z-17=0.

Un plan de vecteur normal \vec{n}\begin{pmatrix}13 \\ -16 \\ -9\end{pmatrix} a une équation de la forme {13x-16y-9z+d=0}.
En imposant que A(-1~;~-3~;~2) appartienne au plan : \begin{aligned}13\times(-1)-16\times(-3)-9\times2+d &= -13+48-18+d \\ &= 17+d \\ &= 0\end{aligned} donc d=-17.
Une équation cartésienne de \mathcal{P} est donc 13x-16y-9z-17=0 (on vérifie que C(1~;~2~;~-4) la satisfait aussi : {13-32+36-17=0}).

3.On note \mathcal{D} la droite passant par F(15~;~-16~;~-8) et orthogonale au plan \mathcal{P}. Donner une représentation paramétrique de \mathcal{D}.

\mathcal{D} étant orthogonale à \mathcal{P}, elle admet \vec{n}\begin{pmatrix}13 \\ -16 \\ -9\end{pmatrix} comme vecteur directeur. Une représentation paramétrique de \mathcal{D} est donc \begin{cases}x = 15+13t\\y=-16-16t\\z=-8-9t\end{cases}, t\in\mathbb{R}.

4.On appelle E le point d'intersection de \mathcal{D} et de \mathcal{P}. Montrer que E a pour coordonnées (2~;~0~;~1).

Un point de \mathcal{D} appartient à \mathcal{P} si ses coordonnées, exprimées en fonction de t, vérifient l'équation du plan.
\begin{aligned}13(15+13t)-16(-16-16t)-9(-8-9t)-17 = 0 &\iff 195+169t+256+256t+72+81t-17 = 0 \\ &\iff 506t+506 = 0 \\ &\iff t = -1 \end{aligned}
En reportant t=-1 : \begin{aligned}x &= 15-13 \\ &= 2\end{aligned} \begin{aligned}y &= -16+16 \\ &= 0\end{aligned} \begin{aligned}z &= -8+9 \\ &= 1\end{aligned} On a bien E(2~;~0~;~1).

5.Déterminer la valeur exacte de la distance du point F au plan \mathcal{P}.

Comme F et E appartiennent à la droite \mathcal{D}, orthogonale à \mathcal{P}, la distance de F au plan est égale à la longueur FE.
\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}13 \\ -16 \\ -9\end{pmatrix}, donc \begin{aligned}EF^2 &= 13^2+(-16)^2+(-9)^2 \\ &= 169+256+81 \\ &= 506\end{aligned}
La distance de F au plan \mathcal{P} vaut donc \sqrt{506}.

6.Déterminer les coordonnées du ou des point(s) de \mathcal{D} dont la distance à \mathcal{P} est égale à la moitié de la distance de F à \mathcal{P}.

Pour tout point M de \mathcal{D}, la distance de M à \mathcal{P} vaut ME (même raisonnement qu'à la question précédente). On cherche donc les points M de \mathcal{D} tels que ME = \dfrac{1}{2}EF, c'est-à-dire {\overrightarrow{EM} = \pm\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF}}.
Avec \overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}13 \\ -16 \\ -9\end{pmatrix}, on a \dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}6{,}5 \\ -8 \\ -4{,}5\end{pmatrix}.
Premier point M_1, tel que \overrightarrow{EM_1}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF} : \begin{aligned}x &= 2+6{,}5 \\ &= 8{,}5\end{aligned} \begin{aligned}y &= 0-8 \\ &= -8\end{aligned} \begin{aligned}z &= 1-4{,}5 \\ &= -3{,}5\end{aligned} soit M_1(8{,}5~;~-8~;~-3{,}5).
Second point M_2, tel que {\overrightarrow{EM_2}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF}} : \begin{aligned}x &= 2-6{,}5 \\ &= -4{,}5\end{aligned} \begin{aligned}y &= 0+8 \\ &= 8\end{aligned} \begin{aligned}z &= 1+4{,}5 \\ &= 5{,}5\end{aligned} soit M_2(-4{,}5~;~8~;~5{,}5).
Les deux points cherchés sont donc M_1(8{,}5~;~-8~;~-3{,}5) et M_2(-4{,}5~;~8~;~5{,}5).