Bac Terminale Spé Maths : Centres étrangers - Groupe 1 2023, Sujet 4

PartieA ; 1. On donne la courbe de {f(x) = \dfrac{1}{1+e^{-3x}}} et sa tangente \mathcal{T} au point A\left(0~;~\dfrac12\right), sachant que la tangente passe aussi par B\left(1~;~\dfrac54\right). Lire graphiquement l'équation réduite de \mathcal{T}.

En allant de A vers B, l'abscisse augmente de 1 et l'ordonnée de {\dfrac54-\dfrac12=\dfrac34} : le coefficient directeur vaut \dfrac34, et l'ordonnée à l'origine (valeur en A) est \dfrac12. Donc, la réponse est {\mathcal{T}\,:\,y=\dfrac34x+\dfrac12}.

PartieA ; 2. Lire graphiquement les intervalles où f semble convexe, puis concave.

La courbe semble tournée vers le haut (au-dessus de ses tangentes) avant A et vers le bas après A. Donc, la réponse est : f semble convexe sur ]-\infty~;~0] et concave sur [0~;~+\infty[.

PartieB ; 1. En admettant f dérivable sur \mathbb{R}, calculer f'(x).

En écrivant f=\dfrac{1}{u} avec u(x)=1+e^{-3x}, donc u'(x)=-3e^{-3x}, on a f'=-\dfrac{u'}{u^2}.
Donc, la réponse est f'(x) = -\dfrac{-3e^{-3x}}{\left(1+e^{-3x}\right)^2} = \dfrac{3e^{-3x}}{\left(1+e^{-3x}\right)^2}.

PartieB ; 2. Justifier que f est strictement croissante sur \mathbb{R}.

Pour tout réel x, e^{-3x}>0, donc {1+e^{-3x}>0} et \left(1+e^{-3x}\right)^2>0 ; le numérateur 3e^{-3x} est lui aussi strictement positif. Le quotient f'(x) est donc strictement positif sur \mathbb{R}. Donc, la réponse est que f est strictement croissante sur \mathbb{R}.

PartieB ; 3.a Déterminer la limite de f en +\infty.

Quand x\to+\infty, -3x\to-\infty donc e^{-3x}\to0, d'où 1+e^{-3x}\to1. Donc, la réponse est \begin{aligned}\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) &= \dfrac{1}{1} \\ &= 1\end{aligned} (la droite y=1 est asymptote horizontale en +\infty).

PartieB ; 3.b Déterminer la limite de f en -\infty.

Quand x\to-\infty, -3x\to+\infty donc e^{-3x}\to+\infty, d'où 1+e^{-3x}\to+\infty. Donc, la réponse est \lim\limits_{x\to-\infty}f(x) = 0 (l'axe des abscisses est asymptote horizontale en -\infty).

PartieB ; 4. Résoudre f(x)=0{,}99 et donner la valeur exacte de la solution \alpha.

\begin{aligned}f(x) = 0{,}99 &\iff \dfrac{1}{1+e^{-3x}} = 0{,}99 \\ &\iff 1 = 0{,}99\left(1+e^{-3x}\right) \\ &\iff 1-0{,}99 = 0{,}99\,e^{-3x} \\ &\iff e^{-3x} = \dfrac{0{,}01}{0{,}99} \\ &\iff e^{-3x} = \dfrac{1}{99}\end{aligned}
En passant au logarithme népérien (croissant) : \begin{aligned}-3x &= \ln\left(\dfrac{1}{99}\right) \\ &= -\ln(99)\end{aligned} soit x=\dfrac{\ln(99)}{3}.
Donc, la réponse est \alpha = \dfrac{\ln(99)}{3} \approx 1,532.

PartieC ; 1. Retrouver par le calcul l'équation de la tangente \mathcal{T} au point d'abscisse 0.

L'équation de la tangente en 0 s'écrit y = f(0) + f'(0)\,x.
\begin{aligned}f(0) &= \dfrac{1}{1+1} \\ &= \dfrac12\end{aligned} et f'(0) = \dfrac{3}{(1+1)^2} = \dfrac34.
Donc, la réponse est {\mathcal{T}\,:\,y=\dfrac34x+\dfrac12}, ce qui confirme la lecture graphique de la partie A.

PartieC ; 2. On admet que f''(x) = \dfrac{9e^{-3x}\left(e^{-3x}-1\right)}{\left(1+e^{-3x}\right)^3}. Étudier le signe de f'' sur \mathbb{R}.

Le facteur 9e^{-3x} est strictement positif et \left(1+e^{-3x}\right)^3 aussi : le signe de f''(x) est donc celui de e^{-3x}-1.
\begin{aligned}e^{-3x}-1 = 0 &\iff e^{-3x} = 1 \\ &\iff -3x = 0 \\ &\iff x = 0 \end{aligned}
Comme la fonction exponentielle est strictement décroissante en -3x pour x croissant : e^{-3x}>1 \iff x<0 et e^{-3x}<1 \iff x>0.
Donc, la réponse est : f''(x)>0 sur {]-\infty~;~0[}, f''(0)=0, et f''(x)<0 sur ]0~;~+\infty[.

PartieC ; 3.a En déduire, en justifiant, sur quel(s) intervalle(s) f est convexe.

D'après la question précédente, f'' est positive sur {]-\infty~;~0[}. Donc, la réponse est que f est convexe sur ]-\infty~;~0].

PartieC ; 3.b Que représente le point A pour la courbe \mathcal{C}_f ?

La dérivée seconde s'annule en x=0 en changeant de signe (positive avant, négative après). Donc, la réponse est que le point A, d'abscisse 0, est un point d'inflexion de la courbe \mathcal{C}_f.

PartieC ; 3.c En déduire la position relative de la tangente \mathcal{T} et de la courbe \mathcal{C}_f, en justifiant.

Sur {]-\infty~;~0[}, f est convexe donc sa courbe est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier au-dessus de \mathcal{T}.
Sur ]0~;~+\infty[, f est concave donc sa courbe est en-dessous de chacune de ses tangentes, en particulier en-dessous de \mathcal{T}.
Donc, la réponse est que \mathcal{C}_f est au-dessus de \mathcal{T} sur {]-\infty~;~0[}, au-dessous sur ]0~;~+\infty[, les deux courbes étant seulement confondues au point A.

PartieA ; 1. Justifier que f(x) = x-\ln(1+x) est définie sur {]-1~;~+\infty[}.

Le logarithme népérien n'est défini que pour un argument strictement positif : il faut 1+x>0, soit x>-1. Donc, la réponse est que f est définie sur {]-1~;~+\infty[}.

PartieA ; 2. En admettant f dérivable sur {]-1~;~+\infty[}, calculer f'(x).

En posant u(x)=1+x (donc u'(x)=1), on a f'(x) = 1-\dfrac{u'(x)}{u(x)} = 1-\dfrac{1}{1+x} = \dfrac{1+x-1}{1+x}. Donc, la réponse est f'(x) = \dfrac{x}{1+x}.

PartieA ; 3.a En déduire le sens de variation de f sur {]-1~;~+\infty[}.

Sur {]-1~;~+\infty[}, le dénominateur 1+x est strictement positif : le signe de f'(x) est donc celui de x.
Donc, la réponse est que f est décroissante sur ]-1~;~0] puis croissante sur [0~;~+\infty[.

PartieA ; 3.b En déduire le signe de f sur {]-1~;~+\infty[}.

D'après la question précédente, f admet un minimum en x=0, qui vaut \begin{aligned}f(0) &= 0-\ln(1) \\ &= 0\end{aligned}
Ce minimum étant nul, \begin{aligned}f(x) &\geqslant f(0) \\ &= 0\end{aligned} pour tout x de l'intervalle. Donc, la réponse est que f(x)\geqslant0 sur {]-1~;~+\infty[} (en particulier sur ]-1~;~0[).

PartieA ; 4.a Montrer que, pour tout x de {]-1~;~+\infty[}, f(x) = \ln\left(\dfrac{e^x}{1+x}\right).

Pour tout réel x, on sait que x = \ln\left(e^x\right), donc f(x) = \ln\left(e^x\right) - \ln(1+x).
Par la propriété \ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) (valable ici car e^x>0 et 1+x>0), on obtient f(x) = \ln\left(\dfrac{e^x}{1+x}\right), ce qu'il fallait établir.

PartieA ; 4.b En déduire la limite de f en +\infty.

En posant u=1+x, donc x=u-1 et u\to+\infty quand x\to+\infty, on a \begin{aligned}\dfrac{e^x}{1+x} &= \dfrac{e^{u-1}}{u} \\ &= \dfrac1e\times\dfrac{e^u}{u}\end{aligned}
Par croissances comparées, {\lim\limits_{u\to+\infty}\dfrac{e^u}{u} = +\infty}, donc \dfrac{e^x}{1+x}\to+\infty, puis par composition avec le logarithme (qui tend vers +\infty en +\infty) : donc, la réponse est \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = +\infty.

PartieB ; 1. On définit u_0=10 et {u_{n+1}=u_n-\ln(1+u_n)}. Donner la valeur arrondie au millième de u_1.

Avec n=0 : \begin{aligned}u_1 &= u_0-\ln(1+u_0) \\ &= 10-\ln(11)\end{aligned} Donc, la réponse est u_1\approx 7,602.

PartieB ; 2. En utilisant le signe de f établi en A.3.b, démontrer par récurrence que u_n\geqslant0 pour tout entier naturel n.

Initialisation : \begin{aligned}u_0 &= 10 \\ &\geqslant 0\end{aligned} la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons u_n\geqslant0 pour un entier n donné. Comme u_{n+1}=f(u_n) et que f(x)\geqslant0 pour tout x\geqslant-1 (question A.3.b), on a u_{n+1}\geqslant0 : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : par le principe de récurrence, u_n\geqslant0 pour tout entier naturel n.

PartieB ; 3. Démontrer que la suite (u_n) est décroissante.

u_{n+1}-u_n = -\ln(1+u_n).
Comme u_n\geqslant0 pour tout n (question précédente), on a 1+u_n\geqslant1, donc par croissance du logarithme népérien \begin{aligned}\ln(1+u_n) &\geqslant \ln(1) \\ &= 0\end{aligned} soit -\ln(1+u_n)\leqslant0.
Donc, la réponse est que {u_{n+1}-u_n\leqslant0} pour tout n : la suite (u_n) est décroissante.

PartieB ; 4. Déduire des questions précédentes que la suite (u_n) converge.

La suite (u_n) est décroissante (question 3) et minorée par 0 (question 2) : d'après le théorème de la limite monotone, elle converge. Donc, la réponse est que (u_n) converge vers une limite \ell telle que \ell\geqslant0.

PartieB ; 5. Déterminer la limite \ell de la suite (u_n).

La fonction f est dérivable donc continue sur {]-1~;~+\infty[}, et u_{n+1}=f(u_n) avec (u_n) convergente vers \ell : par passage à la limite, \begin{aligned}\ell &= f(\ell) \\ &= \ell-\ln(1+\ell)\end{aligned}
Cette égalité équivaut à \ln(1+\ell)=0, soit 1+\ell=1, soit \ell=0.
Donc, la réponse est \lim\limits_{n\to+\infty}u_n = 0.

1.Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne A(3 ; 0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) et C(-2 ; -5 ; 1). Démontrer que A, B et C ne sont pas alignés.

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-5 \\ -5 \\ 0\end{pmatrix}.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires : si l'on avait \overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}, la première coordonnée donnerait k=5, mais la troisième donnerait \begin{aligned}0 &= 5\times1 \\ &= 5\end{aligned} ce qui est faux.
Donc, la réponse est que \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires : les points A, B et C ne sont pas alignés, ils définissent donc un plan noté (ABC).

2.Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.

\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= (-1)\times(-5) + 1\times(-5) + 1\times0 \\ &= 5-5+0 \\ &= 0\end{aligned}
Donc, la réponse est que \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux : le triangle ABC est rectangle en A.

3.Vérifier que le plan (ABC) a pour équation cartésienne {-x+y-2z+5=0}.

On remplace les coordonnées de chaque point dans le membre de gauche : pour A, -3+0-2+5=0 ; pour B, -2+1-4+5=0 ; pour C, {2-5-2+5=0}.
Les trois égalités sont vraies : A, B et C appartiennent au plan d'équation {-x+y-2z+5=0}. Comme trois points non alignés définissent un unique plan, donc, la réponse est que (ABC) a bien pour équation {-x+y-2z+5=0}.

4.On donne S(1 ; -2 ; 4). Déterminer une représentation paramétrique de la droite (\Delta) passant par S et orthogonale au plan (ABC).

Un vecteur normal au plan (ABC) se lit dans son équation cartésienne : \vec{n}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}. La droite (\Delta), orthogonale au plan, admet \vec{n} comme vecteur directeur.
Donc, la réponse est (\Delta)\,:\,\begin{cases}x = 1-t\\y=-2+t\\z=4-2t\end{cases}, avec t\in\mathbb{R}.

5.On note H le point d'intersection de (\Delta) et du plan (ABC). Montrer que H a pour coordonnées (0 ; -1 ; 2).

Les coordonnées de H vérifient à la fois la représentation paramétrique de (\Delta) et l'équation du plan (ABC). En substituant x=1-t, y=-2+t, {z=4-2t} dans {-x+y-2z+5=0} :
\begin{aligned}-(1-t)+(-2+t)-2(4-2t)+5 = 0 &\iff -1+t-2+t-8+4t+5 = 0 \\ &\iff 6t-6 = 0 \\ &\iff t = 1 \end{aligned}
Pour t=1 : \begin{aligned}x &= 1-1 \\ &= 0\end{aligned} \begin{aligned}y &= -2+1 \\ &= -1\end{aligned} \begin{aligned}z &= 4-2 \\ &= 2\end{aligned} Donc, la réponse est que H a bien pour coordonnées (0~;~-1~;~2).

6.Calculer la valeur exacte de la distance SH.

\begin{aligned}SH^2 &= (0-1)^2+(-1-(-2))^2+(2-4)^2 \\ &= 1+1+4 \\ &= 6\end{aligned} Donc, la réponse est SH = \sqrt{6}.

7.On considère le cercle \mathcal{C} inclus dans le plan (ABC), de centre H, passant par B ; \mathcal{D} est le disque délimité par \mathcal{C}. Déterminer la valeur exacte de l'aire de \mathcal{D}.

Le rayon du cercle est HB, avec \begin{aligned}HB^2 &= (2-0)^2+(1-(-1))^2+(2-2)^2 \\ &= 4+4+0 \\ &= 8\end{aligned}
L'aire du disque vaut \mathcal{A} = \pi\times HB^2. Donc, la réponse est \mathcal{A} = 8\pi.

8.En déduire la valeur exacte du volume du cône de sommet S et de base le disque \mathcal{D}.

La droite (\Delta)=(SH) est orthogonale au plan (ABC), donc au plan du disque \mathcal{D} : [SH] est donc la hauteur du cône, de longueur \sqrt6, et sa base a pour aire 8\pi.
Le volume d'un cône vaut {\dfrac13\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}}, soit {\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times8\pi\times\sqrt6}.
Donc, la réponse est \mathcal{V} = \dfrac{8\pi\sqrt6}{3}.

1.Une chaîne de fabrication produit 4 % de pièces défectueuses. On prélève au hasard, avec remise, n=50 pièces ; X compte le nombre de pièces défectueuses. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, de tirer au moins une pièce défectueuse ? (a. 1 ; b. 0,870 ; c. 0,600 ; d. 0,599)

X suit la loi binomiale de paramètres n=50 et p=0{,}04. On a \begin{aligned}p(X\geqslant1) &= 1-p(X=0) \\ &= 1-0{,}96^{50} \\ &\approx 1-0{,}1299 \\ &\approx 0{,}8701\end{aligned}
Donc, la réponse est 0,870 : réponse b.

2.La probabilité p(3<X\leqslant7) est égale à laquelle des quatre expressions proposées ?

L'événement « 3<X\leqslant7 » correspond aux valeurs 4, 5, 6, 7 de X, ce qui s'obtient en retranchant à p(X\leqslant7) la probabilité des valeurs 0 à 3, c'est-à-dire p(X\leqslant3).
Donc, la réponse est {p(3<X\leqslant7) = p(X\leqslant7)-p(X\leqslant3)} : réponse b (numériquement {\approx0{,}9992-0{,}8609\approx0{,}138}).

3.Quel est le plus petit entier naturel k tel que la probabilité de tirer au plus k pièces défectueuses soit supérieure ou égale à 95 % ? (a. 2 ; b. 3 ; c. 4 ; d. 5)

À la calculatrice, {p(X\leqslant3)\approx0{,}861<0{,}95} tandis que \begin{aligned}p(X\leqslant4) &\approx 0{,}951 \\ &\geqslant 0{,}95\end{aligned}
Donc, la réponse est k=4 : réponse c.

4.Dans les questions suivantes, n n'est plus nécessairement égal à 50. Quelle est la probabilité de ne tirer que des pièces défectueuses parmi les n pièces ? (a. 0{,}04^n ; b. 0{,}96^n ; c. 1-0{,}04^n ; d. 1-0{,}96^n)

Les tirages étant indépendants et de probabilité 0{,}04 chacun d'être défectueux, la probabilité que les n pièces soient toutes défectueuses est le produit 0{,}04\times0{,}04\times\cdots\times0{,}04 = 0{,}04^n.
Donc, la réponse est 0{,}04^n : réponse a.

5.On exécute la fonction Python suivante : def seuil(x): n = 1; while 1 - 0.96n < x: n = n + 1; return n. Que renvoie-t-elle ? (a. le plus petit n tel que p(X\geqslant1)\geqslant x ; b. le plus petit n tel que p(X=0)\geqslant x ; c. le plus grand n tel que p(\text{tout défectueux})\geqslant x ; d. le plus grand n tel que p(X=0)\geqslant x)