Bac Terminale Spé Maths : Métropole 2023, Sujet 1

1.Un technicien contrôle des machines identiques. On sait que 20 % des machines sont sous garantie (évènement G), que 0,2 % sont à la fois défectueuses et sous garantie, et que 8,2 % sont défectueuses (évènement D). Quelle est la probabilité p_G(D) que la machine soit défectueuse sachant qu'elle est sous garantie ?

On a p(G)=0{,}2 et p(G\cap D)=0{,}002, donc \begin{aligned}p_G(D) &= \dfrac{p(G\cap D)}{p(G)} \\ &= \dfrac{0{,}002}{0{,}2} \\ &= 0{,}01\end{aligned} Donc, la réponse est b. 0,01.

2.Quelle est la probabilité p(\overline{G}\cap D) que la machine soit défectueuse et non sous garantie ?

D'après la formule des probabilités totales appliquée à D : {p(D) = p(G\cap D) + p(\overline{G}\cap D)}, donc \begin{aligned}p(\overline{G}\cap D) &= p(D) - p(G\cap D) \\ &= 0{,}082 - 0{,}002 \\ &= 0{,}08\end{aligned} Donc, la réponse est b. 0,08.

3.Sachant que la machine est défectueuse, quelle est, à 10^{-3} près, la probabilité qu'elle soit sous garantie ?

On cherche \begin{aligned}p_D(G) &= \dfrac{p(G\cap D)}{p(D)} \\ &= \dfrac{0{,}002}{0{,}082} \\ &\approx 0{,}0244\end{aligned} Donc, la réponse est b. 0,024.

4.On choisit au hasard et de façon indépendante n=50 machines ; X compte le nombre de machines défectueuses parmi elles et suit la loi binomiale de paramètres n=50 et p=0{,}082. Quelle est la valeur, arrondie au millième, de p(X>2) ?

À la calculatrice, p(X\leqslant2) \approx 0{,}2114, donc \begin{aligned}p(X>2) &= 1-p(X\leqslant2) \\ &\approx 1-0{,}2114 \\ &\approx 0{,}789\end{aligned} Donc, la réponse est b. 0,789.

5.Pour un lot de taille n, on cherche la plus grande valeur de n pour laquelle la probabilité que toutes les machines fonctionnent correctement reste supérieure à 0,4.

Toutes les machines fonctionnent correctement lorsque X=0, avec \begin{aligned}p(X=0) &= (1-0{,}082)^n \\ &= 0{,}918^n\end{aligned} (aucune machine défectueuse parmi les n).
On résout 0{,}918^n > 0{,}4. Par croissance de la fonction \ln : n\ln(0{,}918) > \ln(0{,}4), et comme \ln(0{,}918)<0, cela équivaut à n < \dfrac{\ln(0{,}4)}{\ln(0{,}918)}.
Or \dfrac{\ln(0{,}4)}{\ln(0{,}918)} \approx 10{,}71, donc le plus grand entier n vérifiant l'inégalité est n=10. Donc, la réponse est c. 10.

1.On considère la fonction f définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x) = x^2 - 8\ln(x). Déterminer la limite de f en 0.

Quand x\to0 avec x>0, x^2\to0 et \ln(x)\to-\infty, donc -8\ln(x)\to+\infty : par somme, \lim\limits_{x\to0}f(x) = +\infty.

2.En utilisant l'écriture {f(x) = x^2\left(1-8\dfrac{\ln(x)}{x^2}\right)} pour x>0, déterminer la limite de f en +\infty.

Par croissances comparées, \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^2} = 0 (a fortiori, puisque \dfrac{\ln x}{x^2}=\dfrac1x\times\dfrac{\ln x}{x} et que \dfrac{\ln x}{x}\to0, \dfrac1x\to0), donc 1-8\dfrac{\ln(x)}{x^2} \to 1.
Comme x^2\to+\infty, par produit des limites \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = +\infty.

3.Montrer que, pour tout x de ]0~;~+\infty[, f'(x) = \dfrac{2(x^2-4)}{x}.

f est dérivable sur ]0~;~+\infty[ comme somme de fonctions dérivables, et f'(x) = 2x - 8\times\dfrac1x = \dfrac{2x^2}{x} - \dfrac{8}{x} = \dfrac{2x^2-8}{x} = \dfrac{2(x^2-4)}{x}.

4.Étudier les variations de f sur ]0~;~+\infty[ et dresser son tableau de variations complet (en précisant la valeur exacte du minimum).

On factorise : f'(x) = \dfrac{2(x-2)(x+2)}{x}. Sur ]0~;~+\infty[, x>0 et x+2>0, donc f'(x) est du signe de (x-2).
f'(x)<0 sur ]0~;~2[ et f'(x)>0 sur ]2~;~+\infty[ : f est donc strictement décroissante sur ]0~;~2] puis strictement croissante sur [2~;~+\infty[.
f admet donc un minimum en x=2, qui vaut \begin{aligned}f(2) &= 2^2 - 8\ln(2) \\ &= 4-8\ln(2)\end{aligned}
Le tableau de variations part de +\infty en 0, décroît jusqu'au minimum 4-8\ln(2) en x=2, puis croît vers +\infty.

5.Démontrer que, sur ]0~;~2], l'équation f(x)=0 admet une unique solution \alpha (sans chercher sa valeur).

Numériquement, {4-8\ln(2) \approx -1{,}545 < 0} : le minimum de f est strictement négatif, donc f s'annule bien quelque part sur ]0~;~2].
f est dérivable donc continue sur ]0~;~2], et strictement décroissante sur cet intervalle. Elle prend une valeur qui tend vers +\infty en 0 et vaut {4-8\ln(2)<0} en 2, donc elle change de signe une seule fois.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, appliqué à une fonction continue et strictement monotone, l'équation f(x)=0 admet une unique solution \alpha sur ]0~;~2].

6.On admet que, sur [2~;~+\infty[, l'équation f(x)=0 admet une unique solution \beta. En déduire le signe de f sur ]0~;~+\infty[.

Puisque f est strictement décroissante sur ]0~;~2] et s'annule en \alpha, elle est positive avant \alpha et négative entre \alpha et 2. Puisque f est strictement croissante sur [2~;~+\infty[ et s'annule en \beta, elle reste négative entre 2 et \beta puis positive après \beta. Donc, la réponse est : f(x)>0 sur ]0~;~\alpha[, f(\alpha)=0, f(x)<0 sur ]\alpha~;~\beta[, f(\beta)=0 et f(x)>0 sur ]\beta~;~+\infty[.

7.Pour tout réel k, on définit g_k sur ]0~;~+\infty[ par g_k(x) = x^2-8\ln(x)+k. Déterminer, à l'aide du tableau de variations de f, la plus petite valeur de k pour laquelle g_k reste positive sur ]0~;~+\infty[.

On remarque que g_k(x) = f(x)+k pour tout x : g_k a donc les mêmes variations que f, translatées de k.
Le minimum de g_k sur ]0~;~+\infty[ vaut donc 4-8\ln(2)+k, atteint en x=2 comme pour f.
g_k est positive ou nulle sur tout l'intervalle si et seulement si ce minimum est positif ou nul : \begin{aligned}4-8\ln(2)+k \geqslant 0 &\iff k \geqslant 8\ln(2)-4 \end{aligned}
Donc, la réponse est : la plus petite valeur qui convient est k = 8\ln(2)-4.

PartieA ; 1. Une entreprise modélise le nombre de questions (en centaines) posées chaque mois sur sa FAQ par la suite (u_n) définie par u_1=3 et, pour tout n\geqslant1, u_{n+1} = 0{,}9u_n+1{,}3 (90 % des questions du mois précédent sont conservées, et 130 nouvelles questions s'ajoutent). Calculer u_2 et u_3, et interpréter.

\begin{aligned}u_2 &= 0{,}9\times u_1 + 1{,}3 \\ &= 0{,}9\times3+1{,}3 \\ &= 2{,}7+1{,}3 \\ &= 4\end{aligned} et \begin{aligned}u_3 &= 0{,}9\times u_2+1{,}3 \\ &= 0{,}9\times4+1{,}3 \\ &= 3{,}6+1{,}3 \\ &= 4{,}9\end{aligned}
Comme u_n représente un nombre de questions en centaines, on peut estimer à 400 questions le 2^{\text{e}} mois et à 490 questions le 3^{\text{e}} mois.

PartieA ; 2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n\geqslant1, {u_n = 13 - \dfrac{100}{9}\times0{,}9^n}.

Initialisation. Pour n=1 : \begin{aligned}13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^1 &= 13-\dfrac{90}{9} \\ &= 13-10 \\ &= 3 \\ &= u_1\end{aligned} La propriété est vraie au rang 1.
Hérédité. Supposons que, pour un entier n\geqslant1, u_n = 13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^n. Alors \begin{aligned}u_{n+1} &= 0{,}9u_n+1{,}3 \\ &= 0{,}9\left(13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^n\right)+1{,}3 \\ &= 11{,}7 - \dfrac{100}{9}\times0{,}9^{n+1}+1{,}3 \\ &= 13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^{n+1}\end{aligned} La propriété est donc vraie au rang {n+1}.
Conclusion. La propriété est vraie au rang 1 et héréditaire à partir de ce rang : d'après le principe de récurrence, pour tout entier n\geqslant1, u_n = 13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^n.

PartieA ; 3. En déduire que la suite (u_n) est croissante.

Pour tout n\geqslant1 : \begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \left(13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^{n+1}\right) - \left(13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^{n}\right) \\ &= \dfrac{100}{9}\times0{,}9^n\times(1-0{,}9) \\ &= \dfrac{100}{9}\times0{,}9^n\times0{,}1\end{aligned} Cette quantité est strictement positive car 0{,}9^n>0, donc u_{n+1}-u_n>0 pour tout n\geqslant1 : la suite (u_n) est croissante.

PartieA ; 4. Le script Python ci-dessous renvoie le plus petit rang n tel que u_n dépasse un seuil p donné. Recopier ce script.

PartieA ; 4 (suite). Déterminer la valeur renvoyée par seuil(8.5) et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.

seuil(8.5) renvoie le plus petit rang n tel que u_n>8{,}5. On résout : u_n>8{,}5 \iff 13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^n>8{,}5 \iff \dfrac{100}{9}\times0{,}9^n<4{,}5 \iff 0{,}9^n<\dfrac{4{,}5\times9}{100} = 0{,}405.
Par stricte décroissance de \ln : n\ln(0{,}9) < \ln(0{,}405), et comme \ln(0{,}9)<0, cela équivaut à {n>\dfrac{\ln(0{,}405)}{\ln(0{,}9)}}.
Or \dfrac{\ln(0{,}405)}{\ln(0{,}9)} \approx 8{,}58, donc le plus petit entier n qui convient est 9. Donc, la réponse est : seuil(8.5) renvoie 9, ce qui signifie que c'est le 9^{\text{e}} mois où le nombre de questions dépasse 850.

PartieB ; 1. Une seconde modélisation utilise la suite (v_n) définie pour n\geqslant1 par v_n = 9-6\text{e}^{-0{,}19(n-1)}. Donner les valeurs de v_1 et v_2 arrondies au centième.

v_1 = 9-6\text{e}^{0} = 9-6 = 3 et v_2 = 9-6\text{e}^{-0{,}19} \approx 9-6\times0{,}8270 \approx 9-4{,}962 \approx 4{,}04.

PartieB ; 2. Déterminer, en justifiant, la plus petite valeur de n telle que v_n>8{,}5.

v_n>8{,}5 \iff 9-6\text{e}^{-0{,}19(n-1)}>8{,}5 \iff 6\text{e}^{-0{,}19(n-1)}<0{,}5 \iff \text{e}^{-0{,}19(n-1)}<\dfrac{0{,}5}{6}.
Par stricte croissance de \ln : {-0{,}19(n-1) < \ln\left(\dfrac{0{,}5}{6}\right)}, soit {n-1 > -\dfrac{1}{0{,}19}\ln\left(\dfrac{0{,}5}{6}\right)} (le sens s'inverse car on divise par -0{,}19<0), donc {n > 1-\dfrac{1}{0{,}19}\ln\left(\dfrac{0{,}5}{6}\right)}.
Or 1-\dfrac{1}{0{,}19}\ln\left(\dfrac{0{,}5}{6}\right) \approx 14{,}08, donc le plus petit entier n qui convient est {n=15}.

PartieC ; 1. L'entreprise change la présentation de son site dès que plus de 850 questions figurent sur la FAQ. Laquelle des deux modélisations conduit à ce seuil le plus tôt ?

D'après la question précédente sur (u_n), le seuil u_n>8{,}5 est atteint dès le 9^{\text{e}} mois.
D'après la question sur (v_n), le seuil v_n>8{,}5 n'est atteint qu'au 15^{\text{e}} mois.
Donc, la réponse est : c'est la première modélisation, avec la suite (u_n), qui conduit à modifier la présentation du site le plus tôt.

PartieC ; 2. Pour quelle modélisation le nombre de questions à long terme est-il le plus grand ?

Pour (u_n) : u_n = 13-\dfrac{100}{9}\times0{,}9^n, et comme {-1<0{,}9<1}, \lim\limits_{n\to+\infty}0{,}9^n = 0, donc \lim\limits_{n\to+\infty}u_n = 13 : à long terme, la première modélisation prévoit 1300 questions.
Pour (v_n) : v_n = 9-6\text{e}^{-0{,}19(n-1)}, et comme -0{,}19(n-1)\to-\infty quand n\to+\infty, on a \text{e}^{-0{,}19(n-1)}\to0, donc \lim\limits_{n\to+\infty}v_n = 9 : la seconde modélisation prévoit 900 questions à long terme.
Donc, la réponse est : c'est la première modélisation, avec la suite (u_n), qui prévoit le plus grand nombre de questions à long terme.

1.On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1, muni du repère orthonormé (A~;~\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}). Donner les coordonnées des points E, C et G dans ce repère.

En suivant les arêtes du cube depuis A : \text{E}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \text{C}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} et \text{G}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}.

2.Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).

Le vecteur \overrightarrow{EC} a pour coordonnées \begin{pmatrix}1-0 \\ 1-0 \\ 0-1\end{pmatrix}, soit \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} : c'est un vecteur directeur de la droite (EC), qui passe par \text{E}(0~;~0~;~1).
Donc, la réponse est : (EC) a pour représentation paramétrique \begin{cases}x = t\\y = t\\z = 1-t\end{cases} avec t\in\mathbb{R}.

3.Démontrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (GBD).

Les points G, B, D ne sont pas alignés, donc (GBD) est un plan, dirigé par exemple par \overrightarrow{GB}\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix} et \overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}.
\begin{aligned}\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{GB} &= 1\times0 + 1\times(-1) + (-1)\times(-1) \\ &= 0-1+1 \\ &= 0\end{aligned} donc \overrightarrow{EC}\perp\overrightarrow{GB}.
\begin{aligned}\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{BD} &= 1\times(-1) + 1\times1 + (-1)\times0 \\ &= -1+1+0 \\ &= 0\end{aligned} donc \overrightarrow{EC}\perp\overrightarrow{BD}.
Le vecteur \overrightarrow{EC} est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan (GBD), donc la droite (EC) est orthogonale au plan (GBD).

4.aJustifier qu'une équation cartésienne du plan (GBD) est x+y-z-1=0.

Comme (EC) est orthogonale à (GBD), tout vecteur directeur de (EC) est un vecteur normal à (GBD) ; en particulier \overrightarrow{EC}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} convient.
Le plan (GBD) a donc une équation de la forme x+y-z+d=0. En écrivant que \text{B}(1~;~0~;~0) appartient à ce plan : 1+0-0+d=0, donc d=-1.
Donc, la réponse est : le plan (GBD) a pour équation x+y-z-1=0.

4.bMontrer que le point I, intersection de (EC) et (GBD), a pour coordonnées \left(\dfrac23~;~\dfrac23~;~\dfrac13\right).

Les coordonnées de I vérifient à la fois la représentation paramétrique de (EC) et l'équation de (GBD) : x=t, y=t, {z=1-t} et x+y-z-1=0.
En substituant : \begin{aligned}t+t-(1-t)-1 = 0 &\iff 3t-2 = 0 \\ &\iff t = \dfrac23 \end{aligned}
Donc, la réponse est : \text{I}\left(\dfrac23~;~\dfrac23~;~\dfrac13\right), car \begin{aligned}x_I &= t \\ &= \dfrac23\end{aligned} \begin{aligned}y_I &= t \\ &= \dfrac23\end{aligned} et \begin{aligned}z_I &= 1-t \\ &= 1-\dfrac23 \\ &= \dfrac13\end{aligned}

4.cEn déduire que la distance du point E au plan (GBD) est égale à \dfrac{2\sqrt3}{3}.

La droite (EC) étant orthogonale au plan (GBD) et le coupant en I, la distance de E au plan (GBD) est la longueur EI.
\text{EI}^2 = \left(\dfrac23-0\right)^2+\left(\dfrac23-0\right)^2+\left(\dfrac13-1\right)^2 = \dfrac49+\dfrac49+\dfrac49 = \dfrac{12}{9} = \dfrac43.
\text{EI} = \sqrt{\dfrac43} = \dfrac{2}{\sqrt3} = \dfrac{2\sqrt3}{3}. Donc, la réponse est : la distance de E au plan (GBD) vaut \dfrac{2\sqrt3}{3}.

5.aDémontrer que le triangle BDG est équilatéral.

Les segments [BD], [DG] et [GB] sont chacun la diagonale d'une face du cube (respectivement ABCD, CDHG et BCGF), qui sont trois carrés de même côté 1, donc superposables. Leurs diagonales ont donc toutes la même longueur \sqrt2 : le triangle BDG, ayant ses trois côtés égaux, est équilatéral.

5.bCalculer l'aire du triangle BDG, en utilisant le point J milieu de [BD].

Dans un triangle équilatéral, la médiane issue d'un sommet est aussi la hauteur : [GJ] est donc la hauteur issue de G, et l'aire du triangle vaut \mathcal{A} = \dfrac{\text{BD}\times\text{GJ}}{2}.
\text{B}(1~;~0~;~0) et \text{D}(0~;~1~;~0) donnent \text{J}\left(\dfrac12~;~\dfrac12~;~0\right), milieu de [BD].
\text{GJ}^2 = \left(\dfrac12-1\right)^2+\left(\dfrac12-1\right)^2+(0-1)^2 = \dfrac14+\dfrac14+1 = \dfrac32, donc {\text{GJ} = \sqrt{\dfrac32} = \dfrac{\sqrt6}{2}}.
[BD] est la diagonale d'un carré de côté 1, donc \text{BD} = \sqrt2.
Donc, la réponse est : \begin{aligned}\mathcal{A} &= \dfrac{\sqrt2\times\frac{\sqrt6}{2}}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{12}}{4} \\ &= \dfrac{2\sqrt3}{4} \\ &= \dfrac{\sqrt3}{2}\end{aligned}

6.Justifier que le volume du tétraèdre EGBD est égal à \dfrac13.

En prenant le triangle BDG comme base, d'aire \mathcal{A}=\dfrac{\sqrt3}{2}, et EI comme hauteur associée (E est le sommet opposé, et EI est la distance de E au plan de la base), le volume vaut V = \dfrac13\times\mathcal{A}\times\text{EI} = \dfrac13\times\dfrac{\sqrt3}{2}\times\dfrac{2\sqrt3}{3} = \dfrac13\times\dfrac{2\times3}{6} = \dfrac13\times1 = \dfrac13. Donc, la réponse est : le volume du tétraèdre EGBD vaut \dfrac13.