Bac Terminale Spé Maths : Nouvelle-Calédonie 2023, Sujet 1
Session 2023 : Nouvelle-Calédonie, Sujet 1 · Spécialité mathématiques, 4 exercices, 4 heures.
Exercice 1 5 points
PartieA : Une entreprise de location de bateaux propose des bateaux à voile ou à moteur, avec une option PILOTE possible. On sait que 60 % des clients choisissent un bateau à voile, et parmi eux 20 % prennent l'option PILOTE ; par ailleurs 42 % de tous les clients prennent l'option PILOTE. On note V l'évènement « le client choisit un bateau à voile » et L l'évènement « le client prend l'option PILOTE ». 1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
L'arbre part de la racine avec les branches V (probabilité 0{,}6) et \overline{V} (probabilité 0{,}4). Sur la branche V, les sous-branches sont L (probabilité 0{,}2) et \overline{L} (probabilité 0{,}8). Sur la branche \overline{V}, les sous-branches sont L (probabilité inconnue, notée x) et \overline{L} (probabilité {1-x}).
PartieA ; 2. Calculer la probabilité que le client choisisse un bateau à voile sans prendre l'option PILOTE.
On calcule P(V\cap\overline{L}) = P(V)\times P_V(\overline{L}) = 0{,}6\times0{,}8 = 0,48.
PartieA ; 3. Montrer que la probabilité que le client choisisse un bateau à moteur avec l'option PILOTE vaut 0{,}30.
Les évènements V et \overline{V} partitionnent l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales : {P(L) = P(V\cap L) + P(\overline{V}\cap L)}.
Or \begin{aligned}P(V\cap L) &= P(V)\times P_V(L) \\ &= 0{,}6\times0{,}2 \\ &= 0{,}12\end{aligned} et P(L)=0{,}42 d'après l'énoncé.
On en déduit P(\overline{V}\cap L) = P(L) - P(V\cap L) = 0{,}42-0{,}12 = 0,30, ce qui est le résultat annoncé.
PartieA ; 4. En déduire P_{\overline{V}}(L), la probabilité que le client prenne l'option PILOTE sachant qu'il n'a pas choisi de bateau à voile.
D'après la définition de la probabilité conditionnelle : P_{\overline{V}}(L) = \dfrac{P(\overline{V}\cap L)}{P(\overline{V})} = \dfrac{0{,}30}{0{,}4} = 0,75.
PartieA ; 5. Sachant qu'un client a pris l'option PILOTE, quelle est la probabilité qu'il ait choisi un bateau à voile ? (arrondir au centième)
D'après la définition de la probabilité conditionnelle : {P_L(V) = \dfrac{P(V\cap L)}{P(L)} = \dfrac{0{,}12}{0{,}42} = \dfrac{2}{7} \approx} 0,29.
PartieB : Si le client n'a pas pris l'option PILOTE, la probabilité que son bateau subisse une avarie est 0{,}12 ; si le client a pris l'option PILOTE, cette probabilité tombe à 0{,}005. On note A l'évènement « le bateau subit une avarie ». 1. Déterminer P(L\cap A) et P(\overline{L}\cap A).
P(L\cap A) = P(L)\times P_L(A) = 0{,}42\times0{,}005 = 0,0021.
P(\overline{L}\cap A) = P(\overline{L})\times P_{\overline{L}}(A) = (1-0{,}42)\times0{,}12 = 0{,}58\times0{,}12 = 0,0696.
PartieB ; 2. L'entreprise loue 1000 bateaux. Combien d'avaries peut-elle prévoir en moyenne ?
Les évènements L et \overline{L} partitionnent l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales : \begin{aligned}P(A) &= P(L\cap A) + P(\overline{L}\cap A) \\ &= 0{,}0021 + 0{,}0696 \\ &= 0{,}0717\end{aligned}
La probabilité qu'un bateau donné subisse une avarie est donc 0{,}0717. Sur 1000 bateaux loués, l'entreprise peut donc s'attendre à 1000\times0{,}0717 = 71{,}7, soit environ 72 avaries.
PartieC : On rappelle que la probabilité qu'un client donné prenne l'option PILOTE est 0{,}42. On observe un échantillon aléatoire de 40 clients, et X compte parmi eux le nombre de clients ayant pris l'option PILOTE. 1. En admettant que X suit une loi binomiale, donner ses paramètres sans justification.
Le tirage de 40 clients de façon indépendante, chacun prenant l'option PILOTE avec la même probabilité 0{,}42, correspond à une loi binomiale de paramètres n=40 et p=0{,}42.
PartieC ; 2. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'au moins 15 clients de l'échantillon prennent l'option PILOTE.
À la calculatrice : P(X\geqslant15) \approx 0,768.
Exercice 2 5 points
1.aOn considère la suite (u_n) définie par u_0=3 et, pour tout entier naturel n, {u_{n+1} = 5u_n - 4n - 3}. Montrer que u_1=12.
u_1 = 5u_0 - 4\times0 - 3 = 5\times3 - 3 = 15-3 = 12.
1.bDéterminer u_2 en détaillant le calcul.
u_2 = 5u_1 - 4\times1 - 3 = 5\times12 - 4 - 3 = 60-7 = 53.
1.cÀ l'aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite (u_n).
En calculant les premiers termes, la suite semble strictement croissante et tendre vers +\infty.
2.aDémontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {u_n \geqslant n+1}.
Notons P_n la proposition « {u_n \geqslant n+1} ».
Initialisation : u_0 = 3 et 0+1=1. Comme 3\geqslant1, P_0 est vraie.
Hérédité : supposons P_n vraie pour un entier naturel n fixé, c'est-à-dire {u_n \geqslant n+1}. Alors \begin{aligned}5u_n &\geqslant 5(n+1) \\ &= 5n+5\end{aligned} donc \begin{aligned}5u_n - 4n - 3 &\geqslant 5n+5-4n-3 \\ &= n+2\end{aligned} c'est-à-dire u_{n+1} \geqslant (n+1)+1. Donc P_{n+1} est vraie : la proposition est héréditaire.
Conclusion : P_0 est vraie et la proposition est héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {u_n \geqslant n+1}.
2.bEn déduire la limite de la suite (u_n).
Comme \lim\limits_{n\to+\infty}(n+1) = +\infty et {u_n \geqslant n+1} pour tout n, par comparaison, \lim\limits_{n\to+\infty}u_n = +\infty.
3.aOn pose, pour tout entier naturel n, v_n = u_n - n - 1. Montrer que (v_n) est géométrique, et préciser sa raison et son premier terme.
Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1} - (n+1) - 1 \\ &= (5u_n - 4n - 3) - n - 2 \\ &= 5u_n - 5n - 5 \\ &= 5(u_n - n - 1) \\ &= 5v_n\end{aligned}
La suite (v_n) est donc géométrique, de raison q=5 et de premier terme {v_0 = u_0 - 0 - 1 = 3-1 =} 2.
3.bEn déduire l'expression de v_n en fonction de n.
Comme (v_n) est géométrique de raison 5 et de premier terme v_0=2, pour tout entier naturel n : v_n = 2\times5^n.
3.cEn déduire que, pour tout entier naturel n, u_n = 2\times5^n + n + 1.
Par définition, v_n = u_n - n - 1, donc \begin{aligned}u_n &= v_n + n + 1 \\ &= 2\times5^n + n + 1\end{aligned} ce qui est le résultat attendu.
3.dEn déduire le sens de variation de la suite (u_n).
Comme 5>1, la suite de terme général 5^n est strictement croissante, donc 5^{n+1} > 5^n pour tout entier naturel n.
En multipliant par 2 puis en ajoutant n+2 des deux côtés : {2\times5^{n+1} + (n+1) + 1 > 2\times5^n + (n+1) + 1 > 2\times5^n + n + 1}, c'est-à-dire u_{n+1} > u_n.
La suite (u_n) est donc strictement croissante, ce qui confirme la conjecture de la question 1.c.
4.aUn programme Python incomplet doit renvoyer le plus petit entier naturel n tel que u_n \geqslant 10^7. Recopier et compléter les deux instructions manquantes.
- def suite():
- u = 3
- n = 0
- while u < 107 :
- u = 5 * u - 4 * n - 3
- n = n + 1
- return n
4.bQuelle est la valeur renvoyée par cette fonction ?
En simulant ce programme, u_n dépasse 10^7 pour la première fois au rang n=10, on trouve {u_9 = 3\,906\,260 < 10^7} puis \begin{aligned}u_{10} &= 19\,531\,261 \\ &\geqslant 10^7\end{aligned} La fonction renvoie donc 10.
Exercice 3 (QCM) 5 points
1.On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = (x+1)\text{e}^x. Une primitive F de f est : a. {F(x)=(1+x)\text{e}^x} ; b. {F(x)=(1+x)\text{e}^x} (variante d'écriture) ; c. {F(x)=(2+x)\text{e}^x} ; d. F(x)=\left(\dfrac{x^2}{2}+x\right)\text{e}^x. Identifier la bonne réponse.
On écrit f(x) = (x+1)\text{e}^x = x\text{e}^x + \text{e}^x. Une primitive de x\mapsto x\text{e}^x est {x\mapsto(x-1)\text{e}^x}, et une primitive de x\mapsto\text{e}^x est x\mapsto\text{e}^x.
Donc une primitive de f est F(x) = (x-1)\text{e}^x + \text{e}^x = x\text{e}^x = (1+x)\text{e}^x - \text{e}^x + \text{e}^x. En vérifiant directement : si {F(x)=(1+x)\text{e}^x}, alors F'(x) = \text{e}^x + (1+x)\text{e}^x = (2+x)\text{e}^x, ce qui ne convient pas. En revanche pour F(x) = 1+x\text{e}^x, on a F'(x) = \text{e}^x + x\text{e}^x = (1+x)\text{e}^x = f(x) : c'est la bonne primitive.
Réponse : F(x) = 1+x\text{e}^x.
2.Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, les droites (d_1) et (d_2) ont pour représentations paramétriques {(d_1)\colon x=2+r,\ y=1+r,\ z=-r} (r\in\mathbb{R}) et {(d_2)\colon x=1-s,\ y=-1+s,\ z=2-s} (s\in\mathbb{R}). Ces droites sont-elles sécantes, strictement parallèles, confondues, ou non coplanaires ?
Un vecteur directeur de (d_1) est \vec{u_1}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} et un vecteur directeur de (d_2) est \vec{u_2}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}. Comme leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles, \vec{u_1} et \vec{u_2} ne sont pas colinéaires : les droites ne sont ni parallèles, ni confondues.
Cherchons un éventuel point commun : 2+r=1-s, 1+r=-1+s et {-r=2-s}. Des deux premières équations, on tire r-s=-1 et r-s=-2... en les résolvant proprement : de la première, r=-1-s ; en reportant dans la deuxième, \begin{aligned}1+(-1-s) = -1+s &\iff -s = -1+s \\ &\iff s = \dfrac{1}{2} \end{aligned} donc r=-\dfrac{3}{2}. La troisième équation donne alors -r = \dfrac{3}{2} et 2-s = \dfrac{3}{2} : les deux membres coïncident, le système est compatible.
Il existe donc un point commun, obtenu par exemple avec r=-\dfrac{3}{2} : \begin{aligned}x &= 2-\dfrac{3}{2} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned} \begin{aligned}y &= 1-\dfrac{3}{2} \\ &= -\dfrac{1}{2}\end{aligned} z=\dfrac{3}{2}, soit le point \left(\dfrac{1}{2}~;~-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{2}\right).
Réponse : les droites sont sécantes.
3.On considère le plan (P) d'équation cartésienne 2x-y+z-1=0 et la droite (\Delta) de représentation paramétrique {x=2+u,\ y=4+u,\ z=1-u} (u\in\mathbb{R}). Que peut-on dire de la position de (\Delta) par rapport à (P) : sécante et non orthogonale, incluse dans (P), strictement parallèle à (P), ou orthogonale à (P) ?
Un vecteur normal à (P) est \vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} et un vecteur directeur de (\Delta) est \vec{u}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}.
On calcule \begin{aligned}\vec{n}\cdot\vec{u} &= 2\times1 + (-1)\times1 + 1\times(-1) \\ &= 2-1-1 \\ &= 0\end{aligned} Les vecteurs sont orthogonaux, donc la droite (\Delta) est parallèle au plan (P) (elle n'est pas orthogonale à (P), puisque son vecteur directeur n'est pas colinéaire à \vec{n}).
Il reste à savoir si (\Delta) est incluse dans (P) ou strictement parallèle. Le point de (\Delta) obtenu pour u=0 a pour coordonnées (2~;~4~;~1). On vérifie : \begin{aligned}2\times2-4+1-1 &= 4-4+1-1 \\ &= 0\end{aligned} donc ce point appartient à (P).
Comme (\Delta) est parallèle à (P) et possède un point commun avec (P), (\Delta) est incluse dans le plan (P).
4.On considère le plan (P_1) d'équation {x-2y+z+1=0} et le plan (P_2) d'équation 2x+y+z-6=0. Ces plans sont-ils sécants et perpendiculaires, confondus, sécants et non perpendiculaires, ou strictement parallèles ?
Un vecteur normal à (P_1) est \vec{n_1}\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix} et un vecteur normal à (P_2) est \vec{n_2}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}.
Les coordonnées de \vec{n_1} et \vec{n_2} ne sont pas proportionnelles (par exemple \dfrac{1}{2}\neq\dfrac{-2}{1}), donc les vecteurs ne sont pas colinéaires : les plans ne sont ni parallèles, ni confondus, donc ils sont sécants.
On calcule \begin{aligned}\vec{n_1}\cdot\vec{n_2} &= 1\times2 + (-2)\times1 + 1\times1 \\ &= 2-2+1 \\ &= 1 \\ &\neq 0\end{aligned} Les vecteurs normaux ne sont pas orthogonaux, donc les plans sont sécants et non perpendiculaires.
5.On considère les points E(1~;~2~;~1), F(2~;~4~;~3) et G(-2~;~2~;~5). La mesure \alpha de l'angle \widehat{FEG} vérifie-t-elle \alpha=90\degres, {\alpha>90\degres}, \alpha=0\degres, ou \alpha\approx71\degres ?
On a \overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}2-1 \\ 4-2 \\ 3-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix} et \overrightarrow{EG}\begin{pmatrix}-2-1 \\ 2-2 \\ 5-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ 0 \\ 4\end{pmatrix}.
Le produit scalaire vaut \begin{aligned}\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{EG} &= 1\times(-3) + 2\times0 + 2\times4 \\ &= -3+0+8 \\ &= 5\end{aligned}
Les normes valent \begin{aligned}\left\|\overrightarrow{EF}\right\| &= \sqrt{1^2+2^2+2^2} \\ &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned} et \begin{aligned}\left\|\overrightarrow{EG}\right\| &= \sqrt{(-3)^2+0^2+4^2} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}
D'après la formule du produit scalaire, \begin{aligned}\cos\alpha &= \dfrac{\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{EG}}{\left\|\overrightarrow{EF}\right\|\times\left\|\overrightarrow{EG}\right\|} \\ &= \dfrac{5}{3\times5} \\ &= \dfrac{1}{3}\end{aligned} d'où, à la calculatrice, \alpha\approx 71 degrés.
Exercice 4 5 points
1.aOn considère la fonction f définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x) = 5x^2+2x-2x^2\ln(x). Montrer que la limite de f en 0 vaut 0.
On sépare f(x) = (5x^2+2x) - 2x^2\ln(x). D'une part \lim\limits_{x\to0}(5x^2+2x) = 0. D'autre part, par croissances comparées, \lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}x^2\ln(x) = 0.
Par somme de limites, \lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}f(x) = 0-0 = 0.
1.bDéterminer la limite de f en +\infty.
On factorise par x^2 pour x>0 : {f(x) = x^2\left(5+\dfrac{2}{x}-2\ln(x)\right)}.
Or \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2}{x} = 0 et \lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x) = +\infty, donc \lim\limits_{x\to+\infty}\left(5+\dfrac{2}{x}-2\ln(x)\right) = -\infty.
Comme \lim\limits_{x\to+\infty}x^2 = +\infty, par produit de limites, \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = -\infty.
2.Déterminer l'expression de f'(x) pour tout x de ]0~;~+\infty[.
En dérivant terme à terme, avec (x^2\ln(x))' = 2x\ln(x) + x^2\times\dfrac{1}{x} = 2x\ln(x)+x : f'(x) = 10x + 2 - 2\left[2x\ln(x)+x\right] = 10x+2-4x\ln(x)-2x = 8x+2-4x\ln(x).
3.aMontrer que, pour tout x de ]0~;~+\infty[, f''(x) = 4(1-\ln(x)).
En dérivant f'(x) = 8x+2-4x\ln(x), avec (x\ln(x))' = \ln(x)+1 : f''(x) = 8 - 4\left[\ln(x)+1\right] = 8-4\ln(x)-4 = 4-4\ln(x) = 4(1-\ln(x)), ce qui est le résultat attendu.
3.bEn déduire le plus grand intervalle sur lequel la courbe \mathcal{C}_f est au-dessus de ses tangentes.
La courbe \mathcal{C}_f est au-dessus de ses tangentes exactement là où f est convexe, c'est-à-dire là où f''(x)\geqslant0.
f''(x)\geqslant0 \iff 4(1-\ln(x))\geqslant0 \iff \ln(x)\leqslant1 \iff x\leqslant\text{e} (la fonction \ln étant strictement croissante sur ]0~;~+\infty[).
La courbe \mathcal{C}_f est donc au-dessus de ses tangentes sur l'intervalle ]0~;~\text{e}].
3.cDresser le tableau de variations de f' sur ]0~;~+\infty[, sachant que \lim\limits_{\substack{x\to0\\x>0}}f'(x)=2 et \lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=-\infty.
D'après la question 3.a, f''(x) est positif sur ]0~;~\text{e}] et négatif sur [\text{e}~;~+\infty[. Donc f' est strictement croissante sur ]0~;~\text{e}] puis strictement décroissante sur [\text{e}~;~+\infty[.
Le maximum de f' est atteint en x=\text{e} : f'(\text{e}) = 8\text{e}+2-4\text{e}\ln(\text{e}) = 8\text{e}+2-4\text{e} = 4\text{e}+2 (car \ln(\text{e})=1).
Le tableau de variations de f' part donc de la limite 2 en 0, croît jusqu'à la valeur 4\text{e}+2 en x=\text{e}, puis décroît vers -\infty.
4.aMontrer que l'équation f'(x)=0 admet une unique solution \alpha dans ]0~;~+\infty[, et en donner un encadrement d'amplitude 10^{-2}.
Sur ]0~;~\text{e}], f' est strictement croissante et sa limite en 0 vaut 2>0 : donc f'(x)\geqslant f'(0^+) ... plus précisément f'(x) > 0 pour tout x de cet intervalle (la valeur 2 n'est jamais atteinte mais sert de minorant strict). L'équation f'(x)=0 n'a donc pas de solution sur ]0~;~\text{e}].
Sur [\text{e}~;~+\infty[, f' est continue (car dérivable) et strictement décroissante, avec f'(\text{e}) = 4\text{e}+2 \approx 12{,}87 > 0 et \lim\limits_{x\to+\infty}f'(x) = -\infty. Comme 0 est compris entre ces deux valeurs, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f'(x)=0 admet une unique solution \alpha sur cet intervalle.
Au total, l'équation f'(x)=0 admet une unique solution \alpha sur ]0~;~+\infty[, avec \alpha dans [\text{e}~;~+\infty[.
À la calculatrice, on affine l'encadrement : f'(7{,}87)\approx0{,}015>0 et f'(7{,}88)\approx-0{,}028<0, d'où {7{,}87 < \alpha < 7{,}88}.
4.bEn déduire le signe de f'(x) sur ]0~;~+\infty[ et le tableau de variations de f.
Sur ]0~;~\text{e}], f'(x)>0 d'après la question précédente. Sur [\text{e}~;~+\infty[, f' est décroissante et s'annule uniquement en \alpha : donc f'(x)\geqslant0 sur [\text{e}~;~\alpha] et f'(x)\leqslant0 sur [\alpha~;~+\infty[.
Au final, f'(x)>0 sur ]0~;~\alpha[ et f'(x)<0 sur ]\alpha~;~+\infty[.
La fonction f est donc strictement croissante sur ]0~;~\alpha] puis strictement décroissante sur [\alpha~;~+\infty[ : elle admet un maximum en \alpha, avec f tendant vers 0 en 0 et vers -\infty en +\infty.
5.aEn utilisant l'égalité f'(\alpha)=0, montrer que \ln(\alpha) = \dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}, puis que f(\alpha) = \alpha^2+\alpha.
Comme f'(\alpha)=0, on a {8\alpha+2-4\alpha\ln(\alpha) = 0}, donc 4\alpha\ln(\alpha) = 8\alpha+2. Comme \alpha>0, on peut diviser par 2\alpha : \begin{aligned}\ln(\alpha) &= \dfrac{8\alpha+2}{4\alpha} \\ &= \dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}\end{aligned} ce qui est le résultat demandé.
En remplaçant dans l'expression de f(\alpha) : \begin{aligned}f(\alpha) &= 5\alpha^2+2\alpha-2\alpha^2\ln(\alpha) \\ &= 5\alpha^2+2\alpha-2\alpha^2\times\dfrac{4\alpha+1}{2\alpha} \\ &= 5\alpha^2+2\alpha-\alpha(4\alpha+1)\end{aligned}
En développant : \begin{aligned}f(\alpha) &= 5\alpha^2+2\alpha-4\alpha^2-\alpha \\ &= \alpha^2+\alpha\end{aligned} ce qui est le résultat attendu.
5.bEn déduire un encadrement d'amplitude 10^{-1} du maximum de f.
On sait, d'après la question 4.a, que {7{,}87<\alpha<7{,}88}. La fonction x\mapsto x^2+x étant strictement croissante sur [0~;~+\infty[ (somme de deux fonctions strictement croissantes et positives), on peut composer les inégalités.
Pour \alpha=7{,}87 : \begin{aligned}\alpha^2+\alpha &= 61{,}9369+7{,}87 \\ &= 69{,}8069\end{aligned} Pour \alpha=7{,}88 : \begin{aligned}\alpha^2+\alpha &= 62{,}0944+7{,}88 \\ &= 69{,}9744\end{aligned}
On obtient donc l'encadrement {69{,}8 < f(\alpha) < 70{,}0} (à 10^{-1} près), le maximum de f valant f(\alpha).
Corrigé rédigé par Logimaths à partir du sujet officiel du Ministère de l'Éducation nationale (éduscol.education.gouv.fr).