Bac Terminale Spé Maths : Nouvelle-Calédonie 2023, Sujet 2

1.On considère un cube ABCDEFGH d'arête 1, muni du repère orthonormé \left(A~;~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AE}\right), et K le milieu de [HG]. Justifier que les points C, F et K définissent un plan.

Dans ce repère : A(0~;~0~;~0), D(1~;~0~;~0), B(0~;~1~;~0), E(0~;~0~;~1).
Donc \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB} donne C(1~;~1~;~0), \overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE} donne F(0~;~1~;~1), et \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}, \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE} donnent H(1~;~0~;~1) et G(1~;~1~;~1).
K est le milieu de [HG] donc K\left(1~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right).
On a \overrightarrow{CF}\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} et \overrightarrow{CK}\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{1}{2} \\ 1\end{pmatrix} : ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires (aucun coefficient ne convertit l'un en l'autre).
Donc les points C, F et K ne sont pas alignés : ils définissent bien un plan.

2.aDonner, sans justification, les longueurs KG, GF et GC.

\text{KG} = \dfrac{1}{2}, \text{GF} = 1 et \text{GC} = 1 (déplacements le long des arêtes ou des diagonales de faces du cube d'arête 1).

2.bCalculer l'aire du triangle FGC.

Le triangle FGC est rectangle en G (deux arêtes du cube perpendiculaires), donc son aire vaut \begin{aligned}\mathcal{A} &= \dfrac{\text{GF}\times\text{GC}}{2} \\ &= \dfrac{1\times1}{2} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned} unité d'aire.

2.cCalculer le volume du tétraèdre FGCK, sachant que le volume d'un tétraèdre vaut V=\dfrac{1}{3}\mathcal{B}\times h où \mathcal{B} est l'aire d'une base et h la hauteur associée.

En prenant pour base le triangle FGC (aire \dfrac{1}{2}) et pour hauteur KG =\dfrac{1}{2} (K étant sur la droite (GH), perpendiculaire au plan (FGC)) : \begin{aligned}V &= \dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{1}{12}\end{aligned} unité de volume.

3.aOn pose \vec{n}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}. Démontrer que \vec{n} est un vecteur normal au plan (CFK).

\begin{aligned}\vec{n}\cdot\overrightarrow{CF} &= 1\times(-1)+2\times0+1\times1 \\ &= 0\end{aligned} donc \vec{n}\perp\overrightarrow{CF}.
\begin{aligned}\vec{n}\cdot\overrightarrow{CK} &= 1\times0+2\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)+1\times1 \\ &= 0\end{aligned} donc \vec{n}\perp\overrightarrow{CK}.
\vec{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (CFK) : c'est donc un vecteur normal à ce plan.

3.bEn déduire qu'une équation cartésienne du plan (CFK) est {x+2y+z-3=0}.

Un point M(x~;~y~;~z) appartient au plan (CFK) si et seulement si \overrightarrow{CM}\cdot\vec{n}=0, avec \overrightarrow{CM}\begin{pmatrix}x-1 \\ y-1 \\ z\end{pmatrix} (car C(1~;~1~;~0)).
\begin{aligned}\overrightarrow{CM}\cdot\vec{n} = 0 &\iff (x-1)+2(y-1)+z = 0 \\ &\iff x+2y+z-3 = 0 \end{aligned}
Donc, la réponse est : le plan (CFK) a pour équation cartésienne {x+2y+z-3=0}.

4.On note \Delta la droite passant par G et orthogonale au plan (CFK). Démontrer qu'une représentation paramétrique de \Delta est x=1+t, y=1+2t, z=1+t (avec {t\in\mathbb{R}}).

\Delta étant orthogonale au plan (CFK), elle admet \vec{n}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} comme vecteur directeur, et elle passe par G(1~;~1~;~1).
M(x~;~y~;~z)\in\Delta \iff \overrightarrow{GM} = t\,\vec{n} pour un réel t, c'est-à-dire x-1=t, {y-1=2t}, z-1=t.
Donc, la réponse est : \Delta a pour représentation paramétrique x=1+t, y=1+2t, z=1+t, {t\in\mathbb{R}}.

5.aSoit L le point d'intersection de \Delta et du plan (CFK). Déterminer les coordonnées de L.

Les coordonnées de L vérifient à la fois le système paramétrique de \Delta et l'équation du plan (CFK) : {(1+t)+2(1+2t)+(1+t)-3=0}.
Cela donne 1+t+2+4t+1+t-3=0, soit 6t+1=0, donc t=-\dfrac{1}{6}.
On en tire \begin{aligned}x &= 1-\dfrac{1}{6} \\ &= \dfrac{5}{6}\end{aligned} \begin{aligned}y &= 1-\dfrac{2}{6} \\ &= \dfrac{2}{3}\end{aligned} \begin{aligned}z &= 1-\dfrac{1}{6} \\ &= \dfrac{5}{6}\end{aligned} D'où L\left(\dfrac{5}{6}~;~\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{5}{6}\right).

5.bEn déduire que \text{LG}=\dfrac{\sqrt{6}}{6}.

\text{LG} = \sqrt{(x_G-x_L)^2+(y_G-y_L)^2+(z_G-z_L)^2} = \sqrt{\left(\dfrac{1}{6}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{6}\right)^2}.
= \sqrt{\dfrac{1}{36}+\dfrac{4}{36}+\dfrac{1}{36}} = \sqrt{\dfrac{6}{36}} = \dfrac{\sqrt{6}}{6}.
Donc, la réponse est : \text{LG}=\dfrac{\sqrt{6}}{6}.

6.En utilisant la question précédente, déterminer la valeur exacte de l'aire du triangle CFK.

Le tétraèdre FGCK admet aussi pour base le triangle CFK, d'aire \mathcal{B}, et pour hauteur associée LG (puisque (GL)\perp(CFK)) : son volume vaut donc {\dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times\text{LG}}.
Ce volume valant \dfrac{1}{12} (question 2.c) : \begin{aligned}\dfrac{1}{12} &= \dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times\dfrac{\sqrt{6}}{6} \\ &= \dfrac{\sqrt{6}}{18}\,\mathcal{B}\end{aligned}
D'où \begin{aligned}\mathcal{B} &= \dfrac{18}{12\sqrt{6}} \\ &= \dfrac{3}{2\sqrt{6}} \\ &= \dfrac{3\sqrt{6}}{12} \\ &= \dfrac{\sqrt{6}}{4}\end{aligned}
Donc, la réponse est : l'aire du triangle CFK vaut \dfrac{\sqrt{6}}{4} unité d'aire.

1.Soit f définie sur [0~;~+\infty[ par f(x)=x\,e^{-x}, de courbe \mathcal{C}_f. En remarquant que {f(x)=\dfrac{x}{e^{x}}}, démontrer que \mathcal{C}_f admet une asymptote en +\infty et donner son équation.

Par croissances comparées, {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty}, donc \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^{x}}=0, c'est-à-dire \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0.
Donc, la réponse est : \mathcal{C}_f admet en +\infty une asymptote horizontale d'équation y=0 (l'axe des abscisses).

2.Démontrer que, pour tout x\in[0~;~+\infty[, f'(x)=(1-x)e^{-x}.

f est un produit de fonctions dérivables : f'(x) = 1\times e^{-x} + x\times(-e^{-x}) = (1-x)e^{-x}.

3.Dresser le tableau de variations de f sur [0~;~+\infty[, avec les valeurs aux bornes et la valeur exacte de l'extremum.

Pour tout x, e^{-x}>0, donc f'(x) est du signe de (1-x) : f'(x)>0 sur [0~;~1[, f'(1)=0, f'(x)<0 sur ]1~;~+\infty[.
f est donc strictement croissante sur [0~;~1] puis strictement décroissante sur [1~;~+\infty[, avec f(0)=0, {f(1)=e^{-1}} (maximum) et \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0 (question 1).
Tableau : x varie de 0 à 1 à +\infty ; f croît de 0 à e^{-1} puis décroît de e^{-1} à 0.

4.Déterminer, sur [0~;~+\infty[, le nombre de solutions de l'équation {f(x)=\dfrac{367}{1000}}.

On a e^{-1}\approx0{,}368>0{,}367.
Sur [0~;~1], f est continue et strictement croissante, allant de 0 à e^{-1}>0{,}367 : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0{,}367 y admet une unique solution.
Sur [1~;~+\infty[, f est continue et strictement décroissante, allant de e^{-1}>0{,}367 à 0 : elle y admet aussi une unique solution.
Donc, la réponse est : l'équation {f(x)=\dfrac{367}{1000}} admet exactement deux solutions sur [0~;~+\infty[.

5.On admet que, pour tout x\in[0~;~+\infty[, f''(x)=e^{-x}(x-2). Étudier la convexité de f sur [0~;~+\infty[.

Pour tout x, e^{-x}>0, donc f''(x) est du signe de (x-2) : négatif sur [0~;~2[, nul en 2, positif sur ]2~;~+\infty[.
Donc, la réponse est : f est concave sur [0~;~2] et convexe sur [2~;~+\infty[ ; la courbe \mathcal{C}_f admet un point d'inflexion d'abscisse 2.

6.aPour a\in[0~;~+\infty[, soit A le point de \mathcal{C}_f d'abscisse a et T_a la tangente à \mathcal{C}_f en A. Démontrer que T_a a pour équation réduite y=\left[(1-a)e^{-a}\right]x+a^2e^{-a}.

La tangente en A a pour équation y=f'(a)(x-a)+f(a), soit {y=(1-a)e^{-a}(x-a)+a\,e^{-a}}.
En développant : \begin{aligned}y &= (1-a)e^{-a}x - a(1-a)e^{-a} + a\,e^{-a} \\ &= (1-a)e^{-a}x - a\,e^{-a}+a^2e^{-a}+a\,e^{-a}\end{aligned}
Donc, la réponse est : T_a a pour équation y=\left[(1-a)e^{-a}\right]x+a^2e^{-a}.

6.bT_a coupe l'axe des ordonnées en H_a, d'ordonnée notée g(a). En déduire l'expression de g(a).

L'ordonnée de H_a s'obtient en prenant x=0 dans l'équation de T_a : \begin{aligned}g(a) &= \left[(1-a)e^{-a}\right]\times0+a^2e^{-a} \\ &= a^2e^{-a}\end{aligned}

6.cDémontrer que g(a) est maximum lorsque A est le point d'inflexion de \mathcal{C}_f.

On étudie la fonction g définie sur [0~;~+\infty[ par g(x)=x^2e^{-x} : g'(x) = 2x\,e^{-x}+x^2\times(-e^{-x}) = -x(x-2)e^{-x}.
Pour x>0, e^{-x}>0 et -x<0, donc g'(x) est du signe de -(x-2) : positif sur [0~;~2[, nul en 2, négatif sur ]2~;~+\infty[.
g est donc croissante puis décroissante sur [0~;~+\infty[ : elle admet un maximum unique en x=2.
Or x=2 est exactement l'abscisse du point d'inflexion de \mathcal{C}_f (question 5). Donc, la réponse est : g(a) est maximum lorsque A est le point d'inflexion de la courbe \mathcal{C}_f.

1.Soit (u_n) définie par u_0=0 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=\dfrac{-u_n-4}{u_n+3}. Calculer les valeurs exactes de u_1 et u_2.

\begin{aligned}u_1 &= \dfrac{-u_0-4}{u_0+3} \\ &= \dfrac{0-4}{0+3} \\ &= -\dfrac{4}{3}\end{aligned}
\begin{aligned}u_2 &= \dfrac{-u_1-4}{u_1+3} \\ &= \dfrac{\frac{4}{3}-4}{-\frac{4}{3}+3} \\ &= \dfrac{-\frac{8}{3}}{\frac{5}{3}} \\ &= -\dfrac{8}{5}\end{aligned}

2.Compléter la fonction Python terme(n), écrite de façon incomplète, pour qu'elle renvoie u_n pour tout entier naturel n.

3.Soit f définie sur {]-3~;~+\infty[} par {f(x)=\dfrac{-x-4}{x+3}}, de sorte que u_{n+1}=f(u_n) pour tout n. Démontrer que f est strictement croissante sur {]-3~;~+\infty[}.

f est une fonction rationnelle, donc dérivable sur son ensemble de définition {]-3~;~+\infty[}, avec (formule \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}) :
f'(x) = \dfrac{-1\times(x+3)-(-x-4)\times1}{(x+3)^2} = \dfrac{-x-3+x+4}{(x+3)^2} = \dfrac{1}{(x+3)^2}.
Sur {]-3~;~+\infty[}, (x+3)^2>0 donc f'(x)>0 : donc, la réponse est que f est strictement croissante sur {]-3~;~+\infty[}.

4.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, -2<u_{n+1}\leqslant u_n.

Initialisation. Pour n=0 : u_0=0 et u_1=-\dfrac{4}{3}, donc {-2<-\dfrac{4}{3}\leqslant0}, soit {-2<u_1\leqslant u_0}. La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité. Supposons que, pour un entier n\geqslant0, -2<u_{n+1}\leqslant u_n (hypothèse de récurrence).
Comme -2 et u_{n+1}, u_n appartiennent à {]-3~;~+\infty[} et que f y est strictement croissante (question 3), on peut appliquer f aux trois membres de l'inégalité : f(-2)<f(u_{n+1})\leqslant f(u_n).
Or \begin{aligned}f(-2) &= \dfrac{-(-2)-4}{-2+3} \\ &= \dfrac{-2}{1} \\ &= -2\end{aligned} f(u_{n+1})=u_{n+2} et f(u_n)=u_{n+1} : on obtient donc -2<u_{n+2}\leqslant u_{n+1}, ce qui est la propriété au rang n+1.
Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire à partir de ce rang : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, -2<u_{n+1}\leqslant u_n.

5.En déduire que la suite (u_n) converge.

D'après la question 4, (u_n) est décroissante (car u_{n+1}\leqslant u_n) et minorée par -2 : d'après le théorème de la convergence monotone, (u_n) converge.

6.aSoit (v_n) définie par v_n=\dfrac{1}{u_n+2} pour tout entier naturel n. Donner v_0.

\begin{aligned}v_0 &= \dfrac{1}{u_0+2} \\ &= \dfrac{1}{0+2} \\ &= \dfrac{1}{2} \\ &= 0{,}5\end{aligned}

6.bDémontrer que (v_n) est arithmétique de raison 1.

Comme u_n>-2 pour tout n (question 4), u_n+2>0 donc v_n est bien défini et strictement positif pour tout n.
\begin{aligned}v_{n+1} &= \dfrac{1}{u_{n+1}+2} \\ &= \dfrac{1}{\frac{-u_n-4}{u_n+3}+2} \\ &= \dfrac{1}{\frac{-u_n-4+2(u_n+3)}{u_n+3}} \\ &= \dfrac{u_n+3}{u_n+2}\end{aligned}
\begin{aligned}v_{n+1}-v_n &= \dfrac{u_n+3}{u_n+2}-\dfrac{1}{u_n+2} \\ &= \dfrac{u_n+2}{u_n+2} \\ &= 1\end{aligned}
Donc, la réponse est : (v_n) est arithmétique de raison 1 (et de premier terme v_0=0{,}5).

6.cEn déduire que, pour tout entier naturel n\geqslant1, u_n=\dfrac{1}{n+0{,}5}-2.

(v_n) étant arithmétique de raison 1 et de premier terme 0{,}5 : v_n = 0{,}5+n pour tout n.
De v_n=\dfrac{1}{u_n+2}, on tire u_n+2=\dfrac{1}{v_n}, donc \begin{aligned}u_n &= \dfrac{1}{v_n}-2 \\ &= \dfrac{1}{n+0{,}5}-2\end{aligned}
Donc, la réponse est : pour tout n\geqslant1 (et en fait dès n=0), u_n=\dfrac{1}{n+0{,}5}-2.

6.dDéterminer la limite de la suite (u_n).

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(n+0{,}5)=+\infty donc \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n+0{,}5}=0, d'où \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-2.

1.Un club de 200 adhérents (filles ou garçons) pratique l'aviron ou le basket, selon le tableau : filles-aviron 25, filles-basket 80 (105 filles), garçons-aviron 50, garçons-basket 45 (95 garçons), total aviron 75, total basket 125. On choisit un adhérent au hasard ; F : « c'est une fille », A : « il/elle pratique l'aviron ». La probabilité de F sachant A vaut : a. \dfrac{25}{100} ; b. \dfrac{25}{75} ; c. \dfrac{25}{105} ; d. \dfrac{75}{105}.

Parmi les 75 adhérents pratiquant l'aviron, 25 sont des filles, donc \begin{aligned}P_A(F) &= \dfrac{25}{75} \\ &= \dfrac{1}{3}\end{aligned}
Donc, la réponse est : réponse b.

2.Avec les mêmes données, la probabilité de l'événement A\cup F vaut : a. \dfrac{9}{10} ; b. \dfrac{1}{8} ; c. \dfrac{31}{40} ; d. \dfrac{5}{36}.

Les adhérents qui pratiquent l'aviron ou qui sont des filles sont : les 75 pratiquant l'aviron, plus les filles au basket (80), soit 75+80=155 adhérents sur 200.
\begin{aligned}P(A\cup F) &= \dfrac{155}{200} \\ &= \dfrac{31}{40}\end{aligned}
Donc, la réponse est : réponse c.

3.Albert se rend au travail en bus ou en train. La probabilité que le bus tombe en panne vaut b, celle que le train tombe en panne vaut t, ces pannes étant indépendantes. La probabilité p_1 que le bus ou le train soit en panne vaut : a. bt ; b. {1-bt} ; c. b+t ; d. b+t-bt.

Notons B : « le bus est en panne » et T : « le train est en panne ». Par indépendance, P(B\cap T)=bt.
\begin{aligned}p_1 &= P(B\cup T) \\ &= P(B)+P(T)-P(B\cap T) \\ &= b+t-bt\end{aligned}
Donc, la réponse est : réponse d.

4.Avec les mêmes notations, la probabilité p_2 qu'Albert puisse se rendre au travail vaut : a. bt ; b. {1-bt} ; c. b+t ; d. b+t-bt.

Albert ne peut pas se rendre au travail seulement si le bus et le train sont en panne en même temps, événement {B\cap T} de probabilité bt.
\begin{aligned}p_2 &= P\left(\overline{B\cap T}\right) \\ &= 1-P(B\cap T) \\ &= 1-bt\end{aligned}
Donc, la réponse est : réponse b.

5.Une pièce donne FACE avec probabilité x ; on la lance n fois de façon indépendante. La probabilité p d'obtenir au moins une fois FACE vaut : a. x^n ; b. (1-x)^n ; c. 1-x^n ; d. 1-(1-x)^n.

L'événement contraire de « au moins un FACE » est « aucun FACE », c'est-à-dire n fois PILE de suite, de probabilité (1-x)^n par indépendance.
p = 1-(1-x)^n.
Donc, la réponse est : réponse d.