Bac Terminale Spé Maths : Polynésie française 2023, Sujet 2

PartieA ; 1. Un athlète doit franchir une haie chaque jour d'entraînement. S'il réussit un jour donné, il réussit à nouveau le lendemain avec une probabilité de 90\,\% ; s'il échoue un jour donné, il échoue encore le lendemain avec une probabilité de 70\,\%. On note R_n l'événement « l'athlète franchit la haie à la n-ième séance », p_n=P(R_n), et p_0=0{,}6. Reproduire l'arbre pondéré à deux niveaux en complétant les probabilités manquantes.

Sur la branche partant de R_n (de probabilité p_n), les probabilités conditionnelles sont 0{,}9 vers R_{n+1} et 0{,}1 vers \overline{R_{n+1}}. Sur la branche partant de \overline{R_n} (de probabilité 1-p_n), elles sont 0{,}3 vers R_{n+1} et 0{,}7 vers \overline{R_{n+1}}.

PartieA ; 2. En s'appuyant sur l'arbre, justifier que pour tout entier naturel n, p_{n+1}=0{,}6p_n+0{,}3.

Les événements R_n et \overline{R_n} forment une partition de l'univers, donc, par la formule des probabilités totales : \begin{aligned}p_{n+1} &= P(R_n\cap R_{n+1})+P(\overline{R_n}\cap R_{n+1}) \\ &= p_n\times0{,}9+(1-p_n)\times0{,}3\end{aligned}
En développant : \begin{aligned}p_{n+1} &= 0{,}9p_n+0{,}3-0{,}3p_n \\ &= 0{,}6p_n+0{,}3\end{aligned} Donc, la réponse est p_{n+1}=0{,}6p_n+0{,}3.

PartieA ; 3.a On pose, pour tout entier naturel n, u_n=p_n-0{,}75. Montrer que (u_n) est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.

Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}u_{n+1} &= p_{n+1}-0{,}75 \\ &= (0{,}6p_n+0{,}3)-0{,}75 \\ &= 0{,}6p_n-0{,}45\end{aligned}
Or p_n=u_n+0{,}75, donc \begin{aligned}u_{n+1} &= 0{,}6(u_n+0{,}75)-0{,}45 \\ &= 0{,}6u_n+0{,}45-0{,}45 \\ &= 0{,}6u_n\end{aligned}
La suite (u_n) est donc géométrique de raison q=0{,}6, de premier terme \begin{aligned}u_0 &= p_0-0{,}75 \\ &= 0{,}6-0{,}75 \\ &= -0{,}15\end{aligned}

PartieA ; 3.b En déduire que, pour tout entier naturel n, {p_n=0{,}75-0{,}15\times0{,}6^n}.

Comme (u_n) est géométrique de premier terme -0{,}15 et de raison 0{,}6, on a u_n=-0{,}15\times0{,}6^n pour tout n. Comme p_n=u_n+0{,}75, on obtient {p_n=0{,}75-0{,}15\times0{,}6^n}. Donc, la réponse est {p_n=0{,}75-0{,}15\times0{,}6^n}.

PartieA ; 3.c En déduire que (p_n) converge et donner sa limite \ell.

La raison 0{,}6 vérifie {-1<0{,}6<1}, donc 0{,}6^n tend vers 0 quand n tend vers +\infty. Par somme de limites, {p_n=0{,}75-0{,}15\times0{,}6^n} tend vers \ell=0{,}75.

PartieA ; 3.d Interpréter la valeur de \ell dans le contexte de l'exercice.

En assimilant la limite d'une probabilité à une proportion sur le long terme, cela signifie qu'après un grand nombre de séances, l'athlète franchit la haie dans environ 75\,\% des cas.

PartieB ; 1. Après beaucoup d'entraînement, l'entraîneur considère que l'athlète franchit chaque haie avec une probabilité de 0{,}75, indépendamment des haies précédentes. On note X le nombre de haies franchies sur un 400 mètres haies comportant 10 haies. Préciser la loi suivie par X et ses paramètres.

On répète 10 fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues (« franchir » avec probabilité 0{,}75, « ne pas franchir » avec probabilité 0{,}25) : X compte le nombre de succès. X suit donc la loi binomiale \mathcal{B}(10~;~0{,}75).

PartieB ; 2. Déterminer, à 10^{-3} près, la probabilité que l'athlète franchisse les 10 haies.

P(X=10)=\dbinom{10}{10}\times0{,}75^{10}\times0{,}25^{0}=0{,}75^{10}\approx 0,056.

PartieB ; 3. Calculer P(X\geqslant9) à 10^{-3} près.

P(X\geqslant9)=P(X=9)+P(X=10). À la calculatrice, \begin{aligned}P(X=9) &= \dbinom{10}{9}\times0{,}75^{9}\times0{,}25 \\ &\approx 0{,}188\end{aligned} et P(X=10)\approx0{,}056, d'où {P(X\geqslant9)\approx} 0,244.

1.L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère le point A(1 ; -1 ; -1), le plan \mathcal{P}_1 d'équation 5x+2y+4z=17 et le plan \mathcal{P}_2 d'équation 10x+14y+3z=19. Justifier que \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 ne sont pas parallèles.

Un vecteur normal à \mathcal{P}_1 est \vec{n_1}\begin{pmatrix}5 \\ 2 \\ 4\end{pmatrix} et un vecteur normal à \mathcal{P}_2 est \vec{n_2}\begin{pmatrix}10 \\ 14 \\ 3\end{pmatrix}. Si ces vecteurs étaient colinéaires, on aurait \begin{aligned}\dfrac{10}{5} &= \dfrac{14}{2} \\ &= \dfrac{3}{4}\end{aligned} or \dfrac{10}{5}=2 et \dfrac{14}{2}=7 : les rapports diffèrent, donc \vec{n_1} et \vec{n_2} ne sont pas colinéaires. Donc, la réponse est que les plans \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 ne sont pas parallèles.

2.Soit \mathcal{D} la droite de représentation paramétrique x=1+2t, y=-t, z=3-2t (avec t\in\mathbb{R}). Démontrer que \mathcal{D} est la droite d'intersection de \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2.

Les plans \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 ne sont pas parallèles (question précédente), donc ils sont sécants selon une droite. Vérifions que tout point de \mathcal{D} appartient à cette droite d'intersection.
Pour tout réel t, en notant M le point de paramètre t : \begin{aligned}5(1+2t)+2(-t)+4(3-2t) &= 5+10t-2t+12-8t \\ &= 17\end{aligned} donc M\in\mathcal{P}_1.
De même : \begin{aligned}10(1+2t)+14(-t)+3(3-2t) &= 10+20t-14t+9-6t \\ &= 19\end{aligned} donc M\in\mathcal{P}_2.
Tout point de \mathcal{D} appartient donc à la fois à \mathcal{P}_1 et à \mathcal{P}_2 : \mathcal{D} est bien la droite d'intersection de ces deux plans.

3.aVérifier que A n'appartient pas à \mathcal{P}_1.

\begin{aligned}5\times1+2\times(-1)+4\times(-1) &= 5-2-4 \\ &= -1\end{aligned} et -1\neq17, donc, la réponse est que A n'appartient pas à \mathcal{P}_1.

3.bJustifier que A n'appartient pas à \mathcal{D}.

A appartiendrait à \mathcal{D} s'il existait un réel t tel que 1=1+2t, -1=-t et {-1=3-2t}, soit t=0, t=1 et t=2 simultanément. Ces trois valeurs sont incompatibles, le système n'a pas de solution : donc, la réponse est que A n'appartient pas à \mathcal{D}.

4.aPour tout réel t, on note M le point de \mathcal{D} de coordonnées (1+2t~;~-t~;~3-2t) et f(t)=\mathrm{A}M^2. Montrer que {f(t)=9t^2-18t+17}.

\begin{aligned}f(t) &= (1+2t-1)^2+(-t-(-1))^2+(3-2t-(-1))^2 \\ &= (2t)^2+(1-t)^2+(4-2t)^2\end{aligned}
En développant : 4t^2+(1-2t+t^2)+(16-16t+4t^2)=9t^2-18t+17. Donc, la réponse est {f(t)=9t^2-18t+17}.

4.bDémontrer que la distance AM est minimale lorsque M a pour coordonnées (3~;~-1~;~1).

La distance AM est minimale exactement quand f(t)=\mathrm{A}M^2 est minimale, car la fonction racine carrée est croissante.
f est un polynôme du second degré de coefficient dominant 9>0 : il admet un minimum en \begin{aligned}t &= -\dfrac{-18}{2\times9} \\ &= \dfrac{18}{18} \\ &= 1\end{aligned}
Pour t=1, le point de \mathcal{D} a pour coordonnées (1+2~;~-1~;~3-2)=(3~;~-1~;~1). Donc, la réponse est que AM est minimale pour M(3~;~-1~;~1).

5.On note H le point de coordonnées (3~;~-1~;~1). Démontrer que la droite (AH) est perpendiculaire à \mathcal{D}.

\overrightarrow{\mathrm{AH}}\begin{pmatrix}3-1 \\ -1-(-1) \\ 1-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}. Un vecteur directeur de \mathcal{D}, lu sur sa représentation paramétrique, est \vec{u}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ -2\end{pmatrix}.
Le repère étant orthonormé, on calcule le produit scalaire par les coordonnées : \begin{aligned}\vec{u}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AH}} &= 2\times2+(-1)\times0+(-2)\times2 \\ &= 4+0-4 \\ &= 0\end{aligned}
Le produit scalaire est nul, donc les droites (AH) et \mathcal{D} sont orthogonales. De plus, H appartient à \mathcal{D} (c'est le point de paramètre t=1) et H appartient aussi à (AH) : les deux droites sont donc sécantes en H. Étant orthogonales et sécantes, elles sont perpendiculaires.

PartieA ; 1. Le plan est muni d'un repère orthogonal. On donne les représentations graphiques d'une fonction f deux fois dérivable sur \mathbb{R}, de sa dérivée f' et de sa dérivée seconde f'', notées \mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2 et \mathcal{C}_3. Identifier, en justifiant, quelle courbe correspond à quelle fonction.

La courbe \mathcal{C}_2 reste strictement positive sur \mathbb{R} : si elle représentait une dérivée, la fonction associée serait strictement croissante partout, ce qu'aucune des deux autres courbes ne vérifie. \mathcal{C}_2 représente donc f elle-même, qui est strictement croissante.
La dérivée d'une fonction strictement croissante est positive : c'est donc \mathcal{C}_3, seule courbe restant positive et cohérente avec cette croissance, qui représente f'.
Par élimination, \mathcal{C}_1 représente f'' : on vérifie que f' (courbe \mathcal{C}_3) croît puis décroît à partir de l'abscisse 4, ce qui correspond bien au changement de signe de \mathcal{C}_1 autour de cette valeur.

PartieA ; 2. Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à \mathcal{C}_2 au point d'abscisse 4.

Ce coefficient directeur vaut f'(4), c'est-à-dire l'ordonnée du point d'abscisse 4 sur la courbe \mathcal{C}_3 (courbe de f'), soit environ 3 par lecture graphique.

PartieA ; 3. Donner, avec la précision permise par le graphique, l'abscisse de chaque point d'inflexion de la courbe \mathcal{C}_1.

Les points d'inflexion de \mathcal{C}_1 (courbe de f'') correspondent aux changements de sens de variation visibles sur le graphique, soit environ aux abscisses 3, 4 et 5.

PartieB : Soit k un réel strictement positif et g la fonction définie sur \mathbb{R} par {g(x)=\dfrac{4}{1+e^{-kx}}}. 1. Déterminer les limites de g en +\infty et en -\infty.

Comme k>0, quand x\to-\infty, {-kx\to+\infty} donc e^{-kx}\to+\infty par composition ; par somme 1+e^{-kx}\to+\infty, donc, par quotient, g(x)\to0.
Quand x\to+\infty, -kx\to-\infty donc e^{-kx}\to0 par composition ; par somme 1+e^{-kx}\to1, donc, par quotient, g(x)\to4.
Donc, la réponse est \lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=0 et \lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=4.

PartieB ; 2. Montrer que g'(0)=k.

g est dérivable sur \mathbb{R} comme composée et quotient de fonctions dérivables ne s'annulant pas. En écrivant g=\dfrac{4}{u} avec u(x)=1+e^{-kx}, on a u'(x)=-ke^{-kx}, donc g'=-\dfrac{4u'}{u^2}, soit g'(x)=\dfrac{4ke^{-kx}}{\left(1+e^{-kx}\right)^2}.
En x=0 : g'(0)=\dfrac{4k\,e^{0}}{(1+e^{0})^2}=\dfrac{4k}{2^2}=\dfrac{4k}{4}=k. Donc, la réponse est g'(0)=k.

PartieB ; 3. Sachant qu'un logiciel de calcul formel donne g''(x)=-4e^{kx}\left(e^{kx}-1\right)\dfrac{k^2}{\left(e^{kx}+1\right)^3}, prouver que la courbe de g admet un point d'inflexion à l'abscisse 0.

La courbe admet un point d'inflexion en un réel où g'' s'annule en changeant de signe : il faut donc étudier le signe de g''(x).
Le facteur \dfrac{4k^2e^{kx}}{\left(e^{kx}+1\right)^3} est strictement positif pour tout réel x (exponentielle positive, k^2>0). Le signe de g''(x) est donc celui de -\left(e^{kx}-1\right)=1-e^{kx}.
Or 1-e^{kx}>0 \iff e^{kx}<1 \iff kx<0 \iff x<0 (car k>0). Donc g''(x) est strictement positive sur ]-\infty~;~0[, nulle en 0, et strictement négative sur ]0~;~+\infty[ : g'' change bien de signe en 0.
Donc, la réponse est que la courbe de g admet un point d'inflexion au point d'abscisse 0.

1.Pour chaque affirmation, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant. Affirmation : la suite u définie sur \mathbb{N} par u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1} est bornée.

Vraie. Pour tout entier naturel n, {n+1\geqslant1>0}, donc \dfrac{1}{n+1}\leqslant1, d'où -1\leqslant-\dfrac{1}{n+1} et \dfrac{1}{n+1}\leqslant1.
De plus, pour tout entier naturel n, {-1\leqslant(-1)^n\leqslant1}, donc, en divisant par n+1>0 : {-\dfrac{1}{n+1}\leqslant\dfrac{(-1)^n}{n+1}\leqslant\dfrac{1}{n+1}}.
En combinant les deux encadrements : {-1\leqslant\dfrac{(-1)^n}{n+1}\leqslant1}. Donc, la réponse est que la suite u est bornée par -1 et 1.

2.Affirmation : toute suite bornée est convergente.

Fausse. La suite u définie sur \mathbb{N} par u_n=(-1)^n est bornée par -1 et 1, mais elle prend alternativement les valeurs -1 et 1 : elle n'admet pas de limite, donc elle ne converge pas. Ce contre-exemple suffit à invalider l'affirmation.

3.Affirmation : toute suite croissante tend vers +\infty.

Fausse. La suite u définie sur \mathbb{N}^* par u_n=-\dfrac{1}{n} est croissante (car \dfrac{1}{n} décroît) mais elle converge vers 0 et non vers +\infty. Ce contre-exemple suffit à invalider l'affirmation.

4.Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=\ln\left(x^2+2x+2\right). Affirmation : f est convexe sur l'intervalle [-3~;~1].

Fausse. Étudier la convexité de f revient à étudier le signe de f''. On pose {u(x)=x^2+2x+2} (strictement positif sur \mathbb{R} car de discriminant négatif), avec u'(x)=2x+2 ; f=\ln(u) est dérivable sur \mathbb{R} comme composée de fonctions dérivables, et f'(x)=\dfrac{2x+2}{x^2+2x+2}.
En dérivant à nouveau f'=\dfrac{v}{w} avec v(x)=2x+2, w(x)=x^2+2x+2, v'(x)=2, w'(x)=2x+2 : f''(x)=\dfrac{v'w-w'v}{w^2}=\dfrac{2(x^2+2x+2)-(2x+2)^2}{w^2}.
Au numérateur : \begin{aligned}2x^2+4x+4-\left(4x^2+8x+4\right) &= -2x^2-4x \\ &= -2x(x+2)\end{aligned} Comme w^2>0, f''(x) est du signe de -2x(x+2), trinôme de coefficient dominant négatif, de racines -2 et 0 : il est positif entre les racines et négatif à l'extérieur.
f''(x)>0 sur ]-2~;~0[ et f''(x)<0 sur ]-\infty~;~-2[\cup]0~;~+\infty[ : f est donc convexe sur [-2~;~0] et concave ailleurs. Sur [-3~;~1], f n'est pas concave ni convexe partout (elle est concave près de -3 et de 1) : elle n'est donc pas convexe sur tout l'intervalle [-3~;~1].

5.On considère la fonction Python mystere ci-dessous, qui prend en paramètre une liste L de nombres (len(L) renvoie le nombre d'éléments de L).

5.(suite) Affirmation : l'exécution de mystere([2, 3, 7, 0, 6, 3, 2, 0, 5]) renvoie 7.

Vraie. La variable M est initialisée avec le premier élément de la liste, puis à chaque étape, si un élément de la liste dépasse la valeur courante de M, M est remplacé par cet élément. L'algorithme calcule donc le maximum des éléments de la liste, qui vaut ici 7 (le plus grand des termes 2,3,7,0,6,3,2,0,5).