Bac Terminale Spé Maths : Amérique du Nord 2024, Sujet 2
Session 2024 : Amérique du Nord, Sujet 2 · Spécialité mathématiques, 4 exercices, 4 heures.
Exercice 1 5 points
PartieA ; 1. En 2022, 22,86 % des véhicules immatriculés étaient neufs (N) ; 8,08 % des neufs étaient hybrides rechargeables (R) ; 1,27 % des véhicules d'occasion l'étaient. Représenter la situation par un arbre pondéré.
L'arbre porte P(N)=0{,}2286, {P(\overline{N})=0{,}7714} ; puis P_N(R)=0{,}0808, {P_N(\overline{R})=0{,}9192} ; et P_{\overline{N}}(R)=0{,}0127, {P_{\overline{N}}(\overline{R})=0{,}9873}.
PartieA ; 2. Calculer la probabilité que le véhicule soit neuf et hybride rechargeable (au dix-millième).
P(N\cap R) = P(N)\times P_N(R) = 0{,}2286\times0{,}0808 \approx 0,0185.
PartieA ; 3. Démontrer que la probabilité que le véhicule soit hybride rechargeable vaut environ 0,0283.
\begin{aligned}P(\overline{N}\cap R) &= 0{,}7714\times0{,}0127 \\ &\approx 0{,}0098\end{aligned}
Par la formule des probabilités totales : P(R) = P(N\cap R)+P(\overline{N}\cap R) \approx 0{,}0185+0{,}0098 = 0,0283.
PartieA ; 4. Calculer la probabilité que le véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable.
P_R(N) = \dfrac{P(N\cap R)}{P(R)} \approx \dfrac{0{,}0185}{0{,}0283} \approx 0,6537.
PartieB ; 1. On choisit 500 véhicules hybrides rechargeables (probabilité 0,65 d'être neuf, tirage avec remise). X compte les véhicules neufs. Préciser les paramètres de la loi binomiale suivie par X.
X suit la loi binomiale de paramètres n=500 et p=0{,}65.
PartieB ; 2. Déterminer la probabilité qu'exactement 325 de ces véhicules soient neufs.
P(X=325) = \dbinom{500}{325}\times0{,}65^{325}\times0{,}35^{175} \approx 0,0374.
PartieB ; 3. Déterminer P(X\geqslant325) et interpréter.
P(X\geqslant325) = 1-P(X\leqslant324) \approx 1-0{,}4794 = 0,5206 : il y a environ 52 % de chances que, sur 500 véhicules hybrides rechargeables, au moins 325 soient neufs.
PartieC ; 1. On choisit maintenant n véhicules hybrides rechargeables. Donner l'expression de la probabilité p_n que tous soient d'occasion.
Chaque véhicule est d'occasion avec probabilité 1-0{,}65=0{,}35, indépendamment : p_n = 0{,}35^n.
PartieC ; 2. On note q_n la probabilité qu'au moins un véhicule soit neuf. Déterminer la plus petite valeur de n telle que q_n\geqslant0{,}9999.
\begin{aligned}q_n = 1-p_n \geqslant 0{,}9999 &\iff 0{,}35^n \leqslant 0{,}0001 \end{aligned}
En prenant le logarithme : {n\ln(0{,}35)\leqslant\ln(0{,}0001)}, donc \begin{aligned}n &\geqslant \dfrac{\ln(0{,}0001)}{\ln(0{,}35)} \\ &\approx 8{,}8\end{aligned} (le sens change car \ln(0{,}35)<0).
La plus petite valeur est n=9.
Exercice 2 5 points
1.ABCDEFGH est un pavé droit avec AB = 3, AD = AE = 1 ; I est sur [AB] avec \overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AI}, M est le milieu de [CD]. Dans le repère orthonormé (A~;~\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}), donner les coordonnées de F, H et M.
F(3~;~0~;~1), H(0~;~1~;~1) et M(1{,}5~;~1~;~0).
2.aMontrer que le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2 \\ 6 \\ 3\end{pmatrix} est normal au plan (HMF).
\overrightarrow{HF}\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} et \overrightarrow{MF}\begin{pmatrix}1,5 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} ne sont pas colinéaires : ce sont deux vecteurs directeurs du plan.
\begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{HF} &= 6-6+0 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{MF} &= 3-6+3 \\ &= 0\end{aligned} \overrightarrow{n} est orthogonal aux deux, donc normal au plan (HMF).
2.bEn déduire qu'une équation cartésienne du plan (HMF) est 2x+6y+3z-9=0.
Le plan a une équation de la forme 2x+6y+3z+d=0 ; H(0 ; 1 ; 1) y appartient : \begin{aligned}6+3+d = 0 &\iff d = -9 \end{aligned} D'où 2x+6y+3z-9=0.
2.cLe plan \mathcal{P} d'équation {5x+15y-3z+7=0} est-il parallèle au plan (HMF) ?
Le vecteur normal de \mathcal{P}, \begin{pmatrix}5 \\ 15 \\ -3\end{pmatrix}, n'est pas colinéaire à \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2 \\ 6 \\ 3\end{pmatrix} (le rapport \frac52 convient pour les deux premières coordonnées mais pas pour la troisième : 3\times\frac52\neq-3). Les plans ne sont pas parallèles.
3.Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DG).
D(0~;~1~;~0) et G(3~;~1~;~1) donnent \overrightarrow{DG}\begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} : la droite (DG) s'écrit x=3t, y=1, z=t, avec t\in\mathbb{R}.
4.Déterminer les coordonnées du point N, intersection de (DG) et du plan (HMF).
En substituant dans l'équation du plan : \begin{aligned}2(3t)+6(1)+3(t)-9 = 0 &\iff 9t-3 = 0 \\ &\iff t = \dfrac13 \end{aligned}
D'où N\left(1~;~1~;~\dfrac13\right).
5.Le point R\left(3~;~\dfrac14~;~\dfrac12\right) est-il le projeté orthogonal de G sur le plan (HMF) ?
R appartient bien au plan : \begin{aligned}2\times3+6\times\dfrac14+3\times\dfrac12-9 &= 6+1{,}5+1{,}5-9 \\ &= 0\end{aligned} ✓
Mais \overrightarrow{GR}\begin{pmatrix}0 \\ -\dfrac{3}{4} \\ -\dfrac{1}{2}\end{pmatrix} n'est pas colinéaire à \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2 \\ 6 \\ 3\end{pmatrix} (sa première coordonnée est nulle, pas celle de \overrightarrow{n}).
R n'est donc pas le projeté orthogonal de G sur (HMF).
Exercice 3 6 points
1.Soit g(x) = 2x-x^2 sur [0~;~1]. Montrer que g est strictement croissante sur cet intervalle et préciser g(0) et g(1).
g'(x) = 2-2x = 2(1-x) \geqslant 0 sur [0~;~1] (nul seulement en x=1) : g est strictement croissante, avec g(0)=0 et g(1)=1.
2.On considère (u_n) définie par u_0=\dfrac12 et u_{n+1}=g(u_n). Calculer u_1 et u_2.
\begin{aligned}u_1 &= 2\times\dfrac12-\dfrac14 \\ &= \dfrac34\end{aligned} et \begin{aligned}u_2 &= \dfrac32-\dfrac9{16} \\ &= \dfrac{15}{16}\end{aligned}
3.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0<u_n<u_{n+1}<1.
Initialisation : {0<\dfrac12<\dfrac34<1}, soit {0<u_0<u_1<1} : vrai au rang 0.
Hérédité : si 0<u_n<u_{n+1}<1, la stricte croissance de g sur [0~;~1] donne {g(0)<g(u_n)<g(u_{n+1})<g(1)}, soit {0<u_{n+1}<u_{n+2}<1} : vrai au rang n+1.
Conclusion : par récurrence, pour tout n\in\mathbb{N}, 0<u_n<u_{n+1}<1.
4.En déduire que la suite (u_n) est convergente.
(u_n) est croissante (car u_n<u_{n+1}) et majorée par 1 : elle converge vers une limite \ell\leqslant1.
5.Déterminer la limite \ell de la suite (u_n).
g étant continue, la limite vérifie {\ell = 2\ell-\ell^2}, soit \ell(1-\ell)=0 : \ell=0 ou {\ell=1}.
La suite étant croissante à partir de u_0=\dfrac12, la limite ne peut pas être 0 : {\ell=1}.
6.On pose v_n = \ln(1-u_n). Démontrer que (v_n) est géométrique de raison 2, et préciser son premier terme.
\begin{aligned}v_{n+1} &= \ln(1-u_{n+1}) \\ &= \ln(1-2u_n+u_n^2) \\ &= \ln\big((1-u_n)^2\big) \\ &= 2\ln(1-u_n) \\ &= 2v_n\end{aligned} (avec 1-u_n>0).
(v_n) est donc géométrique de raison 2, de premier terme \begin{aligned}v_0 &= \ln\left(\dfrac12\right) \\ &= -\ln(2)\end{aligned}
7.En déduire une expression de v_n en fonction de n.
\begin{aligned}v_n &= v_0\times2^n \\ &= -\ln(2)\times2^n\end{aligned}
8.En déduire une expression de u_n en fonction de n et retrouver la limite de la question 5.
\ln(1-u_n) = -\ln(2)\times2^n donne {1-u_n = e^{-\ln(2)\times2^n}}, donc u_n = 1-e^{-\ln(2)\times2^n}.
Comme -\ln(2)\times2^n\to-\infty, e^{-\ln(2)\times2^n}\to0 : on retrouve \lim\limits_{n\to+\infty}u_n = 1.
9.Compléter le script Python seuil() qui renvoie le rang à partir duquel la suite dépasse 0,95 (boucle while u < 0.95).
Dans la boucle : n = n + 1 puis u = 2*u - u2.
Exercice 4 4 points
1.Soit a>0 et f(x) = a\ln(x) sur ]0~;~+\infty[, de courbe \mathcal{C}. Déterminer l'abscisse du point d'intersection de \mathcal{C} avec l'axe des abscisses.
\begin{aligned}f(x) = 0 &\iff a\ln(x) = 0 \\ &\iff \ln(x) = 0 \end{aligned} (car a\neq0) \iff x=1.
2.Vérifier que F(x) = a[x\ln(x)-x] est une primitive de f sur ]0~;~+\infty[.
F'(x) = a\left[\ln(x)+x\times\dfrac1x-1\right] = a\ln(x) = f(x) : F est bien une primitive de f.
3.En déduire l'aire du domaine délimité par \mathcal{C}, l'axe des abscisses et les droites x=1 et x=x_0 (avec x_0>1), en fonction de a et x_0.
Sur [1~;~x_0], f est positive, donc l'aire vaut \displaystyle \displaystyle\int\limits_1^{x_0}f(x)\,\mathrm{d}x = F(x_0)-F(1).
= a[x_0\ln(x_0)-x_0] - a[0-1] = a\big[x_0\ln(x_0)-x_0+1\big] (en unités d'aire).
4.T est la tangente à \mathcal{C} en M d'abscisse x_0 ; A est l'intersection de T avec l'axe des ordonnées, B le projeté orthogonal de M sur ce même axe. Démontrer que la longueur AB est une constante à déterminer.
f'(x) = \dfrac ax, donc T a pour équation {y = a\ln(x_0)+\dfrac{a}{x_0}(x-x_0)}.
Pour x=0 : y_A = a\ln(x_0)-a ; et \begin{aligned}y_B &= f(x_0) \\ &= a\ln(x_0)\end{aligned}
\begin{aligned}AB &= |y_B-y_A| \\ &= |a\ln(x_0)-a\ln(x_0)+a| \\ &= a\end{aligned} AB est constante, égale à a, quelle que soit l'abscisse x_0 choisie.
Corrigé rédigé par Logimaths à partir du sujet officiel du Ministère de l'Éducation nationale (éduscol.education.gouv.fr).