Bac Terminale Spé Maths : Asie 2024, Sujet 1

PartieA ; 1. Une fonction f est représentée par une courbe \mathcal{C} sur [0~;~+\infty[, avec une tangente T au point A d'abscisse \dfrac52. Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de f sur [0~;~5].

Par lecture graphique, f croît de {f(0)=-5{,}5} jusqu'à un maximum d'environ 2{,}4 atteint en x=1{,}5, puis décroît jusqu'à environ 0{,}35 en x=5.

PartieA ; 2. Que semble présenter la courbe \mathcal{C} au point A ?

La courbe semble traverser sa tangente au point A : elle semble y admettre un point d'inflexion.

PartieA ; 3. Deux courbes \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2 représentent f' et f''. Associer chaque fonction à sa courbe, en justifiant.

f est croissante sur [0~;~1{,}5[ puis décroissante : f' est positive puis négative, ce qui correspond à la courbe \mathcal{C}_2.
f est concave sur [0~;~2{,}5[ puis convexe : f'' est négative puis positive, ce qui correspond à la courbe \mathcal{C}_1.

PartieA ; 4. La courbe \mathcal{C}_3 peut-elle représenter une primitive de f sur [0~;~+\infty[ ?

Une primitive F de f vérifie F'=f ; comme f est négative sur [0~;~0{,}5[ puis positive, F devrait être décroissante puis croissante. Or la courbe \mathcal{C}_3 fait exactement l'inverse : elle ne peut pas représenter une primitive de f.

PartieB ; 1.a On considère désormais f(x) = (4x-2)e^{-x+1} sur [0~;~+\infty[. Montrer que f'(x) = (-4x+6)e^{-x+1}.

f'(x) = 4e^{-x+1}+(4x-2)\times(-e^{-x+1}) = (4-4x+2)e^{-x+1} = (-4x+6)e^{-x+1}.

PartieB ; 1.b En déduire le tableau complet des variations de f sur [0~;~+\infty[ (on admet que la limite en +\infty vaut 0).

e^{-x+1}>0, donc f'(x) est du signe de -4x+6 : positif pour x<\dfrac32, négatif au-delà.
f croît de \begin{aligned}f(0) &= -2e \\ &\approx -5{,}44\end{aligned} jusqu'à son maximum \begin{aligned}f\left(\dfrac32\right) &= 4e^{-\dfrac{1}{2}} \\ &\approx 2{,}43\end{aligned} puis décroît vers 0 en +\infty : en cohérence avec la lecture graphique de la partie A.

PartieB ; 1.c Étudier la convexité de f et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion.

f''(x) = -4e^{-x+1}+(-4x+6)\times(-e^{-x+1}) = (4x-10)e^{-x+1}, du signe de 4x-10.
f est donc concave sur \left[0~;~\dfrac52\right] et convexe sur \left[\dfrac52~;~+\infty\right[, avec un point d'inflexion à l'abscisse \dfrac52 (le point A).

PartieB ; 2.a Soit F(x) = (ax+b)e^{-x+1}. Déterminer a et b pour que F soit une primitive de f sur [0~;~+\infty[.

F'(x) = ae^{-x+1}-(ax+b)e^{-x+1} = (-ax+a-b)e^{-x+1}.
F'=f impose, par identification (car e^{-x+1}>0) : -a=4 et a-b=-2, soit a=-4 et b=-2.

PartieB ; 2.b En déduire la valeur exacte, puis approchée à 10^{-2} près, de {\displaystyle I = \displaystyle\int\limits_{\dfrac{3}{2}}^{8}f(x)\,\mathrm{d}x}.

I = \Big[(-4x-2)e^{-x+1}\Big]_{\dfrac{3}{2}}^{8} = -34e^{-7}+8e^{-\dfrac{1}{2}} \approx 4,82.

PartieB ; 3.a Le profil d'une piste de trottinette est donné par la courbe de f sur \left[\dfrac32~;~8\right] (unité : le mètre). Donner, au cm près, la hauteur du point de départ D.

La hauteur du départ vaut {f\left(\dfrac32\right) = 4e^{-\dfrac{1}{2}} \approx} 2,43 m.

PartieB ; 3.b Une artiste couvre 75 % du mur de profil ; une bombe de 150 mL couvre 0,8 m^{2}. Combien de bombes faut-il ?

L'aire du mur vaut I\approx4{,}82 m^{2} ; 75 % de cette surface représente {0{,}75\times4{,}82 \approx 3{,}62} m^{2}.
\dfrac{3{,}62}{0{,}8} \approx 4{,}5 : il faudra 5 bombes de peinture.

1.Dans un repère orthonormé (unité 1 cm), on donne A(3 ; -1 ; 1), B(4 ; -1 ; 0), C(0 ; 3 ; 2), D(4 ; 3 ; -2) et S(2 ; 1 ; 4). Montrer que A, B, C ne sont pas alignés.

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-3 \\ 4 \\ 1\end{pmatrix} ne sont pas colinéaires (les premières coordonnées donneraient un rapport -3, mais {0\times(-3)\neq4}) : A, B, C ne sont pas alignés.

2.aMontrer que les points A, B, C et D sont coplanaires.

\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}4 \\ 0 \\ -4\end{pmatrix} vérifie \overrightarrow{CD} = 4\overrightarrow{AB} : c'est une combinaison linéaire de vecteurs du plan (ABC).
Le point C appartenant au plan (ABC), D y appartient aussi : les quatre points sont coplanaires.

2.bMontrer que le quadrilatère ABDC est un trapèze de bases [AB] et [CD].

\overrightarrow{CD} = 4\overrightarrow{AB} montre que (AB) et (CD) sont strictement parallèles (C n'est pas sur (AB)) : ABDC est un quadrilatère plan non croisé dont deux côtés opposés sont parallèles, c'est-à-dire un trapèze de bases [AB] et [CD].

3.aDémontrer que le vecteur \overrightarrow{n}(2~;~1~;~2) est un vecteur normal au plan (ABC).

\begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB} &= 2+0-2 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC} &= -6+4+2 \\ &= 0\end{aligned} \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, donc normal à (ABC).

3.bEn déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

(ABC) a une équation de la forme 2x+y+2z+d=0 ; A(3 ; -1 ; 1) y appartient : \begin{aligned}6-1+2+d = 0 &\iff d = -7 \end{aligned} D'où 2x+y+2z-7=0.

3.cDéterminer une représentation paramétrique de la droite \Delta passant par S et orthogonale au plan (ABC).

\Delta est dirigée par \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} et passe par S(2 ; 1 ; 4) : x=2+2t, y=1+t, {z=4+2t}, avec t\in\mathbb{R}.

3.dMontrer que le point I d'intersection de \Delta et (ABC) a pour coordonnées \left(\dfrac23~;~\dfrac13~;~\dfrac83\right), puis que SI = 2 cm.

En substituant dans l'équation du plan : \begin{aligned}2(2+2t)+(1+t)+2(4+2t)-7 = 9t+6 = 0 &\iff t = -\dfrac23 \end{aligned}
D'où I\left(\dfrac23~;~\dfrac13~;~\dfrac83\right), et SI = \sqrt{\left(\dfrac43\right)^2+\left(\dfrac23\right)^2+\left(\dfrac43\right)^2} = \sqrt{\dfrac{36}{9}} = 2 cm.

4.aVérifier que le projeté orthogonal H de B sur la droite (CD) a pour coordonnées H(3 ; 3 ; -1), et montrer que HB =3\sqrt2 cm.

\overrightarrow{BH}\begin{pmatrix}-1 \\ 4 \\ -1\end{pmatrix} vérifie \begin{aligned}\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{BH} &= -4+0+4 \\ &= 0\end{aligned} (BH) est orthogonale à (CD).
\overrightarrow{CH}\begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix} = \dfrac34\overrightarrow{CD} : H est bien sur la droite (CD). H est donc le projeté orthogonal de B sur (CD).
\begin{aligned}HB &= \sqrt{1+16+1} \\ &= \sqrt{18} \\ &= 3\sqrt2\end{aligned} cm.

4.bCalculer la valeur exacte de l'aire du trapèze ABDC.

\begin{aligned}AB &= \sqrt{1+0+1} \\ &= \sqrt2\end{aligned} et \begin{aligned}CD &= 4AB \\ &= 4\sqrt2\end{aligned} (bases du trapèze), la hauteur étant HB = 3\sqrt2.
\mathcal{A} = \dfrac{\sqrt2+4\sqrt2}{2}\times3\sqrt2 = \dfrac{5\sqrt2}{2}\times3\sqrt2 = 15 cm^{2}.

5.Déterminer le volume de la pyramide SABDC.

V = \dfrac13\times\mathcal{A}_{ABDC}\times SI = \dfrac13\times15\times2 = 10 cm^{3}.

PartieA ; 1. Au 11 mai 2020, 5,7 % des adultes français avaient été infectés par la COVID-19. On prélève un individu au hasard ; quelle est la probabilité qu'il ait déjà été infecté (évènement I) ?

Par équiprobabilité, P(I) = 0{,}057.

PartieA ; 2.a On prélève 100 personnes (tirage assimilé avec remise) ; X compte les personnes déjà infectées. Justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres.

L'épreuve « être déjà infecté » (probabilité 0,057) est répétée 100 fois de façon indépendante : X suit la loi binomiale de paramètres n=100 et p=0{,}057.

PartieA ; 2.b Calculer son espérance et interpréter.

\begin{aligned}E(X) &= 100\times0{,}057 \\ &= 5{,}7\end{aligned} En moyenne, un échantillon de 100 adultes contient 5,7 personnes déjà infectées.

PartieA ; 2.c Quelle est la probabilité qu'aucune personne de l'échantillon ne soit infectée (à 10^{-4} près) ?

P(X=0) = 0{,}943^{100} \approx 0,0028.

PartieA ; 2.d Quelle est la probabilité qu'au moins 2 personnes soient infectées (à 10^{-4} près) ?

P(X\geqslant2) = 1-P(X\leqslant1) \approx 0,9801.

PartieA ; 2.e Déterminer le plus petit entier n tel que P(X\leqslant n)>0{,}9, et interpréter.

À la calculatrice, P(X\leqslant8)\approx0{,}883 et P(X\leqslant9)\approx0{,}941 : le plus petit entier est n=9. Il y a plus de 9 chances sur 10 que l'échantillon contienne au plus 9 personnes déjà infectées.

PartieB ; 1. Un test a une sensibilité de 0,8 (P_I(T), test positif sachant infecté) et une spécificité de 0,99 (P_{\overline{I}}(\overline{T})). Compléter l'arbre de probabilités.

P(I)=0{,}057, P(\overline{I})=0{,}943 ; P_I(T)=0{,}8, P_I(\overline{T})=0{,}2 ; P_{\overline{I}}(T)=0{,}01, P_{\overline{I}}(\overline{T})=0{,}99.

PartieB ; 2. Montrer que P(T) = 0{,}05503.

Par les probabilités totales : \begin{aligned}P(T) &= P(I\cap T)+P(\overline{I}\cap T) \\ &= 0{,}057\times0{,}8+0{,}943\times0{,}01 \\ &= 0{,}0456+0{,}00943 \\ &= 0{,}05503\end{aligned}

PartieB ; 3. Quelle est la probabilité qu'un individu ait été infecté sachant que son test est positif (à 10^{-4} près) ?

P_T(I) = \dfrac{P(I\cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}0456}{0{,}05503} \approx 0,8286.

PartieC. Dans un autre pays, avec le même test, la proportion de tests positifs est de 29,44 %. Quelle est la probabilité qu'un individu choisi au hasard ait été infecté ?

En notant x la proportion d'infectés : \begin{aligned}P(T) &= 0{,}8x+0{,}01(1-x) \\ &= 0{,}79x+0{,}01\end{aligned}
\begin{aligned}0{,}79x+0{,}01 = 0{,}2944 &\iff 0{,}79x = 0{,}2844 \\ &\iff x = 0{,}36 \end{aligned} La probabilité d'avoir été infecté est 0,36 (36 % de la population).

Affirmation 1. Toute suite décroissante et minorée par 0 converge vers 0. Vraie ou fausse ?

Une telle suite converge vers une limite \ell\geqslant0, mais pas nécessairement 0 : par exemple, la suite u_n = 1+\dfrac1n est décroissante, minorée par 0, et converge vers 1. L'affirmation est fausse.

Affirmation 2. Si, pour tout entier n, {u_n\leqslant\dfrac{-9^n+3^n}{7^n}}, alors \lim u_n = -\infty. Vraie ou fausse ?

\dfrac{-9^n+3^n}{7^n} = -\left(\dfrac97\right)^n\left(1-\left(\dfrac13\right)^n\right) ; comme \left(\dfrac97\right)^n\to+\infty et 1-\left(\dfrac13\right)^n\to1, le majorant tend vers -\infty.
Par comparaison, \lim\limits_{n\to+\infty}u_n = -\infty. L'affirmation est vraie.

Affirmation 3. La fonction Python terme(N) initialise U=1 puis effectue U=U+i pour i dans range(N). L'appel terme(4) renvoie 7. Vraie ou fausse ?

Les valeurs successives de U sont : {1+0=1}, puis 1+1=2, puis 2+2=4, puis 4+3=7. L'affirmation est vraie.

Affirmation 4. Prix A : 1 000 € par jour pendant 15 jours. Prix B : 1 € le 1er jour, la somme double chaque jour pendant 15 jours. Le prix A vaut plus que le prix B. Vraie ou fausse ?

Prix A : 1\,000\times15 = 15\,000 €.
Prix B : somme des 15 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2, soit \begin{aligned}\dfrac{1-2^{15}}{1-2} &= 2^{15}-1 \\ &= 32\,767\end{aligned} €.
32\,767 > 15\,000 : l'affirmation est fausse, le prix B est nettement plus avantageux.

Affirmation 5. La suite \displaystyle v_n = \displaystyle\int\limits_1^{n}\ln(x)\,\mathrm{d}x (pour n\geqslant1) est croissante. Vraie ou fausse ?

Par la relation de Chasles : {\displaystyle v_{n+1}-v_n = \displaystyle\int\limits_n^{n+1}\ln(x)\,\mathrm{d}x}.
Sur [n~;~n+1]\subset[1~;~+\infty[, \ln(x)\geqslant0 : cette intégrale est positive, donc {v_{n+1}\geqslant v_n}. L'affirmation est vraie.