Bac Terminale Spé Maths : Centres étrangers 2024, Sujet 1

PartieA ; 1. Soit f(x) = \dfrac{0{,}96x}{0{,}93x+0{,}03} sur [0~;~1]. Démontrer que f'(x) = \dfrac{0{,}0288}{(0{,}93x+0{,}03)^2}.

Par la formule du quotient : f'(x) = \dfrac{0{,}96(0{,}93x+0{,}03)-0{,}96x\times0{,}93}{(0{,}93x+0{,}03)^2} = \dfrac{0{,}0288}{(0{,}93x+0{,}03)^2} (les termes en x du numérateur se compensent).

PartieA ; 2. Déterminer le sens de variation de f sur [0~;~1].

Le numérateur de f'(x) est strictement positif et le dénominateur est un carré non nul : f'(x)>0, donc f est strictement croissante sur [0~;~1].

PartieB ; 1. Un test antidopage détecte un sportif dopé avec probabilité 0,96 (P_D(T)), et déclare positif un sportif non dopé avec probabilité 0,03. En notant x la proportion de dopés, compléter l'arbre de probabilités.

P(D)=x, P(\overline{D})=1-x ; P_D(T)=0{,}96, P_D(\overline{T})=0{,}04 ; P_{\overline{D}}(T)=0{,}03, {P_{\overline{D}}(\overline{T})=0{,}97}.

PartieB ; 2. Déterminer, en fonction de x, la probabilité qu'un sportif soit dopé et ait un test positif.

\begin{aligned}P(D\cap T) &= P(D)\times P_D(T) \\ &= 0{,}96x\end{aligned}

PartieB ; 3. Démontrer que {P(T) = 0{,}93x+0{,}03}.

Par les probabilités totales : \begin{aligned}P(T) &= 0{,}96x+(1-x)\times0{,}03 \\ &= 0{,}96x+0{,}03-0{,}03x \\ &= 0{,}93x+0{,}03\end{aligned}

PartieB ; 4. Avec 50 sportifs dopés sur 1 000 testés, démontrer que la probabilité qu'un sportif soit dopé sachant son test positif vaut f(0{,}05), et en donner une valeur au centième.

\begin{aligned}P_T(D) &= \dfrac{P(D\cap T)}{P(T)} \\ &= \dfrac{0{,}96x}{0{,}93x+0{,}03} \\ &= f(x)\end{aligned} ici \begin{aligned}x &= \dfrac{50}{1\,000} \\ &= 0{,}05\end{aligned}
f(0{,}05) = \dfrac{0{,}96\times0{,}05}{0{,}93\times0{,}05+0{,}03} = \dfrac{32}{51} \approx 0,63.

PartieB ; 5.a La valeur prédictive positive du test est P_T(D). À partir de quelle valeur de x est-elle supérieure ou égale à 0,9 (au centième) ?

\begin{aligned}f(x) \geqslant 0{,}9 &\iff 0{,}96x \geqslant 0{,}9(0{,}93x+0{,}03) \end{aligned} (le dénominateur étant positif) {\iff 0{,}123x\geqslant0{,}027 \iff x\geqslant\dfrac{9}{41}}.
La valeur prédictive positive dépasse 0,9 à partir de x \approx 0,22.

PartieB ; 5.b Un responsable décide de ne tester que les sportifs les plus performants, supposés plus souvent dopés. Quelle conséquence sur la valeur prédictive positive ?

Cette décision augmente la proportion x de dopés dans la population testée ; comme la valeur prédictive positive vaut f(x) et que f est strictement croissante (partie A), la valeur prédictive positive du test augmente.

1.aSoit f(x) = 2xe^{-x} sur [0~;~1]. Résoudre l'équation f(x)=x.

\begin{aligned}2xe^{-x} = x &\iff x(2e^{-x}-1) = 0 \\ &\iff x = 0 \end{aligned} ou e^{-x} = \dfrac12, soit x = \ln(2).
Comme {0<\ln(2)<1}, l'équation a deux solutions dans [0~;~1] : 0 et \ln(2).

1.bDémontrer que f'(x) = 2(1-x)e^{-x}.

f'(x) = 2e^{-x}+2x\times(-e^{-x}) = (2-2x)e^{-x} = 2(1-x)e^{-x}.

1.cDonner le tableau de variations de f sur [0~;~1].

Sur [0~;~1], 1-x\geqslant0 et e^{-x}>0 : f'(x)\geqslant0, donc f est croissante, de f(0)=0 à f(1)=2e^{-1}.

2.aOn considère (u_n) avec {u_0=0{,}1} et u_{n+1}=f(u_n). Démontrer par récurrence que, pour tout n, 0\leqslant u_n<u_{n+1}\leqslant1.

Initialisation : \begin{aligned}u_1 &= f(0{,}1) \\ &= 0{,}2e^{-0,1} \\ &\approx 0{,}18\end{aligned} donc 0\leqslant u_0<u_1\leqslant1 : vrai au rang 0.
Hérédité : si 0\leqslant u_n<u_{n+1}\leqslant1, la stricte croissance de f sur [0~;~1] donne f(0)\leqslant u_{n+1}<u_{n+2}\leqslant f(1) = 2e^{-1}\approx0{,}74\leqslant1 : vrai au rang n+1.
Conclusion : par récurrence, pour tout n\in\mathbb{N}, 0\leqslant u_n<u_{n+1}\leqslant1.

2.bEn déduire que la suite (u_n) est convergente.

(u_n) est strictement croissante et majorée par 1 : elle converge vers une limite \ell\in[0~;~1].

3.Démontrer que la limite de la suite (u_n) est \ln(2).

f étant continue, la limite vérifie {f(\ell)=\ell}, donc \ell=0 ou \ell=\ln(2) (question 1.a).
La suite est croissante à partir de {u_0=0{,}1}, donc \ell\geqslant0{,}1 : la valeur 0 est exclue. \ell=\ln(2).

4.aJustifier que, pour tout n, \ln(2)-u_n est positif.

La suite est croissante et converge vers \ln(2) : elle est donc majorée par sa limite, soit u_n\leqslant\ln(2), donc {\ln(2)-u_n\geqslant0}.

4.bCompléter le script Python seuil() qui renvoie une valeur approchée de ln(2) par défaut à 10^{-4} près, et le nombre d'étapes.

La condition de boucle est while ln(2) - u > 0.0001 : et la mise à jour est u = 2*u*exp(-u).

4.cDonner la valeur de la variable n renvoyée par la fonction seuil().

En exécutant la boucle, on trouve {n=11}.

1.On considère (E_0) : y'=y. Démontrer que l'unique fonction constante solution de (E_0) est la fonction nulle.

Si f(x)=k est constante, alors f'=0 ; l'équation impose 0=k : la seule solution constante est la fonction nulle.

2.Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle (E_0).

Les solutions de y'=y sont les fonctions x\longmapsto Ce^{x}, avec C\in\mathbb{R}.

3.Soit (E) : y' = y-\cos(x)-3\sin(x), et h(x) = 2\cos(x)+\sin(x). Démontrer que h est solution de (E).

h'(x) = -2\sin(x)+\cos(x).
h(x)-\cos(x)-3\sin(x) = 2\cos(x)+\sin(x)-\cos(x)-3\sin(x) = \cos(x)-2\sin(x) = h'(x) : h est bien solution de (E).

4.Démontrer que « f est solution de (E) » équivaut à « f-h est solution de (E_0) ».

Si f est solution de (E) : (f-h)' = f'-h' = \big(f-\cos-3\sin\big)-\big(h-\cos-3\sin\big) = f-h : f-h est solution de (E_0).
Réciproquement, si (f-h)'=f-h, alors f' = f-h+h' = f-\cos(x)-3\sin(x) (car h est solution de (E)) : f est solution de (E).
L'équivalence est établie.

5.En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E).

f-h = Ce^x, donc les solutions de (E) sont les fonctions {f(x) = Ce^x+2\cos(x)+\sin(x)}, avec C\in\mathbb{R}.

6.Déterminer l'unique solution g de (E) telle que g(0)=0.

\begin{aligned}g(0) = C+2+0 = 0 &\iff C = -2 \end{aligned} D'où g(x) = -2e^x+2\cos(x)+\sin(x).

7.Calculer \displaystyle \displaystyle\int\limits_0^{\pi/2}\big[-2e^x+\sin(x)+2\cos(x)\big]\,\mathrm{d}x.

Une primitive de l'intégrande est -2e^x-\cos(x)+2\sin(x).
\begin{aligned}I &= \Big[-2e^x-\cos(x)+2\sin(x)\Big]_0^{\pi/2} \\ &= \left(-2e^{\pi/2}-0+2\right)-\left(-2-1+0\right) \\ &= -2e^{\pi/2}+5\end{aligned}

1.Dans un repère orthonormé, on donne A(-2 ; 0 ; 2), B(-1 ; 3 ; 0), C(1 ; -1 ; 2), D(0 ; 0 ; 3). Démontrer que A, B, C ne sont pas alignés.

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ -2\end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} ne sont pas colinéaires (\frac31\neq\frac{-1}{3}) : A, B, C ne sont pas alignés.

2.aDémontrer que le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 5\end{pmatrix} est orthogonal au plan (ABC).

\begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB} &= 1+9-10 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC} &= 3-3+0 \\ &= 0\end{aligned} \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, donc orthogonal au plan (ABC).

2.bJustifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est x+3y+5z-8=0.

Le plan a une équation de la forme {x+3y+5z+d=0} ; A(-2 ; 0 ; 2) donne \begin{aligned}-2+10+d = 0 &\iff d = -8 \end{aligned} D'où x+3y+5z-8=0.

2.cEn déduire que les points A, B, C, D ne sont pas coplanaires.

Pour D(0 ; 0 ; 3) : \begin{aligned}0+0+15-8 &= 7 \\ &\neq 0\end{aligned} D n'appartient pas au plan (ABC), donc les quatre points ne sont pas coplanaires.

3.aLa droite \mathcal{D}_1 a pour représentation paramétrique x=t, y=3t, z=3+5t. Justifier qu'elle est la hauteur du tétraèdre ABCD issue de D.

Pour t=0, on obtient le point (0 ; 0 ; 3) = D : la droite passe par D.
Son vecteur directeur \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 5\end{pmatrix} est le vecteur \overrightarrow{n}, normal au plan (ABC) : la droite est orthogonale à (ABC). \mathcal{D}_1 est donc la hauteur issue de D.

3.bLa droite \mathcal{D}_2 (x=1+3s, y=-1-5s, z=2-6s) est la hauteur issue de C. Démontrer que \mathcal{D}_1 et \mathcal{D}_2 sont sécantes et déterminer leur point d'intersection.

Le système t=1+3s, 3t=-1-5s, {3+5t=2-6s} donne, en substituant t : 14s=-4 et 21s=-6, soit s=-\dfrac27 dans les deux cas : le système est compatible, avec t=\dfrac17.
Les droites sont sécantes, au point \left(\dfrac17~;~\dfrac37~;~\dfrac{26}{7}\right).

4.aDéterminer les coordonnées du projeté orthogonal H de D sur le plan (ABC).

H est l'intersection de \mathcal{D}_1 et du plan : \begin{aligned}t+9t+15+25t-8 = 0 &\iff 35t = -7 \\ &\iff t = -\dfrac15 \end{aligned}
D'où H\left(-\dfrac15~;~-\dfrac35~;~2\right).

4.bCalculer la distance du point D au plan (ABC), arrondie au centième.

\begin{aligned}DH^2 &= \dfrac{1}{25}+\dfrac{9}{25}+1 \\ &= \dfrac{35}{25}\end{aligned} donc DH = \sqrt{\dfrac75} = \dfrac{\sqrt{35}}{5} \approx 1,18.