Bac Terminale Spé Maths : Centres étrangers 2024, Sujet 2

1.Un sac contient 8 jetons numérotés de 1 à 8 ; on pioche trois fois avec remise et on note la liste ordonnée des numéros. Déterminer le nombre de tirages possibles.

Chaque pioche offre 8 possibilités, avec remise : il y a 8^3 = 512 tirages possibles.

2.aDéterminer le nombre de tirages sans répétition de numéro.

Sans répétition, on a 8 choix pour le premier numéro, 7 pour le deuxième, 6 pour le troisième : 8\times7\times6 = 336 tirages.

2.bEn déduire le nombre de tirages contenant au moins une répétition.

512-336 = 176 tirages avec au moins une répétition (complémentaire des tirages sans répétition).

3.On note X_1 le numéro du premier jeton pioché. Établir la loi de probabilité de X_1.

Les jetons étant indiscernables, la loi est équirépartie : P(X_1=k) = \dfrac18 pour chaque k de 1 à 8.

4.Déterminer l'espérance de X_1.

E(X_1) = \dfrac{1+2+\dots+8}{8} = \dfrac{36}{8} = 4,5.

5.On pose S = X_1+X_2+X_3. Déterminer l'espérance de S.

Par linéarité, et les trois variables suivant la même loi : {E(S) = 3\times E(X_1) = 3\times4{,}5 =} 13,5.

6.Déterminer P(S=24).

La somme 24 n'est réalisée que par le tirage (8 ; 8 ; 8), une issue sur 512 : P(S=24) = \dfrac{1}{512}.

7.aUn joueur gagne un lot si S\geqslant22. Justifier qu'il existe exactement 10 tirages gagnants.

S=24 : uniquement (8;8;8), soit 1 tirage. S=23 : la somme 7+8+8, avec 3 positions possibles pour le 7, soit 3 tirages.
S=22 : les sommes 6+8+8 et 7+7+8, chacune donnant 3 tirages (3 positions du numéro isolé), soit 6 tirages.
Total : 1+3+6 = 10 tirages gagnants.

7.bEn déduire la probabilité de gagner un lot.

\begin{aligned}P(S\geqslant22) &= \dfrac{10}{512} \\ &= \dfrac{5}{256}\end{aligned}

1.aSoit f(x) = \dfrac{e^x}{x-1} sur {]-\infty~;~1[}. Déterminer la limite de f en 1.

e^x\to e>0 et x-1\to0^- (négatif sur l'intervalle) : par quotient, {\lim\limits_{x\to1^-}f(x) = -\infty}.

1.bEn déduire une interprétation graphique.

La courbe \mathcal{C} admet la droite d'équation x=1 comme asymptote verticale.

2.Déterminer la limite de f en -\infty.

e^x\to0 et x-1\to-\infty : \lim\limits_{x\to-\infty}f(x) = 0 ; la droite y=0 est asymptote horizontale en -\infty.

3.aMontrer que f'(x) = \dfrac{(x-2)e^x}{(x-1)^2}.

f'(x) = \dfrac{e^x(x-1)-e^x}{(x-1)^2} = \dfrac{(x-2)e^x}{(x-1)^2}.

3.bDresser, en justifiant, le tableau de variations de f sur {]-\infty~;~1[}.

e^x>0 et (x-1)^2>0 : f'(x) est du signe de x-2, strictement négatif sur {]-\infty~;~1[}. f est strictement décroissante, de 0 (limite en -\infty) vers -\infty (limite en 1).

4.aOn admet f''(x) = \dfrac{(x^2-4x+5)e^x}{(x-1)^3}. Étudier la convexité de f sur {]-\infty~;~1[}.

x^2-4x+5 = (x-2)^2+1 > 0 pour tout réel x, et e^x>0 ; sur {]-\infty~;~1[}, {(x-1)^3<0}.
f''(x)<0 sur tout l'intervalle : f est concave sur {]-\infty~;~1[}.

4.bDéterminer l'équation réduite de la tangente T à \mathcal{C} au point d'abscisse 0.

f(0) = -1 et f'(0) = \dfrac{-2\times1}{1} = -2 : T : y = -2x-1.

4.cEn déduire que, pour tout x de {]-\infty~;~1[}, e^x \geqslant (-2x-1)(x-1).

f étant concave, sa courbe est sous ses tangentes : f(x)\leqslant-2x-1, soit \dfrac{e^x}{x-1}\leqslant-2x-1.
En multipliant par x-1<0 (le sens change) : e^x \geqslant (-2x-1)(x-1).

5.aJustifier que l'équation f(x)=-2 admet une unique solution \alpha sur {]-\infty~;~1[}.

f est continue et strictement décroissante sur {]-\infty~;~1[}, et -2 est compris entre \lim\limits_{-\infty}f = 0 et \lim\limits_{1}f = -\infty : par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution \alpha.

5.bÀ l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de \alpha d'amplitude 10^{-2}.

f(0{,}31)\approx-1{,}98>-2 et {f(0{,}32)\approx-2{,}03<-2} : {0{,}31<\alpha<0{,}32}.

1.ABCDEFGH est un cube d'arête 1 cm ; I est le milieu de [AB], J le milieu de [CG]. Dans le repère (A~;~\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}), donner les coordonnées de I et J.

I\left(\dfrac12~;~0~;~0\right) et J\left(1~;~1~;~\dfrac12\right).

2.Montrer que le vecteur \overrightarrow{EJ} est normal au plan (FHI).

\overrightarrow{EJ}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}, \overrightarrow{FH}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} et \overrightarrow{FI}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2} \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}.
\begin{aligned}\overrightarrow{EJ}\cdot\overrightarrow{FH} &= -1+1+0 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\overrightarrow{EJ}\cdot\overrightarrow{FI} &= -\dfrac12+0+\dfrac12 \\ &= 0\end{aligned} \overrightarrow{EJ} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, donc normal à (FHI).

3.Montrer qu'une équation cartésienne du plan (FHI) est -2x-2y+z+1=0.

-2\overrightarrow{EJ}\begin{pmatrix}-2 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix} est aussi normal au plan : l'équation est de la forme {-2x-2y+z+d=0} ; F(1 ; 0 ; 1) donne \begin{aligned}-2+1+d = 0 &\iff d = 1 \end{aligned} D'où -2x-2y+z+1=0.

4.Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EJ).

(EJ) passe par E(0 ; 0 ; 1) et est dirigée par \overrightarrow{EJ} : x=t, y=t, z=1-\dfrac12t, avec t\in\mathbb{R}.

5.aOn note K le projeté orthogonal de E sur le plan (FHI). Calculer ses coordonnées.

En substituant dans l'équation du plan : \begin{aligned}-2t-2t+1-\dfrac12t+1 = 0 &\iff -\dfrac92t = -2 \\ &\iff t = \dfrac49 \end{aligned}
D'où K\left(\dfrac49~;~\dfrac49~;~\dfrac79\right).

5.bMontrer que le volume de la pyramide EFHI est \dfrac16 cm^{3} (on utilisera L, milieu de [EF], projeté orthogonal de I sur (EFH)).

Avec le triangle EFH comme base : EFH est rectangle en E, d'aire \dfrac{1\times1}{2} = \dfrac12.
La hauteur correspondante est IL, avec L\left(\dfrac12~;~0~;~1\right) : \begin{aligned}IL &= \sqrt{0+0+1} \\ &= 1\end{aligned}
\begin{aligned}V &= \dfrac13\times\dfrac12\times1 \\ &= \dfrac16\end{aligned} cm^{3}.

5.cDéduire des deux questions précédentes l'aire du triangle FHI.

En reprenant le volume avec FHI comme base et EK comme hauteur : \begin{aligned}EK &= \sqrt{\dfrac{16}{81}+\dfrac{16}{81}+\dfrac{4}{81}} \\ &= \dfrac69 \\ &= \dfrac23\end{aligned}
\dfrac16 = \dfrac13\times\mathcal{A}_{FHI}\times\dfrac23 donne \mathcal{A}_{FHI} = \dfrac34 cm^{2}.

PartieA ; 1. Soit f(x) = \sqrt{x+1} sur [0~;~+\infty[. Démontrer que f est croissante sur cet intervalle.

f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} > 0 sur [0~;~+\infty[ : f est croissante.

PartieA ; 2. Démontrer que, pour tout x\geqslant0, f(x)-x = \dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x}.

En multipliant par la quantité conjuguée : \begin{aligned}\sqrt{x+1}-x &= \dfrac{(\sqrt{x+1}-x)(\sqrt{x+1}+x)}{\sqrt{x+1}+x} \\ &= \dfrac{(x+1)-x^2}{\sqrt{x+1}+x} \\ &= \dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x}\end{aligned}

PartieA ; 3. En déduire que l'équation f(x)=x admet pour unique solution {\ell = \dfrac{1+\sqrt5}{2}} sur [0~;~+\infty[.

Le dénominateur étant strictement positif, \begin{aligned}f(x) = x &\iff -x^2+x+1 = 0 \end{aligned} de discriminant \Delta = 5.
Les racines sont \dfrac{1+\sqrt5}{2}>0 et \dfrac{1-\sqrt5}{2}<0 : seule la première appartient à [0~;~+\infty[. {\ell = \dfrac{1+\sqrt5}{2}} (le nombre d'or).

PartieB ; 1. Soit (u_n) définie par u_0=5 et u_{n+1}=f(u_n). Démontrer par récurrence que, pour tout n, {1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n}.

Initialisation : \begin{aligned}u_1 &= \sqrt6 \\ &\approx 2{,}45\end{aligned} donc 1\leqslant u_1\leqslant u_0=5 : vrai au rang 0.
Hérédité : si {1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n}, la croissance de f donne {f(1)=\sqrt2\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}}, et \sqrt2\geqslant1 : vrai au rang n+1.
Conclusion : par récurrence, pour tout n\in\mathbb{N}, {1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n}.

PartieB ; 2. En déduire que la suite (u_n) converge.

(u_n) est décroissante et minorée par 1 : elle converge.

PartieB ; 3. Démontrer que la suite (u_n) converge vers {\ell = \dfrac{1+\sqrt5}{2}}.

f étant continue sur [0~;~+\infty[, la limite vérifie f(\ell)=\ell ; d'après la partie A, l'unique solution de cette équation est \dfrac{1+\sqrt5}{2} : c'est la limite de la suite.

PartieB ; 4.a Un script Python seuil(n) compte les itérations nécessaires pour que |u_i-\ell|<10^{-n}. Donner la valeur renvoyée par seuil(2).

À la calculatrice, \begin{aligned}|u_4-\ell| &\approx 0{,}02 \\ &\geqslant 10^{-2}\end{aligned} et |u_5-\ell|\approx0{,}007<10^{-2} : la fonction renvoie 5.

PartieB ; 4.b La valeur renvoyée par seuil(4) est 9. Interpréter.

u_9 est le premier terme de la suite qui approche le nombre d'or \ell à moins de 10^{-4} près : il faut 9 itérations pour obtenir une valeur approchée de \ell à 10^{-4} près.