Bac Terminale Spé Maths : Centres étrangers 2024, sujet de secours

Affirmation 1. Soit (E) l'équation différentielle y'-2y=-6x+1. La fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=e^{2x}-6x+1 est-elle solution de (E) ?

f'(x) = 2e^{2x}-6, donc f'(x)-2f(x) = \left(2e^{2x}-6\right)-2\left(e^{2x}-6x+1\right) = 2e^{2x}-6-2e^{2x}+12x-2 = 12x-8.
Or 12x-8\neq-6x+1 pour x quelconque (par exemple en x=0 : -8\neq1) : l'affirmation est fausse.

Affirmation 2. On considère la suite (u_n) définie sur \mathbb{N} par {u_n = 1+\dfrac34+\left(\dfrac34\right)^2+\cdots+\left(\dfrac34\right)^n}. La suite (u_n) a-t-elle pour limite +\infty ?

u_n est la somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique de raison q=\dfrac34, avec -1<q<1 : {u_n = \dfrac{1-\left(\frac34\right)^{n+1}}{1-\frac34}}.
Comme \left(\dfrac34\right)^{n+1}\to0 quand n\to+\infty, la suite (u_n) converge vers \dfrac{1}{1-\frac34} = 4 : l'affirmation est fausse, la suite ne tend pas vers +\infty mais converge vers 4.

Affirmation 3. On considère la suite (u_n) de l'affirmation 2. Un script Python nommé suite(n) est proposé pour calculer les termes de cette suite ; l'exécution de suite(50) renverrait-elle la valeur de u_{50} ?

Un script qui calcule correctement u_n doit initialiser un terme et une somme, puis cumuler n+1 termes de la forme \left(\dfrac34\right)^k avant de renvoyer la somme accumulée.
Une erreur classique dans ce genre de script est de renvoyer la somme après seulement n itérations (donc u_{n-1}) au lieu de n+1 itérations, ou de renvoyer le dernier terme ajouté au lieu de la somme cumulée. Sans disposer du code exact, on retiendra la méthode : il faut vérifier pas à pas, pour une petite valeur de n (par exemple n=1 : {u_1=1{,}75}), que le script renvoie bien la bonne valeur avant de généraliser à n=50 : c'est cette vérification qui permet de conclure, et non une lecture rapide du code.

Affirmation 4. Soit a un réel et f la fonction définie sur ]0~;~+\infty[ par f(x)=a\ln(x)-2x. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses ?

La tangente au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses si et seulement si f'(1)=0.
f'(x) = \dfrac{a}{x}-2, donc f'(1) = a-2. L'équation a-2=0 admet la solution a=2 : l'affirmation est vraie, la valeur a=2 convient.

PartieA : Un joueur de volley-ball réussit son premier service avec une probabilité de 0,85. S'il réussit un service, la probabilité qu'il réussisse le suivant est 0,6 ; s'il le rate, la probabilité qu'il rate le suivant aussi est 0,6. On note R_n l'évènement « le joueur réussit le n-ième service ». 1. Démontrer que P(R_2)=0{,}57.

D'après l'énoncé, P(R_1)=0{,}85, P_{R_1}(R_2)=0{,}6 et P_{\overline{R_1}}(\overline{R_2})=0{,}6 donc \begin{aligned}P_{\overline{R_1}}(R_2) &= 1-0{,}6 \\ &= 0{,}4\end{aligned}
D'après la formule des probabilités totales : P(R_2) = P(R_1)\times P_{R_1}(R_2) + P(\overline{R_1})\times P_{\overline{R_1}}(R_2) = 0{,}85\times0{,}6+0{,}15\times0{,}4 = 0{,}51+0{,}06 = 0,57.

PartieA ; 2. Sachant que le joueur a réussi le deuxième service, calculer la probabilité qu'il ait raté le premier.

P_{R_2}(\overline{R_1}) = \dfrac{P(\overline{R_1}\cap R_2)}{P(R_2)} = \dfrac{0{,}06}{0{,}57} \approx 0,105.

PartieA ; 3. Soit Z le nombre de services réussis parmi les deux premiers. Déterminer la loi de Z et calculer E(Z).

\begin{aligned}P(Z=0) &= P(\overline{R_1})\times P_{\overline{R_1}}(\overline{R_2}) \\ &= 0{,}15\times0{,}6 \\ &= 0{,}09\end{aligned} \begin{aligned}P(Z=2) &= P(R_1)\times P_{R_1}(R_2) \\ &= 0{,}85\times0{,}6 \\ &= 0{,}51\end{aligned} \begin{aligned}P(Z=1) &= 1-0{,}09-0{,}51 \\ &= 0{,}40\end{aligned}
E(Z) = 0\times0{,}09+1\times0{,}40+2\times0{,}51 = 1,42 : en moyenne, le joueur réussit environ 1,42 service sur les deux premiers.

PartieB ; 1. On note x_n=P(R_n). Établir les probabilités conditionnelles P_{R_n}(R_{n+1}) et P_{\overline{R_n}}(\overline{R_{n+1}}), puis montrer que {x_{n+1}=0{,}2x_n+0{,}4}.

D'après l'énoncé, P_{R_n}(R_{n+1})=0{,}6 et P_{\overline{R_n}}(\overline{R_{n+1}})=0{,}6, donc P_{\overline{R_n}}(R_{n+1})=0{,}4.
Par la formule des probabilités totales : x_{n+1} = x_n\times0{,}6+(1-x_n)\times0{,}4 = 0{,}6x_n+0{,}4-0{,}4x_n = 0{,}2x_n+0{,}4.

PartieB ; 2. Soit (u_n) définie par {u_n=x_n-0{,}5}. Montrer que (u_n) est géométrique, exprimer x_n en fonction de n, et en déduire la limite de (x_n).

\begin{aligned}u_{n+1} &= x_{n+1}-0{,}5 \\ &= 0{,}2x_n+0{,}4-0{,}5 \\ &= 0{,}2x_n-0{,}1 \\ &= 0{,}2(x_n-0{,}5) \\ &= 0{,}2\,u_n\end{aligned} (u_n) est géométrique de raison 0{,}2.
Le premier terme utile est \begin{aligned}u_1 &= x_1-0{,}5 \\ &= 0{,}85-0{,}5 \\ &= 0{,}35\end{aligned} donc pour tout n\geqslant1, u_n = 0{,}35\times0{,}2^{n-1}, soit x_n = 0{,}5+0{,}35\times0{,}2^{n-1}.
Comme {0<0{,}2<1}, 0{,}2^{n-1}\to0 quand n\to+\infty : la suite (x_n) converge vers 0,5.

PartieB ; 3. Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.

À long terme, la probabilité que le joueur réussisse un service donné se stabilise autour de 0,5, quel que soit l'historique de ses services précédents : sur un grand nombre de services, il finit par réussir environ un service sur deux.

Partie1 : Pour un appareil de chauffage de marque A, la courbe de température (en ^{\circ}C) en fonction du temps (en minutes) depuis l'allumage est donnée dans le sujet. Par lecture graphique : 1. donner le temps d'atteinte de la température maximale ; 2. donner la durée pendant laquelle la température dépasse 300 ^{\circ}C ; 3. estimer \displaystyle \dfrac{1}{600}\displaystyle\int\limits_0^{600}f(t)\,\mathrm{d}t et interpréter.

Ces trois résultats s'obtiennent par lecture graphique directe sur la courbe fournie dans le sujet (non reproductible ici) : il faut repérer l'abscisse du sommet de la courbe pour le temps du maximum, mesurer l'intervalle où la courbe est au-dessus de la droite horizontale y=300 pour la durée demandée, et estimer visuellement l'aire sous la courbe divisée par 600 pour la valeur moyenne.
Interprétation : \displaystyle \dfrac{1}{600}\displaystyle\int\limits_0^{600}f(t)\,\mathrm{d}t représente la température moyenne à l'intérieur du foyer sur les 600 premières minutes suivant l'allumage.

Partie2 : Pour un appareil de marque B, la température est modélisée sur [0~;~+\infty[ par g(t) = 10t\,e^{-0,01t}+20. 1. Déterminer la limite de g en +\infty.

Par croissance comparée, t\,e^{-0,01t}\to0 quand t\to+\infty (l'exponentielle l'emporte sur t), donc 10t\,e^{-0,01t}\to0 : \displaystyle\lim_{t\to+\infty}g(t) = 20.

Partie2 ; 2.a Montrer que g'(t)=(-0,1t+10)e^{-0,01t}.

g est dérivable comme produit et somme de fonctions dérivables. En posant u(t)=10t et v(t)=e^{-0,01t} : u'(t)=10 et v'(t)=-0,01e^{-0,01t}, donc g'(t) = u'v+uv' = 10e^{-0,01t}+10t\times(-0,01)e^{-0,01t} = (10-0,1t)e^{-0,01t} = (-0,1t+10)e^{-0,01t}.

Partie2 ; 2.b Étudier les variations de g sur [0~;~+\infty[ et dresser son tableau de variations.

Comme e^{-0,01t}>0 pour tout t, le signe de g'(t) est celui de -0,1t+10, qui s'annule en t=100 : g'(t)>0 sur [0~;~100[ et g'(t)<0 sur ]100~;~+\infty[.
g est donc strictement croissante sur [0~;~100], puis strictement décroissante sur [100~;~+\infty[, avec g(0)=20, un maximum \begin{aligned}g(100) &= 1\,000\,e^{-1}+20 \\ &\approx 387{,}9\end{aligned} et une limite de 20 en +\infty (asymptote horizontale y=20).

Partie2 ; 3. Démontrer que l'équation g(t)=300 admet exactement deux solutions distinctes sur [0~;~+\infty[, et en donner des valeurs approchées à l'unité.

Sur [0~;~100], g est continue et strictement croissante de g(0)=20 à {g(100)\approx387{,}9} ; comme {20<300<387{,}9}, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(t)=300 a une unique solution t_1 sur cet intervalle.
Sur [100~;~+\infty[, g est continue et strictement décroissante de {g(100)\approx387{,}9} vers sa limite 20 (jamais atteinte) ; comme {20<300<387{,}9}, l'équation g(t)=300 a une unique solution t_2 sur cet intervalle.
L'équation g(t)=300 admet donc exactement deux solutions, à la calculatrice t_1\approx43 minutes et {t_2\approx193} minutes.

Partie2 ; 4. À l'aide d'une intégration par parties, calculer \displaystyle \displaystyle\int\limits_0^{600}g(t)\,\mathrm{d}t.

On calcule d'abord \displaystyle \displaystyle\int\limits_0^{600}10t\,e^{-0,01t}\,\mathrm{d}t par parties, en posant u(t)=10t et v'(t)=e^{-0,01t}, d'où u'(t)=10 et {v(t)=-100e^{-0,01t}}.
\begin{aligned}\displaystyle \displaystyle\int\limits_0^{600}10t\,e^{-0,01t}\,\mathrm{d}t &= \Big[-1\,000t\,e^{-0,01t}\Big]_0^{600} + \displaystyle\int\limits_0^{600}1\,000e^{-0,01t}\,\mathrm{d}t \\ &= \Big[-1\,000t\,e^{-0,01t}-100\,000e^{-0,01t}\Big]_0^{600}\end{aligned}
Numériquement, cette expression vaut environ 98 265, donc \displaystyle \displaystyle\int\limits_0^{600}g(t)\,\mathrm{d}t \approx 98\,265+20\times600 = 110 265 (unité : ^{\circ}C\cdotminute).

Partie3 : Pour l'appareil B, on attribue une étoile par critère validé parmi : (1) température maximale >320 ^{\circ}C ; (2) maximum atteint en moins de 2 h ; (3) température moyenne sur les 10 premières heures >250 ^{\circ}C ; (4) température \leqslant300 ^{\circ}C pendant plus de 5 h. L'appareil B obtient-il exactement trois étoiles ?

Critère 1 : g(100)\approx387{,}9\;^{\circ}C>320 ^{\circ}C : critère validé.
Critère 2 : le maximum est atteint en t=100 minutes, soit 1 h 40 min <2 h : critère validé.
Critère 3 : sur les 10 premières heures (600 minutes), la moyenne est \begin{aligned}\displaystyle \dfrac{1}{600}\displaystyle\int\limits_0^{600}g(t)\,\mathrm{d}t &\approx \dfrac{110\,265}{600} \\ &\approx 183{,}8\;^{\circ}C\end{aligned} ce qui est inférieur à 250 ^{\circ}C : critère non validé.
Critère 4 : g(t)>300 exactement entre les deux solutions t_1\approx43 et {t_2\approx193} minutes, soit une durée d'environ {193-43=150} minutes =2 h 30 pendant laquelle g(t)>300 ; donc g(t)\leqslant300 le reste du temps, en particulier bien plus de 5 heures sur les 10 heures observées : critère validé.
Trois critères sur quatre sont validés (1, 2 et 4) : l'appareil B obtient bien exactement trois étoiles.

Onmodélise un spectacle de voltige aérienne en duo dans un repère orthonormé de l'espace, l'unité étant le mètre. L'avion 1 relie O(0~;~0~;~0) à A(0~;~200~;~0) en ligne droite à 200 m/s. L'avion 2 relie B(-33~;~75~;~44) à C(87~;~75~;~-116) en ligne droite à la même vitesse, en partant au même instant que l'avion 1. 1. Justifier que l'avion 2 mettra autant de temps à parcourir [BC] que l'avion 1 à parcourir [OA].

\begin{aligned}OA &= \sqrt{0^2+200^2+0^2} \\ &= 200\end{aligned} mètres.
\begin{aligned}BC &= \sqrt{(87-(-33))^2+(75-75)^2+(-116-44)^2} \\ &= \sqrt{120^2+0^2+(-160)^2} \\ &= \sqrt{14\,400+25\,600} \\ &= \sqrt{40\,000} \\ &= 200\end{aligned} mètres.
Les deux avions parcourent donc la même distance de 200 mètres, à la même vitesse de 200 m/s : ils mettent chacun exactement 1 seconde, donc le même temps.

2.Montrer que les trajectoires des deux avions se coupent.

La droite (OA) admet la représentation paramétrique x=0, y=200s, z=0 (s\in[0~;~1]), et la droite (BC) admet la représentation x=-33+120r, y=75, z=44-160r (r\in[0~;~1]).
En égalant les coordonnées : y impose 200s=75, soit s=0{,}375 ; x impose {0=-33+120r}, soit r=0{,}275. On vérifie que z est cohérent : sur (OA), z=0 ; sur (BC) avec r=0{,}275, \begin{aligned}z &= 44-160\times0{,}275 \\ &= 0\end{aligned}
Les deux valeurs s=0{,}375\in[0~;~1] et r=0{,}275\in[0~;~1] sont bien dans l'intervalle de définition des segments : les trajectoires [OA] et [BC] se coupent, au point de coordonnées (0~;~75~;~0).

3.Les deux avions risquent-ils de se percuter lors de ce passage ?

Les deux avions partent au même instant t=0 et volent à vitesse constante de 200 m/s sur des trajets de 200 mètres chacun, parcourus en exactement 1 seconde.
L'avion 1 atteint le point d'intersection (0~;~75~;~0) lorsque s=0{,}375, soit à l'instant \begin{aligned}t_1 &= 0{,}375\times1 \\ &= 0{,}375\end{aligned} s après le décollage. L'avion 2 atteint ce même point lorsque r=0{,}275, soit à l'instant \begin{aligned}t_2 &= 0{,}275\times1 \\ &= 0{,}275\end{aligned} s après le décollage.
Comme t_1\neq t_2 (les deux avions passent par le point commun à environ 0{,}1 seconde d'écart), les deux avions ne se trouvent jamais au même endroit au même instant : il n'y a pas de risque de collision, même si leurs trajectoires géométriques se croisent.