Bac Terminale Spé Maths : Polynésie française 2024, Sujet 2

1.Un sondage indique que 60 % des personnes de plus de 15 ans comptent regarder les Jeux Olympiques et Paralympiques (JOP) 2024 à la télévision, et que parmi elles, 8 sur 9 déclarent pratiquer une activité sportive régulière. On note J l'évènement « la personne compte regarder les JOP » et S « la personne pratique une activité sportive régulière ». Démontrer que P(J\cap S) = \dfrac{8}{15}.

\begin{aligned}P(J\cap S) &= P(J)\times P_J(S) \\ &= 0{,}6\times\dfrac89 \\ &= \dfrac{6}{10}\times\dfrac89 \\ &= \dfrac{48}{90} \\ &= \dfrac{8}{15}\end{aligned}

2.aLe sondage indique par ailleurs que P(S) = \dfrac23. Calculer P(\overline{J}\cap S).

D'après la formule des probabilités totales appliquée à la partition (J,\overline{J}) : P(S) = P(J\cap S) + P(\overline{J}\cap S), donc \begin{aligned}P(\overline{J}\cap S) &= \dfrac23-\dfrac{8}{15} \\ &= \dfrac{10}{15}-\dfrac{8}{15} \\ &= \dfrac{2}{15}\end{aligned}

2.bEn déduire P_{\overline{J}}(S).

\begin{aligned}P(\overline{J}) &= 1-0{,}6 \\ &= 0{,}4 \\ &= \dfrac25\end{aligned} donc \begin{aligned}P_{\overline{J}}(S) &= \dfrac{P(\overline{J}\cap S)}{P(\overline{J})} \\ &= \dfrac{\frac{2}{15}}{\frac25} \\ &= \dfrac{2}{15}\times\dfrac52 \\ &= \dfrac13\end{aligned}

3.aOn interroge 30 personnes de plus de 15 ans au hasard, assimilé à un tirage avec remise. X compte le nombre de personnes, parmi les 30, déclarant une activité sportive régulière. Préciser la loi de X.

Les 30 tirages sont indépendants et identiques, chacun avec probabilité P(S)=\dfrac23 de succès : X suit la loi binomiale de paramètres n=30 et p=\dfrac23.

3.bCalculer la probabilité qu'exactement 16 personnes parmi les 30 déclarent une activité sportive régulière (arrondi au millième).

P(X=16) = \dbinom{30}{16}\left(\dfrac23\right)^{16}\left(\dfrac13\right)^{14} \approx 0,046.

3.cOn offre une place à 380 € pour chaque personne déclarant une activité sportive régulière, avec un budget de 10 000 €. Quelle est la probabilité que ce budget soit insuffisant (arrondi au millième) ?

Le budget permet d'offrir au plus \begin{aligned}\left\lfloor\dfrac{10\,000}{380}\right\rfloor &= \lfloor 26{,}31\ldots\rfloor \\ &= 26\end{aligned} places.
Le budget est insuffisant si X\geqslant27, soit X>26. À la calculatrice, {P(X\leqslant26)\approx0{,}997}, donc {P(X\geqslant27) = 1-P(X\leqslant26)\approx} 0,003.

QCM ; 1. Quelle est la fonction f, solution de y'=-3y+7 sur \mathbb{R} vérifiant {f(0)=1} ? A. f(x)=e^{-3x} B. f(x)=-\dfrac43e^{-3x}+\dfrac73 C. {f(x)=e^{-3x}+\dfrac73} D. f(x)=-\dfrac{10}{3}e^{-3x}-\dfrac73

Les solutions de y'=-3y sont les fonctions x\longmapsto Ke^{-3x} (K\in\mathbb{R}) ; une solution constante \alpha de y'=-3y+7 vérifie 0=-3\alpha+7, soit \alpha=\dfrac73.
Les solutions de y'=-3y+7 sont donc x\longmapsto Ke^{-3x}+\dfrac73. La condition {f(0)=1} donne \begin{aligned}K+\dfrac73 = 1 &\iff K = -\dfrac43 \end{aligned} Réponse B.

QCM ; 2. La courbe d'une fonction f positive sur [0~;~+\infty[ est donnée dans le sujet, quadrillée en carreaux d'aire 1. Un encadrement de \displaystyle I=\displaystyle\int\limits_1^5 f(x)\,\mathrm{d}x est proposé parmi : A. {0\leqslant I\leqslant4} B. {1\leqslant I\leqslant5} C. {5\leqslant I\leqslant10} D. {10\leqslant I\leqslant15}.

La courbe étant positive sur [1~;~5], I est l'aire sous la courbe entre les droites {x=1} et x=5 ; en comptant les carreaux du quadrillage, cette aire est comprise entre 5 et 10 unités d'aire : réponse C.

QCM ; 3. Soit g(x)=x^2\ln(x^2+4) définie sur \mathbb{R}. Que vaut \displaystyle \displaystyle\int\limits_0^2 g'(x)\,\mathrm{d}x à 10^{-1} près ? A. 4,9 B. 8,3 C. 1,7 D. 7,5

g est une primitive de g', donc \displaystyle \displaystyle\int\limits_0^2 g'(x)\,\mathrm{d}x = g(2)-g(0) = 4\ln(8) - 0 = 4\ln(8).
4\ln(8) = 4\ln(2^3) = 12\ln(2) \approx 8,3 : réponse B.

QCM ; 4. Une professeure veut former un groupe de 5 élèves parmi 31. Combien de groupes différents peut-elle former ? A. 31^5 B. 31\times30\times29\times28\times27 C. {31+30+29+28+27} D. \dbinom{31}{5}

Un groupe est un choix de 5 élèves parmi 31 sans ordre ni répétition : le nombre de possibilités est \dbinom{31}{5} : réponse D.

QCM ; 5. Parmi ces 31 élèves : 10 font physique-chimie, 20 font SES, 1 fait LLCE espagnol. Combien de groupes de 5 élèves comportant exactement 3 élèves de SES peut-on former ? A. {\dbinom{20}{3}\times\dbinom{11}{2}} B. \dbinom{20}{3}+\dbinom{11}{2} C. \dbinom{20}{3} D. 20^3\times11^2

Il faut choisir 3 élèves parmi les 20 faisant SES, soit \dbinom{20}{3} façons, puis 2 élèves parmi les 31-20=11 élèves ne faisant pas SES, soit \dbinom{11}{2} façons ; les deux choix étant indépendants, le nombre total de groupes est {\dbinom{20}{3}\times\dbinom{11}{2}} : réponse A.

1.aLa suite (u_n) est définie par u_0=8 et u_{n+1}=u_n-\ln\left(\dfrac{u_n}{4}\right). Donner les valeurs arrondies au centième de u_1 et u_2.

u_1 = 8-\ln\left(\dfrac84\right) = 8-\ln(2) \approx 7,31.
u_2 = u_1-\ln\left(\dfrac{u_1}{4}\right) \approx 7{,}3069-\ln(1{,}8267) \approx 6,70.

1.bUne fonction Python mystere(k) initialise u = 8 et S = 0, puis répète k fois S = S + u suivi de u = u - log(u/4), avant de renvoyer S. L'appel mystere(10) renvoie 58,440... Que représente ce résultat ?

À chaque tour de boucle, S accumule la valeur courante de u avant sa mise à jour : après 10 tours, S contient donc u_0+u_1+\cdots+u_9, c'est-à-dire la somme des dix premiers termes de la suite (u_n), de u_0 à u_9.

1.cModifier la fonction pour qu'elle renvoie la moyenne des k premiers termes de la suite.

2.Soit f(x) = x-\ln\left(\dfrac{x}{4}\right) définie et dérivable sur ]0~;~+\infty[. Étudier les variations de f et préciser la valeur exacte de son minimum.

f'(x) = 1-\dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}. Comme x>0, f'(x) est du signe de x-1 : f'(x)<0 sur ]0~;~1[ et f'(x)>0 sur ]1~;~+\infty[.
f est donc strictement décroissante sur ]0~;~1] puis strictement croissante sur [1~;~+\infty[, avec un minimum en {x=1} valant \begin{aligned}f(1) &= 1-\ln\left(\dfrac14\right) \\ &= 1+\ln(4)\end{aligned}

3.aOn admet que u_{n+1}=f(u_n) pour tout n. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, {1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n}.

Initialisation : u_0=8 et u_1\approx7{,}31, donc {1\leqslant u_1\leqslant u_0} : la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons {1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n} pour un certain n. Comme f est croissante sur [1~;~+\infty[, on a {f(1)\leqslant f(u_{n+1})\leqslant f(u_n)}, soit {f(1)\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}}. Or \begin{aligned}f(1) &= 1+\ln(4) \\ &\approx 2{,}39 \\ &\geqslant 1\end{aligned} donc {1\leqslant u_{n+2}\leqslant u_{n+1}} : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : par récurrence, pour tout n\in\mathbb{N}, {1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n}.

3.bEn déduire que (u_n) converge, et noter \ell sa limite.

L'encadrement précédent montre que (u_n) est décroissante (car u_{n+1}\leqslant u_n) et minorée par 1 : elle converge donc vers une limite réelle \ell\geqslant1.

3.cRésoudre l'équation f(x)=x sur ]0~;~+\infty[.

\begin{aligned}f(x) = x &\iff x-\ln\left(\dfrac{x}{4}\right) = x \\ &\iff \ln\left(\dfrac{x}{4}\right) = 0 \\ &\iff \dfrac{x}{4} = 1 \\ &\iff x = 4 \end{aligned} L'unique solution est 4.

3.dEn déduire la valeur de \ell.

f est continue sur ]0~;~+\infty[ (car dérivable) ; en passant à la limite dans u_{n+1}=f(u_n), \ell vérifie f(\ell)=\ell. D'après la question précédente, la seule solution possible est \ell=4 : \ell=4.

1.L'espace est muni d'un repère orthonormé, l'unité étant la centaine de mètres. Des drones sont positionnés en A(-1~;~-1~;~17), B(4~;~-2~;~4) et C(1~;~-3~;~7). Justifier que A, B et C ne sont pas alignés.

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5 \\ -1 \\ -13\end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ -10\end{pmatrix} : ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles, par exemple \dfrac{5}{2}\neq\dfrac{-1}{-2}), donc les points A, B et C ne sont pas alignés ; ils définissent un plan {\mathcal{P}=(\text{ABC})}.

2.aJustifier que le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix} est normal au plan {\mathcal{P}=(\text{ABC})}.

\begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB} &= 2\times5+(-3)\times(-1)+1\times(-13) \\ &= 10+3-13 \\ &= 0\end{aligned} et \begin{aligned}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC} &= 2\times2+(-3)\times(-2)+1\times(-10) \\ &= 4+6-10 \\ &= 0\end{aligned} \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan \mathcal{P}, donc \overrightarrow{n} est normal à \mathcal{P}.

2.bDémontrer qu'une équation cartésienne de \mathcal{P} est {2x-3y+z-18=0}.

Le plan de vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix} a une équation de la forme {2x-3y+z+d=0}. En écrivant que A(-1~;~-1~;~17) appartient au plan : \begin{aligned}2(-1)-3(-1)+17+d = 0 &\iff -2+3+17+d = 0 \\ &\iff d = -18 \end{aligned} Une équation de \mathcal{P} est donc {2x-3y+z-18=0} (on vérifie que B et C la vérifient également).

3.aUn quatrième drone suit la droite d : x=3t+2, y=t+5, z=4t+1 (t\in\mathbb{R}). Déterminer un vecteur directeur de d.

Les coefficients de t dans la représentation paramétrique donnent un vecteur directeur : \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 4\end{pmatrix}.

3.bDéterminer les coordonnées du point E, intersection de d avec le plan \mathcal{P}.

On substitue les coordonnées paramétriques de d dans l'équation de \mathcal{P} : {2(3t+2)-3(t+5)+(4t+1)-18=0}.
\begin{aligned}6t+4-3t-15+4t+1-18 = 0 &\iff 7t-28 = 0 \\ &\iff t = 4 \end{aligned}
En remplaçant t=4 dans les équations de d : x=14, y=9, z=17. E a pour coordonnées (14~;~9~;~17).

4.Un cinquième drone suit la droite \Delta, passant par D(2~;~5~;~1) et perpendiculaire à \mathcal{P} ; elle coupe \mathcal{P} au point F(6~;~-1~;~3) (donné). Démontrer que la distance de D au plan \mathcal{P} vaut 2\sqrt{14} centaines de mètres.

Comme \Delta est perpendiculaire à \mathcal{P} et coupe \mathcal{P} en F, la distance DF est bien la distance du point D au plan \mathcal{P}.
\overrightarrow{DF}\begin{pmatrix}4 \\ -6 \\ 2\end{pmatrix}, donc \begin{aligned}DF^2 &= 4^2+(-6)^2+2^2 \\ &= 16+36+4 \\ &= 56 \\ &= 4\times14\end{aligned}
\begin{aligned}DF &= \sqrt{4\times14} \\ &= 2\sqrt{14}\end{aligned} La distance de D au plan \mathcal{P} vaut 2\sqrt{14} centaines de mètres.

5.Il reste 40 secondes avant le spectacle. Un nouveau drone, envoyé de D en ligne droite vers un point quelconque du plan \mathcal{P}, vole à 18,6 m/s. Peut-il arriver à temps ?

La distance la plus courte entre D et le plan \mathcal{P} est DF=2\sqrt{14} centaines de mètres, soit 200\sqrt{14} mètres ; tout autre point du plan est au moins aussi loin de D.
Le temps minimal pour parcourir cette distance à 18,6 m/s est t = \dfrac{200\sqrt{14}}{18{,}6} \approx 40,2 secondes.
Ce temps dépasse les 40 secondes disponibles : le drone ne peut pas arriver à temps, quel que soit le point du plan choisi.