Bac Terminale Spé Maths : Amérique du Sud 2025, Sujet 2

PartieA ; 1. Abel réussit son premier service dans 70 % des cas, et gagne alors le point dans 80 % des cas ; en cas d'échec (30 %), il gagne le point dans 45 % des cas. On note S : « premier service réussi » et G : « Abel gagne le point ». Décrire \overline{S} puis traduire par un arbre pondéré.

\overline{S} est l'évènement « Abel ne réussit pas son premier service ». L'arbre pondéré donne : P(S)=0{,}7, P_S(G)=0{,}8, P(\overline{S})=0{,}3, P_{\overline{S}}(G)=0{,}45.

PartieA ; 2. Calculer P(S\cap G).

\begin{aligned}P(S\cap G) &= P(S)\times P_S(G) \\ &= 0{,}7\times0{,}8 \\ &= 0{,}56\end{aligned}

PartieA ; 3. Justifier que la probabilité de l'évènement G est égale à 0,695.

\{S,\overline{S}\} forme une partition de l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales : \begin{aligned}P(G) &= P(S\cap G)+P(\overline{S}\cap G) \\ &= 0{,}56+0{,}3\times0{,}45 \\ &= 0{,}56+0{,}135 \\ &= 0{,}695\end{aligned}

PartieA ; 4. Abel a gagné le point. Quelle est la probabilité qu'il ait réussi son premier service ?

P_G(S) = \dfrac{P(S\cap G)}{P(G)} = \dfrac{0{,}56}{0{,}695} \approx 0,806.

PartieA ; 5. Les évènements S et G sont-ils indépendants ? Justifier.

P(S\cap G) = 0{,}56, et \begin{aligned}P(S)\times P(G) &= 0{,}7\times0{,}695 \\ &= 0{,}4865\end{aligned}
0{,}56 \neq 0{,}4865 : les évènements S et G ne sont pas indépendants.

PartieB ; 1.a À la sortie d'usine, une balle est conforme dans 85 % des cas. On teste 20 balles (tirage avec remise assimilé) ; X compte le nombre de balles conformes. Quelle loi suit X, avec quels paramètres ?

L'épreuve élémentaire (balle conforme, probabilité 0,85) est répétée 20 fois de façon indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise) : X suit la loi binomiale de paramètres n=20 et p=0,85.

PartieB ; 1.b Calculer P(X \leq 18).

À la calculatrice, P(X\leqslant18) \approx 0,824.

PartieB ; 1.c Quelle est la probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les 20 testées ?

« Au moins deux balles non conformes » équivaut à « au plus 18 balles conformes », soit P(X\leqslant18) \approx 0,824.

PartieB ; 1.d Déterminer l'espérance de X.

\begin{aligned}E(X) &= np \\ &= 20\times0{,}85 \\ &= 17\end{aligned}

PartieB ; 2.a On teste n balles, modélisées par n variables de Bernoulli indépendantes X_i de paramètre 0,85, et on pose {M_n = \sum X_i/n}. Déterminer l'espérance et la variance de M_n.

Chaque X_i suit une loi de Bernoulli de paramètre 0{,}85, d'espérance 0{,}85 et de variance 0{,}85\times0{,}15=0{,}1275.
En posant S_n=\sum_{i=1}^n X_i, par linéarité de l'espérance E(S_n)=0{,}85n, et par indépendance (additivité de la variance) V(S_n)=0{,}1275n.
Comme M_n=\dfrac{S_n}{n} : \begin{aligned}E(M_n) &= \dfrac{1}{n}E(S_n) \\ &= 0{,}85\end{aligned} et \begin{aligned}V(M_n) &= \dfrac{1}{n^{2}}V(S_n) \\ &= \dfrac{0{,}1275}{n}\end{aligned}

PartieB ; 2.b Après avoir rappelé l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout entier naturel n, {P(0,75 < M_n < 0,95) \geqslant 1 - 12,75/n}.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev énonce que, pour une variable aléatoire X d'espérance E(X) et de variance V(X), et pour tout réel t>0 : {P(|X-E(X)|\geqslant t) \leqslant \dfrac{V(X)}{t^{2}}}, soit {P(|X-E(X)|<t) \geqslant 1-\dfrac{V(X)}{t^{2}}}.
Appliquée à M_n avec t=0{,}1 : \begin{aligned}P(|M_n-0{,}85|<0{,}1) &\geqslant 1-\dfrac{V(M_n)}{0{,}1^{2}} \\ &= 1-\dfrac{0{,}1275/n}{0{,}01} \\ &= 1-\dfrac{12{,}75}{n}\end{aligned}
Or |M_n-0{,}85|<0{,}1 \iff 0{,}75<M_n<0{,}95, donc {P(0{,}75<M_n<0{,}95) \geqslant 1-\dfrac{12{,}75}{n}}.

PartieB ; 2.c En déduire un entier n tel que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille n appartienne à ]0,75 ; 0,95[ avec une probabilité supérieure à 0,9.

Il suffit que \begin{aligned}1-\dfrac{12{,}75}{n} \geqslant 0{,}9 &\iff \dfrac{12{,}75}{n} \leqslant 0{,}1 \\ &\iff n \geqslant 127{,}5 \end{aligned}
Il faut donc un échantillon de taille n\geqslant 128 pour garantir cette probabilité.

1.On considère \Delta₁ : x=1-3t, y=4+2t, z=t et \Delta₂ : x=-4+s, y=2+2s, z=-1+s. Une seule des trois propositions (parallèles / orthogonales / sécantes) est vraie : laquelle ?

\Delta_1 est dirigée par \overrightarrow{\delta_1}\begin{pmatrix}-3 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} et \Delta_2 par \overrightarrow{\delta_2}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} : ces vecteurs ne sont pas colinéaires, les droites ne sont pas parallèles.
\begin{aligned}\overrightarrow{\delta_1}\cdot\overrightarrow{\delta_2} &= -3+4+1 \\ &= 2 \\ &\neq 0\end{aligned} Les droites ne sont pas orthogonales.
En cherchant un point commun (résolution du système paramétrique), on trouve que le point (-2~;~6~;~1) appartient aux deux droites (obtenu pour t=-1 et s=2) : les droites sont sécantes.

2.On considère la droite d : x=1+t, y=3-t, z=1+2t et le plan P : 4x+2y-z+3=0. La droite d est-elle incluse dans P, strictement parallèle, ou sécante ?

Un point de d appartient à P si {4(1+t)+2(3-t)-(1+2t)+3=0}, soit \begin{aligned}4+4t+6-2t-1-2t+3 = 0 &\iff 0t+12 = 0 \end{aligned}
Cette équation n'a pas de solution : la droite d est strictement parallèle au plan P.

3.On donne A(3 ; 2 ; 1), B(7 ; 3 ; 1), C(-1 ; 4 ; 5), D(-3 ; 3 ; 5). Une seule des trois propositions est vraie : A,B,C,D non coplanaires / A,B,C alignés / AB et CD colinéaires. Laquelle ?

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-4 \\ 2 \\ 4\end{pmatrix} ne sont pas colinéaires : A, B, C ne sont pas alignés.
\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}-2 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} n'est pas colinéaire à \overrightarrow{AB} (rapports -\dfrac{2}{4} et -\dfrac{1}{1} différents).
Reste la première proposition : D appartient au plan (ABC) si et seulement si \overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC} pour des réels x,y. Avec \overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}-6 \\ 1 \\ 4\end{pmatrix}, le système -6=4x-4y, 1=x+2y, 4=4y donne y=1, x=-1 (2^{\text{e}} équation) mais x=-\frac12 (1^{\text{re}} équation) : incompatible.
D n'appartient donc pas au plan (ABC) : les points A, B, C, D ne sont pas coplanaires.

4.On considère les plans Q : 3x-2y+z+1=0 et Q' : 4x+y-z+3=0. Une seule des trois propositions est vraie : R(1;1;-2) appartient aux deux plans / les plans sont orthogonaux / les plans sont sécants selon la droite x=t, y=7t+4, z=11t+7. Laquelle ?

R appartient à Q : 3-2-2+1=0 ✓. R appartient à Q' : \begin{aligned}4+1+2+3 &= 10 \\ &\neq 0\end{aligned} R n'appartient pas aux deux plans, la première proposition est fausse.
\overrightarrow{q}\begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix} et \overrightarrow{q'}\begin{pmatrix}4 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} vérifient \begin{aligned}\overrightarrow{q}\cdot\overrightarrow{q'} &= 12-2-1 \\ &= 9 \\ &\neq 0\end{aligned} Les plans ne sont pas orthogonaux, la deuxième proposition est fausse.
En posant x=t, le système {3t-2y+z+1=0}, 4t+y-z+3=0 donne, par somme, -y=-7t-4 soit y=7t+4, puis \begin{aligned}z &= 2y-3t-1 \\ &= 11t+7\end{aligned} Les plans sont sécants selon cette droite, la troisième proposition est vraie.

1.On considère (v_n) définie par v_0 = \ln(4) et v_{n+1} = \ln(-1+2e^{v_n}), et w_n = -1+e^{v_n}. Donner les valeurs exactes de v_1 et w_0.

\begin{aligned}v_1 &= \ln(-1+2e^{v_0}) \\ &= \ln(-1+2e^{\ln4}) \\ &= \ln(-1+2\times4) \\ &= \ln(7)\end{aligned}
\begin{aligned}w_0 &= -1+e^{v_0} \\ &= -1+e^{\ln4} \\ &= -1+4 \\ &= 3\end{aligned}

2.aUne feuille de calcul donne les termes de (v_n) et (w_n). Parmi les formules =LN(-1+2*EXP(B2)), LN(-1+2*EXP(B2)) et =LN(-1+2*EXP(A2)), laquelle saisie en B3 permet d'obtenir les valeurs de (v_n) en colonne B ?

Il faut une formule commençant par « = » (sinon ce n'est pas reconnu comme un calcul) et référençant la cellule B2 (valeur précédente de v_n, pas l'indice en colonne A) : c'est la formule 2.

2.bConjecturer le sens de variation de la suite (v_n).

D'après les valeurs de la feuille de calcul (croissantes), on conjecture que la suite (v_n) est croissante.

2.cValider cette conjecture par récurrence.

Initialisation : v_0=\ln4 et v_1=\ln7 ; comme 4<7 et \ln est croissante, {v_0<v_1}.
Hérédité : on suppose que, pour un entier n, v_n<v_{n+1}. Par croissance de l'exponentielle : e^{v_n}<e^{v_{n+1}}, donc {2e^{v_n}<2e^{v_{n+1}}}, puis -1+2e^{v_n}<-1+2e^{v_{n+1}} (ces deux quantités étant strictement positives, puisque (v_n) est bien définie), et par croissance du logarithme : \ln(-1+2e^{v_n})<\ln(-1+2e^{v_{n+1}}), soit v_{n+1}<v_{n+2}.
Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel n, v_n<v_{n+1} : la suite (v_n) est croissante.

3.aDémontrer que la suite (w_n) est géométrique.

Pour tout entier naturel n : \begin{aligned}w_{n+1} &= -1+e^{v_{n+1}} \\ &= -1+e^{\ln(-1+2e^{v_n})} \\ &= -1+(-1+2e^{v_n}) \\ &= -2+2e^{v_n} \\ &= 2(-1+e^{v_n}) \\ &= 2w_n\end{aligned}
(w_n) est donc géométrique de raison 2, de premier terme w_0=3.

3.bEn déduire que, pour tout entier naturel n, v_n = \ln(1 + 3 \times 2^n).

(w_n) étant géométrique de raison 2 et de premier terme 3 : w_n = 3\times2^{n}.
Or w_n = -1+e^{v_n}, donc e^{v_n} = 1+3\times2^{n}, et par croissance du logarithme : {v_n = \ln(1+3\times2^{n})}.

3.cDéterminer la limite de la suite (v_n).

\lim\limits_{n\to+\infty}2^{n}=+\infty, donc {\lim\limits_{n\to+\infty}(1+3\times2^{n})=+\infty}, et par composition avec le logarithme (qui tend vers +\infty en +\infty) : \lim\limits_{n\to+\infty}v_n=+\infty.

4.Justifier que l'algorithme Python (from math import * ; def seuil(S): V=ln(4) ; n=0 ; while V<S: n=n+1 ; V=ln(2*exp(V)-1) ; return(n)) renvoie un résultat quel que soit le choix de S.

L'algorithme calcule successivement les termes de la suite (v_n) à partir de v_0. Comme (v_n) tend vers +\infty, elle n'est majorée par aucun réel : quel que soit le réel S choisi, il existe un rang p tel que v_p>S, et la boucle while finit donc toujours par s'arrêter, renvoyant ce rang p.

PartieA ; 1. On choisit successivement et sans remise un entier relatif a puis un entier relatif c parmi les 60 entiers non nuls de [-30 ; 30]. Combien de couples (a ; c) différents peut-on obtenir ?

Il y a 60 choix possibles pour a, puis 59 choix restants pour c (tirage sans remise, et (a,c)\neq(c,a) étant deux couples distincts) : 60\times59 = 3 540 couples.

PartieA ; 2. On note M l'évènement « l'équation ax^{2} + 2x + c = 0 a deux solutions réelles distinctes ». Montrer que M a lieu si et seulement si ac < 1.

Le discriminant de cette équation du second degré est \begin{aligned}\Delta &= 2^{2}-4ac \\ &= 4-4ac \\ &= 4(1-ac)\end{aligned} Il y a deux solutions distinctes si et seulement si \Delta>0, soit 4(1-ac)>0 \iff 1-ac>0 \iff ac<1.

PartieA ; 3. Expliquer pourquoi l'évènement contraire \overline{M} comporte 1 740 issues.

\overline{M} correspond à ac\geqslant1 ; comme a et c sont des entiers non nuls distincts, {ac=1} est impossible (\begin{aligned}a &= c \\ &= \pm1\end{aligned} exigerait a=c), donc \overline{M} correspond en fait à ac>1, c'est-à-dire a et c de même signe.
Si a et c sont tous deux négatifs : 30 choix pour a, puis 29 pour c, soit {30\times29=870} couples. De même pour deux entiers positifs : 870 couples.
Au total, \overline{M} comporte 870+870= 1 740 issues.

PartieA ; 4. Quelle est la probabilité de l'évènement M (arrondie au centième) ?

M comporte {3\,540-1\,740=1\,800} issues.
P(M) = \dfrac{1\,800}{3\,540} = \dfrac{30}{59} \approx 0,51 (au centième).

PartieB ; 1. On considère (E) : y' + 10y = (30x^{2} + 22x - 8)e^{-5x+1}. Résoudre sur \mathbb{R} l'équation différentielle y' + 10y = 0.

Cette équation équivaut à y'=-10y : ses solutions sont les fonctions {x\longmapsto Ce^{-10x}}, avec C\in\mathbb{R}.

PartieB ; 2. Soit f(x) = (6x^{2} + 2x - 2)e^{-5x+1}, dérivable sur \mathbb{R}. Justifier que f est une solution particulière de (E).

f'(x) = (12x+2)e^{-5x+1} - 5(6x^{2}+2x-2)e^{-5x+1} = e^{-5x+1}(12x+2-30x^{2}-10x+10) = e^{-5x+1}(-30x^{2}+2x+12).
f'(x)+10f(x) = e^{-5x+1}(-30x^{2}+2x+12) + 10(6x^{2}+2x-2)e^{-5x+1} = e^{-5x+1}(-30x^{2}+2x+12+60x^{2}+20x-20) = e^{-5x+1}(30x^{2}+22x-8).
f vérifie donc bien (E).

PartieB ; 3. Donner l'expression de toutes les solutions de (E).

Les solutions de (E) sont la somme de la solution particulière f et de la solution générale de l'équation homogène : x\longmapsto(6x^{2}+2x-2)e^{-5x+1}+Ce^{-10x}, avec C\in\mathbb{R}.

PartieC ; 1. On admet que la limite de f en +\infty est 0. Déterminer la limite de f en -\infty.

6x^{2}+2x-2 = x^{2}\left(6+\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}\right), et \lim\limits_{x\to-\infty}\left(6+\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}\right)=6, tandis que \lim\limits_{x\to-\infty}x^{2}=+\infty : donc {\lim\limits_{x\to-\infty}(6x^{2}+2x-2)=+\infty}.
De plus \lim\limits_{x\to-\infty}e^{-5x+1}=+\infty, donc par produit, \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.

PartieC ; 2. En utilisant la partie A, montrer que la courbe de f coupe l'axe des abscisses en deux points.

e^{-5x+1}>0 pour tout réel x, donc f(x) est du signe du trinôme 6x^{2}+2x-2.
Avec a=6 et c=-2, on a ac=-12<1 : d'après la partie A, ce trinôme (vu comme ax^{2}+2x+c) a deux racines réelles distinctes.
La courbe de f coupe donc bien l'axe des abscisses en deux points.

PartieC ; 3. En utilisant les parties A et B, montrer que la courbe de f possède deux tangentes horizontales.

D'après la partie B, f'(x) = e^{-5x+1}(-30x^{2}+2x+12). Comme e^{-5x+1}\neq0, f'(x)=0 \iff -30x^{2}+2x+12=0 \iff -15x^{2}+x+6=0.
Le discriminant est {\Delta = 1-4\times(-15)\times6 = 361 = 19^{2}>0} : ce trinôme a deux racines, \begin{aligned}x_1 &= \dfrac{-1+19}{-30} \\ &= -\dfrac35\end{aligned} et \begin{aligned}x_2 &= \dfrac{-1-19}{-30} \\ &= \dfrac23\end{aligned}
Aux points d'abscisses -\dfrac35 et \dfrac23, le nombre dérivé est nul : la tangente y est horizontale.

PartieC ; 4. Dresser le tableau de variation complet de f.

f\left(-\dfrac35\right)\approx-56{,}8 et f\left(\dfrac23\right)\approx0{,}19.
f est décroissante sur \left]-\infty~;~-\dfrac35\right] (de +\infty à environ -56{,}8), croissante sur \left[-\dfrac35~;~\dfrac23\right] (de -56{,}8 à environ 0{,}19), puis décroissante sur \left[\dfrac23~;~+\infty\right[ (de 0{,}19 à 0).

PartieC ; 5. Déterminer, en justifiant, le nombre de solutions de l'équation f(x) = 1.

Sur \left]-\infty~;~-\dfrac35\right[, f est continue et strictement décroissante de +\infty à environ -56{,}8 : comme 1 appartient à cet intervalle image, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=1 y admet une unique solution.
Sur \left]-\dfrac35~;~+\infty\right[, {f(x)\leqslant0{,}19<1} : l'équation n'y admet aucune solution.
L'équation f(x)=1 admet donc une unique solution sur \mathbb{R}.

PartieC ; 6.a On pose \displaystyle I_m = \int\limits_{0,2}^m f(x)\,dx pour m > 0,2. Vérifier que F(x) = (-(\dfrac{6}{5})x^{2} - (\dfrac{22}{25})x + \dfrac{28}{125})e^{-5x+1} est une primitive de f sur \mathbb{R}.

F est un produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R} : F'(x) = \left(-\dfrac{12}{5}x-\dfrac{22}{25}\right)e^{-5x+1} - 5\left(-\dfrac65x^{2}-\dfrac{22}{25}x+\dfrac{28}{125}\right)e^{-5x+1}.
F'(x) = e^{-5x+1}\left(-\dfrac{12}{5}x-\dfrac{22}{25}+6x^{2}+\dfrac{22}{5}x-\dfrac{28}{25}\right) = e^{-5x+1}(6x^{2}+2x-2) = f(x).
F est donc bien une primitive de f sur \mathbb{R}.

PartieC ; 6.b Existe-t-il une valeur de m pour laquelle I_m = 0 ? Interpréter graphiquement.

I_m = F(m)-F(0{,}2). Or \begin{aligned}F(0{,}2) &= \left(-\dfrac65\times\dfrac{1}{25}-\dfrac{22}{25}\times\dfrac15+\dfrac{28}{125}\right)e^{0} \\ &= \left(-\dfrac{28}{125}+\dfrac{28}{125}\right) \\ &= 0\end{aligned}
Il faut donc résoudre F(m)=0, c'est-à-dire (puisque e^{-5m+1}\neq0) {-\dfrac65m^{2}-\dfrac{22}{25}m+\dfrac{28}{125}=0}, soit, après simplification, -75m^{2}-55m+14=0.
Le discriminant est \Delta = 55^{2}-4\times(-75)\times14 = 7\,225 = 85^{2}>0 : les racines sont \begin{aligned}m_1 &= \dfrac{55+85}{-150} \\ &= -\dfrac{14}{15}\end{aligned} et \begin{aligned}m_2 &= \dfrac{55-85}{-150} \\ &= \dfrac15 \\ &= 0{,}2\end{aligned}
La solution m_2=0{,}2 correspond à la valeur déjà connue (F(0{,}2)=0) mais n'est pas strictement supérieure à 0,2 ; l'autre solution -\dfrac{14}{15} est négative, donc ne vérifie pas non plus {m>0{,}2}.
Il n'existe donc aucune valeur de {m>0{,}2} telle que I_m=0 : géométriquement, cela signifie que, pour tout {m>0{,}2}, l'aire du domaine situé au-dessus de l'axe des abscisses (entre f s'annulant et m) n'est jamais exactement égale à l'aire du domaine situé en dessous (entre 0,2 et l'annulation de f).