Bac Terminale Spé Maths : Nouvelle-Calédonie 2025, Sujet 1

1.Un sac contient 1 boule A et 3 boules B. L'urne A a 3 billets de 50 € et 2 de 10 € ; l'urne B a 1 billet de 50 € et 3 de 10 €. On tire une boule puis un billet dans l'urne correspondante. Compléter l'arbre pondéré.

\begin{aligned}P(A) &= \dfrac14 \\ &= 0{,}25\end{aligned} et P(\overline{A})=0{,}75 ; \begin{aligned}P_A(C) &= \dfrac35 \\ &= 0{,}6\end{aligned} P_A(\overline{C})=0{,}4 ; \begin{aligned}P_{\overline{A}}(C) &= \dfrac14 \\ &= 0{,}25\end{aligned} P_{\overline{A}}(\overline{C})=0{,}75.

2.Quelle est la probabilité que le joueur obtienne une boule A et un billet de 50 € ?

\begin{aligned}P(A\cap C) &= P(A)\times P_A(C) \\ &= 0{,}25\times0{,}6 \\ &= 0{,}15\end{aligned}

3.Démontrer que P(C) = 0,3375.

\{A,\overline{A}\} forme une partition, donc, d'après la formule des probabilités totales : P(C) = P(A\cap C)+P(\overline{A}\cap C).
\begin{aligned}P(C) &= 0{,}15+0{,}75\times0{,}25 \\ &= 0{,}15+0{,}1875 \\ &= 0{,}3375\end{aligned}

4.Le joueur a obtenu un billet de 10 €. L'affirmation « il y a plus de 80 % de chances qu'il ait obtenu une boule B » est-elle vraie ?

On calcule \begin{aligned}P_{\overline{C}}(\overline{A}) &= \dfrac{P(\overline{A}\cap\overline{C})}{P(\overline{C})} \\ &= \dfrac{P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(\overline{C})}{1-P(C)} \\ &= \dfrac{0{,}75\times0{,}75}{1-0{,}3375} \\ &= \dfrac{0{,}5625}{0{,}6625} \\ &\approx 0{,}85\end{aligned}
0{,}85>0{,}80 (85 % de chances) : l'affirmation est vraie.

5.On note X_1 la somme obtenue par le joueur. Montrer que E(X_1) = 23,5 et V(X_1) = 357,75.

X_1 prend la valeur 10 avec probabilité P(\overline{C})=0{,}6625, et 50 avec probabilité P(C)=0{,}3375.
\begin{aligned}E(X_1) &= 10\times0{,}6625+50\times0{,}3375 \\ &= 6{,}625+16{,}875 \\ &= 23{,}5\end{aligned}
\begin{aligned}E(X_1^2) &= 100\times0{,}6625+2\,500\times0{,}3375 \\ &= 66{,}25+843{,}75 \\ &= 910\end{aligned} donc \begin{aligned}V(X_1) &= E(X_1^2)-E(X_1)^2 \\ &= 910-23{,}5^{2} \\ &= 910-552{,}25 \\ &= 357{,}75\end{aligned}

6.aAprès remise, le joueur rejoue ; X_2 (même loi, indépendante de X_1). On pose Y = X_1+X_2. Montrer que E(Y) = 47.

Par linéarité de l'espérance : \begin{aligned}E(Y) &= E(X_1)+E(X_2) \\ &= 2\times23{,}5 \\ &= 47\end{aligned} (car X_1 et X_2 suivent la même loi).

6.bExpliquer pourquoi V(Y) = V(X_1) + V(X_2).

X_1 et X_2 sont indépendantes (la boule et le billet sont remis avant la deuxième partie), donc la variance de leur somme est la somme de leurs variances : \begin{aligned}V(Y) &= V(X_1)+V(X_2) \\ &= 2\times357{,}75 \\ &= 715{,}5\end{aligned}

7.Le joueur joue 100 parties indépendantes (X_1,\dots,X_{100}, même loi). On pose {Z=X_1+\dots+X_{100}}. Démontrer que P(1950 < Z < 2750) \geq 0,75.

Par linéarité : \begin{aligned}E(Z) &= 100\times23{,}5 \\ &= 2\,350\end{aligned} par indépendance : \begin{aligned}V(Z) &= 100\times357{,}75 \\ &= 35\,775\end{aligned}
L'évènement « 1\,950<Z<2\,750 » équivaut à |Z-2\,350|<400.
D'après Bienaymé-Tchebychev, avec t=400 : P(|Z-2\,350|\geqslant400) \leqslant \dfrac{35\,775}{400^{2}}, donc \begin{aligned}P(|Z-2\,350|<400) &\geqslant 1-\dfrac{35\,775}{160\,000} \\ &\approx 0{,}776 \\ &\geqslant 0{,}75\end{aligned}

1.L'espace est muni d'un repère orthonormé. On donne A(4 ; -4 ; 4), B(5 ; -3 ; 2), C(6 ; -2 ; 3), D(5 ; 1 ; 1). Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix} et \overrightarrow{CB}\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}, donc \begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB} &= -1-1+2 \\ &= 0\end{aligned}
Le produit scalaire étant nul, le triangle ABC est rectangle en B.

2.Justifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est x - y - 8 = 0.

A, B, C non alignés définissent un plan. On vérifie que leurs coordonnées vérifient x-y-8=0 : pour A, {4-(-4)-8=0} ; pour B, 5-(-3)-8=0 ; pour C, 6-(-2)-8=0.
x-y-8=0 est donc bien une équation cartésienne du plan (ABC).

3.aOn note d la droite passant par D et orthogonale à (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de d.

\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} est normal à (ABC) (lu dans l'équation), donc directeur de d : d : {x=5+t}, y=1-t, z=1, avec t\in\mathbb{R}.

3.bOn note H le projeté orthogonal de D sur (ABC). Déterminer les coordonnées de H.

H vérifie à la fois la représentation paramétrique de d et l'équation de (ABC) : \begin{aligned}5+t-(1-t)-8 = 0 &\iff 2t-4 = 0 \\ &\iff t = 2 \end{aligned}
H a pour coordonnées (7~;~-1~;~1).

3.cMontrer que DH = 2\sqrt{2}.

\begin{aligned}DH &= \sqrt{(7-5)^{2}+(-1-1)^{2}+(1-1)^{2}} \\ &= \sqrt{4+4} \\ &= \sqrt8 \\ &= 2\sqrt2\end{aligned}

4.aMontrer que le volume de la pyramide ABCD est égal à 2.

La pyramide a pour base ABC (rectangle en B) et pour hauteur DH. Aire(ABC) = \dfrac{AB\times CB}{2} = \dfrac{\sqrt6\times\sqrt3}{2} = \dfrac{\sqrt{18}}{2} = \dfrac{3\sqrt2}{2}.
\begin{aligned}V &= \dfrac13\times\dfrac{3\sqrt2}{2}\times2\sqrt2 \\ &= \dfrac13\times3\times2 \\ &= 2\end{aligned}

4.bOn admet que l'aire du triangle BCD est \surd\dfrac{42}{2}. En déduire la distance du point A au plan (BCD).

En prenant BCD comme base, avec x la distance de A à ce plan : \begin{aligned}V &= \dfrac13\times\dfrac{\sqrt{42}}{2}\times x \\ &= 2\end{aligned}
\begin{aligned}x &= \dfrac{12}{\sqrt{42}} \\ &= \dfrac{12\sqrt{42}}{42} \\ &= \dfrac{2\sqrt{42}}{7}\end{aligned}

PartieA ; 1. On pose f_1(x) = xe^{1-x} sur [0 ; 1]. Montrer que f_1'(x) est strictement positive sur [0 ; 1[.

f_1'(x) = e^{1-x}+x\times(-e^{1-x}) = (1-x)e^{1-x}. Comme e^{1-x}>0 pour tout x, f_1'(x) est du signe de 1-x, positif pour x<1 : f_1'(x)>0 sur [0~;~1[.

PartieA ; 2. En déduire le tableau de variation de f_1 sur [0 ; 1].

f_1 est strictement croissante sur [0~;~1], de f_1(0)=0 à \begin{aligned}f_1(1) &= e^{0} \\ &= 1\end{aligned}

PartieA ; 3. En déduire que l'équation f_1(x) = 0,1 admet une unique solution sur [0 ; 1].

f_1 est continue et strictement croissante sur [0~;~1], avec f_1(0)=0<0{,}1 et f_1(1)=1>0{,}1 : d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f_1(x)=0{,}1 admet une unique solution sur [0~;~1].

PartieB ; 1.a On pose \displaystyle u_n = \int\limits_0^1 x^n e^{1-x}\,dx (on admet u_1=e-2). Justifier que, pour tout x de [0 ; 1] et tout n non nul, {0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n}.

Pour x\in[0~;~1] : {0\leqslant x\leqslant1}, donc en multipliant par x^{n}\geqslant0 : {0\leqslant x^{n+1}\leqslant x^{n}}.

PartieB ; 1.b En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, {0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n}.

En multipliant l'inégalité précédente par e^{1-x}>0 : {0\leqslant x^{n+1}e^{1-x}\leqslant x^{n}e^{1-x}}.
Par positivité et croissance de l'intégrale sur [0~;~1] : {0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n}.

PartieB ; 1.c Montrer que la suite (u_n) est convergente.

D'après la question précédente, (u_n) est décroissante et minorée par 0 : elle est donc convergente, vers une limite positive ou nulle.

PartieB ; 2.a À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, u_{n+1} = (n+1)u_n - 1.

On pose u(x)=x^{n+1} et v'(x)=e^{1-x} (donc u'(x)=(n+1)x^{n} et {v(x)=-e^{1-x}}).
\begin{aligned}\displaystyle u_{n+1} &= \left[-x^{n+1}e^{1-x}\right]_0^1 + (n+1)\displaystyle\int\limits_0^1x^{n}e^{1-x}\,\mathrm{d}x \\ &= -1+0+(n+1)u_n \\ &= (n+1)u_n-1\end{aligned}

PartieB ; 2.b Un script Python calcule u = ... puis, pour n de 1 à ..., u = ... . Compléter le script pour qu'il renvoie ∫₀^{1} x^{8}e^{1-x} dx.

Il faut initialiser u = exp(1)-2 (valeur de u_1), boucler for n in range(1,8):, et mettre à jour u = (n+1)*u - 1 à chaque itération, pour obtenir u_8 après 7 applications de la relation de récurrence à partir de u_1.

PartieB ; 3.a Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, u_n \leqslant e/(n+1).

Pour x\in[0~;~1] : 1-x\leqslant1, donc e^{1-x}\leqslant e (croissance de l'exponentielle), donc x^{n}e^{1-x}\leqslant x^{n}e (car x^{n}\geqslant0).
En intégrant sur [0~;~1] : \begin{aligned}\displaystyle u_n &\leqslant e\displaystyle\int\limits_0^1x^{n}\,\mathrm{d}x \\ &= e\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 \\ &= \dfrac{e}{n+1}\end{aligned}

PartieB ; 3.b En déduire la limite de la suite (u_n).

On a {0\leqslant u_n\leqslant\dfrac{e}{n+1}}, et \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{e}{n+1}=0 : d'après le théorème des gendarmes, \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0.

Onconsidère f(x) = ln(x) - x^{2} sur ]0 ; +\infty[. Affirmation 1 : la limite de f en +\infty est -\infty. Vraie ou fausse ?

f(x) = x^{2}\left(\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}-1\right). Par croissances comparées, \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}=0, donc \lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}-1\right)=-1.
Comme \lim\limits_{x\to+\infty}x^{2}=+\infty, par produit, \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty. L'affirmation est vraie.

Onconsidère (E) : -2y' + 3y = sin(x) + 8cos(x), et f(x) = 2cos(x) - sin(x). Affirmation 2 : f est solution de (E). Vraie ou fausse ?

f'(x) = -2\sin(x)-\cos(x).
-2f'(x)+3f(x) = -2(-2\sin(x)-\cos(x))+3(2\cos(x)-\sin(x)) = 4\sin(x)+2\cos(x)+6\cos(x)-3\sin(x) = \sin(x)+8\cos(x).
f vérifie bien (E). L'affirmation est vraie.

Onconsidère g(x) = ln(3x+1) + 8 et (u_n) définie par u_0=25, u_{n+1}=g(u_n) (strictement positive). Affirmation 3 : la suite (u_n) est décroissante. Vraie ou fausse ?

u_1 = \ln(76)+8 \approx 12{,}3 < 25 = u_0 : on conjecture que (u_n) est décroissante, et on le démontre par récurrence.
Initialisation : u_1<u_0, vraie au rang 0.
Hérédité : si u_{n+1}<u_n, alors, par croissance du logarithme et de la fonction g : g(u_{n+1})<g(u_n), soit {u_{n+2}<u_{n+1}} : vraie au rang n+1.
Conclusion : par récurrence, (u_n) est décroissante. L'affirmation est vraie.

Soith une fonction affine, et k(x) = x^{4} + x^{2} + h(x). Affirmation 4 : k est convexe sur \mathbb{R}. Vraie ou fausse ?

h(x)=ax+b, donc {k(x)=x^{4}+x^{2}+ax+b}, polynôme dérivable deux fois : k'(x)=4x^{3}+2x+a et k''(x)=12x^{2}+2.
12x^{2}\geqslant0 pour tout x, donc k''(x)\geqslant2>0 : k est convexe sur \mathbb{R}, l'affirmation est vraie.

Uneanagramme est une permutation des lettres d'un mot. Affirmation 5 : le mot EULER possède 120 anagrammes. Vraie ou fausse ?

Avec 5 lettres toutes distinctes, il y aurait 5!=120 anagrammes ; mais EULER comporte deux lettres identiques (les deux E).
Le nombre réel d'anagrammes distincts est donc \begin{aligned}\dfrac{5!}{2!} &= \dfrac{120}{2} \\ &= 60 \\ &\neq 120\end{aligned} L'affirmation est fausse.