Bac Terminale Spé Maths : Amérique du Nord 2025 (remplacement)

PartieA ; 1. On considère {f(x) = xe^{-x}+2x-1} sur \mathbb{R}. Déterminer les limites de f en -\infty et en +\infty.

En -\infty : on écrit f(x)=x(e^{-x}+2)-1. Par composition, \lim\limits_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty, donc \lim\limits_{x\to-\infty}(e^{-x}+2)=+\infty ; par produit avec x\to-\infty, \lim\limits_{x\to-\infty}x(e^{-x}+2)=-\infty, donc \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
En +\infty : par croissances comparées, \lim\limits_{x\to+\infty}xe^{-x}=0. Comme 2x-1\to+\infty, on a par somme \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

PartieA ; 2. Calculer f'(x) pour tout réel x.

f est dérivable comme somme d'un produit et d'une fonction affine : f'(x) = 1\times e^{-x}+x\times(-e^{-x})+2 = (1-x)e^{-x}+2.

PartieA ; 3. Montrer que f''(x) = (x-2)e^{-x}.

f' est dérivable : f''(x) = -e^{-x}+(1-x)\times(-e^{-x}) = \big(-1-(1-x)\big)e^{-x} = (x-2)e^{-x}.

PartieA ; 4. Étudier la convexité de f.

e^{-x}>0 sur \mathbb{R}, donc f''(x) est du signe de (x-2).
Sur ]-\infty~;~2], f''(x)\leqslant0 : f est concave. Sur [2~;~+\infty[, f''(x)\geqslant0 : f est convexe.

PartieA ; 5. Étudier les variations de f' sur \mathbb{R} et dresser son tableau de variations (avec la valeur exacte de l'extremum, sans les limites aux bornes).

f étant concave sur ]-\infty~;~2] puis convexe sur [2~;~+\infty[, f' est décroissante sur ]-\infty~;~2] puis croissante sur [2~;~+\infty[ : f' admet un minimum en x=2.
f'(2) = (1-2)e^{-2}+2 = 2-e^{-2}. Tableau : f' décroît de (limite non demandée) jusqu'à 2-e^{-2} en x=2, puis croît.

PartieA ; 6. En déduire le signe de f' sur \mathbb{R}, puis justifier que f est strictement croissante sur \mathbb{R}.

Comme -2<0, la croissance de l'exponentielle donne \begin{aligned}e^{-2} &\leqslant e^{0} \\ &= 1\end{aligned} donc -e^{-2}\geqslant-1, donc 2-e^{-2}\geqslant1.
Le minimum de f' est donc strictement positif : f' est à valeurs strictement positives sur \mathbb{R}, donc f est strictement croissante sur \mathbb{R}.

PartieA ; 7. Justifier qu'il existe un unique réel \alpha tel que f(\alpha)=0, puis donner un encadrement de \alpha au centième près.

f est continue (car dérivable) et strictement croissante sur \mathbb{R} ; de plus 0 est bien compris entre \lim\limits_{-\infty}f=-\infty et \lim\limits_{+\infty}f=+\infty.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel \alpha tel que f(\alpha)=0. À la calculatrice : {0{,}37<\alpha<0{,}38}.

PartieA ; 8. On considère la droite \Delta d'équation y=2x-1. Étudier la position relative de \mathcal{C}_f par rapport à \Delta.

Pour tout réel x : f(x)-(2x-1) = xe^{-x}, qui est du signe de x (car e^{-x}>0).
Sur \mathbb{R}^-, la différence est négative : \mathcal{C}_f est au-dessous de \Delta. Sur \mathbb{R}^+, elle est positive : \mathcal{C}_f est au-dessus de \Delta.

PartieB ; 1. Soit n\in\mathbb{N}^* et \displaystyle I_n=\displaystyle\int\limits_1^n xe^{-x}\,\mathrm{d}x. À l'aide d'une intégration par parties, exprimer I_n en fonction de n.

On pose v(x)=x et u'(x)=e^{-x}, donc v'(x)=1 et u(x)=-e^{-x}.
\begin{aligned}\displaystyle I_n &= \Big[-xe^{-x}\Big]_1^n - \displaystyle\int\limits_1^n(-e^{-x})\,\mathrm{d}x \\ &= \big(-ne^{-n}+e^{-1}\big)+\Big[-e^{-x}\Big]_1^n \\ &= -ne^{-n}+e^{-1}-e^{-n}+e^{-1}\end{aligned}
D'où I_n = 2e^{-1}-(n+1)e^{-n}.

PartieB ; 2.a Justifier que l'aire du domaine D_n délimité par \mathcal{C}_f, \Delta et les droites x=1 et x=n est égale à I_n.

Pour x\in[1~;~n]\subset\mathbb{R}^+, \mathcal{C}_f est au-dessus de \Delta (question A.8), donc l'aire de D_n s'obtient en intégrant {f(x)-(2x-1)=xe^{-x}} entre 1 et n : elle vaut donc I_n (en unités d'aire).

PartieB ; 2.b Calculer la limite de l'aire du domaine D_n quand n\to+\infty.

Par croissances comparées, \lim\limits_{n\to+\infty}ne^{-n}=0 et \lim\limits_{n\to+\infty}e^{-n}=0.
Donc, par limite de la somme : \lim\limits_{n\to+\infty}I_n = 2e^{-1}. L'aire du domaine, bien que sa largeur tende vers l'infini, reste donc majorée.

1.On munit l'espace d'un repère orthonormé. D a pour représentation paramétrique x=3-t, y=-2+3t, z=1+4t. Affirmation : la droite D′ (x=2+2t, y=4-6t, z=9-8t) est parallèle à D. Vraie ou fausse ?

D est dirigée par \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-1 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix} et D′ par \overrightarrow{u'}\begin{pmatrix}2 \\ -6 \\ -8\end{pmatrix}. Or \overrightarrow{u'}=-2\overrightarrow{u} : les vecteurs directeurs sont colinéaires, donc D et D′ sont parallèles : l'affirmation est vraie.

2.On admet que A(-2 ; 3 ; 1), B(1 ; 3 ; -4) et C(6 ; 3 ; 9) ne sont pas alignés. Affirmation : D est orthogonale au plan (ABC). Vraie ou fausse ?

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ -5\end{pmatrix}. Le produit scalaire avec \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-1 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix} vaut \begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{u} &= 3\times(-1)+0\times3+(-5)\times4 \\ &= -23 \\ &\neq 0\end{aligned}
Comme ce produit scalaire n'est pas nul, \overrightarrow{u} n'est pas orthogonal à \overrightarrow{AB}, une droite du plan (ABC) : D n'est pas orthogonale à (ABC), l'affirmation est fausse.
(Remarque : A, B, C partagent la même ordonnée 3, donc (ABC) est le plan y=3, de vecteur normal \overrightarrow{j}, clairement non colinéaire à \overrightarrow{u}.)

3.Affirmation : D est sécante avec la droite \Delta (x=-4+2t′, y=1-3t′, z=2+t′). Vraie ou fausse ?

\Delta est dirigée par \overrightarrow{u''}\begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix}, non colinéaire à \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-1 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix} : les droites ne sont pas parallèles, donc soit sécantes, soit non coplanaires.
On cherche (t,t') tel que 3-t=-4+2t', -2+3t=1-3t' et 1+4t=2+t'. Le système se ramène à t'=6 et t'=3 simultanément : incohérent.
Le système n'a pas de solution : les droites n'ont aucun point commun, elles ne sont pas sécantes : l'affirmation est fausse.

4.Le plan P a pour équation 2x-3y+z-6=0. Affirmation : F(-3 ; -3 ; 3) est le projeté orthogonal de E(-5 ; 0 ; 2) sur P. Vraie ou fausse ?

F appartient à P : \begin{aligned}2\times(-3)-3\times(-3)+3-6 &= -6+9+3-6 \\ &= 0\end{aligned} ✓
\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix}, qui a les mêmes coordonnées que le vecteur normal de P lu dans son équation : (EF) est donc orthogonale à P.
F appartenant à P et (EF) étant orthogonale à P, F est bien le projeté orthogonal de E sur P : l'affirmation est vraie.

5.Affirmation : il existe exactement une valeur du paramètre réel a telle que le plan P' d'équation -3x+y-a^2z+3=0 soit parallèle à D. Vraie ou fausse ?

P' a pour vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-3 \\ 1 \\ -a^2\end{pmatrix}. D est parallèle à P' si et seulement si {\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n}=0}.
\begin{aligned}\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n} &= -3\times(-1)+1\times3+(-a^2)\times4 \\ &= 6-4a^2\end{aligned} L'équation 6-4a^2=0 donne a^2=\dfrac{3}{2}, soit a=\sqrt{\dfrac32} ou a=-\sqrt{\dfrac32}.
Il existe deux valeurs de a (et non une seule) : l'affirmation est fausse.

1.Durant l'hiver, 2 % de la population d'un pays a été contaminée par un virus (évènement C), et 90 % de la population a été vaccinée (évènement V) ; 62 % des personnes contaminées avaient été vaccinées. Donner, sans calcul, P(C), P(V) et P_C(V).

Par lecture directe de l'énoncé : {P(C)=0{,}02}, P(V)=0{,}9 et P_C(V)=0{,}62.

2.aCalculer P(C\cap V).

\begin{aligned}P(C\cap V) &= P(C)\times P_C(V) \\ &= 0{,}02\times0{,}62 \\ &= 0{,}0124\end{aligned}

2.bEn déduire P(\overline{C}\cap V).

C et \overline{C} formant une partition, la formule des probabilités totales donne {P(V)=P(C\cap V)+P(\overline{C}\cap V)}, donc \begin{aligned}P(\overline{C}\cap V) &= 0{,}9-0{,}0124 \\ &= 0{,}8876\end{aligned}

3.Recopier et compléter l'arbre de probabilités.

\begin{aligned}P_{\overline{C}}(V) &= \dfrac{P(\overline{C}\cap V)}{P(\overline{C})} \\ &= \dfrac{0{,}8876}{0{,}98} \\ &\approx 0{,}9057\end{aligned}
Arbre complété : {P(C)=0{,}02}, {P(\overline C)=0{,}98} ; P_C(V)=0{,}62, P_C(\overline V)=0{,}38 ; P_{\overline C}(V)\approx0{,}9057, P_{\overline C}(\overline V)\approx0{,}0943.

4.Calculer P_V(C) et interpréter le résultat.

\begin{aligned}P_V(C) &= \dfrac{P(V\cap C)}{P(V)} \\ &= \dfrac{0{,}0124}{0{,}9} \\ &\approx 0{,}0138\end{aligned} Environ 1,38 % des personnes vaccinées ont été contaminées par le virus.

5.a« Parmi les personnes non contaminées, il y a dix fois plus de personnes vaccinées que de personnes non vaccinées. » Vraie ou fausse ?

Le rapport réel est \dfrac{0{,}9057}{0{,}0943}\approx 9{,}6, ce qui est inférieur à 10 : l'affirmation est fausse (elle est légèrement exagérée).

5.b« Plus de 98 % de la population vaccinée n'a pas été contaminée. » Vraie ou fausse ?

Comme P_V(C)\approx0{,}0138, la proportion de vaccinés non contaminés est environ 1-0{,}0138=0{,}9862, soit 98,62 %, ce qui est bien plus de 98 % : l'affirmation est vraie.

6.aOn interroge 20 personnes au hasard (tirages assimilables à des tirages avec remise). X compte le nombre de personnes contaminées, avec p=0{,}02. Quelle loi suit X ?

On répète 20 fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues de probabilité de succès p=0{,}02 : X suit la loi binomiale de paramètres n=20 et p=0{,}02.

6.bCalculer la probabilité que 4 personnes exactement soient contaminées dans ce groupe de 20 personnes.

P(X=4) = \dbinom{20}{4}\times0{,}02^4\times0{,}98^{16} = 4\,845\times0{,}02^4\times0{,}98^{16} \approx 0,0006.

PartieA ; 1. On étudie la suite (u_n) définie par u_0=0, u_1=\dfrac12 et u_{n+2}=u_{n+1}-\dfrac14u_n. Recopier et compléter le tableau des valeurs de u_n pour n de 0 à 5.

En appliquant la relation de récurrence : u_0=0, u_1=\dfrac12, u_2=\dfrac12, u_3=\dfrac38, u_4=\dfrac14, u_5=\dfrac{5}{32}.

PartieA ; 2. Conjecturer la limite de la suite (u_n).

Les termes semblent décroître tout en restant strictement positifs (à la calculatrice, u_{100}\approx8\times10^{-29}) : on conjecture que (u_n) converge vers 0.

PartieB ; 1. Soit (w_n) définie par {w_n=u_{n+1}-\dfrac12u_n}. Calculer w_0.

\begin{aligned}w_0 &= u_1-\dfrac12u_0 \\ &= \dfrac12-0 \\ &= \dfrac12\end{aligned}

PartieB ; 2. Démontrer que (w_n) est géométrique de raison \dfrac12.

Pour tout n\in\mathbb{N} : \begin{aligned}w_{n+1} &= u_{n+2}-\dfrac12u_{n+1} \\ &= \left(u_{n+1}-\dfrac14u_n\right)-\dfrac12u_{n+1} \\ &= \dfrac12u_{n+1}-\dfrac14u_n \\ &= \dfrac12\left(u_{n+1}-\dfrac12u_n\right) \\ &= \dfrac12w_n\end{aligned}
(w_n) est donc géométrique de raison \dfrac12 et de premier terme w_0=\dfrac12.

PartieB ; 3. Exprimer w_n en fonction de n.

\begin{aligned}w_n &= w_0\times\left(\dfrac12\right)^n \\ &= \dfrac12\times\left(\dfrac12\right)^n \\ &= \left(\dfrac12\right)^{n+1}\end{aligned}

PartieB ; 4. Montrer que {u_{n+1}=\left(\dfrac12\right)^{n+1}+\dfrac12u_n}.

Par définition, {w_n=u_{n+1}-\dfrac12u_n}, donc \begin{aligned}u_{n+1} &= w_n+\dfrac12u_n \\ &= \left(\dfrac12\right)^{n+1}+\dfrac12u_n\end{aligned}

PartieB ; 5. Démontrer par récurrence que, pour tout n\in\mathbb{N}, u_n=n\left(\dfrac12\right)^n.

Initialisation : u_0=0 et 0\times\left(\dfrac12\right)^0=0 : l'égalité est vraie au rang 0.
Hérédité : on suppose u_n=n\left(\dfrac12\right)^n pour un n donné. Alors \begin{aligned}u_{n+1} &= \left(\dfrac12\right)^{n+1}+\dfrac12\times n\left(\dfrac12\right)^n \\ &= \left(\dfrac12\right)^{n+1}(1+n) \\ &= (n+1)\left(\dfrac12\right)^{n+1}\end{aligned} L'égalité est vraie au rang n+1.
Conclusion : par principe de récurrence, pour tout n\in\mathbb{N}, u_n=n\left(\dfrac12\right)^n.

PartieC ; 1. Montrer que (u_n) est décroissante à partir du rang n=1.

Pour n\geqslant1 : \begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= (n+1)\left(\dfrac12\right)^{n+1}-n\left(\dfrac12\right)^{n} \\ &= \left(\dfrac12\right)^{n+1}\big((n+1)-2n\big) \\ &= \left(\dfrac12\right)^{n+1}(1-n)\end{aligned}
Pour n\geqslant1, \left(\dfrac12\right)^{n+1}>0 et 1-n\leqslant0, donc u_{n+1}-u_n\leqslant0 : (u_n) est décroissante à partir du rang n=1.

PartieC ; 2. En déduire que (u_n) est convergente, sans chercher la valeur de la limite.

u_n=n\left(\dfrac12\right)^n est un produit de deux facteurs positifs, donc (u_n) est minorée par 0 ; elle est de plus décroissante à partir du rang 1 : elle converge donc vers une limite \ell\geqslant0.

PartieC ; 3. On admet que la limite de (u_n) vérifie \ell=\ell-\dfrac14\ell. Déterminer cette limite.

\begin{aligned}\ell = \ell-\dfrac14\ell &\iff \dfrac14\ell = 0 \\ &\iff \ell = 0 \end{aligned} La limite de (u_n) est donc 0, ce qui confirme la conjecture de la partie A.