Bac Terminale Spé Maths : Métropole 2025, Sujet 2 (remplacement)

PartieA ; 1. Chaque année, la probabilité que El Niño soit dominant est 0,4, de façon indépendante d'une année sur l'autre. X compte, sur 10 ans, le nombre d'années où le phénomène est dominant. Justifier que X suit une loi binomiale et donner ses paramètres.

Chaque année constitue une épreuve à deux issues (probabilité de succès 0,4), répétée 10 fois de façon indépendante : X suit la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0{,}4.

PartieA ; 2.a Calculer la probabilité que, sur 10 ans, El Niño soit dominant exactement 2 années.

P(X=2) = \dbinom{10}{2}\times0{,}4^2\times0{,}6^8 \approx 0,1209.

PartieA ; 2.b Calculer P(X\leqslant2) et interpréter.

\begin{aligned}P(X\leqslant2) &= \displaystyle\sum_{i=0}^{2}\dbinom{10}{i}\times0{,}4^i\times0{,}6^{10-i} \\ &\approx 0{,}1673\end{aligned} La probabilité que El Niño soit dominant au plus 2 années sur une période de 10 ans est d'environ 16,73 %.

PartieA ; 3. Calculer E(X) et interpréter.

\begin{aligned}E(X) &= np \\ &= 10\times0{,}4 \\ &= 4\end{aligned} En moyenne, El Niño est dominant 4 années sur une période de 10 ans.

PartieB ; 1. On note E_n « El Niño est dominant l'année 2023+n » et p_n=P(E_n). Si E_n est réalisé, E_{n+1} l'est avec probabilité 0,5 ; sinon, avec probabilité 0,3. Recopier et compléter l'arbre pondéré.

Depuis E_n (probabilité p_n) : {P_{E_n}(E_{n+1})=0{,}5}, P_{E_n}(\overline{E_{n+1}})=0{,}5 ; depuis \overline{E_n} (probabilité 1-p_n) : P_{\overline{E_n}}(E_{n+1})=0{,}3, P_{\overline{E_n}}(\overline{E_{n+1}})=0{,}7.

PartieB ; 2. On a p_0=0 (El Niño n'était pas dominant en 2023). Justifier que p_1=0{,}3.

\begin{aligned}p_1 &= P(E_0)\times P_{E_0}(E_1) + P(\overline{E_0})\times P_{\overline{E_0}}(E_1) \\ &= 0\times0{,}5+1\times0{,}3 \\ &= 0{,}3\end{aligned}

PartieB ; 3. Montrer que, pour tout n, p_{n+1}=0{,}2p_n+0{,}3.

\{E_n,\overline{E_n}\} forme une partition, donc \begin{aligned}p_{n+1} &= p_n\times0{,}5+(1-p_n)\times0{,}3 \\ &= 0{,}5p_n+0{,}3-0{,}3p_n \\ &= 0{,}2p_n+0{,}3\end{aligned}

PartieB ; 4.a Conjecturer les variations et la limite éventuelle de (p_n).

En calculant les premiers termes (p_0=0, p_1=0{,}3, p_2=0{,}36, p_3=0{,}372, …), la suite semble croissante, avec une limite conjecturée égale à 0,375.

PartieB ; 4.b Montrer par récurrence que, pour tout n, p_n\leqslant\dfrac38.

Initialisation : \begin{aligned}p_0 &= 0 \\ &\leqslant \dfrac38\end{aligned} La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : si p_n\leqslant\dfrac38, alors \begin{aligned}0{,}2p_n &\leqslant 0{,}2\times\dfrac38 \\ &= 0{,}075\end{aligned} donc \begin{aligned}p_{n+1} &= 0{,}2p_n+0{,}3 \\ &\leqslant 0{,}075+0{,}3 \\ &= 0{,}375 \\ &= \dfrac38\end{aligned} La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : par récurrence, pour tout n\in\mathbb{N}, p_n\leqslant\dfrac38.

PartieB ; 4.c Déterminer le sens de variation de (p_n).

\begin{aligned}p_{n+1}-p_n &= 0{,}2p_n+0{,}3-p_n \\ &= -0{,}8p_n+0{,}3\end{aligned} Comme p_n\leqslant0{,}375, on a -0{,}8p_n\geqslant-0{,}3, donc \begin{aligned}p_{n+1}-p_n &\geqslant -0{,}3+0{,}3 \\ &= 0\end{aligned} (p_n) est croissante.

PartieB ; 4.d En déduire la convergence de (p_n).

(p_n) est croissante et majorée par \dfrac38 : elle converge donc vers une limite {\ell\leqslant\dfrac38}.

PartieB ; 5.a On pose u_n=p_n-\dfrac38. Montrer que (u_n) est géométrique de raison 0,2, et préciser son premier terme.

\begin{aligned}u_{n+1} &= p_{n+1}-\dfrac38 \\ &= 0{,}2p_n+0{,}3-\dfrac38 \\ &= 0{,}2\left(p_n-\dfrac38\right)+0{,}2\times\dfrac38+0{,}3-\dfrac38 \\ &= 0{,}2u_n+\dfrac{3}{40}-\dfrac{3}{8}+\dfrac{3}{10}\end{aligned}
Or \begin{aligned}\dfrac{3}{40}-\dfrac38+\dfrac{3}{10} &= 0{,}075-0{,}375+0{,}3 \\ &= 0\end{aligned} donc u_{n+1}=0{,}2u_n : (u_n) est géométrique de raison 0,2, de premier terme \begin{aligned}u_0 &= p_0-\dfrac38 \\ &= -\dfrac38\end{aligned}

PartieB ; 5.b Montrer que, pour tout n, p_n=\dfrac38(1-0{,}2^n).

\begin{aligned}u_n &= u_0\times0{,}2^n \\ &= -\dfrac38\times0{,}2^n\end{aligned} donc \begin{aligned}p_n &= u_n+\dfrac38 \\ &= \dfrac38-\dfrac38\times0{,}2^n \\ &= \dfrac38(1-0{,}2^n)\end{aligned}

PartieB ; 5.c Calculer la limite de (p_n).

Comme {0<0{,}2<1}, \lim\limits_{n\to+\infty}0{,}2^n=0, donc \lim\limits_{n\to+\infty}p_n = \dfrac38.

PartieB ; 5.d Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

La probabilité que El Niño soit dominant une année donnée tend vers \dfrac38=0{,}375 à mesure que les années passent.

Affirmation 1. Dans une classe de 24 élèves (14 filles, 10 garçons), il est possible de constituer 272 groupes différents de 4 élèves composés de deux filles et deux garçons. Vraie ou fausse ?

Le nombre maximal de groupes de ce type est \begin{aligned}\dbinom{14}{2}\times\dbinom{10}{2} &= 91\times45 \\ &= 4\,095\end{aligned} L'énoncé demande seulement si 272 groupes sont *possibles*, et 272<4\,095 : l'affirmation est vraie.

Affirmation 2. Soit f(x)=3\sin(2x+\pi). Une équation de la tangente à C_f au point d'abscisse \dfrac{\pi}{2} est y=6x-3\pi. Vraie ou fausse ?

f'(x) = 6\cos(2x+\pi), donc f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 6\cos(2\pi) = 6, et \begin{aligned}f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) &= 3\sin(2\pi) \\ &= 0\end{aligned}
La tangente en \dfrac{\pi}{2} a pour équation \begin{aligned}y &= \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\times6+0 \\ &= 6x-3\pi\end{aligned} L'affirmation est vraie.

Affirmation 3. F(x)=(2x+1)\ln(x) sur ]0~;~+\infty[ est une primitive de f(x)=\dfrac2x. Vraie ou fausse ?

F'(x) = 2\ln(x)+(2x+1)\times\dfrac1x = 2\ln(x)+2+\dfrac1x, qui n'est pas égal à \dfrac2x (par exemple, F'(1)=2\neq2=f(1)… en réalité F'(1)=0+2+1=3\neq2) : l'affirmation est fausse.

Affirmation 4. g(t)=45e^{0{,}06t}+20 est l'unique solution de (E_1) : y'+0{,}06y=1{,}2 vérifiant g(0)=65. Vraie ou fausse ?

\begin{aligned}g(0) &= 45+20 \\ &= 65\end{aligned} La condition initiale est bien vérifiée.
g'(t)+0{,}06g(t) = 45\times0{,}06\,e^{0{,}06t}+0{,}06(45e^{0{,}06t}+20) = 5{,}4e^{0{,}06t}+1{,}2, qui n'est pas constant et égal à 1,2 : g n'est pas solution de (E_1). L'affirmation est fausse.

Affirmation 5. (E_2) : y'-y=3e^{0{,}4x}, avec y positive. Les solutions de (E_2) sont des fonctions convexes sur \mathbb{R}. Vraie ou fausse ?

Si y est une solution positive, y'(x) = y(x)+3e^{0{,}4x} \geqslant 0 (somme de deux termes positifs).
En dérivant : y''(x) = y'(x)+1{,}2e^{0{,}4x} \geqslant 0 (car y'(x)\geqslant0 et 1{,}2e^{0{,}4x}>0). Donc y est convexe sur \mathbb{R}. L'affirmation est vraie.

PartieA ; 1. Résoudre dans \mathbb{R} l'inéquation {-x^2+7x+8\geqslant0}.

-1 est racine évidente, l'autre racine est 8 (produit des racines =-8). Le trinôme, de coefficient dominant négatif, est positif entre ses racines : l'ensemble des solutions est [-1~;~8].

PartieA ; 2. En déduire que, pour tout {x\in]0~;~8]}, \begin{aligned}f(x) &= \dfrac{10\ln(-x^2+7x+9)}{x} \\ &\geqslant 0\end{aligned}

Pour x\in]0~;~8]\subset[-1~;~8], on a {-x^2+7x+8\geqslant0}, donc -x^2+7x+9\geqslant1.
Le logarithme étant croissant, \begin{aligned}\ln(-x^2+7x+9) &\geqslant \ln(1) \\ &= 0\end{aligned} comme x>0, \begin{aligned}f(x) &= \dfrac{10\ln(-x^2+7x+9)}{x} \\ &\geqslant 0\end{aligned}

PartieA ; 3. Interpréter graphiquement ce résultat.

Sur ]0~;~8], la courbe \mathcal{C}_f est au-dessus (ou sur) l'axe des abscisses.

PartieB ; 1. M est le point de \mathcal{C}_f d'abscisse {x\in]0~;~8]}, N et P ses projetés orthogonaux sur les axes. Donner les coordonnées de N et P en fonction de x.

N\left(x~;~0\right) et P\left(0~;~\dfrac{10\ln(-x^2+7x+9)}{x}\right).

PartieB ; 2. Montrer que l'aire \mathcal{A}(x) du rectangle ONMP vaut 10\ln(-x^2+7x+9).

ON=x et OP=\dfrac{10\ln(-x^2+7x+9)}{x} sont positives sur ]0~;~8], donc \mathcal{A}(x) = \text{ON}\times\text{OP} = x\times\dfrac{10\ln(-x^2+7x+9)}{x} = 10\ln(-x^2+7x+9).

PartieB ; 3. Existe-t-il une position de M pour laquelle l'aire de ONMP est maximale ?

\mathcal{A}'(x) = 10\times\dfrac{-2x+7}{-x^2+7x+9} ; sur ]0~;~8[, le dénominateur est positif, donc \mathcal{A}'(x) est du signe de -2x+7 : positif pour x<\dfrac72, négatif pour x>\dfrac72.
\mathcal{A} admet donc un maximum en x=\dfrac72, avec \mathcal{A}\left(\dfrac72\right) = 10\ln(17)+10\ln(5)-20\ln(2) \approx 30,56 (unités d'aire).

PartieC ; 1. Un algorithme Python calcule A(x) puis, dans pluspetitevaleur(k), part de x=3{,}5 et incrémente x de 0,1 tant qu'une condition est vraie. Recopier et compléter les lignes 8 et 10.

Ligne 8 : while A(x) > k : ; ligne 10 : return x.

PartieC ; 2. Quel nombre renvoie l'instruction pluspetitevaleur(30) ?

L'algorithme incrémente x tant que \mathcal{A}(x)>30 : il renvoie environ 4,6 (la plus petite valeur de x, au dixième au-delà de 3,5, pour laquelle \mathcal{A}(x)\leqslant30).

PartieC ; 3. Que se passe-t-il lorsque {k=35} ?

Le maximum de \mathcal{A} étant environ 30,56, on a \mathcal{A}(3{,}5)<35 dès le départ : la condition de la boucle A(x) > 35 est fausse immédiatement, et l'algorithme renvoie directement x=3{,}5 sans exécuter la boucle.

1.aAvec A(4 ; -1 ; 3), B(-1 ; 1 ; -2), C(0 ; 4 ; 5), vérifier que A, B, C ne sont pas alignés.

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-5 \\ 2 \\ -5\end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-4 \\ 5 \\ 2\end{pmatrix} ne sont pas colinéaires (car \dfrac{-5}{2}\neq\dfrac{-4}{5}) : A, B, C ne sont pas alignés.

1.bOn admet que (ABC) a pour équation 29x+30y-17z=35. Avec D(-3 ; -4 ; 6), les points A, B, C, D sont-ils coplanaires ?

\begin{aligned}29\times(-3)+30\times(-4)-17\times6 &= -87-120-102 \\ &= -309 \\ &\neq 35\end{aligned} Les coordonnées de D ne vérifient pas l'équation du plan (ABC), donc A, B, C, D ne sont pas coplanaires.

2.aSoit P_1 le plan médiateur de [AB]. Déterminer les coordonnées du milieu de [AB].

Milieu de [AB] : \left(\dfrac{4-1}{2}~;~\dfrac{-1+1}{2}~;~\dfrac{3-2}{2}\right) = \left(\dfrac32~;~0~;~\dfrac12\right).

2.bEn déduire qu'une équation cartésienne de P_1 est 5x-2y+5z=10.

Un vecteur normal à P_1 est \overrightarrow{BA}\begin{pmatrix}5 \\ -2 \\ 5\end{pmatrix}, donc P_1 a une équation de la forme 5x-2y+5z=k.
Le milieu de [AB] appartenant à P_1 : \begin{aligned}5\times\dfrac32-2\times0+5\times\dfrac12 = k &\iff k = 10 \end{aligned} D'où 5x-2y+5z=10.

3.aSoit M(x~;~y~;~z) un point du plan P_2 médiateur de [CD]. Exprimer MC^{2} et MD^{2} puis en déduire que P_2 a pour équation -3x-8y+z=10.

\text{MC}^2 = x^2+y^2+z^2-8y-10z+41 et \text{MD}^2 = x^2+y^2+z^2+6x+8y-12z+61.
M appartient à P_2 ssi \text{MC}^2=\text{MD}^2 \iff -6x-16y+2z-20=0 \iff -3x-8y+z=10.

3.bJustifier que les plans P_1 et P_2 sont sécants.

Un vecteur normal de P_1 est \begin{pmatrix}5 \\ -2 \\ 5\end{pmatrix} et un de P_2 est \begin{pmatrix}-3 \\ -8 \\ 1\end{pmatrix} ; ces vecteurs ne sont pas colinéaires (coordonnées non proportionnelles) : les plans P_1 et P_2 sont sécants.

4.Soit \Delta la droite de représentation paramétrique x=-2-1{,}9t, y=t, {z=4+2{,}3t}. Démontrer que \Delta est la droite d'intersection de P_1 et P_2.

Pour tout t : \begin{aligned}5(-2-1{,}9t)-2t+5(4+2{,}3t) &= -10-9{,}5t-2t+20+11{,}5t \\ &= 10\end{aligned} Tout point de \Delta vérifie l'équation de P_1.
Pour tout t : \begin{aligned}-3(-2-1{,}9t)-8t+(4+2{,}3t) &= 6+5{,}7t-8t+4+2{,}3t \\ &= 10\end{aligned} Tout point de \Delta vérifie l'équation de P_2.
\Delta est donc incluse dans P_1\cap P_2 ; comme P_1 et P_2 sont sécants selon une droite unique, \Delta est bien cette droite d'intersection.

5.On admet que P_3, médiateur de [AC], a pour équation 8x-10y-4z=-15. Démontrer que \Delta et P_3 sont sécants.

Un vecteur directeur de \Delta est \overrightarrow{\delta}\begin{pmatrix}-1,9 \\ 1 \\ 2,3\end{pmatrix} (soit \begin{pmatrix}19 \\ -10 \\ 23\end{pmatrix} après multiplication par 10), et un vecteur normal de P_3 est \begin{pmatrix}8 \\ -10 \\ -4\end{pmatrix}. Leur produit scalaire vaut \begin{aligned}19\times8+(-10)\times(-10)+23\times(-4) &= 152+100-92 \\ &= 160 \\ &\neq 0\end{aligned} \Delta et P_3 sont sécants.

6.Justifier que le point d'intersection entre \Delta et P_3 est le point H, équidistant de A, B, C et D.

H, équidistant des 4 sommets, vérifie AH=BH (donc H\in P_1), CH=DH (donc H{\in P_2}) et AH=CH (donc H\in P_3). Comme H appartient à P_1\cap P_2=\Delta et à P_3, H est bien le point d'intersection de \Delta et P_3.