Bac Terminale Spé Maths : Polynésie française 2025 (remplacement)
Session 2025 : Polynésie française, épreuve de remplacement · Spécialité mathématiques, 4 exercices, 4 heures.
Exercice 1 5 points
PartieA ; 1. En France, 16 % des jeunes suivent la conduite accompagnée (A), avec un taux de réussite dès la première tentative (R) de 74,7 % ; les autres ont un taux de réussite de 56,8 %. Dresser un arbre de probabilités.
P(A)=0{,}16, P(\overline{A})=0{,}84 ; {P_A(R)=0{,}747}, P_A(\overline{R})=0{,}253 ; P_{\overline{A}}(R)=0{,}568, P_{\overline{A}}(\overline{R})=0{,}432.
PartieA ; 2.a Démontrer que {P(R)=0{,}59664}.
D'après la formule des probabilités totales : \begin{aligned}P(R) &= P(A)\times P_A(R)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(R) \\ &= 0{,}16\times0{,}747+0{,}84\times0{,}568 \\ &= 0{,}11952+0{,}47712 \\ &= 0{,}59664\end{aligned}
PartieA ; 2.b En arrondissant à 0{,}597, donner ce résultat en pourcentage et l'interpréter.
0{,}597 correspond à 59,7 % : le pourcentage de réussite dès le premier passage du permis est de 59,7 %, tous modes d'apprentissage confondus.
PartieA ; 3. On choisit un jeune ayant eu son permis dès sa première tentative. Quelle est la probabilité qu'il ait suivi la conduite accompagnée ?
P_R(A) = \dfrac{P(A\cap R)}{P(R)} \approx \dfrac{0{,}16\times0{,}747}{0{,}597} \approx 0,200.
PartieA ; 4. Quelle proportion x de jeunes devrait suivre la conduite accompagnée pour que le taux de réussite global dépasse 70 % ?
Avec une proportion x, le taux de réussite devient \begin{aligned}P(R) &= 0{,}747x+0{,}568(1-x) \\ &= 0{,}179x+0{,}568\end{aligned}
P(R)>0{,}7 \iff 0{,}179x>0{,}132 \iff x>\dfrac{0{,}132}{0{,}179}\approx0{,}737 : il faudrait qu'au moins 73,7 % des jeunes suivent la conduite accompagnée.
PartieB ; 1. Une auto-école présente 10 candidats ayant suivi la conduite accompagnée (épreuves indépendantes). X compte ceux ayant leur permis dès la première tentative. Justifier que {X\sim\mathcal{B}(10~;~0{,}747)}.
Chaque candidat est une épreuve à deux issues (réussite, probabilité 0,747), répétée 10 fois de façon indépendante : X suit la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0{,}747.
PartieB ; 2. Calculer P(X\geqslant6) et interpréter.
\begin{aligned}P(X\geqslant6) &= 1-P(X\leqslant5) \\ &\approx 1-0{,}082 \\ &= 0{,}918\end{aligned} Il y a environ 91,8 % de chances que, sur 10 candidats, au moins 6 aient leur permis dès la première tentative.
PartieB ; 3. Déterminer E(X) et V(X).
\begin{aligned}E(X) &= np \\ &= 10\times0{,}747 \\ &= 7{,}47\end{aligned} et \begin{aligned}V(X) &= np(1-p) \\ &= 10\times0{,}747\times0{,}253 \\ &\approx 1{,}890\end{aligned}
PartieB ; 4.a 40 autres candidats (sans conduite accompagnée) donnent une variable Y indépendante de X, avec E(Y)=22{,}53 et V(Y)=9{,}81. Soit Z le nombre total de reçus sur les 50. Exprimer Z et calculer E(Z), V(Z).
Z=X+Y. Par linéarité de l'espérance : \begin{aligned}E(Z) &= E(X)+E(Y) \\ &= 7{,}47+22{,}53 \\ &= 30\end{aligned} Par indépendance et additivité de la variance : \begin{aligned}V(Z) &= V(X)+V(Y) \\ &\approx 1{,}89+9{,}81 \\ &= 11{,}7\end{aligned}
PartieB ; 4.b Montrer, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que la probabilité qu'il y ait au plus 20 ou au moins 40 reçus est inférieure à 0,12.
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne, pour tout \delta>0 : {P(|Z-E(Z)|\geqslant\delta) \leqslant \dfrac{V(Z)}{\delta^2}}.
L'évènement « Z\leqslant20 ou Z\geqslant40 » équivaut à |Z-30|\geqslant10. Avec \delta=10 : P(|Z-30|\geqslant10) \leqslant \dfrac{11{,}7}{100} = 0{,}117 < 0{,}12.
Exercice 2 5 points
PartieA ; 1. On modélise l'effectif d'une population animale (y(0)=50 en l'an 2000) par (E_1) : y'=0{,}05y-0{,}5. Résoudre (E_1) avec y(0)=50.
Les solutions de y'=0{,}05y sont {y(x)=Ce^{0{,}05x}}. La solution particulière constante vérifie \begin{aligned}0 = 0{,}05k-0{,}5 &\iff k = 10 \end{aligned} Les solutions de (E_1) sont donc {y(x)=Ce^{0{,}05x}+10}.
\begin{aligned}y(0) = 50 &\iff C+10 = 50 \\ &\iff C = 40 \end{aligned} La solution cherchée est {y(x)=40e^{0{,}05x}+10}.
PartieA ; 2. Comparer les valeurs de ce modèle avec les données du tableau (2000, 2005, 2010, 2015).
y(0)=50, y(5)\approx61{,}36, y(10)\approx75{,}95, y(15)\approx94{,}68, à comparer aux valeurs réelles 50, 64, 80, 100 : le modèle sous-estime légèrement l'effectif observé.
PartieB ; 1. On considère (E_2) : y'=0{,}05y(1-0{,}00125y) et f(x)=\dfrac{800}{1+15e^{-0,05x}}. Démontrer que f(0)=50 et que f'(x)=0{,}05f(x)(1-0{,}00125f(x)).
\begin{aligned}f(0) &= \dfrac{800}{1+15} \\ &= \dfrac{800}{16} \\ &= 50\end{aligned}
0{,}05f(x) = \dfrac{40}{1+15e^{-0,05x}} et 0{,}00125f(x) = \dfrac{1}{1+15e^{-0,05x}}, donc {1-0{,}00125f(x) = \dfrac{15e^{-0,05x}}{1+15e^{-0,05x}}}.
0{,}05f(x)\big(1-0{,}00125f(x)\big) = \dfrac{40\times15e^{-0,05x}}{(1+15e^{-0,05x})^2} = \dfrac{600e^{-0,05x}}{(1+15e^{-0,05x})^2} = f'(x) (donné par le logiciel de calcul formel).
PartieB ; 2. Avec le modèle f, estimer l'effectif de la population en 2050 (arrondi à l'unité).
2050 correspond à x=50 : f(50) \approx 358 individus.
PartieB ; 3. Calculer la limite de f en +\infty et interpréter.
\lim\limits_{x\to+\infty}e^{-0,05x} = 0 (par composition), donc \lim\limits_{x\to+\infty}\big(1+15e^{-0,05x}\big) = 1, et {\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = 800}.
La courbe \mathcal{C} admet donc la droite {y=800} comme asymptote horizontale : la population tend à se stabiliser autour de 800 individus.
PartieB ; 4. Justifier que f est croissante sur [0~;~+\infty[.
f'(x) = \dfrac{600e^{-0,05x}}{(1+15e^{-0,05x})^2} est un quotient de deux quantités strictement positives (car e^{-0,05x}>0) : f'(x)>0, donc f est croissante sur [0~;~+\infty[.
PartieB ; 5. Démontrer que \begin{aligned}15e^{-0,05x}-1 \geqslant 0 &\iff x \leqslant 20\ln(15) \end{aligned}
\begin{aligned}15e^{-0,05x}-1 \geqslant 0 &\iff e^{-0,05x} \geqslant \dfrac{1}{15} \\ &\iff -0{,}05x \geqslant \ln\left(\dfrac{1}{15}\right) \\ &\iff -0{,}05x \geqslant -\ln(15) \\ &\iff x \leqslant \dfrac{\ln(15)}{0{,}05} \\ &\iff x \leqslant 20\ln(15)\end{aligned}
PartieB ; 6.a Étudier la convexité de f sur [0~;~+\infty[ et déterminer les éventuels points d'inflexion.
f''(x) = \dfrac{30e^{-0,05x}}{(1+15e^{-0,05x})^3}(15e^{-0,05x}-1) est du signe de (15e^{-0,05x}-1) : positif sur [0~;~20\ln(15)], négatif au-delà.
f est donc convexe sur [0~;~20\ln(15)] et concave sur [20\ln(15)~;~+\infty[ ; f'' s'annulant en changeant de signe en x=20\ln(15), la courbe admet un point d'inflexion en ce point.
En posant 15e^{-0,05x}=1 à ce point : \begin{aligned}f(20\ln(15)) &= \dfrac{800}{1+1} \\ &= 400\end{aligned} Le point d'inflexion est (20\ln(15)~;~400).
PartieB ; 6.b La direction affirme : « la vitesse de croissance va augmenter pendant un peu plus de cinquante ans, puis diminuer ». A-t-elle raison ?
La vitesse de croissance est modélisée par f', qui croît là où f est convexe (soit sur [0~;~20\ln(15)]) et décroît là où f est concave (au-delà). Or 20\ln(15)\approx54{,}2 : la direction a raison, la vitesse de croissance augmente pendant environ 54 ans avant de diminuer.
Exercice 3 5 points
PartieA ; 1. La suite (u_n) vérifie u_0=5 et u_{n+1}=2+\ln(u_n^2-3). Compléter le script Python suite(k) qui renvoie la liste des k premières valeurs.
Ligne for i in range(k): et ligne u = 2 + log(u2 - 3) ; la fonction renvoie L à la fin.
PartieA ; 2. suite(9) affiche des valeurs croissant de 5 vers environ 5,164. Émettre deux conjectures.
La suite (u_n) semble croissante, et semble converger vers une valeur proche de 5,164.
PartieA ; 3. mystere(10000) renvoie 1. Cela contredit-il la conjecture de croissance ?
mystere renvoie 0 s'il existe un indice i tel que u_i>u_{i+1} ; comme mystere(10000) renvoie 1, cela signifie que u_i\leqslant u_{i+1} pour tout i\leqslant9999 : cela ne contredit pas la conjecture de croissance.
PartieB ; 1. Soit g(x)=2+\ln(x^2-3) sur [2~;~+\infty[. Démontrer que g est croissante.
g'(x) = \dfrac{2x}{x^2-3}. Sur [2~;~+\infty[, 2x>0 et {x^2-3\geqslant1>0}, donc g'(x)>0 : g est croissante sur [2~;~+\infty[.
PartieB ; 2.a Démontrer par récurrence que, pour tout n, {4\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant6}.
Initialisation : u_0=5 et \begin{aligned}u_1 &= 2+\ln(22) \\ &\approx 5{,}09\end{aligned} donc {4\leqslant5\leqslant5{,}09\leqslant6} : vrai au rang 0.
Hérédité : si {4\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant6}, alors par croissance de g (avec {u_{n+1}=g(u_n)}) : {g(4)\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant g(6)}, soit {4{,}56\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant5{,}5}, donc en particulier {4\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant6} : vrai au rang n+1.
Conclusion : par récurrence, pour tout n\in\mathbb{N}, {4\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant6}.
PartieB ; 2.b En déduire que (u_n) converge.
(u_n) est croissante (d'après u_n\leqslant u_{n+1}) et majorée par 6 : elle converge donc, d'après le théorème de la convergence monotone.
PartieC ; 1.a Soit f(x)=2+\ln(x^2-3)-x sur [2~;~+\infty[, de tableau de variations donné (max \ln(6)-1 en x=3, f(2)=0, \lim_{+\infty}f=-\infty). Montrer que f(x)=0 admet exactement deux solutions \alpha<\beta.
f(2)=0 donne une première solution \alpha=2. Sur [3~;~+\infty[, f est continue et strictement décroissante, de {\ln(6)-1>0} à -\infty : par le théorème des valeurs intermédiaires, f(x)=0 y admet une unique solution \beta. L'équation admet donc exactement deux solutions, \alpha=2 et \beta\in[3~;~+\infty[.
PartieC ; 1.b Donner la valeur exacte de \alpha et une valeur approchée de \beta à 10^{-3} près.
\alpha=2 (valeur exacte). À la calculatrice, par balayage successif : {\beta\in[5{,}164~;~5{,}165]}, donc \beta\approx5{,}164 à 10^{-3} près.
PartieC ; 2. On note \ell la limite de (u_n). Justifier que f(\ell)=0 et déterminer \ell.
f(x)=g(x)-x, donc \begin{aligned}g(x) = x &\iff f(x) = 0 \end{aligned} Par passage à la limite dans {u_{n+1}=g(u_n)}, on obtient g(\ell)=\ell, c'est-à-dire f(\ell)=0.
Comme u_0=5 et (u_n) est croissante, \ell\geqslant5 ; parmi les deux solutions \alpha=2 et \beta\approx5{,}164 de f(x)=0, seule \beta vérifie \beta\geqslant5 : \begin{aligned}\ell &= \beta \\ &\approx 5{,}164\end{aligned}.
Exercice 4 5 points
Affirmation 1. Soit f(x)=x\ln(x) sur ]0~;~+\infty[. On a \displaystyle \displaystyle\int\limits_1^e f(x)\,\mathrm{d}x = \dfrac{e^2+1}{4}. Vraie ou fausse ?
On pose u'(x)=x, v(x)=\ln(x), donc u(x)=\dfrac{x^2}{2} et v'(x)=\dfrac1x.
\begin{aligned}\displaystyle \displaystyle\int\limits_1^e x\ln(x)\,\mathrm{d}x &= \left[\dfrac{x^2}{2}\ln(x)\right]_1^e - \displaystyle\int\limits_1^e\dfrac{x}{2}\,\mathrm{d}x \\ &= \dfrac{e^2}{2}-\left[\dfrac{x^2}{4}\right]_1^e \\ &= \dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2}{4}+\dfrac14 \\ &= \dfrac{e^2+1}{4}\end{aligned} L'affirmation est vraie.
Affirmation 2. Soient n,k entiers naturels non nuls avec k\leqslant n. On a {n\times\dbinom{n-1}{k-1} = k\times\dbinom{n}{k}}. Vraie ou fausse ?
\begin{aligned}k\times\dbinom{n}{k} &= k\times\dfrac{n!}{k!(n-k)!} \\ &= \dfrac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\end{aligned}
\begin{aligned}n\times\dbinom{n-1}{k-1} &= n\times\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} \\ &= \dfrac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\end{aligned} Les deux expressions sont égales. L'affirmation est vraie.
Affirmation 3. d a pour représentation paramétrique x=t+1, y=2t+1, z=-t. Le point A(-1~;~-3~;~2) appartient à d. Vraie ou fausse ?
En résolvant -1=t+1, -3=2t+1, 2=-t : les trois équations donnent t=-2. A appartient bien à d : l'affirmation est vraie.
Affirmation 4. d' a pour représentation paramétrique x=2t'-1, y=-t'+2, z=t'+1. Les droites d et d' sont sécantes. Vraie ou fausse ?
On cherche (t,t') tel que t+1=2t'-1, 2t+1=-t'+2, -t=t'+1. En substituant t=2t'-2 : la deuxième équation donne 5t'=5, soit t'=1, mais la troisième donne t'=\dfrac13.
Ces deux valeurs de t' sont incompatibles : le système n'a pas de solution. d et d' ne sont pas sécantes : l'affirmation est fausse.
Affirmation 5. Le plan P : {2x+y-2z+18=0} est le plan médiateur de [AB], avec A(-1~;~-3~;~2), B(-5~;~-5~;~6). Vraie ou fausse ?
Le plan médiateur de [AB] est l'ensemble des points M tels que MA^2=MB^2.
MA^2 = x^2+2x+y^2+6y+z^2-4z+14 et MB^2 = x^2+10x+y^2+10y+z^2-12z+86.
\begin{aligned}MA^2 = MB^2 &\iff -8x-4y+8z-72 = 0 \\ &\iff 2x+y-2z+18 = 0 \end{aligned} On retrouve exactement l'équation de P. L'affirmation est vraie.
Corrigé rédigé par Logimaths à partir du sujet officiel du Ministère de l'Éducation nationale (éduscol.education.gouv.fr).