Bac Terminale Spé Maths : Amérique du Nord 2026, Sujet 2
Session 2026 : Amérique du Nord, Sujet 2 · Spécialité mathématiques, 4 exercices, 4 heures.
Exercice 1 4 points
A.1Compléter l'arbre de probabilités.
P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}60 = 0,40.
Par passage au complémentaire : P_A(\overline{C}) = 1 - 0{,}95 = 0,05.
A.2.aDéterminer la probabilité que la tomate choisie soit commercialisable et provienne du fournisseur A.
P(A \cap C) = P(A) \times P_A(C) = 0{,}60 \times 0{,}95 = 0,57.
A.2.bDémontrer que P_B(C) = 0,85.
D'après la formule des probabilités totales : {P(C) = P(A \cap C) + P(B) \times P_B(C)}.
0{,}91 = 0{,}57 + 0{,}40 \times P_B(C), donc {0{,}40 \times P_B(C) = 0{,}34}.
P_B(C) = \dfrac{0{,}34}{0{,}40} = 0,85.
A.2.cLa tomate est non commercialisable. Y a-t-il deux fois moins de chances qu'elle provienne de A que de B ?
On compare P_{\overline{C}}(A) et P_{\overline{C}}(B), sachant \begin{aligned}P(\overline{C}) &= 1 - 0{,}91 \\ &= 0{,}09\end{aligned}
\begin{aligned}P_{\overline{C}}(A) &= \dfrac{P(A \cap \overline{C})}{P(\overline{C})} \\ &= \dfrac{0{,}60 \times 0{,}05}{0{,}09} \\ &= \dfrac{0{,}03}{0{,}09} \\ &= \dfrac{1}{3}\end{aligned}
\begin{aligned}P_{\overline{C}}(B) &= \dfrac{P(B \cap \overline{C})}{P(\overline{C})} \\ &= \dfrac{0{,}40 \times 0{,}15}{0{,}09} \\ &= \dfrac{0{,}06}{0{,}09} \\ &= \dfrac{2}{3}\end{aligned}
Comme \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3}, le responsable des achats a raison.
B.1.aOn admet que X suit une loi binomiale. En préciser les paramètres.
Les 15 prélèvements sont assimilés à un tirage avec remise (répétitions identiques et indépendantes), de probabilité de succès 0,09 : X suit la loi binomiale de paramètres n = 15 et p = 0,09.
B.1.bDéterminer la probabilité qu'exactement deux tomates soient non commercialisables.
P(X = 2) = \binom{15}{2} \times 0{,}09^{2} \times 0{,}91^{13} \approx 0,250 (arrondi au millième).
B.1.cDéterminer la probabilité qu'au plus deux tomates soient non commercialisables.
À la calculatrice, P(X \leq 2) \approx 0,853 (arrondi au millième).
B.2.aCalculer E(F_{n}) et exprimer V(F_{n}) en fonction de n.
X_n suit la loi binomiale de paramètres n et 0{,}09, donc E(X_n) = 0{,}09n et \begin{aligned}V(X_n) &= n \times 0{,}09 \times 0{,}91 \\ &= 0{,}0819n\end{aligned}
Comme F_n = \dfrac{1}{n}X_n, par linéarité de l'espérance : E(F_n) = \dfrac{1}{n} \times 0{,}09n = 0,09.
Et V(F_n) = \dfrac{1}{n^{2}} \times V(X_n) = \dfrac{0{,}0819n}{n^{2}} = \dfrac{0{,}0819}{n}.
B.2.bDémontrer que P(0,04 < F_{n} < 0,14) \geq 1 - 32,76/n.
{0{,}04 < F_n < 0{,}14 \Leftrightarrow -0{,}05 < F_n - 0{,}09 < 0{,}05 \Leftrightarrow |F_n - 0{,}09| < 0{,}05}.
D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour \delta = 0{,}05 : \begin{aligned}P(|F_n - 0{,}09| \geq 0{,}05) &\leq \dfrac{V(F_n)}{0{,}05^{2}} \\ &= \dfrac{0{,}0819/n}{0{,}0025} \\ &= \dfrac{32{,}76}{n}\end{aligned}
En passant au complémentaire : P(|F_n - 0{,}09| < 0{,}05) \geq 1 - \dfrac{32{,}76}{n}.
Soit bien {P(0{,}04 < F_n < 0{,}14) \geq 1 - \dfrac{32{,}76}{n}}.
B.2.cUn échantillon de 500 tomates comporte 55 non commercialisables. Est-ce conforme ?
La fréquence observée est \begin{aligned}F &= \dfrac{55}{500} \\ &= 0{,}11\end{aligned} comprise entre 0,04 et 0,14.
Pour n = 500 : 1 - \dfrac{32{,}76}{500} = 0{,}93448, donc P(0{,}04 < F_{500} < 0{,}14) \geq 0{,}93448.
Comme la fréquence observée 0,11 appartient bien à cet intervalle, le résultat est conforme à ce qu'attendait le responsable des achats.
Exercice 2 6 points
A.1Résoudre l'équation f(x) = x.
\begin{aligned}\dfrac{2x}{\sqrt{1+x^{2}}} &= x \\ &\Leftrightarrow x\left(\dfrac{2}{\sqrt{1+x^{2}}} - 1\right) = 0\end{aligned}
Donc x = 0, ou \begin{aligned}\sqrt{1+x^{2}} &= 2 \\ &\Leftrightarrow 1+x^{2} = 4 \\ &\Leftrightarrow x^{2} = 3 \\ &\Leftrightarrow x = \sqrt{3}\end{aligned} ou x = -\sqrt{3}.
L'ensemble des solutions est {S = \{-\sqrt{3} ; 0 ; \sqrt{3}\}}.
A.2.aVérifier que f'(x) = 2/((1+x^{2})\surd(1+x^{2})).
La dérivée de x \mapsto \sqrt{1+x^{2}} est {x \mapsto \dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}.
f'(x) = \dfrac{2\sqrt{1+x^{2}} - 2x \times \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{1+x^{2}} = \dfrac{2(1+x^{2}) - 2x^{2}}{(1+x^{2})\sqrt{1+x^{2}}} = \dfrac{2}{(1+x^{2})\sqrt{1+x^{2}}}.
A.2.bEn déduire le sens de variation de f sur \mathbb{R}.
Pour tout x réel, 1+x^{2} > 0 et \sqrt{1+x^{2}} > 0, donc f'(x) > 0 : f est strictement croissante sur \mathbb{R}.
B.1Démontrer par récurrence que, pour tout n, 1 \leq u_{n} \leq u_{n+1} < \sqrt{3}.
Initialisation : u_0 = 1 et \begin{aligned}u_1 &= f(1) \\ &= \dfrac{2}{\sqrt{2}} \\ &= \sqrt{2}\end{aligned} donc {1 \leq u_0 \leq u_1 < \sqrt{3}} : la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons {1 \leq u_n \leq u_{n+1} < \sqrt{3}}. Comme f est strictement croissante (question A.2.b) : {f(1) \leq f(u_n) \leq f(u_{n+1}) < f(\sqrt{3})}.
Or f(1) = \sqrt{2} > 1, f(u_n) = u_{n+1}, f(u_{n+1}) = u_{n+2} et \begin{aligned}f(\sqrt{3}) &= \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4}} \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}
Donc {1 \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} < \sqrt{3}} : la propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, {1 \leq u_n \leq u_{n+1} < \sqrt{3}}.
B.2En déduire que la suite (u_{n}) converge et déterminer sa limite.
La suite (u_n) est croissante (u_n \leq u_{n+1}) et majorée par \sqrt{3}, donc elle converge vers une limite \ell vérifiant {1 \leq \ell \leq \sqrt{3}}.
Comme f est continue (car dérivable) et u_{n+1} = f(u_n), par unicité de la limite, \ell vérifie f(\ell) = \ell : \ell est donc solution de l'équation f(x) = x.
La seule solution de cette équation dans [1 ; \sqrt{3}] est \sqrt{3} (question A.1), donc \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{3}.
B.3.aDémontrer que (v_{n}) est une suite géométrique de raison 4.
v_0 = \dfrac{u_0^{2}}{3-u_0^{2}} = \dfrac{1}{3-1} = 0,5.
\begin{aligned}v_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}^{2}}{3-u_{n+1}^{2}} \\ &= \dfrac{\frac{4u_n^{2}}{1+u_n^{2}}}{3-\frac{4u_n^{2}}{1+u_n^{2}}} \\ &= \dfrac{4u_n^{2}}{3(1+u_n^{2})-4u_n^{2}} \\ &= \dfrac{4u_n^{2}}{3-u_n^{2}} \\ &= 4v_n\end{aligned}
La suite (v_n) est donc géométrique, de premier terme v_0 = 0{,}5 et de raison {q = 4}.
B.3.bEn déduire l'expression de v_{n} puis que u_{n} = \surd(1,5 \times 4ⁿ / (1 + 0,5 \times 4ⁿ)).
D'après la question précédente, pour tout n : \begin{aligned}v_n &= v_0 \times q^{n} \\ &= 0{,}5 \times 4^{n}\end{aligned}
En résolvant v_n = \dfrac{u_n^{2}}{3-u_n^{2}} pour u_n^{2} : u_n^{2} = \dfrac{3v_n}{1+v_n}, et comme u_n > 0 : {u_n = \sqrt{\dfrac{3v_n}{1+v_n}}}.
En remplaçant v_n par 0{,}5 \times 4^{n}, on obtient bien, pour tout n : {u_n = \sqrt{\dfrac{1{,}5 \times 4^{n}}{1+0{,}5 \times 4^{n}}}}.
B.3.cEn déduire la limite de la suite (u_{n}).
En factorisant par 4^{n} au numérateur et au dénominateur : u_n = \sqrt{\dfrac{1{,}5}{\frac{1}{4^{n}}+0{,}5}}.
Comme 4 > 1, \lim\limits_{n \to +\infty} 4^{n} = +\infty, donc \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{4^{n}} = 0, d'où \begin{aligned}\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1{,}5}{\frac{1}{4^{n}}+0{,}5} &= \dfrac{1{,}5}{0{,}5} \\ &= 3\end{aligned}
Par continuité de la racine carrée, \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{3}, ce qui confirme le résultat de la question B.2.
C.1Recopier et compléter le script Python.
- Ligne « u = » (initialisation) : u = 1
- Ligne « S = » (dans la boucle) : S = S + u2
- Ligne « u = » (dans la boucle) : u = 2*u/sqrt(1+u2)
C.2Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, n \leq S_{n} \leq 3n.
D'après la partie B, pour tout k : {1 \leq u_k < \sqrt{3}}, donc {1 \leq u_k^{2} \leq 3}.
S_n est la somme de n termes chacun compris entre 1 et 3, donc {n \leq S_n \leq 3n}.
C.3En déduire les limites de S_{n} et de S_{n}/n^{2} lorsque n tend vers +\infty.
Comme n \leq S_n et \lim\limits_{n \to +\infty} n = +\infty, par comparaison, \lim\limits_{n \to +\infty} S_n = +\infty.
En divisant l'encadrement par n^{2} : {\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{S_n}{n^{2}} \leq \dfrac{3}{n}}. Comme les deux bornes tendent vers 0, d'après le théorème des gendarmes, \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{S_n}{n^{2}} = 0.
Exercice 3 5 points
1.Vérifier que la droite \Delta contient C mais pas A.
Pour t=0 : x=1, y=1, z=1, ce qui correspond bien aux coordonnées de C : C appartient à \Delta.
A appartient à \Delta si et seulement s'il existe t tel que 4=1+2t, 2=1+t et 2=1+2t. La première équation donne t=\dfrac{3}{2}, la deuxième donne t=1 : le système n'a pas de solution commune, donc A n'appartient pas à \Delta.
2.aDémontrer qu'une équation cartésienne de P est 2x + y + 2z - 14 = 0.
Le plan \mathcal{P} est perpendiculaire à \Delta : un vecteur directeur de \Delta, soit \vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}, est donc normal à \mathcal{P}.
Une équation de \mathcal{P} est donc de la forme 2x+y+2z+d=0. Comme A(4;2;2) \in \mathcal{P} : 8+2+4+d=0, donc d=-14.
Une équation cartésienne de \mathcal{P} est donc bien 2x+y+2z-14=0.
2.bVérifier que P contient B mais pas C.
Pour B : \begin{aligned}2\times5+(-2)+2\times3-14 &= 10-2+6-14 \\ &= 0\end{aligned} B appartient à \mathcal{P}.
Pour C : \begin{aligned}2\times1+1+2\times1-14 &= 2+1+2-14 \\ &= -9 \\ &\neq 0\end{aligned} C n'appartient pas à \mathcal{P}.
3.aDémontrer que D est le projeté orthogonal de C sur P.
\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}3-1 \\ 2-1 \\ 3-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}, qui est égal (donc colinéaire) au vecteur normal \vec{n} : la droite (CD) est orthogonale à \mathcal{P}.
De plus, \begin{aligned}2\times3+2+2\times3-14 &= 6+2+6-14 \\ &= 0\end{aligned} D appartient à \mathcal{P}.
D est donc bien le projeté orthogonal de C sur le plan P.
3.bJustifier que A, B, C, D ne sont pas coplanaires.
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1 \\ -4 \\ 1\end{pmatrix} et \overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} ne sont pas colinéaires (par exemple \dfrac{1}{-1} \neq \dfrac{1}{1}) : A, B et D définissent donc bien le plan \mathcal{P}.
Or C n'appartient pas à \mathcal{P} (question 2.b) : les points A, B, C et D ne sont donc pas coplanaires.
3.cCalculer le produit scalaire AB⃗ \cdot AD⃗.
Le repère étant orthonormé : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 1 \times (-1) + (-4) \times 0 + 1 \times 1 = -1 + 0 + 1 = 0.
3.dCalculer le volume du tétraèdre ABCD.
Le produit scalaire nul montre que le triangle ABD est rectangle en A : Aire = \dfrac{AB \times AD}{2} = \dfrac{\sqrt{1^{2}+4^{2}+1^{2}} \times \sqrt{1^{2}+0^{2}+1^{2}}}{2} = \dfrac{\sqrt{18} \times \sqrt{2}}{2} = \dfrac{6}{2} = 3.
Comme D est le projeté orthogonal de C sur (ABD) : puisque (CD) est orthogonale à \mathcal{P} qui contient A, B et D : la hauteur associée à cette base est \begin{aligned}CD &= \sqrt{2^{2}+1^{2}+2^{2}} \\ &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}
V = \dfrac{1}{3} \times 3 \times 3 = 3 unités de volume.
4.aVérifier que les coordonnées de H sont (\dfrac{73}{29} ; -\dfrac{4}{29} ; \dfrac{51}{29}).
Notons X le point de coordonnées \left(\dfrac{73}{29} ; \dfrac{-4}{29} ; \dfrac{51}{29}\right). On a \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-4 \\ 3 \\ -2\end{pmatrix}.
\overrightarrow{AX} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 (calcul direct des coordonnées), donc (AX) est orthogonale à (BC).
De plus, \overrightarrow{BX} = \dfrac{18}{29}\overrightarrow{BC} : X appartient donc à la droite (BC).
X est donc bien le projeté orthogonal de A sur (BC) : H = X.
4.bDémontrer que l'aire du triangle ABC est 3\surd\dfrac{22}{2}.
[AH] est la hauteur issue de A dans le triangle ABC rectangle en H : Aire {= \dfrac{BC \times AH}{2}}.
\begin{aligned}BC^{2} &= (-4)^{2}+3^{2}+(-2)^{2} \\ &= 29\end{aligned} et AH^{2} = \dfrac{198}{29} (à partir des coordonnées de \overrightarrow{AH}).
Aire = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{198}{29}} \times \sqrt{29} = \dfrac{\sqrt{198}}{2} = \dfrac{\sqrt{9 \times 22}}{2} = \dfrac{3\sqrt{22}}{2}.
4.cEn déduire la distance de D au plan (ABC).
Notons h cette distance ; c'est la hauteur associée à la base (ABC) dans le tétraèdre ABCD, de volume 3 (question 3.d).
3 = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3\sqrt{22}}{2} \times h, donc {h = \dfrac{3 \times 2}{\sqrt{22}} = \dfrac{6}{\sqrt{22}} =} \dfrac{3\sqrt{22}}{11}.
Exercice 4 5 points
1.Déterminer la limite de f en +\infty.
Comme \lim\limits_{x \to +\infty} x = +\infty et {\lim\limits_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty}, par produit, \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.
2.aDémontrer que, pour tout x > 0, f(x) = 4(g(\sqrt{x}))^{2}.
Pour x > 0 : \begin{aligned}g(\sqrt{x}) &= \sqrt{x}\ln(\sqrt{x}) \\ &= \sqrt{x} \times \dfrac{1}{2}\ln(x)\end{aligned}
4\left(g(\sqrt{x})\right)^{2} = 4 \times x \times \dfrac{1}{4}(\ln x)^{2} = x(\ln x)^{2} = f(x).
2.bEn déduire la limite de f en 0.
Par croissances comparées, \lim\limits_{X \to 0} X\ln(X) = 0, donc \lim\limits_{x \to 0} g(\sqrt{x}) = 0.
Par produit, \lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0.
3.aDémontrer que f'(x) = (ln x)(2 + ln x).
f = uv avec u(x) = x et v(x) = (\ln x)^{2}, donc u'(x) = 1 et v'(x) = \dfrac{2\ln x}{x}.
f'(x) = u'v + uv' = (\ln x)^{2} + x \times \dfrac{2\ln x}{x} = (\ln x)^{2} + 2\ln x = (\ln x)(\ln x + 2).
3.bEn déduire les variations de f sur ]0 ; +\infty[.
{\ln x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > e^{-2}}, et {\ln x > 0 \Leftrightarrow x > 1}.
f'(x) est donc positif sur ]0 ; e^{-2}] (produit de deux négatifs), négatif sur [e^{-2} ; 1] (un négatif, un positif), puis positif sur [1 ; +\infty[ (deux positifs).
Donc f est croissante sur ]0 ; e^{-2}], décroissante sur [e^{-2} ; 1], puis croissante sur [1 ; +\infty[.
3.cDonner la valeur exacte du maximum de f sur ]0 ; 1].
D'après le tableau de variations, le maximum sur ]0 ; 1] est atteint en e^{-2}.
f(e^{-2}) = e^{-2} \times (\ln(e^{-2}))^{2} = e^{-2} \times (-2)^{2} = 4e^{-2}.
4.aJustifier que l'équation f(x) = 2 admet une unique solution sur ]0 ; +\infty[.
Sur ]0 ; 1], le maximum de f est {4e^{-2} \approx 0{,}54 < 2} : l'équation f(x)=2 n'a pas de solution sur cet intervalle.
Sur [1 ; +\infty[, f est continue (dérivable) et strictement croissante, avec {f(1) = 0 < 2} et \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty > 2.
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=2 admet une unique solution \alpha sur [1 ; +\infty[, donc sur ]0 ; +\infty[.
4.bDonner un encadrement de \alpha d'amplitude 0,1.
À la calculatrice, \alpha \approx 2{,}46, donc {2{,}4 < \alpha < 2{,}5}.
5.aDonner une interprétation géométrique de l'intégrale de f entre a et 1.
La fonction f est positive sur ]0 ; +\infty[ (produit de x>0 par un carré), donc \displaystyle \int\limits_a^1 f(x)\,dx représente l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=1.
5.bÀ l'aide d'une intégration par parties, justifier la première égalité.
On pose u'(x)=x et v(x)=(\ln x)^{2}, donc u(x)=\dfrac{x^{2}}{2} et v'(x)=\dfrac{2\ln x}{x}.
\begin{aligned}\displaystyle \int\limits_a^1 f(x)\,dx &= \left[\dfrac{x^{2}}{2}(\ln x)^{2}\right]_a^1 - \int\limits_a^1 x\ln x\,dx \\ &= -\dfrac{a^{2}}{2}(\ln a)^{2} - \int\limits_a^1 x\ln x\,dx\end{aligned}
(le crochet en x=1 vaut 0 car \ln 1 = 0), ce qui est bien le résultat annoncé.
5.cEn utilisant à nouveau une intégration par parties, démontrer la seconde égalité.
Pour \displaystyle \int\limits_a^1 x\ln x\,dx, on pose u'(x)=x et v(x)=\ln x, donc u(x)=\dfrac{x^{2}}{2} et v'(x)=\dfrac{1}{x}.
\begin{aligned}\displaystyle \int\limits_a^1 x\ln x\,dx &= \left[\dfrac{x^{2}}{2}\ln x\right]_a^1 - \int\limits_a^1 \dfrac{x}{2}\,dx \\ &= -\dfrac{a^{2}}{2}\ln a - \left[\dfrac{x^{2}}{4}\right]_a^1 \\ &= -\dfrac{a^{2}}{2}\ln a - \dfrac{1}{4} + \dfrac{a^{2}}{4}\end{aligned}
En reportant dans le résultat de la question précédente :
\displaystyle \int\limits_a^1 f(x)\,dx = -\dfrac{a^{2}}{2}(\ln a)^{2} - \left(-\dfrac{a^{2}}{2}\ln a - \dfrac{1}{4} + \dfrac{a^{2}}{4}\right)
Soit bien \displaystyle \int\limits_a^1 f(x)\,dx = -\dfrac{a^{2}}{2}(\ln a)^{2} + \dfrac{a^{2}}{2}\ln a + \dfrac{1}{4} - \dfrac{a^{2}}{4}.
5.dDéterminer la limite de l'intégrale quand a tend vers 0.
On réécrit : -\dfrac{a^{2}}{2}(\ln a)^{2} = -\dfrac{1}{2}(a\ln a)^{2} et \dfrac{a^{2}}{2}\ln a = \dfrac{a}{2} \times (a\ln a).
Par croissances comparées, \lim\limits_{a \to 0} a\ln a = 0, donc les deux premiers termes tendent vers 0, ainsi que \dfrac{a^{2}}{4}.
Par somme, \displaystyle \lim\limits_{a \to 0} \int\limits_a^1 f(x)\,dx = \dfrac{1}{4}.
Corrigé rédigé par Logimaths à partir du sujet officiel du Ministère de l'Éducation nationale (éduscol.education.gouv.fr).