Bac Terminale Spé Maths : Asie 2026, Sujet 2

A.1Justifier les éléments du tableau de variations de f.

f est dérivable sur \left]-\infty;\frac{3}{2}\right[ comme quotient de fonctions polynomiales dont le dénominateur ne s'annule pas.
f'(x) = \dfrac{1\times(2x-3)-(x-2)\times2}{(2x-3)^{2}} = \dfrac{2x-3-2x+4}{(2x-3)^{2}} = \dfrac{1}{(2x-3)^{2}}.
Comme (2x-3)^{2}>0 pour tout x du domaine, f'(x)>0 : f est strictement croissante.
En -\infty : f(x) = \dfrac{1-\frac{2}{x}}{2-\frac{3}{x}} \to \dfrac{1}{2} (les termes en \frac{1}{x} tendent vers 0).
En \frac{3}{2}^{-} : le numérateur tend vers -\frac{1}{2} et le dénominateur vers 0^{-}, donc {f(x)\to+\infty}.

A.2En déduire que, pour tout x \in [0 ; 1], f(x) \in [0 ; 1].

f étant strictement croissante sur \left]-\infty;\frac32\right[, elle l'est en particulier sur [0;1] : pour x\in[0;1], {f(0)\leq f(x)\leq f(1)}.
\begin{aligned}f(0) &= \dfrac{-2}{-3} \\ &= \dfrac{2}{3}\end{aligned} et \begin{aligned}f(1) &= \dfrac{-1}{-1} \\ &= 1\end{aligned} donc {\dfrac{2}{3}\leq f(x)\leq1}.
Comme \dfrac{2}{3}\geq0, on a bien f(x)\in[0;1] pour tout x\in[0;1].

B.1Démontrer par récurrence que, pour tout n, 0 \leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 1.

Initialisation : u_0=0 et \begin{aligned}u_1 &= f(0) \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned} On a bien {0\leq0\leq\frac23\leq1}.
Hérédité : supposons {0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq1}. La fonction f étant strictement croissante sur [0;1] (question A.1), elle conserve l'ordre :
{f(0)\leq f(u_n)\leq f(u_{n+1})\leq f(1)}, soit {\frac23\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq1}. Comme 0\leq\frac23, on obtient {0\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq1}.
Conclusion : d'après le principe de récurrence, pour tout n\in\mathbb{N}, {0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq1}.

B.2En déduire que la suite (u_{n}) converge.

D'après la question précédente, (u_n) est croissante et majorée par 1 : elle converge donc vers une limite \ell\in[0;1] (théorème de la limite monotone).

B.3Montrer que ℓ = 1.

f étant continue, la limite \ell est solution de f(x)=x : \begin{aligned}\dfrac{x-2}{2x-3} = x &\iff x-2 = x(2x-3) \\ &\iff 2x^{2}-4x+2 = 0 \\ &\iff 2(x-1)^{2} = 0 \\ &\iff x = 1 \end{aligned}
L'équation f(x)=x n'a donc qu'une seule solution sur [0;1] : \ell=1.

B.4Interpréter la valeur renvoyée par seuil(0.0001) (= 5000).

La fonction renvoie le plus petit rang n tel que \begin{aligned}u_n &\geq 1-0{,}0001 \\ &= 0{,}9999\end{aligned} La valeur 5000 signifie que c'est à partir du rang n=5\,000 que les termes de la suite (u_n) dépassent 0,9999, c'est-à-dire s'approchent de la limite 1 à moins de 10^{-4} près.

B.5.aDonner les quatre premiers termes de (u_{n}) sous forme de fractions irréductibles.

u_0=0 ; \begin{aligned}u_1 &= f(0) \\ &= \dfrac{2}{3}\end{aligned} \begin{aligned}u_2 &= f\left(\frac23\right) \\ &= \dfrac{-\frac43}{-\frac53} \\ &= \dfrac{4}{5}\end{aligned} \begin{aligned}u_3 &= f\left(\frac45\right) \\ &= \dfrac{-\frac65}{-\frac75} \\ &= \dfrac{6}{7}\end{aligned}

B.5.bConjecturer l'expression de u_{n} en fonction de n et démontrer cette conjecture.

Les termes 0,\frac23,\frac45,\frac67 s'écrivent \frac{0}{1},\frac{2}{3},\frac{4}{5},\frac{6}{7} : on conjecture {u_n=\dfrac{2n}{2n+1}}.
Initialisation : pour n=0, \begin{aligned}\frac{0}{1} &= 0 \\ &= u_0\end{aligned} La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : supposons u_n=\frac{2n}{2n+1}. Alors \begin{aligned}u_{n+1} &= f(u_n) \\ &= \dfrac{\frac{2n}{2n+1}-2}{2\times\frac{2n}{2n+1}-3} \\ &= \dfrac{\frac{2n-2(2n+1)}{2n+1}}{\frac{4n-3(2n+1)}{2n+1}} \\ &= \dfrac{-2n-2}{-2n-3} \\ &= \dfrac{2n+2}{2n+3} \\ &= \dfrac{2(n+1)}{2(n+1)+1}\end{aligned} La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : d'après le principe de récurrence, pour tout n\in\mathbb{N}, {u_n=\dfrac{2n}{2n+1}}.

A.1Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

L'expérience consiste en la répétition de 16 lancers-francs identiques et indépendants, chacun avec deux issues (réussite, de probabilité 0,492, ou échec) : X suit la loi binomiale \mathcal{B}(16\,;\,0{,}492).

A.2Déterminer l'espérance de X et l'interpréter.

\begin{aligned}E(X) &= 16\times0{,}492 \\ &= 7{,}872\end{aligned} Le joueur réussit en moyenne environ 7,872 lancers-francs sur 16 tentatives lors d'un match.

A.3Calculer P(X = 5).

P(X=5) = \dbinom{16}{5}\times0{,}492^{5}\times0{,}508^{11} \approx 0,073.

A.4Calculer la probabilité que le joueur réussisse au moins six lancers-francs.

P(X\geq6) = 1-P(X\leq5) \approx 1-0{,}117 = 0,883.

B.1Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire Y.

Le joueur effectuant 3 lancers-francs, Y peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3.

B.2Exprimer P(Y = 2) en fonction de p.

Y suit la loi binomiale \mathcal{B}(3\,;\,p), donc P(Y=2) = \dbinom{3}{2}p^{2}(1-p) = 3p^{2}(1-p) = 3p^{2}-3p^{3}.

B.3Donner la loi de probabilité de Y sous forme de tableau.

B.4Montrer que P(Y \geq 2) = -2p^{3} + 3p^{2}.

P(Y\geq2) = P(Y=2)+P(Y=3) = (3p^{2}-3p^{3})+p^{3} = -2p^{3}+3p^{2}.

B.5.aÉtudier le sens de variation de f(x) = -2x^{3} + 3x^{2} sur [0 ; 1] et dresser son tableau de variation.

f'(x) = -6x^{2}+6x = 6x(1-x). Sur [0;1], 6x\geq0 et 1-x\geq0, donc f'(x)\geq0 (strictement positif sur ]0;1[) : f est strictement croissante sur [0;1].
f(0)=0 et \begin{aligned}f(1) &= -2+3 \\ &= 1\end{aligned} Le tableau de variation va de 0 à 1, en croissant.

B.5.bEn déduire l'existence d'une unique valeur \alpha \in [0 ; 1] telle que f(\alpha) = 0,9.

f est continue et strictement croissante sur [0;1], avec f(0)=0 et f(1)=1 ; comme 0{,}9\in[0;1], d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution \alpha à {f(x)=0{,}9} sur [0;1].

B.5.cDonner un encadrement d'amplitude 10^{-2} de \alpha.

À la calculatrice : f(0{,}80)\approx0{,}896<0{,}9 et f(0{,}81)\approx0{,}905>0{,}9, donc {0{,}80\leq\alpha\leq0{,}81}.

B.5.dInterpréter la valeur de \alpha dans le contexte de l'exercice.

\alpha représente la probabilité minimale de réussite à un lancer-franc qu'un joueur doit avoir pour que sa probabilité de réussir au moins 2 lancers-francs sur 3 soit égale à 90 %.

1.aMontrer que les points A, B et C définissent un plan.

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix} ont des coordonnées non proportionnelles.
Les vecteurs ne sont donc pas colinéaires : les points A, B et C ne sont pas alignés et définissent bien un plan.

1.bMontrer que le vecteur n(1 ; 4 ; 1) est normal au plan (ABC).

\begin{aligned}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB} &= 1\times(-2)+4\times1+1\times(-2) \\ &= -2+4-2 \\ &= 0\end{aligned}
\begin{aligned}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC} &= 1\times1+4\times(-1)+1\times3 \\ &= 1-4+3 \\ &= 0\end{aligned}
\vec{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : il est donc normal à ce plan.

1.cEn déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

Une équation de (ABC) est de la forme x+4y+z+d=0. Comme {A(1;2;3)\in(ABC)} : \begin{aligned}1+4\times2+3+d &= 0 \\ &\Leftrightarrow d = -12\end{aligned}
Une équation cartésienne du plan (ABC) est donc x+4y+z-12=0.

2.aDéterminer une équation paramétrique de la droite (d), perpendiculaire au plan (ABC) et passant par D.

(d) est dirigée par le vecteur normal \vec{n}\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ 1\end{pmatrix} et passe par D(3;-2;-1) : \begin{cases}x=3+t \\ y=-2+4t \\ z=-1+t\end{cases}, t\in\mathbb{R}.

2.bDéterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur (ABC).

H appartient à (d) et à (ABC), donc \begin{aligned}(3+t)+4(-2+4t)+(-1+t)-12 &= 0 \\ &\Leftrightarrow 18t-18 = 0 \\ &\Leftrightarrow t = 1\end{aligned}
H a pour coordonnées (4\,;\,2\,;\,0).

2.cEn déduire que la distance de D au plan (ABC) est égale à 3\sqrt{2}.

DH = \sqrt{(4-3)^{2}+(2-(-2))^{2}+(0-(-1))^{2}} = \sqrt{1+16+1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.

3.aMontrer que cos(BAC) = -3\surd\dfrac{11}{11}.

\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} &= -2\times1+1\times(-1)+(-2)\times3 \\ &= -2-1-6 \\ &= -9\end{aligned}
\begin{aligned}AB &= \sqrt{4+1+4} \\ &= 3\end{aligned} et \begin{aligned}AC &= \sqrt{1+1+9} \\ &= \sqrt{11}\end{aligned}
\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC} = \dfrac{-9}{3\sqrt{11}} = \dfrac{-3}{\sqrt{11}} = -\dfrac{3\sqrt{11}}{11}.

3.bEn déduire la valeur exacte de sin(BAC).

\begin{aligned}\sin^{2}(\widehat{BAC}) &= 1-\cos^{2}(\widehat{BAC}) \\ &= 1-\dfrac{9}{11} \\ &= \dfrac{2}{11}\end{aligned}
L'angle \widehat{BAC} étant dans [0;\pi], son sinus est positif : \sin(\widehat{BAC}) = \sqrt{\dfrac{2}{11}} = \dfrac{\sqrt{22}}{11}.

3.cMontrer que l'aire du triangle ABC vaut 3\surd\dfrac{2}{2}.

\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\times AB\times AC\times\sin(\widehat{BAC}) = \dfrac{1}{2}\times3\times\sqrt{11}\times\dfrac{\sqrt{22}}{11} = \dfrac{1}{2}\times3\times\dfrac{\sqrt{2}}{1} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} (en simplifiant \sqrt{11}\times\sqrt{22}=11\sqrt{2}, divisé par 11).

4.Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.

En choisissant ABC comme base, la hauteur associée est DH=3\sqrt{2} (question 2.c) : \mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times\mathcal{A}\times DH = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\times3\sqrt{2} = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{18}{2} = 3.

Affirmation 1 : f(x) = (-0,5x + 3)^{5} est convexe sur \mathbb{R}. Vrai ou faux ?

f'(x) = 5\times(-0{,}5)\times(-0{,}5x+3)^{4} = -2{,}5(-0{,}5x+3)^{4}.
f''(x) = -2{,}5\times4\times(-0{,}5)\times(-0{,}5x+3)^{3} = 5(-0{,}5x+3)^{3}.
Pour x=10 : f''(10) = 5\times(-5+3)^{3} = 5\times(-8) = -40 < 0.
La dérivée seconde n'est pas positive sur tout \mathbb{R} : f n'est pas convexe sur \mathbb{R}. L'affirmation 1 est FAUSSE.

Affirmation 2 : le nombre de tirages contenant au moins un multiple de 8 est 103 096. Vrai ou faux ?

Parmi les 32 jetons, 4 sont multiples de 8 (8, 16, 24, 32).
Nombre total de tirages de 5 jetons parmi 32 : \dbinom{32}{5} = 201\,376.
Nombre de tirages ne contenant aucun multiple de 8 (choisis parmi les 28 autres jetons) : \dbinom{28}{5} = 98\,280.
Nombre de tirages contenant au moins un multiple de 8 : {201\,376-98\,280 = 103\,096}.
L'affirmation 2 est VRAIE.

Affirmation 3 : P_B(\overline{A}) = \frac{9}{50}. Vrai ou faux ?

D'après l'arbre : P(A)=\frac25, P(\overline{A})=\frac35, P_A(B)=\frac14, P_{\overline{A}}(B)=\frac{3}{10}.
D'après la formule des probabilités totales : \begin{aligned}P(B) &= P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B) \\ &= \frac25\times\frac14+\frac35\times\frac{3}{10} \\ &= \frac{1}{10}+\frac{9}{50} \\ &= \frac{14}{50}\end{aligned}
\begin{aligned}P_B(\overline{A}) &= \dfrac{P(\overline{A}\cap B)}{P(B)} \\ &= \dfrac{\frac{9}{50}}{\frac{14}{50}} \\ &= \dfrac{9}{14} \\ &\neq \dfrac{9}{50}\end{aligned}
L'affirmation 3 est FAUSSE (la valeur \frac{9}{50} correspond à P(\overline{A}\cap B), pas à la probabilité conditionnelle P_B(\overline{A})).

Affirmation 4 : h(x) = e^{-}ˣsin(x) est solution de (E). Vrai ou faux ?

h'(x) = -e^{-x}\sin(x)+e^{-x}\cos(x).
h'(x)+h(x) = \left(-e^{-x}\sin(x)+e^{-x}\cos(x)\right)+e^{-x}\sin(x) = e^{-x}\cos(x), ce qui correspond bien au second membre de (E).
h est bien solution de (E). L'affirmation 4 est VRAIE.

Affirmation 5 : les solutions de (E) sont k(x) = Ce^{-}ˣsin(x). Vrai ou faux ?

Les solutions de (E) sont la somme de la solution particulière h(x)=e^{-x}\sin(x) et des solutions de l'équation homogène y'+y=0, qui sont de la forme Ce^{-x}.
Les solutions de (E) sont donc les fonctions y(x) = Ce^{-x}+e^{-x}\sin(x), ce qui est différent de la forme proposée k(x)=Ce^{-x}\sin(x).
L'affirmation 5 est FAUSSE.