Brevet : Amérique du Nord 2018

1.Un relevé donne le nombre d'abonnements Internet à très haut débit, en France, pour les années 2014 à 2016 : combien y en avait-il en 2016 ?

D'après le relevé, il y avait en 2016 environ 5,446 millions d'abonnements Internet à très haut débit.

2.Vérifier qu'en 2016, le nombre total d'abonnements (haut débit et très haut débit confondus) a augmenté d'environ 817 000 par rapport à 2015.

En 2016, le total est de 27,684 millions contre 26,867 millions en 2015 : {27{,}684-26{,}867 = 0{,}817} million, soit environ 817 000 abonnements de plus.

3.Le tableau a été construit avec un tableur : quelle formule a pu être saisie dans une cellule pour obtenir automatiquement ce total (haut débit + très haut débit) ?

Il suffit d'additionner les deux cellules correspondantes, par exemple =B2+B3 (somme du nombre d'abonnements haut débit et très haut débit de la même année).

4.En 2015, 5,6 % des abonnements très haut débit (4,237 millions) utilisaient la fibre optique. Combien cela représente-t-il d'abonnements ?

4{,}237\times\dfrac{5{,}6}{100} \approx 0{,}237 million, soit environ 237 000 abonnements utilisant la fibre optique.

1.On donne un triangle ADE avec AD = 7 cm, AE = 4,2 cm, DE = 5,6 cm ; F est un point de [AD] avec AF = 2,5 cm et (FG) est parallèle à (DE), G étant sur [AE]. Réaliser une figure en vraie grandeur.

On trace le triangle ADE aux dimensions données (AD = 7 cm, AE = 4,2 cm, DE = 5,6 cm), puis le point F sur [AD] tel que AF = 2,5 cm, et la parallèle à (DE) passant par F, qui coupe [AE] en G.

2.Prouver que le triangle ADE est rectangle en E.

D'une part, \begin{aligned}AD^2 &= 7^2 \\ &= 49\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}AE^2+DE^2 &= 4{,}2^2+5{,}6^2 \\ &= 17{,}64+31{,}36 \\ &= 49\end{aligned}
On a donc AD^2 = AE^2+DE^2, l'égalité de Pythagore est vérifiée.
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ADE est rectangle en E.

3.Calculer la longueur FG.

Les points A, F, D sont alignés et les points A, G, E sont alignés dans le même ordre.
Les droites (FG) et (DE) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
\begin{aligned}\dfrac{AF}{AD} &= \dfrac{AG}{AE} \\ &= \dfrac{FG}{DE}\end{aligned}
d'où \dfrac{AF}{AD} = \dfrac{FG}{DE}, soit \dfrac{2{,}5}{7} = \dfrac{FG}{5{,}6},
donc FG = \dfrac{2{,}5\times5{,}6}{7} = \dfrac{14}{7} = 2 cm.

1.Deux urnes contiennent des boules numérotées : l'urne D contient 1, 2, 3 ; l'urne U contient 2, 3, 5, 6. On tire une boule de chaque urne pour former un nombre à deux chiffres (dizaine = urne D, unité = urne U). A-t-on plus de chances de former un nombre pair qu'un nombre impair ?

Les nombres pairs possibles sont 12, 16, 22, 26, 32, 36, soit 6 nombres pairs.
Les nombres impairs possibles sont 13, 15, 23, 25, 33, 35, soit 6 nombres impairs.
Il y a autant de chances de former un nombre pair que d'en former un impair.

2.aSans justifier, indiquer les nombres premiers que l'on peut former.

On peut former 13 et 23, qui sont premiers.

2.bMontrer que la probabilité de former un nombre premier est \dfrac16.

Il y a 3\times4 = 12 nombres différents possibles au total, et 2 d'entre eux sont premiers (13 et 23).
La probabilité de former un nombre premier est donc \dfrac{2}{12} = \dfrac16.

3.Définir un évènement dont la probabilité est \dfrac13.

Par exemple, l'évènement « obtenir un nombre inférieur à 17 » regroupe 4 nombres (12, 13, 15, 16) sur 12, soit une probabilité de \dfrac{4}{12} = \dfrac13.

1.aD'après un script Scratch, le côté du carré tracé part de 40 et augmente de 20 à chaque répétition. Quelle est la longueur du côté du plus petit carré dessiné ?

Au départ, la variable côté vaut 40 : le premier carré tracé a des côtés de 40.

1.bQuelle est la longueur du côté du plus grand carré dessiné ?

La variable augmente de 20 à chaque tour ; après plusieurs répétitions, le dernier carré a des côtés de {40+20+20+20 =} 100.

2.Où insérer une instruction augmentant l'épaisseur du stylo, pour qu'elle s'applique à chaque nouveau carré ?

Il faut insérer cette instruction juste après avoir tracé chaque carré, c'est-à-dire après l'instruction qui augmente le côté de 20, afin qu'elle s'applique avant le tracé du carré suivant.

3.Le script est modifié pour avancer d'une valeur légèrement différente à chaque répétition. Parmi trois dessins proposés, lequel obtient-on ?

C'est le dessin n^{\circ}3 qui correspond au script modifié.

1.ABC est un triangle isocèle en C. Quelle transformation permet de compléter la figure pour obtenir un losange ACBD ?

Une symétrie centrale de centre le milieu de [AB] (ou, de façon équivalente, une symétrie axiale par rapport à la droite (AB)) permet d'obtenir le point D et donc le losange ACBD.

2.Une translation, répétée plusieurs fois, permet ensuite de prolonger la frise obtenue. De quelle translation s'agit-il ?

Il s'agit de la translation qui transforme C en B (ou, de manière équivalente, qui transforme A en D).

1.Une terrasse en béton doit être légèrement inclinée pour l'écoulement de l'eau, avec un angle \widehat{ABP} qui doit mesurer entre 1^{\circ} et 1,5^{\circ}. Sachant que, dans le triangle ABP rectangle en P, BP = 5 m et AP = 0,12 m, le projet respecte-t-il cette condition ?

Dans le triangle ABP rectangle en P, [AP] est le côté opposé à l'angle \widehat{ABP} et [BP] est le côté adjacent.
SOH-CAH-TOA : on utilise la tangente, \begin{aligned}\tan(\widehat{ABP}) &= \dfrac{AP}{BP} \\ &= \dfrac{0{,}12}{5} \\ &= 0{,}024\end{aligned}
À la calculatrice, \widehat{ABP} \approx 1{,}37^{\circ}, qui est bien compris entre 1^{\circ} et 1,5^{\circ}. La condition est vérifiée.

2.La terrasse est un prisme droit de base ABCD (aire obtenue en découpant un rectangle 5 m \times 0,15 m et un triangle rectangle de côtés 5 m et 0,12 m) et de longueur 8 m. Une entreprise facture le béton 95 €/m^{3}, le transport 5 €/km (aller-retour, distance 23 km), avec un camion d'une capacité de 6 m^{3} par trajet. Déterminer le montant total de la facture.

Le volume de la terrasse est \left(5\times0{,}15+\dfrac{5\times0{,}12}{2}\right)\times8 = (0{,}75+0{,}3)\times8 = 8,4 m^{3}.
Comme le camion transporte 6 m^{3} au maximum, il doit faire 2 trajets, soit une distance totale de 2\times2\times23 = 92 km (aller-retour effectué deux fois).
Coût du béton : 8{,}4\times95 = 798 €.
Coût du transport : 92\times5 = 460 €.
Montant total de la facture : {798+460 =} 1 258 €.

1.Développer et réduire {A = 2x(x-1)-4(x-1)}.

A = 2x(x-1)-4(x-1) = 2x^2-2x-4x+4 = 2x^2-6x+4.

2.Montrer que -5 est solution de l'équation (2x+1)(x-2)=63.

Pour x=-5 : (2\times(-5)+1)\times(-5-2) = (-10+1)\times(-7) = (-9)\times(-7) = 63, ce qui correspond bien au membre de droite : -5 est solution.

3.aOn considère la fonction {f(x) = -3x+1{,}5}. Deux droites sont représentées sur deux graphiques : laquelle représente f ?

L'ordonnée à l'origine de f est 1{,}5 et son coefficient directeur est -3.
C'est la droite dont l'ordonnée à l'origine vaut 1,5 et qui est décroissante (pente -3) qui représente f.

3.bJustifier ce choix.

La droite choisie est bien celle qui coupe l'axe des ordonnées en 1,5 et qui descend de 3 unités à chaque fois que x augmente de 1, ce qui correspond exactement au coefficient directeur -3 et à l'ordonnée à l'origine 1{,}5 de f.

1.Une fenêtre de téléchargement indique 9,7 Mo téléchargés sur 115,2 Mo, à une vitesse constante de 1,3 Mo/s. Le téléchargement prendra-t-il plus d'une minute et vingt-cinq secondes ?

Il reste à télécharger 115{,}2-9{,}7 = 105,5 Mo.
À vitesse constante, le temps restant est \dfrac{105{,}5}{1{,}3} \approx 81{,}2 secondes, soit environ 1 minute et 21 secondes.
Une minute et vingt-cinq secondes correspond à 85 secondes ; or 81{,}2 < 85, donc le téléchargement prendra moins d'une minute et vingt-cinq secondes.