Brevet : Métropole, Antilles et Guyane 2018

1.Un trophée sphérique récompensant des Jeux Olympiques d'hiver a un rayon de 11,5 cm. Donner les coordonnées géographiques de la ville hôte (130^{\circ} Est, 35^{\circ} Nord).

Les coordonnées données correspondent à 130^{\circ} de longitude Est et 35^{\circ} de latitude Nord.

2.Calculer le volume de cette boule (rayon 11,5 cm), sachant que V = \dfrac43\times\pi\times R^3.

V = \dfrac43\times\pi\times11{,}5^3 \approx 6 371 cm^{3}.

3.Le trophée repose sur un socle cylindrique de rayon 3 cm et de hauteur 23 cm. Marie affirme que la boule représente plus de 90 % du volume total du trophée. A-t-elle raison ?

Le volume du socle cylindrique est {v = \pi\times3^2\times23 \approx} 650 cm^{3}.
Le volume total du trophée est donc \begin{aligned}V+v &\approx 6\,371+650 \\ &= 7\,021\end{aligned} cm^{3}.
Or \dfrac{6\,371}{7\,021} \approx 0{,}907, soit environ 91 %. Marie a raison.

1.Un relevé de pollution donne, pour Grenoble, une somme de 634 (µg/m^{3}) sur 10 jours, et une moyenne de 72,5 µg/m^{3} pour une zone lyonnaise. Quelle moyenne est la plus élevée ?

La moyenne pour Grenoble est m_{\text{Grenoble}} = \dfrac{634}{10} = 63,4 µg/m^{3}.
Comme 63{,}4 < 72{,}5, c'est la moyenne de la zone lyonnaise qui est la plus élevée.

2.Pour Grenoble, le maximum relevé est 89 µg/m^{3} et le minimum 32 µg/m^{3} ; pour Lyon, le maximum est 107 µg/m^{3} et le minimum 22 µg/m^{3}. Quelle ville a l'étendue la plus importante ?

Étendue à Grenoble : 89-32 = 57 µg/m^{3}.
Étendue à Lyon : 107-22 = 85 µg/m^{3}.
C'est la ville de Lyon qui a l'étendue la plus importante.

3.La série lyonnaise de 10 valeurs a pour médiane 83,5 µg/m^{3}. Peut-on affirmer qu'au moins la moitié des valeurs dépassent 80 µg/m^{3} ?

Par définition, la médiane 83,5 µg/m^{3} partage la série en deux : au moins 50 % des valeurs lui sont supérieures ou égales.
Comme 83{,}5 > 80, ces valeurs dépassent aussi 80 µg/m^{3}. L'affirmation est vraie.

1.Une bibliothèque musicale de 375 morceaux compte 125 morceaux de rap. Quelle est la probabilité de tirer un morceau de rap au hasard ?

La probabilité est \dfrac{125}{375} = \dfrac13.

2.La bibliothèque contient une proportion \dfrac{7}{15} de morceaux de rock. Combien de morceaux de rock cela représente-t-il ?

\dfrac{7}{15}\times375 = 175 morceaux de rock.

3.Alice affirme écouter du rock 40 % du temps, Théo affirme en écouter dans une proportion \dfrac{7}{15}. Qui, d'Alice ou de Théo, a le plus de chances d'écouter du rock ?

La proportion d'Alice est \begin{aligned}\dfrac{40}{100} &= \dfrac25 \\ &= \dfrac{6}{15}\end{aligned}
Or \dfrac{6}{15} < \dfrac{7}{15}, donc Théo a plus de chances d'écouter de la musique rock qu'Alice.

1.Dans un triangle CBD rectangle en B, on donne CD = 8,5 cm et CB = 7,5 cm. Calculer DB.

D'une part, \begin{aligned}CD^2 &= 8{,}5^2 \\ &= 72{,}25\end{aligned}
D'autre part, DB^2+CB^2 = DB^2+7{,}5^2, avec, d'après Pythagore, \begin{aligned}DB^2 &= CD^2-CB^2 \\ &= 8{,}5^2-7{,}5^2 \\ &= (8{,}5+7{,}5)(8{,}5-7{,}5) \\ &= 16\times1 \\ &= 16 \\ &= 4^2\end{aligned}
On a donc DB = 4 cm.
Donc, d'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle CBD rectangle en B, DB = 4 cm.

2.Un second triangle BFE a pour côtés BF = 6 cm, FE = 3,2 cm, BE = 6,8 cm. Les triangles CBD et BFE sont-ils semblables ?

On compare les rapports des côtés : \begin{aligned}\dfrac{BF}{CB} &= \dfrac{6}{7{,}5} \\ &= 0{,}8\end{aligned} \begin{aligned}\dfrac{FE}{DB} &= \dfrac{3{,}2}{4} \\ &= 0{,}8\end{aligned} \begin{aligned}\dfrac{BE}{CD} &= \dfrac{6{,}8}{8{,}5} \\ &= 0{,}8\end{aligned}
Les trois rapports sont égaux : les triangles CBD et BFE sont semblables.

3.Justifier que le triangle BFE est rectangle en F.

D'une part, \begin{aligned}BE^2 &= 6{,}8^2 \\ &= 46{,}24\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}BF^2+FE^2 &= 6^2+3{,}2^2 \\ &= 36+10{,}24 \\ &= 46{,}24\end{aligned}
On a donc BE^2 = BF^2+FE^2, l'égalité de Pythagore est vérifiée.
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle BFE est rectangle en F (ce qui est cohérent avec le fait que CBD et BFE soient semblables, et que CBD soit rectangle en B).

4.Calculer l'angle \widehat{DCB}, puis en déduire si l'angle \widehat{ACD} (avec \widehat{ACB} \approx 89^{\circ} et {\widehat{ACD} = \widehat{ACB}-\widehat{DCB}}, sachant que l'angle \widehat{ACB} mesure 61^{\circ} de plus que ce qu'on cherche à vérifier) est droit.

Dans le triangle DCB rectangle en B, [CB] est le côté adjacent à l'angle \widehat{DCB} et [CD] est l'hypoténuse.
SOH-CAH-TOA : on utilise le cosinus, \begin{aligned}\cos(\widehat{DCB}) &= \dfrac{CB}{CD} \\ &= \dfrac{7{,}5}{8{,}5} \\ &= \dfrac{15}{17}\end{aligned}
À la calculatrice, \widehat{DCB} \approx 28^{\circ}.
Or \begin{aligned}28+61 &= 89 \\ &\neq 90\end{aligned} L'angle \widehat{ACD} n'est pas droit.

1.On choisit un nombre n, on calcule {2\times(4n+8)}. Donner le résultat pour n=-1.

2\times(4\times(-1)+8) = 2\times(-4+8) = 2\times4 = 8.

2.Résoudre l'équation 8x+16=30.

8x+16=30 \iff 8x=14 \iff x=\dfrac{14}{8} = 1,75.

3.On pose A = 8x+16 et B = (4+x)^2-x^2. Montrer que A=B pour tout x.

\begin{aligned}B &= (4+x)^2-x^2 \\ &= 16+8x+x^2-x^2 \\ &= 8x+16 \\ &= A\end{aligned} Les deux expressions sont bien égales pour tout x.

4.Deux affirmations sont proposées : « 16+8x est toujours positif » et « 16+8x est toujours un multiple de 8 ». Sont-elles vraies ?

16+8x>0 \iff 8x>-16 \iff x>-2 : ce n'est vrai que pour x>-2, donc la première affirmation est fausse en général.
16+8x = 8(2+x), qui est bien un multiple de 8 quel que soit x entier : la seconde affirmation est vraie.

1.aUn script Scratch trace un carré puis un triangle équilatéral à partir d'une variable Longueur (300), en avançant de \dfrac{\text{Longueur}}{6} avant chaque tracé. Décrire la figure obtenue par le script principal.

Le script trace un grand carré de côté 300, avance de \dfrac{300}{6}=50, puis trace un triangle équilatéral, dans une figure combinant ces deux tracés.

1.bAprès l'exécution de la ligne qui fait avancer le stylo de \dfrac{\text{Longueur}}{6}, quelles sont les coordonnées du stylo (position de départ (0 ; 0), orientation vers la droite) ?

Le stylo avance de \dfrac{300}{6}=50 vers la droite depuis (0 ; 0) : il se trouve donc au point de coordonnées (50 ; 0).

2.Pour tracer une figure intérieure semblable, il faut se décaler de 50 de chaque côté du carré de côté 300. Quelle est la longueur du côté de cette figure intérieure ?

Le côté intérieur mesure {300-2\times50 =} 200.

3.aQuelle transformation permet de passer du grand carré (côté 300) au petit carré (côté 200) ?

Il s'agit d'une homothétie de rapport \dfrac{200}{300} = \dfrac23.

3.bQuel est alors le rapport de réduction des aires correspondant ?

Le rapport de réduction des longueurs est k=\dfrac23 ; le rapport de réduction des aires est k^2 = \left(\dfrac23\right)^2 = \dfrac49.

1.Un graphique donne la vitesse de rotation d'un hand-spinner (en tours par seconde) en fonction du temps ; ce n'est pas une droite passant par l'origine. Le temps et la vitesse de rotation sont-ils proportionnels ?

La représentation graphique n'étant pas une droite passant par l'origine, le temps et la vitesse de rotation ne sont pas proportionnels.

2.aD'après le graphique, quelle est la vitesse de rotation au départ ?

La vitesse de rotation au départ est de 20 tours par seconde.

2.bQuelle est la vitesse de rotation après 1 min 20 s (soit 80 s) ?

Après 80 secondes, la vitesse de rotation lue sur le graphique est de 3 tours par seconde.

2.cÀ quel instant le hand-spinner s'arrête-t-il, d'après le graphique ?

D'après le graphique, le hand-spinner s'arrête au bout d'environ 93 secondes.

3.aOn modélise la vitesse par {V(t) = -0{,}214\times t+20}. Calculer V(30).

V(30) = -0{,}214\times30+20 = -6{,}42+20 \approx 13,58 tours/s.

3.bRetrouver par le calcul, à partir du modèle, l'instant d'arrêt du hand-spinner (vitesse nulle).

Le hand-spinner s'arrête lorsque {V(t)=0} : -0{,}214\times t+20=0, soit {0{,}214\times t=20}.
Donc t = \dfrac{20}{0{,}214} \approx 93,5 secondes.

3.cAvec une vitesse initiale de 40 tours/s, on obtient un temps d'arrêt d'environ 186,9 s. Comparer ce résultat au précédent.

On calcule 0 = -0{,}214\times t+40, soit \begin{aligned}t &= \dfrac{40}{0{,}214} \\ &\approx 186{,}9\end{aligned} s.
Or 2\times93{,}5 \approx 186{,}9 : doubler la vitesse initiale double le temps d'arrêt, ce qui est cohérent avec un modèle linéaire.